CC BY
15
УДК 517.9
ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ РЕГУЛЯРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧИ
О ДВИЖЕНИИ СМЕСИ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Н. А. Кучер, М. В. Краюшкина, О. В. Малышенко
GLOBAL SOLVABILITY OF THE REGULARIZED PROBLEM OF VISCOUS COMPRESSIBLE FLUIDS MIXTURE MOVEMENT
N. A. Kucher, M. V. Krayushkina, O. V. Malyshenko
Изучается краевая задача для нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных, представляющая собой регуляризованную систему уравнений, описывающая динамику смеси вязких сжимаемых жидкостей. Доказана глобальная по времени разрешимость указанной выше краевой задачи.
The boundary value problem for non-linear systems of partial differential equations, representing regularized system of equations, describing the dynamics of the mixture of viscous compressible fluids is studied. The global solvability (in terms of time) of the boundary value problem is proved.
Ключевые слова: смеси вязких сжимаемых жидкостей, краевая задача, динамика смесей.
Keywords: the mixture of viscous compressible fluids, boundary value problem, dynamics of mixtures.
Предположим, что бинарная смесь вязких сжимаемых жидкостей (газов) заполняет ограниченную
область О с К3 евклидова пространства точек х = (х1, х2, х3) с границей класса С2+’ и ее состояние характеризуется распределениями плотностей Р (,, х), давлений д. (,, х) и полями скоростей
и(г) (,, х), составляющих компонентов i = 1,2. Они удовлетворяют следующим уравнениям [1]:
д, (ри (')) + Л'у (ри (') 0 и (')) + У р1 =
div а (') + J (') в Q T = (0,T ) х Q, i = 1,2;
д t (р i) + div (ptu (i)) = 0 в QT, i = 1,2,
(1.1a)
(1.1b)
j=1
(1.1с)
(11d)
J (i) = (- 1)'+1 . a ■ (u (2) - u (1)) i = 1,2, a = const > 0.
(1.1e)
первые два из которых представляют собой законы сохранения импульсов компонент смеси, а два последних - законы сохранения массы каждой из компонент. Тензоры вязких напряжений с((> , ' = 1,2 задаются формулами:
а(‘\и(1), и(2)) = ]Г (2 (и(1) +АуЯ’и (]) • I)
в которых коэффициенты вязкости ин ,Л,- (заданные
У У
константы) удовлетворяют неравенствам:
^11 > 0,4^1,- ^22 — (^12 + ^2 i ) > 0, vn > 0,4v„v22 — (V12 +V21)2 > 0,Vj =
= Xj + 2^u , / , j = 1,2.
Мы будем предполагать, что давление р1 (,, х) и плотность р (,, х) в '-й компоненте связаны соотношением р[ = р‘ , где у1 > 1 - показатель адиабаты,
слагаемые J(г), выражающие интенсивность обмена импульсов между компонентами смеси, определены по формуле [2]:
Уравнения (1.1а) и (1.1Ь) должны быть дополнены начальными условиями:
Р\,= 0 = Р“(х^ Ч\,= 0 = Ч0(х^ в О
и граничными условиями, простейшим из которых является условие прилипания
и(г) = 0 на (0, Т) хдО, ' = 1,2, означающее, что граница области течения является неподвижной стенкой.
Главным объектом исследования в данной работе является следующая регуляризация задачи (1.1): д, (ри(,)) + Л'у(ри(') 0 и(,)) + У(р) + 5У(рв ) +
+ еЧй(г) •Ур = Л'уа{‘) + . (‘)(и(1), и(2)) (1.2а)
в Рт = (0,Т) х О,' = 1,2,
д, р' + Лу (ри (')) = еАр1 в р т ,г = 1,2, (12Ь)
РI,=0 = р.0( х), Ч' \,=0 = ч°( х) в О ,г = 1,2 (1.2с)
и(0 = 0 на (0, Т) хдО,' = 1,2, (1.2а)
У рг п = 0 на (0, Т ) хдО ,г = 1,2. (1.2е)
Здесь 8, 5 - положительные параметры, п - единичный вектор внешней нормали к границе дО области О.
Основной результат данной работы формулируется в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Предположим выполненными следующие условия: параметры /I], X],', ] = 1,2 удовлетворяют условиям (1.М), показатели адиабаты /',' = 1,2 удовлетворяют условиям у. > 3/2 , параметры 5, Д,' = 1,2 выбраны так, что 5 > 0, Р1 > 4,' = 1,2 и пусть 8 > 0,
0 < р < р0 < р < ю,' = 1,2 ^- ограниченная область класса
(1.3)
С2в ,ве (0,1],р0 е Г (О),Ч0 е Ь2(О),' = 1,2. (1.4)
Тогда существуют решения
(р,,8,«8°), р,8 = ,«8° = «85,' = 1,2 задачи (1.2)
со следующими свойствами:
р.,8 е С 0(I, Ь ^ (О )),
р,^ е с 0(I, ьр (о)) и ьв+1(ят ),1 < р < в,
р (.8 > 0 п.в. в рт, р}Рв е Ь 2( I, Ж ‘•2( О )),
5 в,-3
д , р ', 8 е ь 4 в (<2т X
5 в,-3
4 в,
У 2р,8 е ь *»■ (бт),
и 8° е ь 2(I, ж 01,2(о )), _ 2 в, в + 1 •мгак
;8‘) = р,.8 и 8° е С 0(I, ь в:2(о )),
6 в
8( ) е ь 2
е Ь 2(I, Ь ^ (О )),
6 в
р,8 \и 8°| е Ь ° (I, Ь1 (О )) п ь 2(I, ь :вк+ 3(О )),
5 р,-3
У и 8° • У р ,,8 е Ь 4 в (^ ), Ур,
,8 5 в,-3
Т /5 ' А" 1,8 ■
10 в,-6 5 в,-3
р,8 и 8° е Ь 4 в (I, Е 03в +3 4 в (О )),
| р,,8 Лх =\ р, Лх .
Для любых векторных полей (6т:
тождества:
\р,8«8° д, (Ф(0)СхЛ =
бт
2
= - 1Х/]У«8',) : Уф^ЛхЖ-
бт]=1
2
Г^(Х]. + /)Лгш8] • Люф1 )СхЛ+
бт ]=1
+ |(р8г?8‘) ®й^): У<Ф(,)СхС, +
От
| (р/"8 + 5р8 )Луф(-' ) Сх& - 81 (Ур 8 • у)«8) • ф(,) СхЖ+
Ят
+ (-1),+11а(г?82) -ы^)• ф(°СхЛ,.
+ I (р8 +
бт
бт
—т1р,8(,)^,-сх = Iр<0ПЛх,П е С0°ФУ = 1,2
,—>0+0 * ’ •>
О О
1ип Iр 8и80 (,)ф,. Сх = |я,. • ф dx, ф е С0° ФУ = 1,2
,—+0 •> ’ •>
ОО
Имеют место энергетические неравенства в дифференциальной форме:
Л, ^?5(р.8г'8'))+с01 (| у«?\2 +\уи(8)\2)Лх+
Л о
+ е\Т;(Ур8 + 5вр82\Ур„\2 Лх +
О ,=1
+ ||и(2) - и®|2 Лх < 0, ,= 1,2 в Б'о:),
О
а также в интегральной форме:
, 2
8 5 (р,8«‘ 8°)(,) +с 0| Ё ||У и 8°||Ь2(О) Ст +
0 ,=1
, 2
+ 8 ||Ё (У грг‘,8 2 + 5вр8) |Ур>|2 СхС Т +
0 О =1
+ аЦ ЛхЛ Т<86
0 О
для почти всех , е I. Здесь
12 2 2
=21 р,\и ч,+Е[
2 к=1 ...
к=1 О
1
Гк -1 5
в -1
рк Ук +
(рк У
Лх,
ф('г> е С° (бт ),, = 1,2 выполняются интегральные
а величина 85 0 определяется начальными данными и не зависит от номера п.
Если 5 е (0,1) , то имеют место следующие оценки:
Ё _ < Ь (8З,о),
\\Р<
11ь2( I ж о ))
< Ь (у,, 850),
> ( Т ТУ, (ПХ\ V / , ? 5,0/’
5 1р ',8L" (I, ьв ( о )) < ь (в,, ^5,о),
->8||У р1
р ,8 и
\р 18и
(О
< Ь (5, в,, р», Ч,),
< Ь (85 ,0 ),
(I,Ь‘( О ))
(,)
< Ь (85,0 ),
Ь° (I, Ьв+1 (О ))
р ,,*“ 8°
I б в,
ь2(I,Ьв,+ 6 (О))
р и (,)
\\У 1,£и 8 \\ 10 6
ь3(в,+1)(бт )
Для любых функций П е С° (К ) выполнены уравнения:
Л-1 р,пЛх -1 р^81) У п Сх +
8\ур :||ур,,г -Уг
/,^ 10 в,-6
(О
< Ь (85,0 ),
< Ь (85,0 ),
< Ь (85,0 ),
< Ь (85,0 ), , = ^2.
+ е!Ур8-Уп Сх = 0 в Б'(I), , = 1,2.
Выполнены соотношения:
Здесь Ь - положительная постоянная, не зависящая от 8. Более того, если параметр 5 не указан в аргументе Ь, то Ь не зависит также от 5 .
, = 1
2
Ь 3( в,+1)( бт )
ь 4в (бт)
Ограниченный объем статьи позволяет лишь кратко охарактеризовать доказательство этой теоремы.
Сначала рассматривается схема аппроксимации задачи (1.2) посредством конечномерных задач (уравнения Фаэдо-Галеркина) и изучается их глобальная по времени разрешимость. После этого на основе априорных оценок решений конечномерных задач доказывается возможность предельного перехода, что и приводит к доказательству теоремы 1.
Обозначим через Хп Евклидово пространство
размерности п с базисом (щі }”= и скалярным произведением ( ,)Х = ( ,) = |и • уйх, и, V є Хп. Здесь
система вектор-функций }°=1 является ортонорми-рованным базисом в (Ь (О))3, а также ортонорми-рованным базисом в (Ж01,2(О))3 [в работе используется общепринятые в литературе [3], [4] обозначения функциональных пространств: Ьр (О)(Ж1,р (О)) -пространство функций, интегрируемых со степенью р (вместе с обобщенными производными до порядка I включительно)].
Конечномерные задачи, аппроксимирующие задачу (1.2), формулируются следующим образом: для произвольно выбранного Т' е (0, Т] ищем вектор-
функции и () е С0(I', Хп), I' = (0, Т'),, = 1,2, удовлетворяющие уравнениям:
| Р (і )и(' )фйх - | цфйх = II
п
- || [ йіу (ри(і) ® и(і)) - є(У р • V )и(1) + (-1)1+1 • а (и(2) - и(1))] • фйхйі, і = 1,2, і є І' ,ф є X п,
Ё Иу Ди(і) + ^ (Хі + у )Vйіуи(і) - Vр]' - <5У рв
і=1
і=1
фйхйі.
(1.5)
0 п
0 п
где рг^) = К ,0 (и "’Ж), а символом
р(,) = |5,р0(г/)|(,) обозначается решение следующей
параболической задачи:
д р + С,у(ри ) = 8Ар в 0т, (1.6а)
р(0) = р0 в О, (1.6Ь)
Ур^п = 0 на I хдО. (16с),
Здесь 8 > 0 - заданная постоянная, р0 (х) - заданная функция, а и (,, х) - заданное векторное поле,
обращающееся в нуль на границе области О.
Относительно задачи (1.6) имеют место следующие утверждения [5].
Лемма 1. Пу сть 0 < в< 1, О - ограниченная область класса
С 2,",0 <р<р<° и р° е Ж 1,° (О), р <р° < р. Тогда существует однозначное отображение : Ь° (I, Ж01ш (О)) — С0 (I, Жи (О)), такое, что
(і)
Бр (и) єВт =р: рєІ(І,Ж2р (П))ПС0(І,Ж1,Р (П))
дрєЬ\і, І (П)), 1<р <”}.
(ііі)
рехр(-||\и(т)||1,юйт} < [р (ы)])
< рехр(||\и(т)||1,ю йт},і є І,х є П.
(іу) Если ||и ||г (І Ж!,„ (п < К, К = соті > 0, то
Бпо(й)
<
< ср ЇЖі2(п)ехрі2Є(К+К )і ^ іє 1
(1.7)
(у)
[Бп^) - Б ЖШ) 2 < с( К ,є,Т) • і •
р р І2(П)
(іі) Функция р = Бр0 (и) удовлетворяет уравнению
(1.6а) п.в. в бТ, начальному условию (1.6Ь) п.в. в П и граничному условию (1.6с) в смысле следов п.в. в I.
•р И-(О) 'IИ -й2\\ь°(I,,Ж1,°(О)),, е 1.
Постоянная С в неравенстве (1.7) зависит только от О.
Используя принцип сжимающих отображений и утверждения леммы 1 доказываем, что для любого конечного Т>0 существует единственное решение
р, р, и (,>, г (2)),(р, г«)) е к, х с °(/, х,)
уравнений (1.5).
Лемма 2. Предположим, что в, > 4,, = 1,2.
Пусть «П0, , = 1,2 - решения уравнений (1.5) на
(0,Т)хО и р[п = Б „(и,)). Тогда имеют место
следующие оценки, не зависящие от номера п:
8цр Е| р,п(і ІІ
іє[0,Т ] і=1
ІГі (П)
< с,
(1.8)
і” (і, ж (п))
2 в Соотношения (1.15), (1.16) и (1.22) позволяет со-
5 supЯ\Ри,(tЛ- C'• (19) вершить предельный переход при n i да в слабом
,е[0,т] ,=1 смысле в уравнениях (1.2Ь) и доказать, что предель-
^Р Ё рг,п (,)И (1)(,< С (1 10) ные функции р^ и () удовлетворяют ураВнениям не-
,е[0,т] ,=1 , 11ь2(О) разрывности с диссипацией в смысле тождеств (ш)
Т , 2 Ч теоремы 1.
I [ 1|г7(1) )|| + 1|г7(2) (,)|| |С, < С , (1И) С целью предельного перехода в уравнениях баЛ III п 11ж 1,2 (О) II п «Ж1,2 (О) )
0 ланса импульсов отметим, что с помощью интерполя-
2 Т 2 ционного неравенства из оценок (1.17) и (1.22) следу-
ет неравенство:
ЄХ j|Vp,.,<t)dt й C.
i=1 0 P й < і)
Х P II й C (1.13)
ZJPЛф+иQ„ )-'“'• v ’
pi„U,i4 й L(£ЛП), где
,n n ||L„(qt ) v ..of
Гі. це,) - 2(5в- 3)- 34< гМ < 10. (1.23)
' іУЛ*/ з( в +1) 15 і,'^і-' з
Через С в неравенствах (1.8) - (1.13) обозначены У Иі ’
различные постоянные, зависящие от параметров Далее, °пираясь на оценку (1.11) и °ценки реше-
в., р0,4.,5, но не зависящие от номера п и пара- ний задачи Неймаш с дивергентной правой частью
[5], получаем неравенства:
метра Є.
Доказательство леммы 2 опускаем, но приведем краткую схему применения оценок (1.8) - (1.13) для ц и(,)Ц < і є )
завершения доказательства теоремы 1. є\I ' (р>ип Ц (Єт) - (ег,0) (1.24)
Более подробно, из оценок (1.8), (1.9), (1.11) и їй || < і ц ~ )
(1.12) следует, что II 1 р’пПІ' (а)(Єт ) < (e5,0, є ),
j|Vp.„ V Un I l,i<qt ) й L <^.0),
l|V2P„IUq) й L<^.0, Є),
u,i) і и(i) слабо в L2(0, T; W01,2(Q)) (1.14)
где
Pi,n ^P *-слабо в .=.,a^= 5ві - ЗҐ„.„а>л„.................................... 17 й, < 5
rW
t, = ti(в і ) = —jl— (при Ді > 4 имеем Т7й {i <~r)'
L° (0, T; LPi (Q)) n L00 (0, T; LYi (Q)) (1.15) 41 1б 4
Vpin і Vpt слaбо в L2(QT ) (1.1б)
Из оценок (1.23), (1.24) следует, что последова-и \VpA ограничены в
T ) ()■ тельности {P, „U ?} " {VPi.n} ограничены в про
переходя, если требуется к подпоследовательностям.
Кроме того, из (1.9) и (1.10) вытекает оценка странствах Ь (I; Е^^ (О)) [через Ег,, (^) обозначе-
но замыкание множества Б(^) в норме пространства:
p и(г)
• i.n n
о в <C(£.0), (1.17) Er,(Q) = {g є U(Q): divg є L(Q)}.
L° (G.T;L1+1 (Q)) V °,0/’ V ’
а из уравнения (1.2Ь) и неравенства (1.17) получим, ІІ£ІІгч(а) 1^ ііі(.о ) + ІИіу£ІІі'(а)] [5].
что И поэтому в результате предельного перехода по-
pj Q,,й C(^,0.вг.т). aiS)
лучим, что
(1.25)
ь2(I ;(Ж в‘-1(О)*) 4 5,0 ’ ^ ’’ Ур, е Ь‘, (I; Е 0;,.,, (О )),
Из отмеченных свойств последовательности ти г т ■ -17 ггл\\
(1 р ,, п е Ь ( ; Е 0( О ))
р п) следует, что для некоторой подпоследователь- 2!
, „ _ Выбирая показатели д >_ , на основании
ности, за которой сохраним прежнее обозначение, 4
pin i pt в С0 (I; Lfpeak (Q)). (119) свойств (1.25) может быть доказано, что
Из Леммы Lious-Aubin [5] получим, что р
єC0(I,LPi(Q)),1 й p. <Д.
phn І Pp сильно в L (Qt ) . (1.20
Из (1.20) и интерполяционного неравенства сле
р, п — р, сильно в Ь (бт ) . (1.20) Из оценок решений уравнений Галеркина в нега-
тивных пространствах Соболева может быть доказа-
но, что p „u, ) i pu(i) сильно в L2(I ,W 1,2 (Q))
дует:
_ . _ ч і ^ л-m P u( i) ® u(i) i Pu(i) ® й(i) слаб
pin ip, сильно в L (QT), 1 й p й—Ді. (121) i■„ n n i
■ 3 б p.
Из соотношений (1.14), (1.17), (1.21) получим: L2(I, LAP'+3(Q)).
Отмеченные свойства решений уравнений Галер-(1.22) кина позволяют совершить предельный переход в уравнениях (1.5) и доказать интегральные тождества
Pi '“и) ^ Pu () слабо в L2 (I, Ьв,+6 (:))
2 в
) ^ Pu ) * - слабо в L” (1, lA+1(:)). (ii) теоремы 1.
Литература
1. Rajagopal, K. R. Mehchanics of Mixtures / K. R. Rajagopal, L. Tao. - World Scientific, 1995.
2. Нигматулин, Р. И. Динамика многофазных сред / Р. И. Нигматулин. - М.: Наука, 1987.
3. Мазья, В. Г. Пространства С. Я. Соболева / В. Г. Мазья. - Л.: ЛГУ, 1985.
4. Никольский, С. Л. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. Л. Никольский. -М.: Наука, 1977.
5. Novotny, A. Introduction to the Mathematical Theory of Compressible Flow / A. Novotny. - Oxford University Press, 2004.
Информация об авторах:
Кучер Николай Алексеевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений математического факультета КемГУ, [email protected].
Nikolay A. Kucher - Doctor of Physics and Mathematics, Professor at the Department of Differential Equations, Kemerovo State University.
Краюшкина Марина Владимировна - ассистент кафедры дифференциальных уравнений математического факультета КемГУ, [email protected].
Marina V. Krayushkina - Lecturer at the Department of Differential Equations, Kemerovo State University.
Малышенко Ольга Владимировна - ассистент кафедры дифференциальных уравнений математического факультета КемГУ, [email protected]
Olga V. Malyshenko - Lecturer at the Department of Differential Equations, Kemerovo State University.
