CC BY
46
УДК 621.193. 22
О.Н. Попов, Л.Н. Бурнашева, Г.Г. Винокуров
РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СТРУКТУРЫ ПОРОШКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ПРЕССОВАНИИ
Для описания структуры порошковых материалов в процессе одностороннего прессования разработана двумерная модель Монте-Карло. В качестве количественной характеристики структуры выбраны координационные числа частиц и пористость порошкового материала. Разработана программная реализация двумерной модели Монте-Карло на языках Равкаї и Бе1рЫ. Исследовано возникновение перколяции в процессе прессования порошковых материалов
Введение
В настоящее время для упрочнения поверхности деталей машин и механизмов, производства инструментов широкое применение получили различные методы порошковой металлургии. Наиболее перспективными из них являются высокоэнергетические методы получения функциональных покрытий и материалов (напыление, взрывная обработка, прессование и спекание). Порошковые покрытия и материалы характеризуются высокой степенью неоднородности, слоистым строением и пористостью, что обусловлено именно спецификой высокоэнергетических процессов, заключающихся в быстропротекаю-щем высокотемпературном (до температуры плавления) нагреве частиц материала и их последующем высокоскоростном охлаждении и застывании. Форма частиц порошкового материала и поровое пространство ме^ду ними называется структурой. Важнейшими количественными характеристиками структуры порошковых материалов являются координационные числа частиц и пористость (или плотность), которые определяют их физико-механические свойства.
Таким образом, исследование структуры порошковых материалов позволяет научно обосновать технологию их получения с заданными физико-механическими свойствами, а также обеспечивает прогнозирование их эксплуатационных характеристик.
Наряду с экспериментальными методами исследований структуры порошковых покрытий и материалов перспективное применение получили модели Монте-Карло [1-8], в которых задается геометрическая форма частиц, а вычисление характеристик структуры проводится компьютерным моделированием.
Так, в работах P.M. Кадушникова и др. [1, 2] построена модель, основанная на рассмотрении спекания как эволюции структуры сфер с заданным законом распределения диаметров. Для описания твердофазного спекания введен комплекс геометрических моделей, описывающий формоизменение частиц порошкового материала. При исследовании заключительных стадий спекания и процессов рекристаллизации в качестве основной геометрической модели принята структура трехмерных полиэдров.
В работе P.M. Кадушникова и др. [3] исследована эволюция полиэдрических структур, построенных на
структуре дисков, которая образовалась в результате компьютерного моделирования начальных стадий процесса спекания.
Анализу случайной двумерной упаковки частиц посвящена работа А.Н. Николенко и М.С. Ковальченко [4], в ней определены безразмерные плотности как основные характеристики фаз. Фазы порошкового материала определены как объединения фрагментов наиболее плотных укладок, которыми можно заполнить плоское пространство детерминированным образом при всех допустимых координационных числах. Результаты разработанной модели использованы в описании технологического процесса автоматизированной укладки пучков параллельных проводов одинакового сечения.
В работах Г.Г. Винокурова [5], Г.Г. Винокурова,
О.Н. Попова [6], Г.Г. Винокурова и др. [7] для описания структуры порошковых покрытий разработана двумерная модель Монте-Карло случайных упаковок частиц на плоскости. В данных работах определены основные статистические характеристики структуры порошковых покрытий: распределения плотности, её дисперсии и автокорреляционной функции.
Таким образом, разработка и применение модели Монте-Карло для описания изменения структуры порошковых материалов при высокоэнергетических методах получения являются актуальной научной проблемой, требующей постоянного своего развития и решения.
Целями данной работы являются разработка и применение двумерной модели Монте-Карло для описания изменения структуры порошковых материалов и исследования возникновения перколяции при одностороннем прессовании.
Описание разработанной двумерной модели Монте-Карло
В данной работе разработана двумерная клеточная модель Монте-Карло формирования структуры порошков при одностороннем прессовании. Модель построена на основе статистического подхода, предложенного в работе В.М. Каминского и др. [8]. В качестве количественных характеристик структуры выбраны продольные, поперечные (к направлению прессования) координационные числа частиц и пористость при каждом шаге прессования.
Начальное состояние формируемого порошкового материала задается прямоугольной матрицей размерности (1Чш), которая случайным образом заполняется частицами порошка (в ячейке может находиться только одна частица). Начальная пористость в двумерных моделях задается с учетом заполнения частицами сечений трехмерного порошкового тела.
В начальном состоянии матрицы пористость формируемого материала равна
1ш - к
-¡¡г- (1)
П =
П:=-
I (т - j)
Изменение структуры порошкового материала при этом описывается зависимостью среднего координационного числа п (продольного или поперечного) от пористости П, усреднение проводится по всем частицам:
1
(п)=\ Z п^, i=1
(3)
первого и второго шага прессования соответственно. В третьей матрице в первой строке возникает перколяция и процесс прессования прекращается.
где к - число заполненных клеток в матрице.
Процесс одностороннего прессования описывается сокращением столбцов матрицы. Состояние тела на .-ом шаге получается из предыдущего состояния переносом частиц первого столбца по горизонтали вправо в ближайшую незаполненную ячейку. После переноса всех заполненных элементов первый столбец удаляется. Если все ячейки в строке окажутся заполненными (возникновение перколяции), процесс прессования считается законченным. Пористость структуры П. на >ом шаге вычисляется по формуле:
1 (т - 7) - к
(2)
где n. - продольные или поперечные координационные числа для i-й частицы.
В разработанной модели Монте-Карло при каждом шаге прессования вычислялись соответствующие матрицы продольных и поперечных координационных чисел частиц. Для каждого j-oro шага усреднением по матрице вычислялись среднее продольное координационное число n"Pj И среднее поперечное продольное ЧИСЛО nn0j по формуле (3). Расчеты координационных чисел в процессе одностороннего прессования проводились с исходной матрицей размерности (20D80).
Данная модель Монте-Карло одностороннего прессования порошковых материалов реализована программами на языках Pascal и Delphi.
Показан пример эволюции фрагмента структуры мат -рицы в процессе одностороннего прессования (рис. 1). Исходная матрица на 25% заполнена частицами случайным образом при помощи датчика случайных чисел Random. Полученное равномерное распределение частиц моделирует начальное состояние формируемого материала с безразмерной плотностью r равной 0,25. Вторая и третья матрицы отражают состояние материала после
1 шаг 2 шаг
Рис. 1. Эволюция фрагмента структуры матрицы в процессе прессования (начальная пористость 0,75)
Результаты расчета средних координационных чисел частиц
Как показывает обзор и анализ существующих работ, основными количественными характеристиками структуры порошковых материалов являются безразмерная плотность (или пористость) и координационные числа частиц. Поэтому разработанная модель Монте-Карло была использована для построения зависимости среднего координационного числа п (П) от пористости П прессуемого порошкового материала.
Для более подробного исследования изменения структуры в качестве начального состояния была взята матрица размерности (20П80), моделирующая порошковый материал с безразмерной плотностью г=0,25 в начале прессования.
Результаты расчетов приведены графиками функций п* =ппр(П)/2яп* =ппо(П)/2, гдеп* ип* - соответствен-
пр ' ' по ' ' 7 пр по
но нормированные продольные и поперечные координационные числа с нормирующими множителями, равными 0,5 (рис. 2, 3). Нормировочный множитель введен для сопоставления с данными других моделей, описывающих структуру порошкового материала. На обоих графиках значения функций определены по одной реализации П* Пр
1 П,
Рис. 2. Зависимость нормированного продольного координационного числа от пористости (начальная пористость 0,75)
111
Рис. 3. Зависимость нормированного поперечного координационного числа от пористости (начальная пористость 0,75)
модели. Видно, что координационные числа с уменьшением пористости монотонно возрастают от и 0,2 до » 0,8, существенного статистического разброса не наблюдается.
Для обеспечения достоверности данных при моделировании усреднением по реализациям модели рассчитаны сглаженные функции <п*пр> и <п*по> (рис. 4, 5). Усреднение проводилось по десяти реализациям модели. Установлено, что полученные результаты удовлетворительно согласуются с данными авторов В.М. Каминского и др. [8].
<п* пр >
Рис. 4. Зависимость нормированного продольного координационного числа от пористости после усреднения по реализациям (начальная пористость 0,75)
Прямая линия на рис. 2-5 соответствует однородной равновесной упаковке частиц. Как видно из графика, с началом прессования происходит отклонение координационных чисел в большую сторону, что связано с возникновением неоднородности большей плотности на границе. Далее к началу перколяции структура также становится более однородной, поэтому координационные числа сближаются с прямой линией.
Рис. 5. Зависимость нормированного поперечного координационного числа от пористости после усреднения по реализациям (начальная пористость 0,75)
Как видно, в начале процесса прессования значения продольных и поперечных координационных чисел близки, однако в ходе изменения структуры значения продольных координационных чисел начинают превышать соответствующие значения поперечных координационных чисел (рис. 2, 3, 4, 5). Это обусловлено возникновением анизотропии структуры по направлению прессования.
Для приближения к реальным порошковым материалам расчеты также проводились с матрицей размерности (20-80), моделирующей порошковый материал с безразмерной плотностью г=0,75 в начале прессования.
Изображены соответственно графики функций п*пр=ппр(П)/2 и п*п=ппо(П)/2 (рис. 6, 7). Можно заметить, что координационные числа с уменьшением пористости монотонно возрастают, существенного статистического разброса также не наблюдается. Сравнение графиков показывает, что структура при высокой плотности является более однородной, поэтому координационные числа близки к прямой линии, соответствующей равновесной упаковке частиц (рис. 4, 5, 6, 7).
П* по
Рис. 6. Зависимость нормированного поперечного координационного числа от пористости (начальная пористость 0,25)
0,6--------------------------------------------
0,4--------------------------------------------
0,2--------------------------------------------
0 -1-------------------------------------------
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 П у
Рис. 7. Зависимость нормированного продольного координационного числа от пористости (начальная пористость 0,25)
Исследование возникновения перколяции в модели Монте-Карло
В последнее время большой интерес вызывает теория перколяции, которая имеет дело с образованием связанных объектов в неупорядоченных средах и имеет многочисленные приложения в различных задачах о случайных процессах, Ю.Ю. Тарасевич [9].
В данной работе по разработанной двумерной модели Монте-Карло исследовано возникновение перколяции в процессе прессования порошковых материалов.
Для определения функции распределения, плотности распределения и порога перколяции использована программная реализация модели на языках РаБса1 и Бе1рЫ. Составленная программа позволяет провести расчеты возникновения перколяции на сетках размером до 1000х 1000.
Приведены функции распределения ¥(т) перколяций при расчетных сетках: 50x50, 100x100, 200x200, 1000x1000 при начальной плотности заполнения 0,75 (рис. 8). Определение каждого значения функции распределения перколяций проведено по 1000 реализациям разработанной модели Монте-Карло. Как видно из графика, при увеличении размера сетки функция распределения перколяций возрастает более резко, поэтому точность определения порога перколяции возрастает.
Р(г)
г
Рис. 8. Функции распределения перколяций при различных расчетных сетках; начальная плотность 0,75
Для определения порога перколяции проведены вычисления плотности распределения f(r) перколяций при расчетных сетках: 50x50, 100x100, 200x200, 1000x1000 при начальной плотности заполнения 0,75 (рис. 9). Здесь видно, что при меньших размерах сетки возникновение перколяции размыто по более широкому интервалу безразмерной плотности. Увеличение размера сетки приводит к сужению интервала и смещению в сторону больших плотностей. Установлено, что для данной разработанной модели Монте-Карло порог перколяции составляет pc«0,94-0,96.
f(r)
Рис. 9. Функции плотности распределения перколяций при различных расчетных сетках; начальная плотность 0,75
В будущем данные по возникновению перколяции могут использоваться для оценочного расчета коэффициентов переноса порошковых материалов (тепло-, электропроводности).
Выводы
1. Для описания структуры порошковых материалов в процессе одностороннего прессования разработана двумерная модель Монте-Карло. В качестве количественной характеристики структуры порошкового материала выбраны продольные и поперечные координационные числа частиц и пористость при каждом шаге прессования. Разработана программная реализация двумерной модели Монте-Карло на языках РаБса1 и Бе1рЫ , составленная программа позволяет провести расчеты на сетке размером до 1000x1000.
2. Проведены расчеты зависимостей средних продольных и поперечных координационных чисел частиц от изменения пористости материала при прессовании с использованием разработанной модели Монте-Карло. Показано, что координационные числа монотонно возрастают с уменьшением пористости, существенного статистического разброса не наблюдается. Установлено, что при малой начальной плотности с началом прессования происходит отклонение координационных чисел в большую сторону, что связано с возникновением неоднородности большей плотности на границе. Далее к началу перколяции структура также становится более однородной, поэтому координационные числа сближаются.
3. По разработанной модели Монте-Карло рассчитаны сглаженные данные продольных и поперечных координационных чисел, усредненные по 10 реализациям. Установлено, что полученные результаты удовлетворительно согласуются с данными научных публикаций по процессам прессования порошковых материалов. Показано, что структура при высокой плотности является более однородной, поэтому координационные числа близки к прямой линии, соответствующей равновесной упаковке частиц.
4. В работе по разработанной двумерной модели Монте-Карло исследовано возникновение перколяции в процессе одностороннего прессования порошковых материалов. Для определения функции распределения, плотности распределения и порога перколяции использована программная реализация модели на языках Paskal и Delphi. Установлено, что при меньших размерах сетки возникновение перколяции размыто по более широкому интервалу безразмерной плотности. Увеличение размера сетки приводит к сужению интервала и смещению в сторону больших плотностей. По разработанной модели проведена оценка порога перколяции для процесса прессования двумерной упаковки частиц, который составил » 0,94-0,96.
Литература
1. Кадушников P.M., Бекетов А.Р., Алиееский Д.М., Алиев-ский В.М. Компьютерное моделирование эволюции микрострук-
туры полидисперсных материалов при спекании. Основные положения // Порошковая металлургия. 1991. № 2. С.18-24.
2. Кадушников P.M., Бекетов А.Р., Алиееский Д.М., Алиев-ский В.М. Компьютерное моделирование эволюции микроструктуры полидисперсных материалов при спекании. Зональное обособление // Порошковая металлургия. 1991. № 5. С. 5-10.
3. Кадушников P.M., Бекетов А.Р., Каменин И.Г. Компьютерное моделирование эволюции микроструктуры полидисперсных материалов при спекании. Нормальный рост зерен // Порошковая металлургия. 1991. № 6. С. 21-24.
4. Николенко А.Н., Ковальченко М.С. Анализ случайной упаковки идентичных частиц. Структурные особенности упаковки дисков на плоскости // Порошковая металлургия. 1985. № 12. С. 38-40.
5. Винокуров Г.Г. Компьютерное моделирование статистических характеристик макроструктуры газотермических покрытий // Физика и химия обработки материалов. 2002. № 3. С. 29-32.
6. Винокуров Г.Г., Попов О.Н. Статистический подход к описанию формирования макроструктуры газотермических покрытий. // Наука производству. 2003. № 8 (64). С. 22-24.
7. Винокуров Г.Г., Архангельская Е.А., Ларионов В.П. Статистическое моделирование формирования макроструктуры газотермических покрытий // Тр. 6-й Международной конференции «Пленки и покрытия 2001», (апрель 2001 г. С.-Петербург). С. 67-70.
8. Каминский В.М., Николенко А.Н., Сидоренко И.Я. Двумерная стохастическая модель уплотнения порошковых материалов // Порошковая металлургия. 1982. № 2. С. 29-31.
9. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. М.: Едиториал УРСС, 2002. 112 с.
O.N. Popov, L.N. Burnasheva, G.G. Vinokurov
Development and Application of Monte Carlo Bi-dimensional Model for Research of Structure
of Powder Materials under Pressing
The article shows the Monte Carlo Bi-dimensional model developed to describe the structure of powder materials under one-sided pressing. Coordination numbers of particles and powder material porosity are a quantitative description of the structure. The authors developed the software support for the Monte Carlo bi-dimensional model in the Pascal and Delphi languages and studied percolation when pressing powder materials.
