Разложимые меры со значениями в порядково полных векторных решетках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, выпуск 4, С. 31-38

УДК 517.98

РАЗЛОЖИМЫЕ МЕРЫ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ПОРЯДКОВО ПОЛНЫХ ВЕКТОРНЫХ РЕШЕТКАХ

Б. С. Закиров, В. И. Чилин

К столетию со дня рождения академика С. Л. Соболева

Рассматриваются меры со значениями в порядково полных векторных решетках. Даются критерии разложимости и дизъюнктной разложимости множества значений таких мер.

Ключевые слова: булева алгебра, К-пространство, векторная мера, разложимость и непрерывность меры.

1. Введение

Развитие теории интегрирования для мер со значениями в К-пространствах (порядково полных векторных решетках) дало возможность строить содержательные примеры пространств Банаха — Канторовича, являющихся «векторными» вариантами классических ^-пространств [1] и пространств Орлича [2, 3]. В этих примерах свойство разложимости нормы — одно из центральных свойств векторнозначных норм — достигалось с помощью свойства модульности меры. Впервые понятие меры со свойством модульности появилось в работах Д. Магарам [4, 5]. Обстоятельные изложения свойств таких мер даны в книгах А. Г. Кусраева, С. А. Малюгина [6] и А. Г. Кусраева [1].

Естественно ожидать, что свойство модульности меры т, заданной на полной булевой алгебре В со значениями в К-пространстве ^, должно влиять на свойство разложимости значений меры т, т. е. для любого е Є В и любого разложения

т(е) = ух + у2 (1)

в сумму положительных элементов ух, у2 Є F должно следовать существование таких

еі, е2 Є В, что е = ех V е2 и т(еі) = у*, і = 1, 2.

В том случае, когда условие (1) выполняется лишь для дизъюнктных положитель-

ных уі, у2 Є ^ можно говорить о дизъюнктной разложимости значений меры т. Если F есть поле действительных чисел Ж, то любая мера т : В ^ Ж является дизъюнктно разложимой, а свойство разложимости для такой меры равносильно непрерывности булевой алгебры В. Естественно, что, и в случае произвольного К-пространства F свойство разложимости меры связано с наличием в В дополнительного порядкового свойства, являющегося -вариантом» понятия непрерывности.

© 2008 Закиров Б. С., Чилин В. И.

В настоящей работе рассматриваются меры на B со значениями в K-пространства F с единицей. Показывается, что свойство дизъюнктной разложимости значений меры m позволяет так задать на B структуру левого модуля над булевой алгеброй V единичных элементов из F, что m(ae) = am(e) для всех a £ V, e £ B. Представление B в виде V-модуля дает возможность ввести понятие V-непрерывности для булевой алгебры B. Устанавливается, что V-непрерывность является необходимым и достаточным условием для того, чтобы мера m : B ^ F была разложимой.

Используются терминология и результаты теории булевых алгебр из [7], теории K-пространств из [8], теории векторных мер из [1, 6].

2. Предварительные сведения

Пусть B — произвольная булева алгебра, 0 и 1 в — наименьший и наибольший элементы в B. Для каждого подмножества A С B через sup A (VA), inf A (ЛА) обозначаются его точные верхняя и нижняя грани соответственно. Говорят, что булева алгебра B полна, если для всякого подмножества A С B существует sup A. Элементы e, g £ B называют дизъюнктными, если eg := e Л g = 0. Семейство ненулевых элементов из B называется дизъюнктным, если его члены попарно дизъюнктны. Булева подалгебра Bo в полной булевой алгебре B называется правильной, если (sup A) £ Bo для любого подмножества A С Bo. Ясно, что правильная подалгебра сама является полной булевой алгеброй.

Ненулевой элемент e из булевой алгебры B называется атомом, если eB := {g £ B : g ^ e} = {0, e}. Булеву алгебру B называют атомической, если для каждого ненулевого элемента e £ B существует атом q ^ e. В случае, когда в B нет атомов, булеву алгебру B называют непрерывной. Если полная булева алгебра B не является непрерывной, то существует такой элемент 0 = e £ B, что eB — атомическая, (1в — e)B — непрерывная булевы алгебры [7, III, §2].

Нам понадобится следующее важное свойство полных булевых алгебр.

Теорема 2.1 (см. [7, III, §2]). Пусть B — полная булева алгебра, 0 = e £ B и пусть D минорантное подмножество в eB, т. е. для всякого 0 = g £ eB найдется ненулевое q £ D, для которого q ^ g. Тогда существует дизъюнктное подмножество Di С D, со следующими свойствами:

1) sup Di = e = sup D;

2) для любого q £ Di существует элемент g £ D такой, что q ^ g.

Пусть F — K-пространство с единицей 1, V — полная булева алгебра всех единичных элементов из F, X(V) — стоуновский компакт, соответствующий V. Согласно [8, V, §4], F отождествляется с фундаментом F' из C^(X(V)), при этом C(X(V)) С F7, а единице 1 соответствует функция, тождественно равная 1. В дальнейщем, считаем, что F = F7, при этом для любых a £ V,x £ F определен элемент аж £ F, отвечающий функции a(t)#(t),t £ X(V). Через в(ж) будем обозначать след элемента ж £ F, т. е. s(x) = supn^i(1 Л п|ж|). Ясно, что s(x)x = ж, и если аж = ж, а £ V, то а ^ s(x).

Пусть B — произвольная полная булева алгебра. Отображение m : B ^ F называется F-значной мерой на B, если

1) m(e) ^ 0 для любого e £ B;

2) m(e V g) = m(e) + m(g), если e, g £ B и e Л g = 0;

3) m(ea) I 0, для любой сети ea j 0, ea £ B.

Мера m называется строго положительной, если из m(e) = 0, e £ B, следует, что e = 0.

Поскольку в(т(е)) ^ з(т(1в)) для всех е £ В, то {т(е) : е £ В} С з(т( 1в )Ж В дальнейшем всегда считаем, что в(т(1в)) = 1; в противном случае вместо ^ рассматриваем К-пространство в(т( 1в )Ж

3. Дизъюнктно разложимые меры

Строго положительная ^-значная мера т называется дизъюнктно разложимой (й-разложимой), если для любых е £ В и разложения т(е) = а1 + а2, а1 Л а2 = 0, а* £ ^, существуют такие е* £ В, что е = е1 V е2 и т(е*) = а*, г = 1,2. Заметим, что из равенства т(е1 V е2) = а1 + а2 = т(е1) + т(е2) следует, что е1е2 = 0. Легко видеть, что если а = а1 + а2, а1 Л а2 = 0, а1, а2 £ ^, то в(а) = «(а1) + з(а2) и а* = «(а*)а, г = 1, 2. Поэтому мера т — й-разложима тогда и только тогда, когда для любых е £ В, а £ в(т(е))У существует такое д £ еВ, что т(д) = ат(е).

Замечание 2.1. На самом деле для выполнения свойства ^-разложимости достаточно потребовать, чтобы для любого а £ V существовало такое д £ В, что т(д) = ат(1 в)•

Действительно, в этом случае, для элементов е £ В, а £ в(т(е)^ имеем, что т(е) = т(де)+ т((1в — д)е), где д £ В и т(д) = ат(1 в). Так как т(де) ^ т(д), то в(т(де)) ^ а. Аналогично з(т((1в — д)е)) ^ 1 — а. Следовательно, ат(е) = т(де), где де £ еВ.

Утверждение 3.2. Пусть т — строго положительная й-разложимая ^-значная мера на полной булевой алгебре В. Тогда существуют правильная подалгебра Во в В и булевый изоморфизм ф из V на Во такие, что т(ф(а)е) = ат(е) для всех а £ V, е £ В.

< Пусть а £ V. Существует такое д £ В, что т(д) = ат(1в). Поскольку з(т(1в)) = 1, то в(т(д)) = а. Пусть д1 £ В и т(д1) = ат(1в) = т(д). Покажем, что д1 = д. Если д1 ^ д, то т(д) = т(д1) + т(д Л Сд1), и, в силу строгой положительности меры т имеем, что дЛСд1 =0, т. е. д = д1. Пусть г = д1 ЛСд = 0. Тогда 0 = т(г) ^ т(Сд) = (1—а)т(1в), в частности, 0 = в(т(г)) ^ (1 — а). Так как д1 = дд1 V г, то т(д1) = т(дд1) + т(г), и потому 0 = (1 —а)т(д1) = (1 — а)т(г) = т(г) = 0. Из полученного противоречия следует, что элемент д £ В, для которого т(д) = ат(1), определен однозначно. Определим отображение ф : V ^ В, полагая ф(а) = д. Ясно, что ф(1) = 1в, ф(0) = 0, кроме того, ф — инъекция и з(т(ф(а))) = а для всех а £ V. Пусть а, Ь £ V, аЬ = 0, д = ф(а) V ф(Ь). Поскольку т(ф(а))т(ф(Ь)) = 0, то ф(а)ф(Ь) = 0. Следовательно, т(д) = т(ф(а))+ т(ф(Ь)) = (а + Ь)т(1в), т. е. д = ф(а VЬ). Таким образом, ф есть инъективный булев гомоморфизм из V в В. Пусть {а*}*6/ С V, а = вир*6/ а* и а*а^ =0, г = ^. Положим д = 8ир*6/ ф(а*). Тогда т(д) = ^*6/ т(ф(а*)) = ^*6/ а*т(1в) = ат(1в). Следовательно, ф(а) = д = вир*^ ф(а*). Это означает, что Во = {ф(а) : а £ V} есть правильная подалгебра в В, при этом т(ф(а)) = ат(1в) для всех а £ V.

Пусть е £ В, а £ V; тогда т(е) = т(ф(а)е) + т(ф(1 — а)е). Так как т(ф(а)е) ^ т(ф(а)) = ат(1в), т(ф(1 — а)е) ^ (1 — а)т(1в), то ат(е) = т(ф(а)е). >

Пусть теперь В, V — произвольные полные булевые алгебры. Известно (см., например, [7, II, §2]), что относительно алгебраических операций ед := е Л д, еДд := (е Л Сд) V (Се Л д) множества В и V являются булевскими кольцами. Предположим, что В является левым модулем над V. Будем говорить, что этот модуль нормален, если выполнены следующие условия:

1. а1в = 0 для любого 0 = а £ V;

2. если а*е = 0 для некоторых а* £ V, е £ В, г £ /, то (зир*6/ а*)е = 0.

Зададим отображение ф : V ^ В, полагая ф(а) = а1в.

Утверждение 3.3. Если B — нормальный левый модуль над V, то ф есть инъективный гомоморфизм из V в B, при этом ^(V) является правильной подалгеброй в B.

< Ясно, что ф — кольцевой гомоморфизм из V в B, ф(1у) = 1в, и поэтому ф — булев

гомоморфизм из V в B, в частности, ф^) — булева подалгебра в B. Если 0 = а £ V, то

ф(а) = а1 = 0, т. е. ф — инъективно.

Пусть а* £ V, i £ /, g = supi6/ ф(а*), r = ф(supi6/ а*). Ясно, что g ^ г. Если e = r ЛCg, то аje = а*(1вe) = ф(а*^ = 0 для всех i £ /. Поскольку B — нормальный модуль над V, то

0 = (sup а*^ = (sup а*)1в e = ф(sup а*^ = re = e.

*6/ ie/ *е/

Следовательно, ф(sup^/ а*) = sup^/ ф(а*), т. е. ф(V) — правильная подалгебра в B. >

Замечание 3.4. Если B, V — полные булевы алгебры и существует изоморфизм ф из V на правильную подалгебру ф^) в B, то, задавая действие V на B по правилу а ■ e = ф(а^, а £ V, e £ B, получим, что B есть нормальный левый модуль над V.

Пусть F — K-пространство с единицей 1, V — полная булева алгебра всех единичных элементов из F, m — строго положительная F-значная мера на полной булевой алгебре B, причем s(m(1B)) = 1. Говорят, что m обладает свойством модульности, если B является нормальным левым модулем над V и m^e) = am(e) для всех а £ V, e £ B.

Утверждение 3.5. Для строго положительной меры m : B ^ F следующие условия эквивалентны:

(i) m — d-разложима;

(ii) m обладает свойством модульности.

< Импликация (i) ^ (ii) следует из утверждения 3.2 и замечания 3.4, а импликация (ii) ^ (i) — очевидна. >

4. Разложимые меры

Пусть, по-прежнему, F — K-пространство с единицей 1, V — полная булева алгебра всех единичных элементов из F. Рассмотрим следующее усиление свойства d-разложимости. Строго положительную F-значную меру m, заданную на полной булевой алгебре B, назовем разложимой, если для любых e £ B и разложения ai + = m(e),

a* £ F, a* ^ 0, существуют такие e* £ B, что e = ei V e2 и m(e*) = a*, i = 1, 2. Ясно, что мера m разложима в том и только в том случае, когда для любых e £ B, 0 ^ a ^ m(e), a £ F существует такое g £ eB, что m(g) = a.

Приведем пример d-разложимой, но не разложимой меры. Пусть B = V, m^) = а для всех а £ B. Ясно, что m — строго положительная d-разложимая F-значная мера. В то же время, не существует а £ B, для которого m^) = 2-i1, т. е. m не является разложимой мерой.

Легко видеть, что в случае F = R, свойство разложимости меры m равносильно непрерывности булевой алгебры B. Естественно ожидать, что и в общем случае разложимость F-значной меры должна отражаться на внутренней структуре булевой алгебре B. Приведем характеризацию таких булевых алгебр с помощью понятия V-носителя.

Пусть B — нормальный левый модуль над V. Для каждого e £ B положим z(e) = C(sup{b £ V : be = 0}). Ясно, что z(e)e = e, и если be = e, b £ V, то z(e) ^ b. Элемент z(e) называется V-носителем для e £ B.

Булеву алгебру B назовем V-непрерывной, если для любого 0 = e £ B существует такое g £ eB, g = e, что z(g) = z(e).

В случае V = {0,1}, понятие V-непрерывности совпадает с известным определением непрерывности булевой алгебры.

Утверждение 4.1. Пусть В — нормальный левый V-модуль. Следующие условия эквивалентны:

(г) В является V-непрерывной;

(гг) еВ = Ve := {ае : а £ V} для любого 0 = е £ В.

< (г) ^ (гг) : Так как В — V-непрерывная булева алгебра, то для каждого 0 = е £ В существует такое д £ еВ, д = е, что г(д) = г(е). Предположим, что д = ае для некоторого а £ V. Тогда ад = д, и потому г(д) ^ а. Следовательно, г(е) ^ а и д = ае = е, что не так.

(гг) ^ (г): Пусть 0 = е £ В. Обозначим через О совокупность всех таких систем {д*}*€/ С В, для которых г(д*)г(д^-) = 0 при г = ^, д* ^ е, д* = г(д*)е, г, ^ £ /. Так как еВ = Ve, то найдется такое д £ еВ, что д = ае для всех а £ V. Следовательно, О — не пустое множество. Упорядочим О по включению и, используя лемму Куратовского — Цорна, выберем максимальный элемент Е = {д*}*б/ из О. Положим д = 8ир*6/ д*. Ясно, что д £ еВ и г(д) = 8ир*6/ г(д*) ^ г(е). Если Ь = г(е) Л Сг(д) = 0, то найдется такое до £ ЬеВ, что до = аЬе для всех а £ V. Это означает, что г(до) ^ Ь и до = г(до)е. Добавляя элемент до к системе Е, получим, что Е не является максимальным элементом в О. Следовательно, Ь = 0, т. е. г(д) = г(е), при этом д = е. >

Пусть т — й-разложимая ^-значная мера на полной булевой алгебре В. Тогда В является нормальным V-модулем (утверждение 3.2 и замечание 3.4). Согласно утверждению 3.5 имеем, что т(е) = т(г(е)е) = г(е)т(е) для всех е £ В, т. е. в(т(е)) ^ г(е). Если Ь = г(е) Л Св(т(е)), то т(Ье) = т(е) — т(в(т(е))е) = 0. Следовательно, Ье = 0, и поэтому Ьг(е) =0, т. е. Ь = 0. Таким образом, V-носитель г(е) совпадает с носителем в(т(е)) для всех е £ В.

Теорема 4.2. Для й-разложимой меры т : В ^ ^ следующие условия эквивалентны:

( г) т — разложимая мера;

(гг) булева алгебра В является V-непрерывной.

< (г) ^ (гг) : Пусть 0 = е £ В. Выберем д £ еВ, для которого т(д) = 2-1т(е). Тогда д = е и г(д) = в(т(д)) = в(т(е)) = г(е). Следовательно, В есть V-непрерывная булева алгебра.

(гг) ^ (г): Пусть 0 = е £ В. Покажем, что для любого 0 = д £ в(т(е)^ существует такое 0 = Ь £ деВ, что т(Ь) ^ 2-1 дт(е). Так как деВ = Vдe (см. утверждение 4.1), то существует такое 0 = д £ деВ, что д = где для всех г £ V. Положим го = в(т(д)), ео = гое. Так как т(д) = гот(д) = т(год) и мера т — строго положительна, то д = год ^ ео, при этом з(т(ео)) = го^(т(е)) = го ^ д. Если д £ Ve0, то д = гео = ггое для некоторого г £ V, что противоречит соотношению д £ Ve. Следовательно, д £ (еоВ\Veо)• Положим г1 = го{т(д) ^ 2-1т(ео)}. Если г1 = 0, то, положив Ь = г1д, получим, что Ь £ деВ, т(Ь) = г1т(д) =0, в частности, Ь = 0, при этом т(Ь) ^ 2-1г1т(ео) ^ 2-1дт(е).

Предположим, что г1 = 0. Тогда го ^ {2-1т(ео) < т(д)}, т. е. 2-1т(ео) = 2-1гот(ео) < гот(д). Положим й = ео(1в — д). Поскольку д = ео, то й = 0, при этом ео = й V д, йд = 0, й ^ го. Поэтому т(ео) = т(й) + т(д), и 0 = т(й) = гот(й) = гот(ео) — гот(д) < 2-1гот(ео) ^ 2-1дт(е).

Таким образом, для любых 0 = е £ В, 0 = д £ в(т(е)^ найдется такое 0 = Ь £ деВ, что т(Ь) ^ 2-1дт(е), в частности, г(Ь) = в(т(Ь)) ^ д.

Пусть 0 = e £ B и

E = {0 = z £ s(m(e))V : z = s(m(b)) для некоторого b £ zeB с m(b) ^ 2-im(e)}.

В силу доказанного выше, множество E минорантно в s(m(e))V. Согласно теореме 2.1, существует дизъюнктное подмножество Ei = {z*}^/ С E, для которого sup Ei = sup E = s(m(e)), при этом z* = s(m(b*)), для некоторого b* £ z*eB с m(b*) ^ 2-iz*m(e). Положим b = sup,^ b*. Тогда b £ eB, m(b) = £]*6/ m(b*) ^ 2-i *6/ z*m(e) = 2-im(e), и s(m(b)) = sup^/ s(m(b*)) = s(m(e)).

Таким образом, для каждого 0 = e £ B существует такое b £ eB, что s(m(b)) = s(m(e)) и m(b) ^ 2-im(e).

Пусть теперь a £ F, 0 = a ^ m(e), 0 = e £ B. Тогда 0 = q = s(a) ^ s(m(e)), ei = qe = 0, s(m(ei)) = q. Выберем 0 = bi £ eiB, для которого s(m(bi)) = q и m(bi) ^ 2-im(ei) = 2-iqm(e). Затем выберем 0 = b2 £ biB так, чтобы s(m(b2)) = s(m(bi)) = q и m(b2) ^ 2-im(bi) ^ 2-2qm(e). Продолжая этот процесс, построим убывающую последовательность ненулевых элементов {bn} С eB, для которой s(m(bn)) = q и m(bn) ^ 2-nqm(e) при всех n = 1, 2,... Так как 0 = s(a) = q = s(2-nqm(e)), то найдется такое no, что z = q{2-n0m(e) ^ a} = 0. Ясно, что g = bn0z £ eB, s(m(g)) = z, 0 = m(g) = zm(bn0) ^ 2-n0zm(e) ^ a. Следовательно, для любого 0 = a ^ m(e), a £ F, найдется такое g £ eB, что 0 = m(g) ^ a. Осталось показать, что g £ eB можно выбрать так, чтобы m(g) = a.

Положим D = {b £ eB : m(b) ^ a}. Рассмотрим в D частичный порядок, индуцированный из B, и пусть Do = {ej}j6j — линейно упорядоченное подмножество из

D,e0 = sup D0 £ B. Ясно, что e0 £ eB, при этом m(e0) = supm(ej) ^ a. Это означает,

jeJ

что e0 £ D0, т. е. e0 является мажорантой для D0. Из леммы Куратовского — Цорна заключаем, что в D существует максимальный элемент g.

Пусть m(g) = a. Тогда g = e и в = a — m(g) = 0, при этом

m(e — g) = m(e) — m(g) ^ a — m(g) = в.

В силу доказанного ранее, найдется ненулевой элемент gi £ (e — g)B, для которого m(gi) ^ в. Следовательно, g + gi ^ e и m(g + gi) = m(g) + m(gi) ^ m(g) + в = a, что противоречит максимальности g. Таким образом, m(g) = a. >

Приведем пример F-значной разложимой меры, в случае, когда F есть алгебра ^(П) всех измеримых действительных функций, заданных на измеримом пространстве (П, X,^) со счетно аддитивной a-конечной мерой ^ (равные почти всюду функции отождествляются). Пусть v — строго положительная числовая счетно аддитивная мера на полной булевой алгебре B. Отображение u : (П, X,^) ^ B называется ступенчатым, если u = Yh”=i g*XAi, где g* £ B, A* £ X, A* П Aj = 0, i = j, xa{ (ш) = 1b для ш £ A* и (w) =0 в противном случае.

Обозначим через T(B) — множество всех ступенчатых отображений из (П, X, ^) в B. Отображение u : (П, X,^) ^ B назовем измеримым, если существует такая последовательность {un} С r(B), что v(и(ш)Дига(ш)) ^ 0 при n ^ то для п. в. ш £ П. Пусть L0(^B) — множество всех измеримых отображений из (П, X,^) в B. Для произвольных u, v £ L0(^B) положим u ^ v, если u(w) ^ v(w) для всех ш £ П. Тогда L0(^B) становится булевой алгеброй с единицей 1(ш) = 1в, нулем 0(ш) = 0, дополнением (Cu)(w) = C(u(w)), при этом (u V v)(w) = u(w) V v(w), (u Л v)(w) = u(w) Л v(w),

ш £ П.

Рассмотрим в булевой алгебре Lo(n,B) идеал J = {u Є Lo(n, B) : u(w) = О п. в.}, и через Lq(Q,B) обозначим фактор-булеву алгебру Lo(n,B)/J. В [9] показано, что Lo(fi, B) есть полная булева алгебра, при этом булева алгебра B(n) всех идемпотен-тов в Lo(fi) отождествляется с правильной булевой подалгеброй Bq = {її Є Lo(n,B) : u = XA, A Є X} в Lo(fi,B), где її — класс эквивалентности из Lo(n, B) с представителем

u. Ясно, что для каждого u Є r(B) числовая функция v(u(w)) измерима. Поэтому для каждого v Є LQ(n,B) функция v(v(w)) = limn^^ v(vn(w)), ш Є П, также измерима на (П, X,^), где vn Є r(B), v(v(w) Avn(w)) ^ 0 при n ^ то для п. в. ш Є П. Таким образом, определено отображение m : Lo(n,B) ^ Lo(n) по правилу, m(її) = [v(v(w))]~, где f~ — класс эквивалентности из Lo(n) с представителем f. В [9] установлено, что m есть Lo(n)-значная строго положительная мера на Lq(n,B), при этом, очевидно, что m является d-разложимой (см. замечание 3.І).

Пусть теперь (B, v) — непрерывная булева алгебра. Покажем, что в этом случае мера m разложима.

Без ограничения общности, можно считать, что v(1д) = І. Пусть e Є Lo(n, B), 0 ^ а ^ m(e), а Є L0(n). Поскольку m(e) ^ m(1L0(n,B)) ^ 1B(n), то vraisupа ^ І. Положим All) = {а < (}, A(l) = {2 < а < І}, ui = 0БXAw + gQl)XA(i), где gQl) Є B, v(gQl)) = 2-1

(такой элемент существует в силу непрерывности булевой алгебры B). Ясно, что її! Є Lo(n,B) и m(ui) = 1 XA(i).

Рассмотрим теперь A(2) = {-—(l■ ^ а < (l}, i = І, 2, З, a42) = {(2 ^ а ^ І}, и положим

(2) (2) (2)

u2 = 0x а(2) + g2 xа(2) + g3 XA(2) + g4 XA(2) ,

Al A2 A3 A4

где g(2) = £о2). g32)j= gQl). gi(2) = gol) + gQ2). gQ2) є B. gQ2)gQl) =0.v(gQ2)) =2-2.Имеем.

что їїі ^ U( и m(u2) = Ej=i -—rXa(2) . Используя математическую индукцию, строим “k- = Е2=1 9,<k)XA(k) > uk-l с m(B*) = Efai T—1 XA(k), где = {--! < а < (k}, i =

1,2,...,2k - І, Ak2k) = {2kfi < а « І}, 9(k) = 0, 9(k) = g0k). s3k) = g2k:1). gik) =

92k-1) + 9ok). .... s2k-i = g(k—!). »2k) = 9<(к:1) + 9ok). .... $ = p2k:!) + s0k). gk Є B,

g0k)g^-^ = „. i = І_ ^ , 2k—i. v(g0k)) = ^.

Поскольку 0 ^ а — m(uk) ^ (k, то m(uk) Т а. Положим її = sup їїк. Ясно, что її Є

k^i

L0(n, B), при этом m^) = sup^i m^k) = а. Следовательно, мера m : L0(n, B) ^ L0(n) является разложимой.

Литература

1. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—620 с.

2. Закиров Б. С. Решетки Орлича — Канторовича, ассоциированные с Ь0-значной мерой // Узб. мат. журн.—2007.—№ 4.—С. 18-34.

3. Закиров Б. С. Аналитическое представление Ь0-значных гомоморфизмов в модулях Орлича — Канторовича // Мат. тр.—2007.—Т. 10, № 2.—С. 112-141.

4. Maharam D. The representation of linear operators // Trans. Amer. Math. Soc.—1955.—Vol. 79, № 1.— P. 154-184.

5. Maharam D. On kernel representation of abstract integrals // Trans. Amer. Math. Soc.—1953.—Vol. 75, № 1.—P. 229-255.

6. Кусраев А. Г., Малюгин С. А. Некоторые вопросы теории векторных мер.—Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1988.—182 с.

7. Владимиров Д. А. Булевы алгебры.—М.: Наука, 1969.—319 с.

8. Вулих Б. З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: Физматгиз, 1961.—407 с.

9. Бусахла Н. Ю. Измеримые расслоения дедекиндовых логик // Узб. мат. журн.—1999.—№ 3.—С. 2934.

Статья поступила 21 июля 2008 г.

Закиров Ботир Сабитович

Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта, доцент УЗБЕКИСТАН, І00І67, г. Ташкент, ул. Адылходжаева, І E-mail: [email protected]

Чилин Владимир Иванович

Национальный университет Узбекистана, профессор УЗБЕКИСТАН, 700І74, г. Ташкент, ГСП, Вузгородок E-mail: [email protected]