CC BY
24
Разработка статистического подхода к описанию структуры порошковых покрытий и материалов
Г.Г. Винокуров, И.П. Суздалов, О.Н. Попов1
Институт физико-технических проблем Севера СО РАН, Якутск, 677891, Россия 1 Якутский государственный университет им. М.К. Аммосова, Якутск, 677891, Россия
Разработан статистический подход к описанию макроструктуры газотермических покрытий. В качестве характеристики макроструктуры была выбрана локальная плотность покрытия. При построении статистической модели были допущены следующие предположения: локальная плотность покрытия является случайной функцией от расстояния до подложки; изменение локальной плотности по слоям является случайным марковским процессом.
Данный подход сопоставлен с моделью равновесных упаковок частиц порошкового материала. Для описания структуры порошковых материалов также применен метод Монте-Карло.
Development of a statistical approach to description of powder coating and material structure
G.G. Vinokurov, I.P. Suzdalov, and O.N. Popov
The statistical approach to the description of the macrostructure of gas-thermal coatings has developed. The local density of a coating has been chosen as a characteristic of the macrostructure. The following assumptions have been made while constructing the statistical model: local density of a coating is a random function of a distance to a substrate, and change of the local density by layers is a random Markovian process.
The above approach is compared with the model of equilibrium packing of powder material particles. The method of Monte Carlo also is applied for the description of powder material structure.
1. Введение
В настоящее время газотермическое напыление является одним из перспективных способов получения функциональные покрытий из порошковых материалов. Специфика процесса напыления приводит к тому, что газотермическое покрытие характеризуется слоистым и пористым строением. Форма затвердевших частиц и поровое пространство между ними составляют понятие макроструктуры газотермического покрытия [1]. Макроструктура газотермического покрытия формируется под непрерывным воздействием случайных факторов (турбулентность высокотемпературного потока газа, распределение частиц, различная степень нагрева и т.д.). Поэтому для описания макроструктуры наиболее целесообразным является статистический подход.
Целью данной работы являются разработка, анализ и сопоставление статистических подходов для описания структуры порошковых покрытий и материалов.
2. Статистические модели структуры порошковых покрытий и материалов
Авторами в работах [2-4] быш разработан статистический подход к описанию макроструктуры газотермических покрытий. В качестве характеристики макроструктуры была выбрана локальная плотность покрытия. При построении статистической модели были сделаны следующие предположения:
- локальная плотность покрытия является случайной функцией от расстояния до подложки х;
- изменение локальной плотности по слоям покрытия является случайным марковским процессом.
Таким образом, для описания макроструктуры покрытий из порошковых материалов применима теория нестационарных случайных процессов.
В теории процессов спекания существуют работы [5-7], в которых структуру порошковых материалов описывают на основе равновесных случайных упаковок
в Винокуров Г.Г, Суздалов И.П., Попов О.Н., 2004
идентичных частиц. В таком подходе в качестве характеристик фазы выбираются координационные числа частиц порошкового материала и на основе предположения о равновероятности систем статистического ансамбля находят вероятности обнаружения различных фаз [5]:
ехР(-Ь/ Pi)
Рг ="
(1)
X ехР(- Ъ/ рг-)
г-1
где V — число фаз; Ь — множитель Лагранжа, используемый при отыскании условного экстремума; рг- — безразмерная плотность г-й фазы.
3. Сопоставление статистических подходов для описания структуры порошковых покрытий и материалов
Для газотермических покрытий локальная плотность р как случайная функция характеризуется плотностью условной вероятности F = F(х, р/х0, р0), которая удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка. В частности, при газотермическом напылении на гладкую подложку вблизи нее практически достигается плотность сплошного материала рт и частное решение уравнения Фоккера-Планка для безразмерной локальной плотности г = р/рх имеет вид [2]:
F =
1 + 2^ ехр
п=1
Вп2 п
2 2,
2
рТ
cos
/ л лпр
Рх
cos пп
(2)
где В — коэффициент в уравнении Фоккера-Планка; х — расстояние до подложки.
На рис. 1, а приведены графики данной функции на различных расстояниях от подложки. Как видно из графиков, вблизи подложки функция имеет резкий максимум, который при удалении от подложки сглаживается. Теоретически при х ^ ^ функция (2) стремится к равно-
мерному распределению F = 1. Следует отметить, что для данной функции параметром нестационарности является расстояние до подложки.
Распределение безразмерной средней плотности покрытия по слоям можно получить усреднением: 1
(г (х)) = | rFdr. (3)
0
Для сопоставления с характеристиками равновесных упаковок частиц предположим, что локальная плотность порошкового материала и значения координационных чисел частиц являются непрерывными случайными величинами. Данное предположение обосновывается тем экспериментальным фактом, что газотермические покрытия вследствие плавления частиц в высокотемпературной газовой струе характеризуются высокой степенью неоднородности и структуру покрытия можно характеризовать непрерывными случайными величинами. К тому же такой подход позволяет избавиться от некоторой произвольности при разбиении структуры материала на фазы и при усреднении статистических характеристик по закону распределения (1). Тогда заменяя сумму интегрированием в формуле (1), получим функцию распределения для безразмерной плотности частиц:
ехр(-Ь/г)
Г=-
(4)
| ехр(- Ь/г)6г
На рис. 1, б приведены графики данной функции распределения при положительных значениях множителя Лагранжа. Как видно из графиков, в интервале [0;1] наибольшее значение функции также наблюдается вблизи плотности сплошного материала; с уменьшением множителя Лагранжа происходит сглаживание функции. Как и в случае описания газотермических по-
Рис. 1. Функция распределения локальной плотности газотермического покрытия (а) при различных расстояниях от подложки: х = 0.2 (1); 0.4 (2); 2 мм (5); функция распределения плотности равновесных упаковок частиц (б) при различных значениях множителя Лагранжа: Ь = 1.5 (1); 4.5 (2); 10 (5)
0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
X, мм
Рис. 2. Распределения средней плотности газотермического покрытия по его толщине: модель равновесный упаковок идентичных частиц (1); статистический подход на основе марковских процессов (2)
крытий существует предельный переход функции (4) к равномерному распределению/ = 1 при Ь ^ 0.
Сравнение графиков функций (2) и (4) показывает их качественное сходство. Различие в поведении функций вблизи плотности сплошного материала связано с большей степенью расплавления частиц порошкового материала в газотермическом покрытии. Рассмотрим нестационарный марковский процесс как последовательность равновесных состояний случайной упаковки частиц порошкового материала. Тогда из предельных выражений функций следует предположить, что параметр нестационарности функции условной вероятности — безразмерное расстояние до подложки х ' = вХ рТ связан со множителем Лагранжа Ь соотношением обратной пропорции:
где а и с — постоянные.
Известно, что физико-механические характеристики порошкового материала существенно зависят от его пористости. Поэтому важно сопоставить результаты вычисления средней плотности материала на основе обоих статистических подходов. На рис. 2 приведены результаты расчетов распределения средней безразмерной плотности газотермического покрытия по его толщине. Расчеты проводились по формуле (3) для функций распределения (2) и (4) с учетом зависимости (5) для множителя Лагранжа и безразмерного расстояния. Как видно из графика, расчеты показывают удовлетворительное согласие результатов обоих статистических подходов.
4. Применение методов Монте-Карло для описания структуры порошковых покрытий и материалов
Статистическое моделирование структуры порошковых покрытий и материалов можно разработать на основе методов Монте-Карло [8, 9]. Целью такого подхода является выявление основных статистических закономерностей порошковых покрытий и материалов.
Для моделирования покрытий из порошковых материалов рассматривается монодисперсный поток двумерных частиц круглой формы. Начальное положение частиц в потоке задается генератором случайных чисел. Это согласуется с тем фактом, что в процессе газотермического напышения частицы в потоке практически не взаимодействуют друг с другом. Предполагается, что при соприкосновении частицы с подложкой или с другой частицей происходит застывание без деформации. Таким образом образуется случайная упаковка круглых частиц на полуплоскости х > 0 (рис. 3, а).
Рис. 3. Случайная упаковка частиц на плоскости в методе Монте-Карло: моделирование покрытий из порошковых материалов (а); моделирование порошковых материалов, полученных прессованием (б)
Для моделирования порошковых материалов, полученных прессованием, рассматривается двумерная случайная упаковка. Начальное положение частиц в упаковке также задается генератором случайных чисел при начальной средней пористости порошковой засыпки. Эволюция исходной матрицы при прохождении волны прессования описывается сокращением столбцов и последующим случайным заполнением из условия закона сохранения вещества (рис. 3, б).
Для определения локальной плотности в некоторой области случайной упаковки необходимо рассчитать суммарную площадь частиц и их фрагментов, входящих в нее. Относительной локальной плотности покрытия в двумерном случае соответствует отношение площадей:
где 5 — площадь рассматриваемой области; 5 Р —суммарная площадь частиц и их фрагментов, входящих в область.
Известно, что предельная плотность двумерных упаковок круглых частиц достигается при их регулярном гексагональном расположении и равна:
Ро = ^ - ■ т
Поэтому случайную упаковку частиц на плоскости целесообразно характеризовать отношением:
При такой нормировке обеспечивается область изменения относительной локальной плотности упаковки: 0 < r < 1.
Для вычислений была использована программа, составленная в среде MathCAD7 PRO. С помощью этой программы рассчитывались статистические характеристики локальной плотности случайных упаковок в методах Монте-Карло.
5. Выводы
Статистическое описание структуры газотермического покрытия на основе теории марковских процессов сопоставлено с моделью равновесных упаковок частиц
порошкового материала. Установлена однозначная связь с параметрами обоих подходов — с безразмерным расстоянием до подложки газотермических покрытий и множителем Лагранжа равновесных упаковок частиц порошкового материала. Таким образом, неравновесный случайный марковский процесс формирования структуры газотермического покрытия можно рассматривать как последовательность равновесных состояний случайной упаковки частиц порошкового материала.
Показано, что результаты расчета распределения средней плотности покрытия по обоим статистическим подходам удовлетворительно согласуются.
Для выявления основных закономерностей формирования описания структуры порошковых покрытий и материалов разработаны статистические подходы на основе методов Монте-Карло.
Литература
1. Кудинов В.В., Калита В.И., Коптева О.Г. Исследование процесса формирования макро- и микроструктуры частиц газотермических покрытий // Физика и химия обработки материалов. -1992. -№ 4. - С. 88-92.
2. Винокуров Г.Г., Болотина Н.П., Ларионов В.П. Расчет плотности газотермических покрытий // Физика и химия обработки материалов. - 1993. - № 1. - С. 96-100.
3. Винокуров Г.Г., Ларионов В.П. Статистические характеристики локальной плотности газотермических покрытий // Физика и химия обработки материалов. - 1999. - № 2. - С. 43-45.
4. Винокуров Г.Г. Компьютерное моделирование статистических характеристик макроструктуры газотермических покрытий // Физика и химия обработки материалов. - 2002. - № 3. - С. 29-32.
5. Николенко А.Н., Ковалъченко М.С. Анализ случайной упаковки идентичных частиц. I. Общая теория // Порошковая металлургия. -1985. - № 11. - С. 38-41.
6. Николенко А.Н., Ковалъченко М.С. Анализ случайной упаковки идентичных частиц. II. Структурные особенности упаковки дисков на плоскости // Порошковая металлургия. - 1985. - № 12. - С.38-40.
7. Николенко А.Н. Мезоскопические проблемы концепции иерархической структуры материалов // Порошковая металлургия. -1998. - № 12. - С. 84-92.
8. Винокуров Г.Г., Архангелъская Е.А., Ларионов В.П. Статистическое
моделирование формирования макроструктуры газотермических покрытий // Труды 6-й Международной конференции «Пленки и покрытия 2001», апрель 2001 г., С.-Петербург. - 2001. - С. 67-70.
9. Vinokurov G.G. A computer model of developing the macrostructure of gas-thermal coatings // VI International Conference «Computer-Aided Design of Advanced Materials and Technologies», March 2931, 2001, Tomsk. - Tomsk: ISPMS SB RAS, 2001. - P. 144-145.
