Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 1999, Том 1, Выпуск 3

Юрию Григорьевичу Решетняку к его семидесятилетию,

УДК 517.98

ОРТОГОНАЛЬНО АДДИТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В РЕШЕТОЧНО НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

А. Г. Кусраев, М. А. Плиев

В работе вводится новый класс — мажорируемых, нелинейных, ортогонально аддитивных операторов, действующих в решеточно нормированных пространствах. Рассматриваются вопросы существования и вычисления точной мажоранты оператора, разложимости мажорантной нормы. Изучаются латерально непрерывные и вполне аддитивные операторы,

В работе [5] М, Мазон и С, де Леон ввели понятие абстрактных операторов Уры-сона — ортогонально аддитивных, порядково ограниченных операторов, действующих в векторных решетках. Оказалось, что такие операторы обладают хорошими порядковыми свойствами, для них имеет место, в частности, порядковое исчисление Рисса-Канторовича, Опираясь на эти результаты в [6] был получен критерий представимости оператора из указанного класса в виде интегрального оператора Урысона, Цель настоящей статьи — показать возможность распространения теории в духе [3] на ортогонально аддитивные мажорируемые операторы, включающие в себя операторы урысоновского типа, действующие в пространствах измеримых вектор-функций. Теория решеточно нормированных пространств в требуемом объеме изложена в [3], Необходимые сведения о векторных решетках и положительных операторах можно подчерпнуть в [1, 2],

1. Основное определение

Введем необходимые обозначения и терминологию. Всюду ниже и /•’ — архимедовы векторные решетки, (V, Е) и (И7, і*1) — решеточно нормированные пространства. Оператор Т : Е —>• Е называется ортогонально аддитивным, если Т(е + /) = Те + Т/, когда е_1_/. Оператор Т : Е —>• Е называется абстрактным оператором Урысона, если Т порядково ограничен и ортогонально аддитивен. Множество всех абстрактных операторов Урысона, действующих изЕв^ обозначается II (Е, Е). Оператор в Є II (Е, Е) называется положительным, если Sf ^ О (/ Є Е). Множество всех положительных операторов изйві? обозначается и+(Е,Е). Следующий результат установлен в [4],

1.1. Теорема. Если Е — К-пространство, то упорядоченное векторное пространство и(Е,Е) также является К-пространством. При этом для произвольных Г. 8 (г ( ' (Е, /•’) точные границы и модуль вычисляются по следующим формулам:

(1) (Т А 5)(е) = іп£{Теі + Яе2 ^ єі_І_Є2; е± + в2 = є};

© 1999 Кусраев А, Г., Плиев М, А,

(2) (Т V 5)(е) = вир{Те1 + вв2 : е1_1_в2; 61 + 62 = е};

(3) |Т"| (в) = — Тб,2 ^ 61 + 62! в! + &2 = в}.

В пространстве V (Е, Е) выделим важное для дальнейшего множество Цйт £ 1;\ (!■'■ И- где

и(йт:={Т€и+(Е,Е):Те = Т(-еУ, ег < е2 Тег < Те2 (еь е2 € £+)} .

1.2. Лемма. Пусть Е — решетка с проекциями на главные полосы, а Е это К-пространство. Тогда и8-1та(Е, Е) — конус и порядково полная подрешетка в К-пространстве II(Е, Е).

< Ясно, что если Т е иАш, то и АТ е иАш, УХ > 0. Возьмем ^ и Б2 € иАш и положим Д := (5*1 А 5*2) и (^ := (Бг V Легко видеть, что Л и С} — положительные, четные операторы. Покажем, что й и 5 возрастают на Е+. Пусть 0 ^ (I ^ е, Тогда для любого разложения е = е± + ег, 61+62 найдется разложение (I = й\ + такое, что й\ ^ ех, с^2 ^ ^2- Отсюда видно, что Д((1) ^ ^(с^) + «^(с^) ^ ^(ех) + ^(ег). Переходя к инфимуму получаем Д((1) Д(е). Заметим, что в этой части доказа-

тельства мы пока не использовали существование проекций на главные полосы. Это предположение обеспечивает монотонность <2, В самом деле для произвольного разложения (I = й\ + (12; (1\ +С^27 МОЖНО ввести ЭЛвМвНТЫ 6\ '.= Же И 62 ’■= Ж^е, ГД6 Ж проекция на полосу 6^. Тогда е = е± + ег, 61+62, ^ ех, йг ^ ег- Следовательно,

£1(^1) + (йг) ^ ^(ех) + 82(62) <9(е). Переход у супремуму по указанным й\ и

(|2 приводит к неравенству <5(й) ^ Я(е). Для точных границ направленных семейств операторов требуемые свойства устанавливаются путем перехода к о-пределу. Отсюда вытекает порядковая замкнутость решетки С/81т- 1>

1.3. Всюду ниже (У,Е) и (\¥,Е) — РНП нормируемые решетками Е и Е. Нелинейный оператор Т : V \¥ называется ортогонально аддитивным, если Т(и + т) = Ту _). Ти), когда V ш и) дизъюнктны. Напомним, что элементы » и ю называются дизъюнктными, если |и| + |«;|. Оператор Т : V —)■ \¥ называется мажорируемым оператором Урысона, если выполняются следующие условия:

1) Т ортогонально аддитивен;

2) существует Б £ и8{т такой, что выполняется каноническое неравенство |Ти| ^ 5|и|, Оператор 5, обладающий указанными свойствами называется мажорантой Т. Множество всех мажорант обозначается через пиу(Т). Наименьший элемент в пиу(Т) относительно естественного порядка, индуцированного из и(Е,Е), называется точной мажорантой оператора Т и обозначается |Т|, Множество всех мажорируемых операторов Урысона из V в \¥ обозначается через Ми(У,\¥).

При достаточно слабых условиях у мажорируемого оператора существует точная мажоранта,

1.4. Теорема. Пусть пространство \¥ разложимо, а решетка Е порядкова полна. Тогда для любого мажорируемого оператора Т : V' —г I I’ существует точная мажоранта |Т| и отображение Т и- |Т| является решеточной нормой со значением в пространстве и(Е, Е). При этом точная мажоранта может быть вычислена по формулам:

(1) |Т|(е)=8ир{£?=1|Т*|: V" , |/,| 5$ г: |и4| + |г^| ее Е+}-,

(2) |Т| (е) = |Т| (е+) + |Т| (е_); е € Е.

<1 Из 1,2, следует, что множество пиу(Т) фильтровано вниз, В этом случае определен оператор Б* такой, что

Б*е = іпґ {Бе : Б Є іг^ Т} ,

При этом 5** = |Т|, Правую часть (1) обозначим символом Б. Очевидно, что Б положительный оператор. Требуется показать, что Б ортогонально аддитивен и Б = |Т|, Для любого набора попарно дизъюнктных элементов и±,... ,и„ Є V таких, что Х^Г=і ^ е можем написать

П

і^кт(^>*ікт(е).

і=1 і=1

Переход к супремуму в левой части дает Бе ^ |Т| (е). Таким образом Б корректно определен и порядково ограничен. Покажем, что 5'(е + /) = Бе + Б/ при е_1_/, Возьмем два набора попарно дизъюнктных элементов и±,..., ито Є V и щ,..., щ Є V. Если

I га

£Ы < е, £ \'р\ 5$ /.

к=1 Р=1

То набор VI,, ьт,ііі,... ,щ состоит из попарно диъюнктных элементов и поэтому

I га

к=1 Р=1

Переходим к супремуму в левой части, получаем Бе + Sf ^ Б(е + f). Пусть теперь Х)Г=і Iго*! ^ г ~ ./'• г ,7, тогда из леммы о двойном разбиении в век-

торной решетке и разложимости пространства V следует существование элементов еі, ■ ■ ■ ... ,/„ Є Я и г;ь ,,, ,ип;иь ,,, ,ип Є У таких, что

П П

/ = 2 /<> Л-1/л * Ф з\ < ЕГ;- е*-*-ел * Ф

і=1 і=1

т* = + и4, |и4| = \уг\ = ег.

Отсюда используя ортогональную аддитивность оператора Т и неравенство треугольника для | ■ | выводим

п п п п

бє + б/^^2 1Т"| + Е гА’| > Е іТгг'і > Е гАг'і-

г = 1 г=1 г=1 г = 1

Двойной переход к супремуму дает Бе + 5/ ^ Б(е + /), Оператор Б на конусе Е+ удовлетворяет неравенству Б ^ |Т|, но так как |Ти| ^ то справедливо и об-

ратное неравенство |Т| ^ Б. Таким образом |Т| = Б. Для е Є —Е+ положим |Т| (е) = |Т| (—е). На все пространство Е оператор Б распространим по формуле Б(е) = |Т|(е+) + |Т|(е_). >

1.5. В случае, когда Ми(У, \¥) = (.••’(/Л /•’). мы приходим к формуле точной мажоранты, полученной в [4; лемма 3,4,], Бе = вир{|Т|ео : ео ^ е}, где \Т\ — модуль оператора Т. Покажем, что на Е+ операторы Б и |Т| совпадают, В самом деле, пусть Бе — правая часть требуемой формулы и напишем Не = ®ир{ЕГ=і ІТе*І : ЕГ=іе* < е> (е.-1-е,-); (і ф і); (ег Є Д+). Очевидно, что £”=1 1Те*1 < ЕГ=і ^ переходя к супремуму получаем |Т| е ^ Бе. С другой стороны, так как

|Т|е0 = вир{Т/і — Тд\ Ъ,А-д\ Ь + д = е0},

ТО можно написать

п п ^

і=і і=і )

|Т|ео ^ |Т| е

и переходя к супремуму получаем Бе ^ |Т| е и Б = |Т|, >

1.6. Как доказано в [5] существует вложение $ : ЬГ(Е,Е) —>• и(Е,Е). Для пространства М(V, И7) аналогичное вложение задается парой (г, ,?) такой, что: г : М(V, \¥) —>• Ми(У, \¥) — тождественное отображение, а і : Ь+(Е,Е) —>• и+(Е,Е) такое отображение, что ]{Т)е = Т|е|.

2. Частичная разложимость мажорантной нормы

Простейшие примеры показывают, что мажорантная норма в пространстве Ми(Е, Е) не обладает свойством разложимости. Тем не менее некоторый ослабленный аналог разложимости нормы оператора сохраняется,

2.1. Пусть 7Г и о порядковые проекторы в Е и Е соответственно. Покажем, что если Б — симметричный оператор, то пБа — также симметричный осколок оператора Б.

<1 Доказательство проведем в два этапа. Первый шаг: покажем, что оператор пБа — осколок оператора ттБ.

((ттБ — пБа) А пБа) (е) = (пБа± А пБа)(е) =

= іп£{'7г5а±еі + 7тБае2; еі_1_е2, е\ + ег = е},

В качестве е\ возьмем ое, в качестве ег возьмем а±е. Отсюда видно, что инфимум в правой части равен нулю.

Второй шаг: покажем, что оператор ттБ — осколок оператора Б.

((5 — ттБ) А ттБ)(е) = (тт±Б А ттБ)(е) = т£{-/г±5еі + ттБе2; еі_І_Є2, е\ + ег = е},

В одном случае е\ = е, ег = 0, в другом случае е\ = 0, ег = е. Тогда получаем, что инфимум в правой части равен нулю. Покажем, что пБа Є С/8їт- Достаточно показать, что 5 — ж Ба Є изіш. Но

Б — ж Ба = ж±Б + жБа±.

Тогда замечанием, что 118-1га является конусом, завершаем доказательство, >

Т/г

~Тд^ТІі + Тд^ \ТЦ + \Тд\ ^ вир •

Операторы вида \Jl=lTiiSai, где Ж{ попарно дизъюнктны, а произвольны будем называть простыми осколками. Множество таких операторов обозначим через А$. Множество всех симметричных осколков обозначим через В$.

Ниже будет доказан важный результат, о том что В$ совпадает с Для произвольного множества С С В$ = {е € В$ существует сеть еа; еа G С] еа f е}. Аналогично определяем С^.

2.2. Предварительно установим, что множество As является подалгеброй в В$-<1 Для порядковых проекторов в векторных решетках справедлива формула, установленная в [4; стр, 248], ж\(х)/\Ж2 (у) = ж±ож 2 (ж Л у). Возьмем порядковые проекторы в пространстве операторов: Sa И- жSa и S8 И- ASS. Тогда верна следующая формула,

жБа Л XSS = жХ(Ба Л SS).

Оператор Sa Л SS обозначим через R. Ясно, что SaS ^ R. Докажем обратное неравенство

Re = inf-fS'crei + S8e2 : ei + 62 = е; ei_l_e2}.

В качестве е± возьмем а±е, а в качестве в2 элемент ае. Отсюда вытекает неравенство: Re sC SaS. Таким образом,

ж Sa Л XSS = жХ SSa.

Еще нам понадобится следующая формула:

S — жва = жва + ж±Ба + ж ±Sa± + ж Sax — жБа =

= жSax + ж±Ба± + ж±Ба = ж±Б V жSa±.

Теперь можем написать

п т пт

V nSa, Л V AsSSs = V V жгХjSatSj G Дд, i = 1 i = l « = lj = l

n m

V ж-jSa-i V V AjS5j G As,

i=l J=1

n n n

(\J жг8аг)* = S -\J жгБаг = Д ir^S V жtSat G As.

i=1 i = l i=l

3.2. Лемма. Пусть E — решетка с проекциями на главные компоненты, а F —

К-пространство с единичным фильтром Шр и S, Р G Usim. Если S . I’. то для любых : > 0. < G I-j. 1 G :h'/. существуют полное семейство попарно дизъюнктных порядковых

проекторов ж^ (£ G Н) в F и семейство (a%) (£ G Н) порядковых проекторов в Е, такие

что справедливо:

(ж^Ра^(е) s? el; ж^Б - ж^а^(е) el.

<1 Заметим, что

О = (Р А 5)(е) = inf {Pei + Se2; ei_Le2, ei + 62 = e}.

Из этого соотношения следует существование полного семейства ж^ (£ Є Н) попарно дизъюнктных порядковых проекторов в Р и семейства (е| + е| = е) (£ Є Н) разбиений элемента (е^ + = е) (£ Є Н) таких, что ж^Р(е^) + тг^5(е|) ^ єі. Через сг^, обозначим

оператор проектирования на компоненту {е|}±±. Тогда (п^Рст^)(е) = (п^Р)(е^) ^ єі;

2.3. Лемма. Пусть !■] к /•’ те же, что и в 3.2, Р Е Если 5 € />’/>. то для

любых е £ Е, е > 0, 1 £ существуют такие полное семейство ж£ (£ € Н) попарно дизъюнктных порядковых проекторов в Р и семейство (ст^) (£ £ Н) порядковых проекторов в Е, что справедливо соотношение:

< Применим 3.2 к операторам Р^Б, Б ш^1еШр, Получим

7Г£|5 - ТГ^Ра^Ке) 5? 7Г£|5 - 7Г£5о-£|(е) + ТГ^БсТ^ - Ж(:Р(Т(:\{е) =

= ж^Б - ж^Ба^(е) + ж£(Р - 5)ст€(е). >

Следующее утверждение характеризует все операторы из В$.

2.4. Теорема. Пусть Е и Р те же, что и в 3.2, Р Е и 5 € />’/>. тогда справед-

ливы утверждения:

(а) для любых е £ Е, е > 0 и 1 е :Н'/. существует К Е .4/, и |5 — /\' (г) ^ е1;

(б) для любого е Е Е, существует К Е А^р и |5 — Я|(е) = 0.

<1 (а): По предыдущему предложению существуют полное семейство (тг^) (£ £ Н) попарно дизъюнктных порядковых проекторов в Р и семейство порядковых проекторов (а^) (£ € Н) в Е такие, что ж^\Б — ж^Ра^\(е) ^ Д (£ Е Н).

Множество О всех конечных подмножеств Н упорядочим по включению. Для шей положим Кш = 7Т^а(- Сеть (Кш)(ш Е О) возрастает. Пусть К = вирКш,

тогда К Е Лг и -тг^15* — Кш|(е) = п^\Б — У]_.с(г ) ^ е! для всех ( е Е и всех

2.5. Лемма. Пусть (У,Е) и (ИГ,Р) — произвольные решеточно нормированные пространства, Т Е М( (V. И) и 0 ^ Н ^ /’ ^ \Т\, Р и Я — симметричные осколки

Щ(8 ~ Щ3ст£)(е) = (ж^5)(е|) єі. >

щ\Б - ж^Рсг^Це) єі.

ш > {£}, Поэтому Ж£ |5 — Кш| (е) ^ е! (У£ еЕ) и |Л‘ — /\'| (е) ^ е1.

(б): зафиксируем 1 £ /. для е = 1/2”, тогда существует Кп Е А^р и справедливы

формулы:

ОО

п = к

к+г

п = к

к+г

к+г

оо

к=п

к=п

п = к

\Б-Ьк\{е)^1/2к~21,

Я = Ы{Ьк}; Я Е А^р ; |5 - Щ (е) = 0. >

оператора |Т|. Если существуют операторы Н/. /’у € Мц(У, 1¥) такие, что \ 11т\ = Я, \РТ\ = />. |\Т - Н, \ = I /1 - Н. \Т - РтI = I /1 - Р, то IРт - Ят\ = р - Я-

<1 Рассмотрим неравенство

|Рт - Нг\ < |7’ - Рт | + |Т - Нт1 = (| /1 - Р) + (| /1 - И)

и так как (|Т| — Я) Л Я = О, (|Т| - Р) Л Я = 0, то |Рт - Ят\ А Я = 0. В произвольном ре-шеточно нормированном пространстве для дизъюнктных элементов ии и и справедлива формула |и + и)\ = |и| + |ги|. Отсюда получаем

| / ’/ — Ят | — Н | / ’/ — /^7 + /^7 | = | / ’/ | , >

2.6. Лемма. Пусть (У,Е), (\¥,Е) — произвольные решеточно нормированные пространства, Т Є Мц(У, \¥), Б = Х)Г=і 'Кі 1-П Г^е (7Г«) (* = — семейство

попарно дизъюнктных порядковых проекторов в Е, а (ст*) (г = 1,..., п) — семейство произвольных порядковых проекторов в Е. Тогда существует оператор Бт Є Мц (V, И7) та кой, что IV/ | = 5, | Т - .V/1 = | /1 - 5.

<1 Через /її обозначим каноническое отображение булевой алгебры В(Е) на базу В(У,Е), через /12 каноническое отображение булевой алгебры В(Е) на базу В(\¥,Е). Для каждого х Є X положим Бт(х) = Х)Г=і Ь‘і.{'кі)Т}і2{оі), где і = 1,,,, ,п. Оператор Бт является ортогонально аддитивным, кроме того,

п п п

|5г(®)| = ЕіЬі{жі)Т}і2{оі){х)\ \ТЬ2{а.і)(х)\ ^жг |Т|стД|ж|) = Б(\х\).

і=і

і=і

*=і

Следовательно, Бт € Мц(У, \¥) и |Бт| ^ Б. Покажем, что Б ^ | Ь'/1 • Обозначим через /е(/р) тождественный оператор в Е(Е) и положим ж = 1р — зирщ (г = 1,..., п). Далее имеем

|Т(ж) -5Г(®)| =

'^Г/Н1{ж1)Т{х) + Ь1(ж)Т(х) - У^^і{ж1)Тк2{(і1){х)

І = 1

І = 1

^/іі(7г 1)ТЬ2{іе ~ <Уі)(х) + Ь1(ж)Т(х)

І = 1

г = 1

= Е ^ 17’| и+* и (1*1) - Е 17’| ^и) = (|/1 - 5)(|®|).

*=1 *=1

Таким образом, |Т — .V/ | ^ |Т| — 5, Если предположить, что |.Ь / | < Б или |Т — .V/ | < |Т| — .V. то учитывая дизъюнктность .V и |7’ — .V/ | выводим |Т| = |Т — Б/ + .V/ | ^ |Т - 5| + I V/1 < |Т| - 5 + 5 = | /1. Поэтому |5Г| = 5 и |Т - Бт\ = \Т\ - Б. >

Следующее утверждение показывает, что симметричные осколки замкнуты относительно булевых операций,

2.7. Лемма. Пусть оператор Б принадлежит /Л /•’). где Е—решетка с проекциями на главные полосы, а Р это К-пространство. Тогда множество осколков Б, принадлежащих образуют булеву подалгебру.

<1 Супремум и инфимум двух симметричных осколков снова будет симметричным ОСКОЛКОМ В силу ТОГО, ЧТО Цйш решетка. Требуется установить, что и дополнение симметричного осколка также будет симметричным осколком,

(4*)* =

Так как множество состоит из симметричных операторов, то справедливо вклю-

чение

2.8. Теорема. Пусть (У,Е) — решеточно нормированное пространство, а (И— пространство Банаха — Канторовича и в К-пространстве Р есть слабая порядковая единица. Тогда для любого Т £ М( (1]У) и любых Б, Р £ и8-1та таких, что

О < 5 < |Т|, 0 < Р < |Т|, Г . .4. Р + Б = \Т\

найдется оператор 3/ £ М( (1И ’) и |Т| = |5‘/ | + |Т — .V/ |, |5‘/ | = Б, \Т — .V/ | = Р.

<\ Пусть Т £ Ми(У,Ш). Возьмем произвольный оператор Б £ Ащ и покажем существование оператора Бт £ Мц(У, \¥) такого, что |5т| = Б, |Т — 5г| = |/| — Б. По лемме 2,6 существует сеть операторов 5^ (£ £ Н) С Мц(У, Ш) таких, что |5^| £ Ад^, |Т — = |Т| — |5‘с| (( е Н) и • |^с|) 1' гДе (С ^ ^)- Для фиксированного х £ V

рассмотрим сеть (5^ж)(£ £ Н). Если а,/3 ^ А, то в силу леммы 2,4 справедливы неравенства

|%с - М < - 5а| (|я|) < (|5а - Б0\ + |5а - ЗД(М) =

= (|5Л| - 1^1 + |5А| - \Ба\)(\х\) < (25 - 1^1 - \Ба\)(\х\).

Таким образом, сеть (Б^х)(^ £ Н) является (о)-фундаментальной. Так как (ИГ,Р) (о)-полно, полагаем Бт(х) = (о)-Нт5^ж (х £ X). Оператор 5т ортогонально аддитивен и для каждого х ЕУ справедливы неравенства

|5т(ж)| = |(о)- Нт5^ж)| = о — Пт |5'^(ж)| ^ (о)- Нт |5^| (|ж|) = 5'(|ж|);

IТ - Бт\(И) = (о)- Нт |(Т - 5е)| (\х\) = (о)-Нш(|Т| - |5е|)(И).

Отсюда имеем |5‘/ | = Б, |Т — .V/ | = |Т| — Б = Р, Общий случай, когда 5 £ получается повторением приведенных выше рассуждений, >

3. Вполне аддитивные и латерально непрерывные операторы

В настоящем пункте рассмотрим классы вполне аддитивных и дизъюнктно непрерывных операторов. Оператор Т £ Мц(Е,Р) называется вполне аддитивным (вполне а-аддитивным), если выполняется равенство = ЕТи^ £ £ Н,

(Т(Е^1 тг) = Тп)д, гДе п)£, — семейство попарно дизъюнктных элементов,

3.1. Теорема. Оператор Т вполне аддитивен тогда и только тогда, когда вполне аддитивна его точная мажоранта.

<1 Пусть |Т| — вполне аддитивный оператор, и) = ^ и)& — конечное подмножество Н. Тогда можно написать

т = '^2щ + ’и)в;

«ее

Ти) —

= \TwqI \Т\ |го0|

Пусть теперь Т — вполне аддитивный оператор. Требуется показать, что |Т| (Е =

Переходя в левой части к супремуму по всем конечным разбиениям, получаем требуемое, >

3.2. Рассмотрим теперь так называемые латерально непрерывные операторы.

Сеть (иа) в РНП (У,Е) называется латерально сходящейся к и, если и = Нта(иа)

и, кроме того, (иа — ^ /3. В дальнейшем для сети (иа) латерально сходящей-

ся к и будем писать и = (І)- 1іта(иа), Оператор Т : (V) —>• (Ш) называется латерально непрерывным (латерально а-непрерывным), если из V = (І)- 1іта(иа)(и = (I)-Нтпип) следует Ти = (о)-\їта(Ті}а)(Ті) = (о)- 1іш„ Туп).

3.3. Теорема. Оператор Т Є Мц(У, 1¥) латерально непрерывен тогда н только тогда, когда латерально непрерывна его точная мажоранта.

<1 Пусть |Т| — латерально непрерывный оператор. Рассмотрим сеть (иа) Є V, такую что V = (I)-Нта уа. Тогда сеть еа латерально сходится к е, где еа = |иа|, е = М. Действительно, е — еа = |і?| — |иа| ^ |и — уа\, таким образом е = (о)-Нта еа. Кроме того,

Проведем доказательство в другую сторону. Пусть Т латерально непрерывный оператор и е = (І)-Ишц еа, где е, еа Є Е0+. Тогда

С другой стороны, пусть 1и&1 = е5 |? у |- * ф 3- В силу разложимости най-

дутся и такие, что

Е 1^1 е£- Пусть е = £е£,атг£ — проектор на компоненту {е^}. Достаточно установить неравенство |Т| е ^ ^ |Т| е^. Напишем цепочку равенств:

П

П

г=1

г = 1

Отсюда выводим

П

П

г=1

г=1

п

г = 1

ЄЄН

п

п

к=1

к=1

п

п

к=1

к=1

Тогда латерально сходится к ик и

п

п

к=1

к=1

к=1

п

А?=1

п

А?=1

п

Переходя к супремуму в левой части получим |Т| (е) = (о)-Нта |Т| (еа), >

3.4. Покажем, что оператор вполне ст-аддитивен тогда и только тогда, когда он ла-

терально ст-непрерывен, Пусть оператор Т — латерально ст-непрерывен, Рассмотрим ограниченное семейство попарно дизъюнктных элементов (хп). Введем новую последовательность уп := Х)Г=і х,п■ Ясно, что (уп) латерально сходится к у = хп; тогда

Ту = (о)-ИтпТуп и оператор вполне аддитивен. Пусть теперь Т вполне аддитивен. Рассмотрим последовательность (хп) латерально сходящуюся к ж, С каждым хп свяжем конечное множество попарно ДИЗЪЮНКТНЫХ элементов {жі, Х2 —Жі, ■ ■ ■ , Хп^Хп-і}. Ясно, что х = хп — хп-1- Воспользовавшись полной аддитивностью, получим

Тх = (о)-\\тпТхп. Оператор Т : V —>• V называется коммутирующим с проектором, если равенство Топ = ж оТ справедливо для любого порядкового проектора п : V —>• V такого, что ж(У) С V.

3.5. Теорема. Пусть (У,Е) и (И7, Р) — пространства Банаха — Канторовича, Е будет подрешеткой в /•’ и V — подпространство И’. Если оператор Т : (V, Е) —>• (И ’. /•’) — коммутирует с проектором, то Т — ортогонально аддитивный, латерально непрерывный оператор,

<1 Пусть элементы у,и) Є (И7, Р) дизъюнктны. Если ж и а — проекторы на компоненты Vм и и)М соответственно. Тогда ж(и)) = 0 и сг(г>) = 0 и справедлива формула

Т(и + т) = Т(:ж + а)(и + и)) = (ж + а)Т(и + т) = Ттг(и + «;) + Тст(и + «;) = Ти + Ти).

Таким образом Т ортогонально аддитивен. Покажем, что Т — латерально непрерывен. Пусть сеть иа латерально сходится к и. Через жа обозначим проектор на компоненту

Тогда жаи = иа и сеть жа возрастает. Через ж обозначим проектор на компоненту Vм. В этом случае ж = вира жа. Так как Т — оператор, коммутирующий с проектором, то -тгТ(и) = Т(и) и жаТ(и) = Т(иа) для любого а. А так как (ж ^ жа) 4-0, то получаем

3.6. Теорема. Множество вполне аддитивных и латерально непрерывных операторов образуют полосы в пространстве Мц(У, И7). Множества а-аддитивных и латерально о-непрерывных операторов совпадают и образуют полосу в пространстве

<1 Это следует из доказанных выше утверждений 2,3 и 2,4, а также [4; предложения

3.7, 3.8] и [3; предложения 1.1.5 (1-3)]. >

\Ти -Тиа\ = \жТу - жаТи\ = (ж - жа) |Ти| 4 0. >

Ми(V, Тії).

Литература

1. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: Физматгиз, 1961.

2. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1984.

3. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы. Линейные операторы согласованные с порядком.— Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.

4. Aliprantis С. D., Burkinshaw О. The components of a positive operator // Math. Z.—1987.—V. 184.— P. 245-257.

5. Mazon J. М., Segura de Leon S. Order bounded ortogonally additive operators // Rev. Roumaine Math. Pures Appl.—1990.—V. 35(4).—P. 329-353.

6. Segura de Leon S. Bukhvalov type characterizations of Uryson operators // Studia Math.—1991.— V. 99.—p. 199-220.