CC BY
36
УДК 539.3
И. И. Сафаров, З. И. Болтаев
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН В ПЛАСТИНКЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Аннотация. Построена сопряженная спектральная задача при условиях биортогональности для вязкоупругой пластинки с переменной толщиной. Сформулирована спектральная задача, описывающая распространение изгибных плоских волн в волноводе. Численные решения спектральных задач проводились на ЭВМ программным комплексом, основанным на методе ортогональной прогонки С. К. Годунова в сочетании с методом Мюллера.
Ключевые слова: пластинка, спектральная задача, переменная толщина, изгибные плоские волны, вязкоупругая пластинка, волновод, возможные перемещения.
Abstract. The authors have constructed an interfaced spectral problem under conditions of bi - orthogonality for a viscoelastic plate with variable thickness. The spectral problem describing distribution of flexural flat waves in a wave guide has been also formulated. Numerical solutions of spectral problems have been calculated on computer by the program complex based on the method of orthogonal condensation by S. K. Godunov combined with the Muller’s method.
Key words: plate, spectral problem, variable thickness, flexural flat waves, viscoelastic plate, wave guide, possible movings.
Рассмотрим вязкоупругий волновод в виде бесконечной вдоль оси Х1 пластинки переменной толщины. Основные соотношения классической теорий пластин переменной толщины можно получить на основе принципа возможных перемещений [1]. Вариационное уравнение задачи теории вязкоупругости в трехмерной постановке имеет вид
где р - плотность материала; щ - компоненты перемещений; 5 и Еу - компоненты тензора напряжений и деформаций; V - объем, занимаемый телом.
В соответствии с гипотезами Кирхгоффа - Лява [2]
где Ж - прогиб срединной плоскости полосы.
Пренебрегая в (1) членами, учитывающими инерцию вращения нормали к срединной плоскости, будет иметь следующее вариационное равенство:
Математическая постановка задачи и построение условия биортогональности
I ij+ puj)d%3d%2d%i = 0 (i = 1,2,3; j = 1,2,3), (1)
°12 =°23 =°33 = 0; ui =~ x3~—; W (x3 ) = w ,
дxi
(2)
h
h
2
2
Исходя из геометрических соотношений и соотношений обобщенного закона Гука, с учетом кинематических гипотез (2) выражения для компонент тензоров деформаций и напряжений принимают вид
Эи, Эи;
—- + —-Эх ,■ Эх,
V 1
" х3
Э '2w Эх, Эху
і, І = 1,2;
Е Е
а11 = "---(11 +уе22 ); а22 =-----(22 +уе11 );
1 -V 1 -V
°12 ="
Е 1 + V
е12, е?ф(г) = Е
01
(4)
где ф(^) - произвольная функция времени; Я# ( -т) - ядро релаксации; #01 - мгновенный модуль упругости; V - коэффициент Пуассона, предпола-
гается, что постоянная величина.
Введем обозначения для моментов:
Мц = С\Е
(а2 -л2 ^
Э w Э w
Эх2
• + V
Эх2
; М22 = АЕ
(а 2 а 2 ^
Э w Э w
Эх2
• + V-
Эх2
М-12 = АЕ (1 - V)
Э ^ Эх1 Эх2
(5)
где = И3 / (12(1 - V21).
Интегрируя (3) по толщине полосы, придем к следующему равенству:
II
М
Э 28w
11 аїГ
+ 2М12
Э 28w
---------Ь М22 -----—
Эх1Эх2 Эх2 ,
Э 2 w Э/12
8wd5 = 0 .
(6)
Интегрируя дважды по частям и приравнивая нулю коэффициенты (6) при вариациях 8 w внутри тела (и на его границе), получаем следующее дифференциальное уравнение:
Э Ми Э Мл2 Э М22 / ^2 /-л 2
-----т11 + 2----------— +-т22 + рЛ^ = 0 (w = Э w дґ
Эх2 Эх,Эх2 Эх2 \
Л
Эх1Эх2
2
Эх'2
(7)
с естественными граничными условиями:
Эw Эw
_ = 0; w = 0; Х2 = 0; /2; — = 0; w = 0: Х1 = 0; ¡1, ОХ2 и%1
(8)
и главными альтернативными к ним условиями:
М22 = 0;
ЭМ
22
Эх2
+ 2-
ЭМ
12
Эхт
= 0; х2 = 0; /2 ;
(9)
9Ми ^ 9М^ю
Мц _ 0;-----------------------------------------V 2-= 0; = 0; /^.
Эх1
9х2
Для построения спектральной задачи введем следующие замены переменных:
9w
^ — w; ф_------------; М _
9x2
(д2 д2 ^
9 w 9 w
9х2 9x2
. д _ 9М22 +9М12
9х2 9х
(10)
Подставляя (10) в (7), получим систему интегродифференциальных уравнений в частных производных, разрешенную относительно первых производных по х2:
9д 92М ч
9— + ^1Е01(1 - у)
9x2 9x2
92ф (,^
-1 9x2
9xl2 1 —<
1 92 w 0 + рИ—г _ 0;
9(2
9М
9x0
- е - ОД -V) %
9^
9x2
9^
9x2
d х
М -
9x2 9x2
( 9ф ^ 92 w ^ 9x2 9x2
d х
_ 0;
(11)
9w 9x 2
-ф_ 0,
и альтернативные граничные условия на х2 = 0: X2 = /2:
9 2М <■ , ч 9 2М
ф_0 или М - О (1 - V )£01
w _ 0 или е + (1 - V)£01
и на Xl _ 0, Xl _ /1, ф_ 0 или
9x 2 1 -<
9x1
d х
2 1 ->2 2~ 92 ф
9 2 ф
9x2 1 -<
9x2
d х
_ 0; (12)
_ 0
М - о (1 - V)%
w _ 0 или
е + ¿1 (1 - V )01
9x1
9x2
d х
_ 0.
(13)
9 2 ф
92 ф 9x2
d х
_ 0, ОД 312 / (12/(1 -
(1 - V2 ))■
Теперь рассмотрим бесконечную вдоль оси х1 полосу с произвольным законом изменения толщины И = И^). Будем искать решение задачи (11)-
(13),
(,М,Ф,*) = (,М,ф,Ж)(х1-ю), (14)
описывающее гармонические плоские волны, распространяющиеся вдоль оси х1. Здесь ю = + /Ю/ - комплексная собственная частота; к - волновое чис-
ло; Юя - действительная часть комплексной частоты; р - плотность. Для выяснения их физического смысла рассматриваем случаи:
1) к = «я; С = Ся + /С/ . Тогда решение (14) имеет вид синусоиды по г, амплитуда которой затухает по времени;
2) к = оя + /о/; С = Ся . Тогда в каждой точке г колебания установившиеся, а по 01 затухают.
Подставляя (14) в (11), получим дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производных
в - о2М - о2ОД (1 - V)ф- ркю2Ж = 0; М' - в + о2ОД (1 - V)Ж = 0;
ф'-1—М-о2Ж = 0; Ж'-ф = 0 (15)
АЕ1
с граничными условиями на торцах полосы х2 = 0, /2, одного из четырех типов:
а) шарнирное опирание: Ж = М = 0;
б) скользящий зажим: в = Ф = 0;
в) жесткая заделка: Ж = ф = 0; (16)
г) свободный край:
М + о2 Б1Е1 (1 -V) + о2 ОД (1 -V) Ж = 0; М' - о2 (1 -V) ОДф = 0,
где Е1 = Е01
1 - ГС (юя) - /Г5 (юя) ; ГС (юя) и Г5 (юя) - синус и косинус
преобразования Фурье.
Таким образом, сформулирована спектральная задача (15) и (16) по параметру о , описывающая распространение изгибных плоских волн в волноводе, выполненном в виде полосы с произвольным законом изменения толщины по координате х2.
Покажем, что в случае Яе = 0 спектральный параметр о2 принимает только действительные значения.
Пусть М и Ж - некоторые собственные функции системы (15), (16), которые могут принимать как действительные, так и комплексные значения. Умножим систему уравнений (15) на М и Ж - комплексно сопряженные к М и Ж функции. Тождественно преобразовав первое уравнение, проинтегрируем полученные равенства по х2 и составим следующую линейную комбинацию:
12 12 12
| МЖХ2 -о2(1 - V)Е11 (ЦЖ)"Жёх2 + о2(1 -V) | Е1 (ЦЖ)"Жёх2 -
12 12
-а21MWdx1 -ю21phWWdx2 - а2(1 - V)|^ёх2
12 12 12
Г — 2 г — Г ММ
+ I W"Mdx2 - а2 I WMdx2 - I------dx2 = 0 . (17)
J J ДЕл
0 0 0 1 1
Интегрируя (17) по частям, получим
- _ _ 'п , р -
М'-а2 (1 -V)Ел (Z)1W) W|02 + М + а2 (1 -V)Е1Г>^
W'\h -
0
|(М^ + MW')dx2 -а1|(М + ЦМ) -|MM-dx2
Е1Е1
12 12 12
-
2 М"
П1Л1
-ю21 phWWdx2 - 2а2 (1 - V)| ЕхЕ1^ёх2 +а2 (1 - V)| Е1^ (ЖЖ) ¿Х2 = 0. (18)
0 0 0
Легко убедиться, что внеинтегральные члены равенства (18) обращаются в нуль при любой комбинации граничных условий (16). В общем случае
^2 12 ,, 12
I (М^'+М^') dx2 + I-dx1 + ю21 phWWdx1
а 2 = -------2---------------------------------0—.---------------------(19)
12 12 12
|(MW+МЖ)dx2 -2(1 -V)|ElDlWWdx1 -(1 -V)|Е^^)^
0 0 0
комплексное число.
Таким образом, показано при Яе = 0 в случае упругой пластинки, что
квадрат собственного волнового числа для бесконечной полосы переменной
толщины действителен при любой комбинации граничных условий (16). Если учитывается реологические свойства материала пластинки, то а становится комплексным.
Сопряженная спектральная задача и условие биортогональности
Полученная спектральная задача (15), (16) не является самосопряженной. Построим для нее сопряженную задачу, воспользовавшись для этого формулой Лагранжа [3]:
І і I
|Ь(и) • V * dx = 2(и,V*)|- |Ь ♦(V*) • udx, (20)
0 0 0
где Ь = Ь% + Ь и Ь* - прямой и сопряженный линейные дифференциальные операторы; и и V * дач. В нашем случае
операторы; и и V * - произвольные решения соответствующих краевых за-
L =
( д
-О
д%2
д
-1
д
0
0 0
V
(0 -О1
о о
ь =
0 0
0 0
-О^Е^' (1 ) -рйю2
0 -О2кЕ1Г){ (1 - V)
д
д%2
-О2
-1
дх2
0
Л
0 -0,1Е1Г){ (1 -V)
О -^2 Я
О О
Левая часть равенства (20) будет иметь следующий вид:
__________ ______________12 12 __ _ _
[ее * +ММ * +фф * +ЖЖ *]| - Л (б * + М*)О + (М * +а2б:
О О
1
ОД
ф*)М + (ф * +Ж* +а2Е1Е){{1 -у)0*)ф + (Ж* +а2ф * -
-а2Е1Б[ (1 - у)М * +рйю2б*)Ж аХ2 = О,
2 2 2 где йя = аI - ая; ^зя = 2ая а^ .
Таким образом, сопряженная к (15) система имеет вид
б * + М * = О,
М * +а2е * +—^ ф* = О,
ад
ф * + Ж * +а2Е1Г>{(1 - V) Q* = 0,
Ж * -а2Е^(1 -v)M * +а2ф * +рhю2Q* = 0.
(21)
(22)
(23)
Кроме того, получаем сопряженные граничные условия из равенства
12
нулю внеинтегральных членов Z (и ,У *)| в выражении (22):
а) шарнирное опирание: ф* = б* = О, Х2 = О, /2 ;
б) скользящий зажим: Ж * = М * = О, Х2 = О, /2 ;
в) жесткая заделка: М* = б* = О, Х2 = О, /2;
г) свободный край:
(24)
0
ф * +а2Е1Б1 (1 - V) 0* = О, Ж * -а2Е'А (1 - у)М* = О, х2 = О, /2.
Для получения условия биортогональности решения воспользуемся еще раз формулой Лагранжа (2О) в виде
2
IЬ[(и)У * + Ь * (У*)и}ёх = 2(и, V*)|
которая приводит к рассмотрению следующего интеграла:
12______ ____________ _ _ __
I [й б у * -а2Мгбу * -а2ад' (1 - v)фг■^J■ * -ркю2Жб *у +М-М *у -
-йм* у +а2-ад,(1 -ч>жм* у +ф; ф * у- М- ф * у-а2 г2*' ф * 2+ Ж Ж * у -ф Ж * у +бу *' бу + М * у б + Му * М- + а2 уМгб * у +
_1_
ОД
+-^^М,ф *у +ф-фу *'+ Ж *у ф- + а2уЕ1П{ (1 - v)Q *у ф- + ЖЖу *'+
+а2уЖ1 ф* - а?уЕ1В 1 (1 - и)ЖМ* + ркю2б*Ж-
_ — т
где (б-, М- ф-, Ж') - собственная форма, соответствующая собственному
значению а, исходной спектральной задачи; (б-*, М- *,ф-*, Ж-*)Т - собственная форма, соответствующая собственному значению ау сопряженной спектральной задачи.
Интегрируя (25) по частям, получим
ёх2 = О,
(25)
I [ -Мб * у - ед(1 - v)Q * у ф- + ВД(1 - v)ЖiM * у -Ж- ф * у ] йх2 +
+ [ ад (1 - V) б * у ф- - ад (1 - ^Ж-Му * ]
= О,
откуда для - Фу имеем условие биортогональности форм:
12
I [ М- + Е'А (1 - V) ф-) б * у +Ж- (ф * у - Е1 А' (1 - V) М * у)] <*2 +
+ад(1 -V) [ЖМ * у -б * у ф- ]
/2
= 8у .
О У
(26)
При этом выражение Ж'М * у -б * у ф- обращается в нуль, если на границе задано любое из условий (24), кроме условия свободного края.
В качестве примера рассмотрим стационарную задачу для полубеско-нечной полосы переменной толщины. Рассмотрим полубесконечную вдоль оси х1 полосу переменного сечения, на торце которой (х = 0) заданы гармонические по времени воздействия одного из двух типов:
ш - /ш (х2, Міі - /ш (х2)еШ, х1 - 0
или
где
Ф1 - /ф(*2^, ві - /в(Х2)^', х - 0.
їтґ
(27,а)
(27,б)
Ф1 -
дш
дх1 ,
д3ш
дх?
+ 2(1 -V)
д3ш
дхідх^
Преобразуем граничные условия (27,а) так, чтобы в них содержались только выбранные нами переменные Щ, ф, М и Q
( д 2ш
дх 2і
+ V
д 2Ш ^ дх 22
- /м(х2)егюГ, хі - 0, (28,а)
дШ — Ґ ! \ гюГ Т? Г>
~дхг - Л (х2)е , ЕіА
г д3Ш дх?і
+ (2-V)
д3Ш ^ дхідх 22
- /в(х2)еіюГ, хі - 0. (28,б)
Предположим, что искомое решение стационарной задачи можно разложить в ряд по собственным функциям решения спектральной задачи. В случае постоянной толщины это очевидно, а в общем случае вопрос остается открытым.
Решение стационарной задачи (11)-(13) будем искать в виде
Г ж^ Г Щ (Х2) ^
фк ( х2) (а^-юГ)
Ми ( Х2)
^(х2),
Ф
М
в
N
- Ё ак к-і
(29)
где Шк, Фк вк Мк - биортонормированные собственные формы спектральной задачи (і5)-(і6).
Представление (29) дает нам решение стационарной задачи в дальнем волновом поле, т.е. там, где уже затухли нераспространяющиеся моды.
Рассмотрим два случая возбуждения стационарных волн в полосе:
а) / = 0 - антисимметричное относительно хі;
б) /Ф = 0 - симметричное.
В случае антисимметричного возбуждения подставляя (29) в (28,а) и выражая /х2), получим
N
/М (х2) - Ё а кМк (х2) . к-і
(30)
Соотношение биортогональности (26) дает выражение для определения неизвестных коэффициентов
ак - | /М (х2 )вк (х2 )^х2 .
Рассмотрим полубесконечную пластину постоянной толщины, удовлетворяющую гипотезам Кирхгоффа - Лява, с опертыми длинными краями (Х2 = 0). На торце х1 = 0 заданы:
№ - /і (х2 )еШ, Ми - /2 (х2 )е
гюг
(3і)
Распространение вдоль оси Х1 изгибной волны описывается системой дифференциальных уравнений
2
Q' + ^МГ + РЩ = 0, М' - Q = 0,
Эх1
Ф
і
д2Ш
-м+—--0, ш-Ф-0,
2
Е1^1 Эх2
с граничными условиями вида
д2Щ / 2 2 \
Щ = 0, М - Е1^1(1 -V)—= 0, х2 = 0, к (Ж = д2w / дГ ).
Эх - ' '
і
Вводя искомый вектор движения в виде
в' ' вл
М М
Ф Ф
№у № V у
р—г (акхі-юг )
переходим к спектральной задаче
в' — а2М — ю2рИЖ-0, М — в-0,
ф'-
і М-а2Ш- 0, №'-Ф-0,
ОД
с граничными условиями
№ - 0, М + ^іЕі(і - v)а2W - 0, х2 - 0, е,
Ш - 0, М - 0, х2 - 0, е .
Перепишем систему (32) в следующем виде:
Ш-1—М - а 2№ - 0, М* -а 2М -ю2рИЖ - 0,
ОД
или
(32)
(33)
(34)
W = 0, M = 0, х2 = 0, к.
Будем искать решение задачи (34) в виде
W = amsinn%2, M = üm sinn%2, n = 1,2,...,
удовлетворяющем граничным условиям (33).
Получим алгебраическую однородную систему:
2 2 ~n Ow ~ a aw
1
ED
2 2 2 —п ам — а ам — а рЬам = 0.
Для существования нетривиального решения системы необходимо потребовать равенство нулю ее определителя
det
2 2 n2 + a2
1
EiA
ю2р h n2 + a2
= 0,
откуда
2 2 , / Ph
ai2 ="n =4 Eñ
(35)
Собственные формы изгибных колебаний полосы постоянной толщины имеют вид
W^’2 = sin n Х2; M 1,2 = ± D sin n ;
Фп1,2 = ncosnx2 ; Qj}'2 =±a4PhEDcosn^2-Построим решение задачи, сопряженной к (32)-(33):
W *' +а2ф * +phro2Q* = 0, ф *' +W* = 0;
M *+—^ф * +a2Q* = 0, Q * + M* = 0; E1D1 * *
(36)
Ф* = 0, Q* = 0, Х2 = 0, п.
(37)
Преобразуя (36), (37), получим следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка:
Ф -а2ф * -phm2Q* = 0, Q * -a2Q *---1— ф* = 0,
E1D1
со следующими граничными условиями при Х2 = 0, к: ф* = 0, Q* = 0 .
(38)
и
и
Решение задачи (38) ищем в виде
ф* = «ф *sin ПХ2, Q * = aQ * sin n Х2,
(39)
откуда а21,2 имеет тот же вид (35), а собственные формы колебаний имеют вид
фп *1,2 = ±m^phED sin nx2, Qn *1,2 = sin nx2,
Wn *1,2 = ^^PhEDcosnx2, Mn12 = ncosХ2. (40)
Для получения условий биортогональности решений прямой и сопряженной задач необходимо рассмотреть равенство (22).
Численные решения спектральных задач проводились на ЭВМ программным комплексом, основанным на методе ортогональной прогонки С. К. Годунова [4] в сочетании с методом Мюллера. Результаты, полученные при тестировании программного комплекса, совпадают с полученными аналитическими решениями с точностью до 4-5 знака в диапазоне частот от 0,01 до 100. Здесь анализ проводится в безразмерных переменных, в которых
плотность материала р, половина ширины волновода 12 и Яр Ж) = Ле~^Ча-1.
Мгновенный модуль упругости Е принят равным единице. Анализ полученных данных показывает, что область применимости теории Кирхгоффа - Лява к пластине постоянной толщины ограничена диапазоном низких частот. Например, для первой моды (И = 0) диапазон применения теории 0 <ю < 3 что связано с неограниченным ростом фазовой скорости распространения с увеличением частоты. При этом для больших частот ~ -\/ю. В области
больших частот, когда длина волны моды сравнима или меньше толщины полосы, возникает, как известно, локализованная у граней полосы волна Релея.
Рассмотрим сначала волновод с линейным законом изменения толщины. На основе полученных результатов выявлено, что в отличие от полосы постоянного сечения в случае клиновидного волновода с малым углом в основании клина а существует конечный предел фазовой скорости распространения моды, причем
где С - скорость волны сдвига, что совпадает с результатами других исследований [5] и др. Таким образом, показано, что теория Кирхгоффа - Лява позволяет получить волны, распространяющиеся в клиновидном волноводе с достаточно малым углом при основании клина, со скоростями, меньшими скорости волны сдвига и отличными от скорости волны Релея. Кроме того, эти волны, начиная с некоторой частоты, распространяются без дисперсии.
1. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - М. : Физматгиз, 1963. - 39 с.
2. Каюмов, С. С. Распространение и дифракция волн в диссипативно-неоднородных цилиндрических деформируемых механических системах / С. С. Каюмов, И. И. Сафаров. - Ташкент : Фан, 2004. - 250 с.
Численные результаты
lim Cf = 2Cs tg ф
Список литературы
3. Неймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Неймарк. -М. : Наука, і969. - 526 с.
4. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. - М. :
Наука, і977. - 456 с.
5. Гринченко, В. Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах /
В. Т. Гринченко, В. В. Мелешко. - Киев : Наукова думка, і98і. - 283 с.
Сафаров Исмоил Ибрагимович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Бухарский технологический институт пищевой и легкой промышленности,
(Республика Узбекистан, г. Бухара)
E-mail: [email protected]
Болтаев Зафар Ихтиярович
ассистент, кафедра высшей математики, Бухарский технологический институт пищевой и легкой промышленности (Республика Узбекистан, г. Бухара)
E-mail: [email protected]
Safarov Ismoil Ibragimovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher mathematics, Bukhara Technological Institute of Food and Light Industry (Republic of Uzbekistan, Bukhara)
Boltaev Zafar Ikhtiyarovich Assistant, sub-department of higher mathematics, Bukhara Technological Institute of Food and Light Industry (Republic of Uzbekistan, Bukhara)
УДК 539.3 Сафаров, И. И.
Распространение гармонических волн в пластинке переменной толщины / И. И. Сафаров, З. И. Болтаев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 4 (20). -
С.24-35.
