CC BY
46
Разработка двумерной модели Монте-Карло для описания макроструктуры порошковых материалов при прессовании
Г.Г. Винокуров, О.Н. Попов1, Л.Н. Бурнашева1
Институт физико-технических проблем Севера СО РАН, Якутск, 677980, Россия 1 Якутский государственный университет им. М.К. Аммосова, Якутск, 677891, Россия
Для описания изменения макроструктуры порошковых материалов в процессе прессования разработана двумерная модель Монте-Карло. В качестве количественной характеристики макроструктуры выбраны координационные числа частиц и пористость порошкового материала. Разработана программная реализация двумерной модели Монте-Карло на языках Pascal и Delphi. Проведены расчеты зависимостей продольных и поперечных координационных чисел частиц от изменения пористости материала при прессовании. Показано, что разработанный метод Монте-Карло позволяет качественно описать процесс уплотнения порошковых материалов при прессовании. Получена нижняя оценка порога перколяции в процессе прессования порошковых материалов.
Development of a 2D Monte-Carlo model for describing the macrostructure
of powder materials at pressing
G.G. Vinokurov, O.N. Popov1, and L.N. Bumasheva1
Institute of Physico-Technical Problems of the North SB RAS, Yakutsk, 677980, Russia 1 M.K. Ammosov Yakutsk State University, Yakutsk, 677891, Russia
A 2D Monte-Carlo model is developed to describe changes in the macrostructure of powder materials during pressing. The coordination numbers of particles and powder material porosity are taken as a quantitative characteristic of the macrostructure. The software implementation of the 2D Monte-Carlo model in Pascal and Delphi is carried out. We calculate the dependences of longitudinal and transverse coordination numbers of particles on porosity variation of the material at pressing. It is shown that the developed Monte-Carlo method allows qualitatively describing condensation of powder materials at pressing. The bottom estimate of percolation threshold during pressing of powder materials is obtained.
1. Введение
В настоящее время для упрочнения поверхности деталей машин и механизмов, производства инструментов широкое применение получили различные высокоэнергетические методы порошковой металлургии. Порошковые покрытия и материалы, полученные высокоэнергетическими методами, характеризуются высокой степенью неоднородности, слоистым строением и пористостью. Это обусловлено спецификой технологических процессов, заключающейся в быстропротекающем высокотемпературном (до температуры плавления) нагреве частиц материала и их последующем высокоскоростном охлаждении и застывании. Форма частиц порошко-
вого материала и поровое пространство между ними рассматриваются как макроструктура [1]. Исследование макроструктуры позволяет научно обосновать технологию получения порошковых материалов с заданными физико-механическими свойствами, а также обеспечивает прогнозирование их эксплуатационных характеристик.
Макроструктура порошковых материалов формируется под воздействием многочисленных случайных факторов (распределение частиц по размерам, различная степень нагрева и деформации при прессовании и т.д.). Поэтому для описания макроструктуры порошковых материалов наиболее целесообразным является статистический подход.
© Винокуров Г.Г, Попов O.H., Бурнашева Л-H., 2006
Перспективным направлением статистического описания макроструктуры порошковых покрытий и материалов является разработка и применение различных моделей Монте-Карло [2-10].
Так, в работах [2, 3] построена модель, основанная на рассмотрении спекания как эволюции структуры сфер с заданным законом распределения диаметров. Для изучения твердофазного спекания введен комплекс геометрических моделей, описывающий формоизменение частиц порошкового материала. При исследовании заключительных стадий спекания и процессов рекристаллизации в качестве основной геометрической модели принята структура трехмерных полиэдров. В работе [4] авторы продолжают исследование эволюции полиэдрических структур, построенных на структуре дисков, которая образовалась в результате компьютерного моделирования начальных стадий процесса спекания. В данных работах [2-4] на основе предложенного подхода изучены явления зонального обособления и нормального роста зерен при спекании порошковых материалов.
Анализу случайной двумерной упаковки частиц посвящена работа [5], в ней относительная плотность рассматривается как основная количественная характеристика фаз материала. Фазы порошкового материала определены как объединения фрагментов наиболее плотных укладок, которыми можно заполнить плоское пространство детерминированным образом при всех допустимых координационных числах. Разработанная модель использована в описании технологического процесса автоматизированной укладки параллельных проводов одинакового сечения.
В работах [6-9] для описания макроструктуры порошковых покрытий разработана и применена двумерная модель Монте-Карло случайных упаковок частиц. В данных работах определены основные статистические характеристики макроструктуры порошковых покрытий: распределения плотности, ее дисперсии и автокорреляционной функции. Применение модели Монте-Карло случайных упаковок показало, что она удовлетворительно отражает основные статистические закономерности формирования макроструктуры газотермических покрытий.
Анализ приведенных и других работ по разработке моделей Монте-Карло порошковых материалов показывает, что в данных подходах задается определенная геометрическая форма частиц, вычисление характеристик макроструктуры проводится компьютерным моделированием. Важнейшими количественными характеристиками макроструктуры порошковых материалов, определяющими их физико-механические свойства, являются координационные числа частиц и пористость (или относительная плотность). Как показывают работы по моделированию макроструктуры методом Монте-Карло, эти характеристики являются основным объектом исследования и могут быть удовлетворительно оценены из ре-
зультатов вычислений, их изменение качественно отражает основные закономерности формирования макроструктуры порошковых материалов при спекании и напылении.
Таким образом, разработка и применение модели Монте-Карло для описания изменения макроструктуры порошковых материалов, полученных высокоэнергетическими методами, является актуальной и перспективной научной проблемой, постоянно требующей развития и решения.
Целью данной работы является разработка двумерной модели Монте-Карло для описания макроструктуры порошковых материалов при прессовании и выявление основных закономерностей изменения количественных характеристик макроструктуры.
2. Разработка двумерной модели Монте-Карло для исследования макроструктуры порошковых материалов
Двумерная клеточная модель Монте-Карло формирования макроструктуры порошков при одностороннем прессовании построена на основе статистического подхода, предложенного в работе [10]. В качестве количественных характеристик макроструктуры выбраны продольные, поперечные (к направлению прессования) координационные числа частиц и пористость при каждом шаге прессования.
Начальное состояние прессуемого порошкового материала задается прямоугольной матрицей с размерностью 1хт, которая случайным образом заполняется частицами порошка (в ячейке может находиться только одна частица). Следует отметить, что начальная пористость в двумерных моделях задается с учетом заполнения частицами сечений трехмерного порошкового тела [8, 9].
В начальном состоянии матрицы пористость порошкового материала равна
П =
1т - к 1т ’
(1)
где к — число заполненных клеток в матрице.
Состояние макроструктуры порошкового материала на j-м шаге получается из предыдущего состояния переносом частиц первого столбца по горизонтали вправо в ближайшую незаполненную ячейку, после переноса всех заполненных элементов первый столбец удаляется. Таким образом, процессу одностороннего прессования порошкового материала соответствует последовательное сокращение крайних столбцов матрицы. Если все ячейки в строке окажутся заполненными (возникновение перколяции), процесс прессования считается законченным. Пористость макроструктуры П^ на j-м шаге вычисляется по формуле
п = 1(т - у) - к
1 I (т - j) '
Изменение макроструктуры порошкового материала описывается зависимостью среднего координационного числа n (продольного или поперечного) от пористости Пj, усреднение проводится по всем частицам:
<П j) =1 in (П j), (3)
k i=l
где ni — продольные или поперечные координационные числа для i-й частицы.
В разработанной модели Монте-Карло на каждом шаге прессования вычислялись соответствующие матрицы продольных и поперечных координационных чисел частиц. Для каждого j-го шага усреднением по матрице вычислялись среднее продольное координационное число п)р и среднее поперечное координационное число nf по формуле (3).
Данная модель Монте-Карло одностороннего прессования порошковых материалов реализована программами на языках Pascal и Delphi. Составленная программа позволяет провести расчеты изменения макроструктуры на сетках размером до 1000x1000.
На рис. 1 показан пример изменения фрагмента макроструктуры в процессе одностороннего прессования (исходная матрица на 75 % заполнена частицами при помощи генератора случайных чисел Random). Исходное равномерное распределение частиц соответствует начальному состоянию формируемого материала с пористостью, равной 0.25. Далее, с каждым шагом прессования происходит сдвиг крайнего левого столбца вправо, что приводит в каждой строке к заполнению ближайших от левого края свободных ячеек (пор) и сокращению одного столбца матрицы. Таким образом, после-
дующие фрагменты матрицы отражают макроструктуру порошкового материала после соответствующих шагов. В последней (нижней справа) матрице возникает перко-ляция и процесс прессования прекращается.
Рассмотрим результаты вычислений, полученные по разработанной модели Монте-Карло.
3. Результаты расчета средних координационных чисел частиц
Как показывает обзор и анализ работ по исследованию макроструктуры, ее основными количественными характеристиками являются безразмерная плотность (или пористость) и координационные числа частиц. В связи с этим разработанная модель Монте-Карло была использована для построения зависимости среднего координационного числа п от пористости П прессуемого порошкового материала.
Сначала для более детального исследования изменения макроструктуры в качестве начального состояния была взята матрица с безразмерной плотностью г = 0.25 в начале прессования.
Результаты расчетов приведены на рис. 2 графиками 1 и 2 функций и*р = ипр(П)/2 и п*0 = ип°(П)/2, где и*р и и*0 — соответственно нормированные продольные и поперечные координационные числа с нормирующими множителями, равными 0.5. Нормировочный множитель введен для сопоставления с данными других моделей (в том числе и трехмерных), описывающих макроструктуру порошкового материала. На графиках 1 и 2 значения функций определены по одной реализации модели. Видно, что координационные числа с
7 шаг 8 шаг 9 шаг
Рис. 1. Изменение фрагмента макроструктуры в процессе одностороннего прессования (начальная пористость 0.25)
с N ❖ 1 О 2 5
Ч
■ Л
) 0. 0 0. 4 ц 0. 8
Рис. 2. Зависимость нормированного координационного числа от пористости (начальная пористость 0.75): продольное (1); поперечное (2); продольное усредненное (3); поперечное усредненное (4); равновесная упаковка частиц (5)
уменьшением пористости монотонно возрастают от ~0.2 до ~0.8, существенного статистического разброса не наблюдается.
Для обеспечения достоверности данных при моделировании и сопоставления с результатами других авторов усреднением по реализациям модели были рассчитаны сглаженные кривые продольных и поперечных координационных чисел. На рис. 2 кривыми 3 и 4 изображены сглаженные функции я*р и я*0 (усреднение проводилось по десяти реализациям модели). Установлено, что полученные результаты удовлетворительно согласуются с данными, полученными в работе [10].
Прямая линия 5 на рис. 2 соответствует однородной равновесной упаковке частиц, которая получается случайным размещением частиц при фиксированной пористости. Как видно из графиков на рис. 2, с началом прессования в модели Монте-Карло происходит отклонение координационных чисел в большую сторону, что связано с повышением плотности на границе. Далее, к началу перколяции макроструктура также становится более однородной, поэтому значения координационных чисел стремятся к прямой линии.
Как видно на рис. 2, в начале процесса прессования значения продольных и поперечных координационных чисел близки, однако в ходе изменения макроструктуры значения продольных координационных чисел начинают превышать соответствующие значения поперечных координационных чисел. Это обусловлено возникновением анизотропии макроструктуры по направлению прессования.
Для приближения к реальным порошковым материалам расчеты проводились для матрицы с безразмерной плотностью г = 0.75 в начале прессования.
На рис. 3 приведены функции нормированных продольных и поперечных координационных чисел я*р =
-^1 -о~2
0.10 0.15 0.20 0.25
ц
Рис. 3. Зависимость нормированного координационного числа от пористости (начальная пористость 0.25): продольное (1); поперечное (2)
= п пр (П )/2
и пп0 = пп0 (П)/2 (соответственно кривые 1 и 2). Как видно из графиков, координационные числа с уменьшением пористости монотонно возрастают, существенного статистического разброса также не наблюдается. Сравнение рис. 2 и 3 показывает, что макроструктура при высокой плотности является более однородной, поэтому координационные числа примерно расположены на прямой линии, соответствующей равновесной упаковке частиц. Следовательно, при малых значениях пористости порошковых материалов для упрощения вычислений становится обоснованным применение равновесных моделей Монте-Карло.
Выявленные при моделировании методом Монте-Карло закономерности изменения координационных чисел частиц могут быть использованы в будущем для сопоставления с экспериментальными данными макроструктуры.
4. Описание процесса уплотнения порошковых материалов при прессовании
Как известно, высокоэнергетическим способам получения порошкового материала соответствуют следующие основные стадии уплотнения порошков [11]:
- стадия макродеформации объема частиц порошка, которая характеризуется значительной деформацией материала объема частиц и истечением его в приконтакт-ных областях;
- стадия объемного истечения, которая характеризуется внедрением материала частиц в межчастичные поры.
Уплотнение порошков сопровождается физико-химическими процессами в области межчастичных контактов, повышением уровня напряжений и деформаций материала частиц. Данные факторы практически недоступны для непосредственного экспериментального исследования и определяются в основном давлением прессования, приложенным извне к порошковому материалу. Поэтому существуют теоретические и полуэмпири-
ческие зависимости структуры от давления для данных стадий уплотнения материала, полученные во многих работах [11-14].
С целью описания процесса уплотнения порошковых материалов разработанная модель Монте-Карло была использована для исследования изменения средней относительной плотности г прессуемого порошкового материала. Начальное состояние представлялось матрицами с размерами до 1 000х 1000, моделирующими порошковый материал с безразмерной плотностью г от 0.25 до 0.75 в начале прессования. Для обеспечения достоверности результатов относительная плотность усреднялась по множеству реализаций (от 100 до 1000 реализаций).
На рис. 4 представлены результаты расчетов распределения относительной плотности г по столбцам матрицы х (по сечению порошкового материала с начальной плотностью г = 0.75) в зависимости от шага прессования. Как видно из графика, относительная плотность в начале прессования резко повышается вблизи границы материала, функция плотности не имеет точки перегиба. При дальнейших шагах прессования плотность растет с глубиной образца материала. Одновременно распределение плотности становится более пологим, увеличивается размер переходной области повышения плотности, появляется точка перегиба функции.
Изменение давления по распределению относительной плотности в сечении порошкового материала можно определить, воспользовавшись выражениями для разных стадий прессования [11-14]. В работе [14] приведена зависимость давления Р от относительной плотности на стадии объемного истечения порошкового материала:
Со 02 г 1п' 1
1-
где С ~ 2.5...3.0.
Результаты расчетов давления по этой формуле с использованием данных моделирования относительной плотности по методу Монте-Карло (для начальной плотности г = 0.75) представлены на рис. 5. Графики распределения давления по столбцам матрицы х (по сечению порошкового материала) приведены в зависимости от шага прессования. Как видно из графика, давление в начале прессования резко повышается вблизи границы материала. При дальнейших шагах прессования давление увеличивается с глубиной, одновременно распределение плотности становится более пологим, увеличивается размер переходной области повышения давления.
Таким образом, применение метода Монте-Карло позволяет качественно описать процесс уплотнения порошковых материалов при прессовании; полученные оценочные данные распределения относительной плотности и давления могут быть использованы в исследовании физико-химических процессов в области межчас-тичных контактов, уровня напряжений и деформаций материала частиц.
5. Исследование возникновения перколяции в модели Монте-Карло
В последнее время большой интерес вызывает теория перколяции, которая описывает образование связанных объектов в неупорядоченных средах и имеет многочисленные приложения в различных задачах о случайных процессах.
Результаты моделирования появления перколяции по разработанному подходу могут использоваться для исследования следующих аспектов процесса прессования порошковых материалов:
- влияния размеров частиц (или неоднородностей материала) на структурный фазовый переход — возникновение перколяции; здесь в отличие от бесконечных
1.0
0.9
0.8
А СЮ X А °0 А О К -Ж+ ж ж -н-ж -н- X +■ ЗХ Ж Ж ж ♦ 1 □ 2
□ А О А С < ЖХ ж - ) X ж ■ ж + ж -н- ж А 3
° А □ А О х СО ж о х + ж + ж + ж + > о 4 х 5
X сю > о % -Нс 4-X +- ш. +н- ж ж ж + 6 Ж 7
СШ і гтпп °<ю *А <332 МУУуУМ с ж + X «+||||| "як
20
40
X
60
80
Рис. 4. Распределение относительной плотности по сечению порошкового материала в зависимости от шага прессования: исходное состояние (1); 1 шаг (2); 3 шаг (3); 6 шаг (4); 9 шаг (5); 12 шаг (6); 15 шаг (7); начальная плотность г = 0.75; С = 3; а02 =100 МПа
Рис. 5. Распределение давления по сечению порошкового материала в зависимости от шага прессования: исходное состояние (1); 1 шаг (2); 3 шаг (3); 6 шаг (4); 9 шаг (5); 12 шаг (6); 15 шаг (7); начальная плотность г = 0.75; С = 3; а 0.2 =100 МПа
Рис. 6. Функция распределения перколяций в зависимости от размера расчетной сетки; начальная пористость 0.25
Рис. 7. Функция плотности распределения перколяций в зависимости от размера расчетной сетки; начальная пористость 0.25
систем в теории перколяции, образование стягивающего кластера-перемычки частиц порошкового материала происходит ниже порога перколяции и распределено по конечному интервалу относительной плотности;
- оценочного расчета основных характеристик кластеров частиц порошкового материала (средний размер, корреляционная длина) вблизи структурных фазовых переходов.
Поэтому в данной работе исследование возникновения перколяции в разработанной модели Монте-Карло проведено с целью выявления влияния размера матрицы (сетки) и оценки порога перколяции, который входит в выражения для характеристик кластеров частиц порошкового материала [15].
Для определения функции распределения, плотности распределения и порога перколяции разработана отдельная программная реализация модели на языках Pasсal и Бе1рЫ. Составленная программа позволяет провести исследование возникновения перколяции на сетках размером до 1000х1000.
На рис. 6 приведены функции распределения F(г) перколяций при расчетных сетках с размерами: 50х50, 100x100, 200x200, 1000х1000 для начальной плотности заполнения 0.75. Для обеспечения достоверности вычисление каждого значения функции распределения перколяций проведено по 1000 реализаций модели Монте-Карло. Как видно из графиков, при меньших размерах сетки возникновение перколяции распределено по более широкому интервалу относительной плотности. При увеличении размера сетки функция распределения перколяций возрастает более резко, поэтому точность определения порога перколяции возрастает.
Для определения порога перколяции проведены вычисления плотности распределения /(г) перколяций при расчетных сетках с размерами: 50х50, 100x100, 200x200, 1000х1000 при начальной плотности заполнения от 0.25 до 0.75 (рис. 7). Как видно из графиков на рис. 7, при меньших размерах сетки возникновение пер-коляции распределено по более широкому интервалу
относительной плотности; увеличение размера сетки приводит к сужению интервала и смещению в сторону больших плотностей. Из рис. 7 видно, что для данной разработанной модели Монте-Карло порог перколяции составляет не менее рс = 0.94...0.96. Более точные расчеты позволили предположить, что нижняя оценка порога перколяции составляет = 0.95, т.е. рс > 0.95.
Полученная методом Монте-Карло данная оценка порога перколяции может быть использована для расчета основных характеристик кластеров частиц порошкового материала (средний размер, корреляционная длина) вблизи структурных фазовых переходов.
6. Выводы
Показано, что важнейшими количественными характеристиками макроструктуры порошковых материалов, определяющими их физико-механические свойства, являются координационные числа частиц и пористость (или относительная плотность). Как показывают работы по моделированию макроструктуры методом Монте-Карло, эти характеристики являются основным объектом исследования и могут быть удовлетворительно оценены из результатов вычислений, их изменение качественно отражает основные закономерности формирования макроструктуры порошковых материалов при спекании и напылении.
Проведены расчеты зависимостей средних продольных и поперечных координационных чисел частиц от изменения пористости материала при прессовании.
Выявлено, что координационные числа монотонно возрастают с уменьшением пористости, существенного статистического разброса не наблюдается. Установлено, что при малой исходной плотности материала с началом прессования происходит увеличение координационных чисел от значений, соответствующих равновесной упаковке частиц. Это связано с возникновением неоднородности большей плотности на границе. Далее, к началу перколяции макроструктура также становится
более однородной, поэтому координационные числа сближаются с равновесными значениями.
По разработанной модели Монте-Карло рассчитаны сглаженные кривые продольных и поперечных координационных чисел, усредненные по реализациям. Выявлено, что полученные результаты удовлетворительно согласуются с данными других работ по моделированию процессов прессования порошковых материалов. Показано, что структура при высокой плотности является более однородной, вследствие чего координационные числа близки к значениям, соответствующим равновесной упаковке частиц.
Показано, что разработанный метод Монте-Карло позволяет качественно описать процесс уплотнения порошковых материалов при прессовании. Установлено, что относительная плотность и давление в начале прессования резко повышаются вблизи границы материала. Далее, в процессе прессования плотность и давление увеличиваются с глубиной, одновременно функции распределения плотности и давления становятся более пологими, растет ширина переходной области повышения плотности и давления.
В разработанной двумерной модели Монте-Карло исследовано возникновение перколяции в процессе одностороннего прессования. Для определения функции распределения, плотности распределения и порога пер-коляции разработана программная реализация модели на языках Равса1 и Бе1рЫ.
Установлено, что при меньших размерах сетки возникновение перколяции распределено по более широкому интервалу относительной плотности, увеличение размера сетки приводит к сужению этого интервала и смещению в сторону больших плотностей. По разработанной модели проведена оценка порога перколяции для процесса прессования, который составил не менее =0.95. Полученная методом Монте-Карло данная оценка порога перколяции может быть использована для расчета основных характеристик кластеров частиц порошкового материала (среднего размера, корреляционной длины).
Литература
1. Kyдинов B.B., Kmuma B-И., Konmeвa O-Г. Исследование процесса формирования макро- и микроструктуры частиц газотермических покрытий // Физика и химия обработки материалов. - 1992. -
№ 4. - С. 88-92.
2. Kaдyшнuкoв P.M., Бeкemoв A.P., Aлueвcкuй Д-M., Aлueвcкuй B.M. Компьютерное моделирование эволюции микроструктуры поли-дисперсных материалов при спекании. Основные положения // Порошковая металлургия. - 1991. - № 2. - С. 18-24.
3. Kaдyшнuкoв P.M., Бeкemoв A.P., Aлueвcкuй Д-M., Aлueвcкuй B.M. Компьютерное моделирование эволюции микроструктуры поли-дисперсных материалов при спекании. Зональное обособление // Порошковая металлургия. - 1991. - № 5. - С. 5-10.
4. Kaдyшнuкoв P.M., Бeкemoв A.P., Именин И.Г. Компьютерное моделирование эволюции микроструктуры полидисперсных материалов при спекании. Нормальный рост зерен // Порошковая металлургия. - 1991. - № б. - С. 21-24.
5. Huколєнко A.H., Koвaльчeнкo M.C. Анализ случайной упаковки иден-
тичных частиц. Структурные особенности упаковки дисков на плоскости // Порошковая металлургия. - 1985. - № 12. - С. 38-40.
6. Buнoкypoв ГГ. Компьютерное моделирование статистических характеристик макроструктуры газотермических покрытий // Физика и химия обработки материалов. - 2002. - № 3. - С. 29-32.
7. Buнoкypoв ГГ., Попов O.H. Статистический подход к описанию формирования макроструктуры газотермических покрытий // Наука — производству. - 2003. - Т. б4. - № 8. - С. 22-24.
8. BuнoкypoвГ.Г., Apxaнгeльcкaя E.A., ЛapuoнoвB.П. Статистическое
моделирование формирования макроструктуры газотермических покрытий // Труды б-й Международной конференции «Пленки и покрытия 2001», апрель 2001 г., С.-Петербург. - С. б7-70.
9. Buнoкypoв Г.Г., Сmenaнoвa K.B. Применение модели случайных упаковок для описания макроструктуры напыленных покрытий // Технология металлов. - 2005. - № 2. - С. 37-39.
10. ^мишкийB.M., Huколєнко A.H., Сuдopeнкo И.Я. Двумерная стохастическая модель уплотнения порошковых материалов // Порошковая металлургия. - 1982. - № 2. - С. 29-31.
11. Paдoмыlceльcкuй И.Д., Щepбaнь ЙИ. Некоторые особенности уплотнения порошков на разных стадиях прессования // Порошковая металлургия. - 1980. - № 11. - С. 12-19.
12. Бе^^^^ов HM. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. - М.: Высшая школа, 19б8. - 512 с.
13. Пempoвa E.M., Щepбaнь H.И., Слепцов B.M. Об уплотняемости порошков Fe, Co и Ni с добавками карбидов циркония, ниобия и молибдена // Порошковая металлургия. - 19б9. - № 7. - С. 7-12.
14. Huкoлaeв A.H. Связь между давлением и плотностью прессовок из металлических порошков // Порошковая металлургия. - 1975.-№ б. - С. 32-42.
15. TapaceвuчЮ.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. -М.: Едиториал УРСС, 2002. - 112 с.
