Нестационарная осесимметричная динамическая задача для трехслойной ортотропной цилиндрической оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого твердого тела

УДК 539.3:517.956

Ю. Э. Сеницкий, И. Е. Козьма

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ОРТОТРОПНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

На основе уточненной теории приведено новое замкнутое решение осесимметричной динамической задачи для упругой трехслойной ортотропной круговой цилиндрической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью при произвольном её загружении и упругом защемлении торцов. При этом учитываются силы вязкоупругого сопротивления. Применен метод многокомпонентных биортого-нальных конечных интегральных преобразований. Показано, что в случае диагональной матрицы инерционных членов собственные значения и собственные функции, определяющие искомые спектральные разложения, являются вещественными.

Построение точных решений нестационарных задач для неоднородных, в том числе трехслойных оболочек представляет большие трудности, поэтому результаты здесь известны лишь для сферических и цилиндрических оболочек [1-3].

В настоящем исследовании рассматривается трехслойная круговая цилиндрическая оболочка длиной 2* = Н * , внешний, внутренний и средний слой которой имеют толщины /?1, ^2, Н . Радиус кривизны ее нейтральной поверхности Я. В цилиндрической системе координат г = Я, 0,2 оболочка занимает область О :{0 < 2* <Н*,0 <0< 2я} и загружена произвольной осесимметричной линейной д *Я (2*,/*), д *2 (2*, /*) и моментной т *2 (2*,^) нагрузками (/ * — время). Исследуется случай упругого защемления торцов оболочки, коэффициент жесткости которого относительно углов поворота с *3 • Модули упругости и коэффициенты Пуассона верхнего (наружного) и нижнего (внутреннего) слоев равны Е1, Е2 и VI, У2, а средний ор-

тотропный слой имеет приведенные коэффициенты жесткости С11, С44 , причем Сп = -С,

С44 = Gr0, С = 1 -V20п02. Здесь Е2, Gr0, V20, п02 — модуль упругости, модуль сдвига и соответствующие коэффициенты Пуассона материала среднего слоя оболочки.

1. Постановка задачи. Исследование проводится в предположении, что наружные слои оболочки испытывают мембранное напряженно-деформированное состояние, в то время как для среднего слоя справедлива уточненная теория типа С. П. Тимошенко. Это значит, что дополнительно учитываются деформация поперечного сдвига и инерция поворота поперечных сечений. Таким образом, деформированное состояние всего пакета определяется на основании гипотезы ломаной линии при идеальном контакте слоев.

Дифференциальные уравнения осесимметричного движения трехслойной цилиндрической оболочки при наличии всех инерционных членов и соответствующие упругому защемлению торцов краевые условия записываются в безразмерной форме следующим образом [4]:

д2и Э2^ г Э2и Т Э2^

^2 + ЛИ э_.2 + "14 э2 + ”17Т-111 э,2 -'13 Э,2 =-9=,

Э2^ эи Э¥ г ЭV

2 °34^Т~ + °36^Т~ Л33^ 122~Г = Л11дЯ,

Эх Эг Эг Э г

Э2^ Э2и Э^ г Э2^ г Э2и

Э.-2 + Л44 Э^ + Э2 “49 33 Э<2 131 Э(2 “ т

при 2 = 0, Н —

(1.1)

при ґ = 0 —

и = Ш = 0,

— = ±Хз^, дх Л3

и = и о( х), Ш = Ш0( х), ¥ = %( х),

ди дШ д^ ш

1Г = о( х), Т = Шо(х), ^ = *о(х).

(1.2)

(1.3)

Здесь и (х, ?), Ш (х, ?), ¥( х, t) — безразмерные компоненты вектора перемещений и угол поворота нормали, причем

и *( х* ^) Ш *( х* t*)

(1.4)

и *(х*, ґ*) ттг Ш *(х*, ґ*)

и =------1-------, Ш = -

я я

Звездочкой обозначены соответствующие размерные величины. Безразмерная координата х, время ґ и остальные величины определяются такими соотношениями:

>2

х = —, Н =

я

Н * ґ * ґ = — Ац,

я ’ Я V т1

Я . ио 1 и о*

А о 1 Я

Чх = ч *

я

Чя = Ч Я

я

Я2

тх = т *

41

^1

41

Шо =-

Я

и *

ио = ио-

о Я

Ш *

Шо = о Я

(1.5)

Безразмерные постоянные коэффициенты уравнений аік и Іік зависят от физико-механических характеристик и геометрических параметров оболочки, а именно:

а11 =

11

------, а14 = ^ Я, а15 = ^ Я ~1, а17 = ^ Я, а33 = Аз3 Я 2,

А А а 17 а А

А31 А11 А11 А11 А31

а34 =

34

Я,

31

А36 а36 = ^ А31

А44 г> А48 г>2

а44 = —- Я, а48 = — Я ,

а49 =

= "49 Я2, І11 = 2, І13 = 2тЯ-1,

13

41

41

41

т1

122 = 2 ^

22 А

Т = 2 т2 А11 Т33 =2 : •

31 т1 А41

131 = 2 ^ А1 Я,

т1 А41

(1.6)

где

А11 = с11й + Х( 1)

п=1

1 -V

А14 = ~(А11 + А31), А15 = 2 X

И ЕпИп

2 п=11 -П

А17 = с44 я

А31 = А17Я, А33 = А11Я 2, А34 = А11Я 1, А36 =

44

- (2 Я)-1 X

Епйп

=11 -пп

1 V ЕпИп (2И + Ип)

' п=1

1 -V

1 у г

А41 =

22

11

2+1 ЕпИп (2Й + Ип )

п=1

1 -V

V м

А48 = ^44И + Я А44,

А49 = А17Я, А 41 =

11

!+1 ЕАЙ

3 п=г ' 1 -пп

1-+І (-•)'

т9 =

т1 = рой + рЛ [1 + (2 Я)-1(й + Й1)] - Р2Й2 [1 - (2 Я)-1(й + й^)], Ро12 + Р1 [1 + (2 Я)-1(й + Й1)] -р2 ^ [1 - (2 Я)-1(й + Й2)],

т3 =Ро1ЙЯ + Р1Й21 [1 + (2 Я)-1(й + Й1)] + Р2 Й22 [1 - (2 Я)-1(й + Й2)],

.................................„ , ч _ (1.7)

12Д 2 ё ^ 2 I- ^

Ро, р1, р2 — соответственно плотности среднего, внешнего (наружного) и внутреннего слоев цилиндрической оболочки.

Начальные перемещения ио(х), Шо(х), ¥о(х) (начальные несовершенства) и скорости перемещений ио( х), Ш0( х), ¥ о( х) полагаются заданными.

Граничные условия (1.2) соответствуют упругому замещению торцов и относятся к среднему слою цилиндрической оболочки.

Соотношения (1. 1)—(1.3) представляют математическую формулировку рассматриваемой начально-краевой задачи в перемещениях.

Для полного описания напряженно-деформированного состояния трехслойной круговой цилиндрической оболочки необходимо её дополнить физическими уравнениями, связывающими погонные внутренние усилия, которые возникают в среднем, внешнем и внутреннем слоях с компонентами вектора перемещений:

N =

N *

спк

Эи ^ лг N1

-----+ Ш, Nе = —5

Эх ’

спЬ

12

41

эи

Эх

м =

м\

2

м

ме = ^-^ =

сцк

2

11

12Я

Эу п = _Щ = С44

Эх ’ Пх ’

с11Н с

11

сцк

г ЭШЛ ¥+ — Эх

Н Эу 12Я Эх ’

(1.8)

Соответственно

=(1 -п2) Е1Н1 х '

N *(1)

Nт = ^ = у, (1 -

-1

''Эи Н Э¥ г„л

----+-----------+ Ш

Эх 2Я Эх

м(}] = -

Е1Н1 м

*(1)

гЭи Н Э¥ г„л

+---------+ Ш

ч 2Я Эх ,

-1/

м= П1 = о;

Е1Н1(Н + Н1)

м *е1)

Эх 2Я Эх [2 (-п2)

Эи Н Э¥

+------------------+ Ш

Эх 2Я Эх

Е1Н1(Н + Н1)

= П1 [2 (1-У2)

V

-1/

Эи Н Э¥ г„л

—+---------------+ш

Эх 2Я Эх

(1.9)

М2) =

N *(2)

1 У х Е2Н2

N *(2)

N §2) = — § = -У2 (1 -

м(2) = -

Е2Н2 м

*(2)

м§2) =

Е2Н2 (Н + Н2) м *§2)

(1 -п2)

(1 -п2)

[2 (1 -п2)

[2 (1 -п2)

'Эи Н Э¥ г„л

---------------+ Ш

Эх 2Я Эх

'Эи Н Э¥ г„л

---------------+ Ш

Эх 2Я Эх

-1 (Эи Н Э¥

--------------+ Ш

Эх 2Я Эх

■ = у

-1 ^Эи Н Э¥ г„л

--------------+ Ш

Эх 2Я Эх

Здесь N., N.

Е2Н2(Н + Н2)

П(2) = о.

е, Пг — безразмерные нормальные и поперечные усилия, а мх

ме — соот-

ветственно изгибающие моменты.

В математической модели (1.1)—(1.3) силы вязкоупругого сопротивления отсутствуют. В соответствии с методом квазинормальных координат [5] они вводятся в дальнейшем в процессе решения задачи.

2. Построение общего решения. Как будет показано ниже, рассматриваемая начальнокраевая задача является несамосопряженной; поэтому при решении нельзя воспользоваться обычной процедурой структурного метода конечных интегральных преобразований [6]. Неса-мосопряженность математических моделей также установлена ранее при исследовании колебаний многослойных ортотропных тонкостенных конструкций, например [7].

Для подобного класса задач эффективным аналитическим способом решения является разработанный в [8-11] метод биортогональных многокомпонентных конечных интегральных преобразований (КИП). Его математическое обоснование приведено в [8, 9], а алгоритмическая процедура применительно к задачам динамики оболочек вращения подробно изложена в [8, 11].

Вводим на сегменте х е [0, Н] такое многокомпонентное биортогональное КИП по переменной 7, определяющее трансформанту ф(1,,t):

Н

ф(1, t )= |{[ 1пи (х, t) + /1з¥(х, t)] *1(1, х) +122Ш (х, t) К2(1, х) +

+ [/зз¥( х, t) + 1зР (х, t)] *з(1, х)}^ (2.1)

о

и соответствующие (2.1) формулы обращения в виде [8-10]:

>=}

и(х,t) = X Ф(1,ОО^},х) ((,)“= .; Ш(х,t)= X Ф(1, ^(Ц,,х) ((,));

Ь 1=1

1=1

:=1

(2.2)

р (х, t) = X Ф(1», t )Оз (т;, х) (, оу), =..

1,1=1 1 '

Преобразование (2.1), (2.2) справедливо при выполнении следующего соотношения биортогональности [8, 9]:

Н

I { [/1О(т 1,х) + 713°3 (т 1,х)] *1 С1/,х) +/22О2 (т 1,х)*2 (1г,х) +

+ [1ззОз(т 1, х) +1зх^х(т 1, х)] *з(1,, х)}йх = 8, (К,, О;), (2.3)

где 81 — символ Кронекера.

В соотношениях (2.1)-(2.3) *{ = *{ (1,, х), О^ = (т, х) — вектор-функции ядер биорто-

гонального КИП с ортогональными компонентами *1,, *2,, *3, и О1 ^, О2у, О3^, определяемыми соответственно из сопряженной и инвариантной ядровых однородных краевых задач, формирующихся в процессе решения; 1,, т^ 1 е • ) — параметры, образующие счетные множе-

ства и являющиеся собственными значениями указанных краевых задач для *1 и О^; (*1, О,) — обобщенное скалярное произведение вектор-функций *, и О,-, т.е.

' '>=]

Н

((, О} )). = | {/пО1(т;, х) *1 (1,, х)+122о2(т,, х) *2(1,, х)+133О3(т,, х )*3(1,, х) + о

+/13О3(т;,х)*1 (с,,х) + !31О1(т,-,х)*3(1,,х)}йх . (2.4)

Применяем биортогональное КИП (2.1) к системе дифференциальных уравнений (1.1) и начальным условиям (1.3). В результате получаем:

С2 Н Н

Н‘ Э 2и

—— + а15—2 Эх2 15 Эх2

■ + а

14

Н ГЭ 2Ш

Эх

2 а34

Эи

Эх

- + а

36

Н ГЭ 2 ¥

Э 2и

ЭГ

Эх

ЭР

Эх

ЭШ

+ а17Р

/

- а33Ш

й 2 Н Н

*2,йх - —г I Ш*2,йх = -а111 qяK2,dх,

Эх

Y + а4^ТГ + а48^-------а49Р

2 Эх2 Эх

сИ

*3,йх -Т2 I (33¥ +131иКзгCх = -1 тг*Ъ1йх. А 1 1

о

]2 Н

Н

(2.5)

При t = о имеем

Н Н Н Н

1) /ц I и(х, о)*цйх =1111 ио (х)*цйх; 2) 1221Ш(х, о)*2— =/22|(х)*2— ;

о о о о

Н Н Н Н

3) /331 Р(х,о)*3,йх =/331 ¥о(х)*3,Сх; 4) /31|и(х,о)*3— =/31|ио(х)*3— ;

о о о о

Н Н

5) /131 Р( х,о)*цйх =/131 ¥о( х) *1гСх;

о о

с н н с н н

6) /11 -1 и(х, о)*ийх =/111 ^ (х)*иСх; 7) /22 -1Ш(х, о)*2гСх =/221 ^То (х)*2^;

й,: о о й,: о о

с н н , н н

8) /33 л I ¥(х,о)*3- =/331 о(х)*3-х; 9) /31 -1и(х,о)*ъ-х =/311СГо(х)*3-х ;

сt о о т о о

(2.6)

Ю) /13-1 ¥( х,о)*1—х =/131 'Р о( х) *1А

Н

Н

Ct

(2.7)

о

Для членов, содержащих производные по пространственной переменной, выполняя интегрирование по частям, а затем складывая уравнения (2.5) и соответственно начальные условия (2.6) и (2.7), приходим к соотношениям

Н

ф(*1,,*2,, *3,,и,Ш, Р)|Н + I [и(*!;. + а34*2, + а**,.) + - а1А*и - а^ - а33*2,) +

+¥(Кз; + а15К1; а36К2і + а17К1і а49Кз;)

Яг -

72 Н

-^-2 | (/'№ + ^К,, + Ізз^Кз, + /зі^Кз, + /^Кц-) =

Н

(ЧгК1, + а1іЧкК2і + ОТ2Кз,)Яг. (2-8)

яг =

При і = 0 имеем

Н

1) |[и(г,0Над, + ІзіКз,) + Ж(7>0)і22К2,. + ¥(г,0)(іззКз,. + ад,.)

о

Н

= |[^0 (г )(іііКі, + ІзіКз,) + Ж0(2)і22К2і +% (г Над, + ІізКі,);

0

Я н

2) - І [и (г,0)(іпКі, + ІзіКз,) + Ж (г^ад, + ¥(г,0)(аді + ад,. ) =

Н

|[и0 (г )(іііКі, + ІзіКз,) + ВДад, + ¥ 0 (г )(/ззКз, + ІізКі,). (2.9)

0

Здесь Ф (К1і, К2і , Кз; ,и , ¥) — полилинейная форма, т.е.

Ґди Э¥

Ф (Кі,, К2,, Кз, ,и , ¥) =

ҐдЖ

+ аі^ — + аі4Ж

Эг Эг

Кі, - (и + аі5¥)К'іі +

Э/

- аз4и + азб¥

К21 - ЖК2, +

'Э¥ Эи

+ а44 —— + а48^

ч Эг Эг

Кз, - (¥ + а44и)Кз,. (2.10)

Штрих обозначает дифференцирование по 7.

Вводим два обычных условия структурного алгоритма метода КИП [б, 8, 9, 11], а именно, операционное свойство, и обращение в нуль полилинейной формы на концах сегмента [0, Н].

Имеем:

Н

1) І [и(КЦ + аз4К2; + а44К^ ) + Ж(К,, - амК', - аззК,, - а48К'Ъ1) +

+¥(а15К1, + а'7К'1 азбК21 + Кз, а49Кз, )

Яг =

Н

-І21 [и(/''К',. + ІзіКз,) + Ж/22К2і +¥((,; + ад, )г; (2.11)

2) ф (*1,, *2,, *3, ,и,Ш, Р)|Н = о. (2.12)

Если принять теперь во внимание соотношения (2.11), (2.12) и выражение для трансформанты (2.1), то уравнение (2.8) и (2.9) принимают следующий вид:

С 2ф(1,-, t)

Яі

-+1,ф(1,-,і) = -р(і,,і), ;<

При і = 0 имеем

ф/. ,0) = Ф0(11), — Ф(1,, і)| і=0 =Ф0(11), аі

где Р (і,, і ), Ф0(1;), Ф0(1;) — соответствующие трансформанты, т.е

(2. із)

(2.14)

0

0

0

0

Р(1і, І) = І [ ([ І)К1(1, г) + а1 іЯя (^ І)К2 (1і, г) + тг (^ І)Кз (1і, г)] ,

0

Н

Ф0(1;) = І{[00 + І'зЗД]],,г) + І22^)(г)К2(1і,г) + [іззЗД + ^(г)]],,г)},

0

Н

Ф0(1,) = |{[/'{ + {(г)]{,{) + І{г)К2(1,г) + [іззВД + Ізіг^аСг)]Кз(1,,г)}. (2.15)

0

С другой стороны, условия (2.11), (2.12) позволяют сформулировать сопряженную краевую задачу для вектор-функции ядра К (1;, г) биортогонального КИП (2.1), (2.2).

Действительно, из операционного свойства (2.11) следует однородная система обыкновенных дифференциальных уравнений для ее компонент Кі(1;, г), К,^,-, г), Кз(1;, г):

Кі

11 + аз4К21 + 1711К11 + (а44 + 11 з 1)Кзі = 0 ;

К21 а14К'і а48Кзі + (1гІ22 азз ) К21 = 0;

кз; + а^К'' - азбК2, + (ап + 12/'з)Ки + (і21зз - а49)Кз, = 0. (2.16)

Воспользуемся теперь равенством (2.12), которое с учетом выражения (2.10) и граничных условий (1.2) принимает следующий вид:

{Щ (і + а44Кз,. ) + Э^^К21 +¥[азбК21 - а„ К', - Кз, ±Хз (із, + аЛ )]}|Н = 0 .

ТГ Эи ЭШ

Поскольку производные -д—, — и углы поворота у не определены на концах сегмента

[0, Н], то обращение в нуль приведенного выше выражения возможно при выполнении таких граничных условий: при г = [0, Н ] —

К'і + а44 Кзі = 0; К21 = 0, ”1 (2 17)

кз, + а'5К', • Сз(Кз, + а'5Ки) = 0.| .

Э2 2

З а м е ч а н и е 1. При соответствиях и ~ К1;, Ж ~ К2;, ¥ ~ Кз;, — —1 дифференци-

Эi

альный оператор (2.1б), (2.17) не инвариантен (1.1), (1.2), т.е. начально-краевая задача (1.1)-(1.з) является несамосопряженной.

Таким образом, сформулированы счетная система задач Коша (2. із), (2.14) для трансформанты ф(1;, і ) и сопряженная однородная краевая задача для компонентов К1;, К2;, Кз; вектор-

функции К (1;, г) ядра биортогонального конечного интегрального преобразования (2.1), (2.2).

В соответствии с алгоритмической процедурой метода биортогональных конечных интегральных преобразований [8, 9, 11] подействуем на дифференциальные уравнения (2.1б) соответственно интегральными операторами

Н Н Н

І^і(т},г^ |о,(т},гж |Оз(ц},г)аг,

0 0 0

то есть

І [ К' + аз4 К2; + 12 ІцКц + (а44 +12 Із, ) ] ЗД ], г)Яг = 0;

Н

І[ К,, - а,4 К', - а48Кз, +(12І22 - азз ) ] 02(ц}, г)Яг = 0; (2.18)

0

Н

Н

І[ Кз; + а15 К1; азбК2і +(аі7 +і2 7із)) +(і зз а49 )Кз; ]з(М-./ ,г] = 0.

0

Повторяя, как и выше, предусмотренную структурным алгоритмом метода КИП процедуру выделения сопряженного оператора, т.е. интегрируя по частям и складывая равенства (2.18), находим:

н

^(К1г,*2/,*3/,01 у ,02у ,03у)|Н + | (*1°1 у а34*2°1 у + а44*3°1 у + *2°2у + а14*1°2у

О

-а33*2°2у + а48*302у + *3°3 у + а15*1°3у + а17*1°3у + а36*2/03у - а49*3°3у ) =

н

= -А.2 | (Т'ц*!0 у + /31^3^1 у +122*2°2у + /33*3°3у + /13*1°3у )^ (219)

О

где

^(К1г, *2/, *3/, 01 у, 02у, 03у ) = 01 у*!' - 01 у*1/ +

+а34*2г°1 у + а44 (01 1/*3/ - *3°1 у ) + 02*2/ - 02*2/ + а14*102у - а48*3°2у +

+ (031/*3/ - *3°3у ) + а15 (03у*1 г - *1°3у ) - а36*2/03у • (2-20)

Вводя аналогичные (2.11), (2.12) два условия:

1) п(Кь.,К2г,*3,.,С1 у,02у,03;)|н = о, (2.21)

н

2) 1 (*1°1 у - а34*2/01 у + а44*3/ + *2°2у + а14*1° 2

2 у

а33 *202 у + а48 *3/02 у + *3°3 у +

+а15*1/^3у + а17ВДу + а3б*2г03у - а49*3°3у ) =

н

= ~т] 1 (/11*1°1 у + (31*3°1 у +122 *2°2 у +/33*3°3 у +/13*1°3 у ) ^ (2.22)

О

из (2.19), с учетом (2.21), (2.22), следует такое равенство:

н

(т 2 -I2) 1 (А у + /3(1 у + /22 *2,02 у + /33*3,03 у + /13ВД у ) = 0. (2.23)

О

Соотношение (2.23) и представляет условие биортогональности (2.3), подтверждающее справедливость разложений (2.1), (2.2).

Операционное свойство (2.22) формулирует однородную систему дифференциальных уравнений для компонентов *1(Цу,г), *2(Ц.у,г), *3(№у,г) второй ядровой вектор-функции

*у биортогонального КИП (2.1), (2.2). Имеем:

1) 01 у + а14°2у + а15°3у + а1703у + Му (/1101 у + /1303у ) = 0 ;

2) 02у - а33°2у - а3401 у + а3603у + М-у122°2у = 0 ; (2-24)

2) °3 у - а44°3у + а48°1 у - а49°3у +т.^' (/33°3у + /31°1 у ) = 0 .

Равенство (2.21) с учетом (2.20) и двух первых условий (2.17) принимает следующий вид:

[(ахз*1/ + *3/)0у - (*3/ + аи*1/)03у + 01 у (*!г + а44*3г) + 02} (*2, + а14*1г - а48*3г )]|^ = 0 . Очевидно, что при наличии третьего соотношения (2.17) оно обращается в тождество в случае таких граничных условий для компонентов вектор-функции О у: при 7 = О, Н:

О1 у = 0; О2у = 0; 03у =+*303у. (2.25)

э2 2

При соответствиях V ~ 01у, Ж ~ 02у, ¥ ~ 03]-, —2 —ту краевая задача (1.1), (1.2) инвариантна (2.24), (2.25).

Таким образом, исходная начально-краевая задача (1.1)-(1.3) распалась на счетную систему задач Коши (2.13), (2.14) для трансформанты ф(1;-,t) и две однородные краевые задачи

(2.16), (2.17) и (2.24), (2.25) для компонентов *1;-, *2;-, *3;- и 01 у, 02у, 03у ядер биортогонального КИП (2.1), (2.2).

0

Рассмотрим последовательно решение этих задач. Поскольку (из экспериментальных данных) известно [5], что силы вязкоупругого сопротивления (внутреннего трения) практически не оказывают влияние на формы колебаний конструкции, то их следует вводить в математическую модель после отделения пространственной переменной 7. В соответствии с методом квазинор-мальных координат [5] вводим силы линейного вязкоупругого сопротивления в дифференциальное уравнение (2.13). Если обозначить через ' коэффициент потерь для каждой моды колебаний /, то силу внутреннего трения Т1, следуя скорректированной частотно-независимой гипотезе Фойхта, можно представить в виде [5]

Т(1г,0 = у;. (2.26)

Л

Учитывая (2.26), дифференциальное уравнение (2.13) для трансформанты ф(1;-, t) записывается теперь следующим образом:

+ уЛгЩД) 2 ,0 = -р(1,0, /. £ . . (2.27)

А ш

Разыскивая его частное решение методом вариации произвольных постоянных и учитывая начальные условия (2.14), окончательно имеем:

Р(1 /, t) = е

= е-Ь/

р0 (1 ,) (оо8 ( + -0- 8т а/) + Р о(1) 8т а/ + — [ Р(1 ;-, х)еЬ/ х 8т а;- (t - х)Ш х \ а ' а ; а ; I

(2.28)

где ai =

[12 (1 -1 ''2)]

Принимая во внимание (1.5), размерные круговые частоты колебаний оболочки определяем по формуле

/ е

Рассмотрим теперь подробно решения ядровых краевых задач (2.16), (2.17) и (2.24), (2.25). Поскольку система дифференциальных уравнений (2.16) с постоянными коэффициентами,

то вводя матрицу столбец *1 =||*1 ;-,*ъ,*3;||Т вектор-функции сопряженной задачи, представим (2.16) в матричной форме:

34

+ 12/22 а33

(а44 +1;/31)

а48 Шг

(щ? + а17 + 12/13

а36 Шг

Шг2

х *, = 0.

Отсюда следует такое разрешающее дифференциальное уравнение для *(1 /, г):

Ш 6 * (1 г, г) + ь Ш 4 * (1 г, г) + ь Ш3 * (1 г, г) + ь Ш 2 * (1 г, г) +

Шг 6

Шг

4 + Ь3 /'

Шг

2

+^1

Шг

Ш* (1 г, г) +, -

Шг

+ Ьо г * (1 г, г) = 0.

(2.29)

Здесь Ьо/ = 1 6/22(/11^33 /3^/13) +14 [/3^/13а33 /22(/13а44 + /31а17) /11(/22а49 + /33а33)] +

+1; [а44(/13а33 /22а17) + а33(/31а17 + /11а49)] + а33а44а17;

Ь1 / = а34 [1г (/33а14 - /13а48) - (а48а17 + а49а14)] ;

Ь2 / =1г [/11/22 + /11/33 + /22/33 -/31(/13 + а15/22)] + 1; [/31(а14а36 + а15а33 - а17) --/11(а33 + а49 + а36а48)-/33а33 -/22(а49 + а44а15) -/13а44] +

+ [а33 (а49 + а44а15) + а44(а14а36 а17)];

Ь3 / = а34(а14 - а48а15) ;

Ь4 / =12(/11 +122 + /33 -/31а15) - (а33 + а49 + а44а15 + а36а48) . (2.30)

59

Оставляя два первых уравнения системы, т.е.

(і+1 2111) а а34 Тх Кц (а44 +1 2і31 )К3г

X —

а а14 Тх ( + 12122 - а33) К2, К ^ 1-^ 8 4 а

выражаем компоненты Ки, через КЪ1. Принимая затем (без ущерба общности):

Кз, =

ах2

-а

+ 121

14

і111

а

ах

ах2

+ 1і122 а

33

К (1,, 7):

окончательно находим:

2

Кі, — (1/1 зі + а44 + аз4а48)К (1,,х)

[1г122131 + 1 (а44122 а33І31) + (а34а48 а33а44)]'^ (1і, х);

К2, —

—т Г 2 "1 —'

а48 К (1,, х)-[1, (а14131 - а48111) + а14а44)] К (1,, х)

(2.31)

К3, — К\1г,7) + [12(/ц +122) + (ама34 -а33)]*”(1,,х) + 12Іц(12122 -а33)К(1,,х). Решение разрешающего уравнения (2.29) записывается в экспоненциальной форме, т.е.

К (1,, х) — £ Ск

,Рьг

к—1

где р£;- (к = 1,2,..., 6) — корни характеристического уравнения

Рб + ЬАр + Ьз;р3 + Ь2;р2 + Ь11р + Ь0; = 0 .

Имея в виду (2.32), компоненты Ки, К2;-, Кз;- ядра КИП (2.31) записываются в виде

К1г = -Х[(12^31 + а44 + а34а48)р1г + 14122731 + 12(а44122 - а33131) + (а34а48 - а33а44)]0;герк2 ; к=1

(2.32)

(2.33)

К2, — Х(а48Ркг ё12(а14131 а48111) + а14а44)рк;]}С^еРкХ ; к—1

Х{р4 +[1 і (111 + {22) + (а14а34 - а33)]р2, + 1г ^11 (1г122 - а33)}Скге'

(2.34)

К3, —

к—1

Собственные значения (параметры) 1, (,' є •) однородной краевой задачи (2.16), (2.17) и произвольные постоянные Ск, (к — 1, 2,...,6) определяются в результате подстановки выражений (2.34) в граничные условия (2.17). Имеем

+ 81^2, + 8((3)С3, + 81^4, + 8((5)С5г + 8((6)Сб, — 0,' 821С1 , + 822С2 , + 823С3, + 824С4 , + 82зС5 , + 826С6 г — 0, 831)С1 , + 832С2, + 833С3 , + 834С4 , + 83зС5 , + 83бС6 , — 0, 841С1, + 8УС2, + 843С3 , + 844С4, + 845С5 , + 84 6ІС6 , — 0,

-45^5, '

8«С1 , + 852)С2, + 853>С3 , + 85С , + 855)С5, + 856С , — 0,

861С1, + 862С2 , + 863 С3, + 864С4 , + 865С5, + 866С6 , — 0,

(2.35)

Здесь

81 к — а44р4 +{а44 ё1 і (111 +122) + (а14а34 - а33)] + (1 і131 + а44 + а34а48}р2 +

+1 г ёа44І11(1 г122 - а33) + а44722 - а33731 ] + а34а48 - а33а49 ; 82к — а48р3 - ё1; (а14131 - а48111) + а14а44]рк,;

83к —рк, -Х3р4 +ё1 (111 +122) + а15 (1 г131 + а44 + а34а48) + а14а34 - а33 ~]ркі +

Хэ [а15(1г731 + а44 + а34а48) 1 (111 + 122) (а14а34 +

Дальнейшее решение очевидно. Из условий нетривиальное™ решения однородной системы (2.35), приравниваем её главный детерминант нулю. В результате получаем такое трансцендентное уравнение для определения собственных значений 1і (і є • ):

Отбрасывая первое уравнение (2.35), из оставшейся системы выражаем постоянные С2г-,

Определители А21, А3г, А41, А5г, Абг- следуют из А1г- путем замены в нем каждый раз соответственно первого, второго, третьего, четвертого и пятого столбцов на столбец

Соотношения (2.34), (2.36), (2.38)-(2.40) и уравнение (2.37) представляют решение сопряженной ядровой задачи (2.16), (2.17).

Поскольку решение однородной инвариантной ядровой задачи (2.24), (2.25) аналогично рассмотренной выше (2.16), (2.17), то ниже приводятся лишь окончательные результаты.

Компоненты С1]-, С2/-, С3/- вектор-функции С(Цу, г) ядра КИП (2.1), (2.2) и трансцендентное уравнение для определения соответственных значений т/ (/е • ) определяются из соотношений

(2.37)

(2.38)

(2.39)

(2.40)

у—1

15ы33 и36и14 ] гку

+ту113122 +ту (а17122 - а33113 ) - а17а33 }Вкуе ‘

О2 У = _Х{(^г36 + а34а15 )г{ +ёт 2 (а36111 + а34113 ) + а17а34 ] Гку }куе к ;

У—1

О3У = Х^к/ +ёту ((1 + { ) + (а34а17 - а33 )]Гку + М-2111 (т2122 + а33 кУ ;

У—1

дЦ) д(2) Д13) д(4) А15) А(6)

(2.41)

о (т у) —

д2'1) д22) д23) д24) Д25) ду

26

д31) д32) д3у) д34) д35) д36

д4-() ду д4У3) д4У4) д4У5) д4бб)

46

д(11) д^ д(33) д54) д(5,) д5б)

53

54 55

56

дб! дбЛ дб3) дб4) дбл д66)

— 0.

(2.42)

Здесь Гку (к — 1,2,..., 6) — корни характеристического уравнения

г6 + е4

Вку (к — 1,2,..., 6) — детерминанты вида

г 6 + е4 уг 4 + е2гг 2 + е0 у — 0;

(2.43)

В1у —

д22) д23) д (у) 24 д( у) 25 д( у) 26

д3у2) д333) д (у) 34 д( у) 35 д( у) 36

д42) д4у3) д (у) 44 д(4У5) д( у) 46

д5у2) д533) д (у) 54 д(55) д( у) 56

д6у2) д63) д (у) 64 д6у5) д( у) 66

(2.44)

причем В2у, В3у, В4у, В5у, В6у получаются из В1 у (2.44) путем замены каждый раз соответственно первого, второго, третьего, четвертого и пятого столбцов на столбец

|1-д21) - д31) - д4у1) - д(5у1)-д51) II . Здесь

д(у)1к — а15гку + ёту (13 + а15122 ) + а17 а15а33 а36а14] гку +

+т /113122 +т/(а17122 а33113) а17а33;

д(у )2к — (а36 + а34а15 )гку + [ту (а36111 + а34113 ) + а17а34] гку

д(у )3к — гку' - Х3гку +[т; ((1 + 722 ) + (а34а17 - а33 )] гк/ -%3 [М-у (^11 +122 ) + а34а14 - а33 ] гку '

+ту111 (ту122 + а33 ) гку - С3ЦуА1 (ту122 + а33 ) ;

д 4к—д(к )еГкН, д5 к—д2к)егкуН:

д(у)6к — {к + С3гк/ +[т2' (11 +122 ) + (а34а14 а33 )]гку + %3 [ту (^11 +122 ) + а34а14 а33]гк2 +

+ту^П (ту-122 + а33 ) гку + С3Ц_/111 (М-у122 + а33 )}е к . (2.45)

Наконец,

е0 у — (1 а44а15 ) |т у [122 (111133 113131 )]+М-у' [^11 (а33133 а49122 ) + (а33131 а17122 )] +

+туа33(а49111 + а17131)} ; е2 у — (1-а44а15 ) |т^- [^11 {^22 +133 ) + ^22 (33 - а15131)-113 (131 - а44122 )]“

Му [/11 (а33 + а49 а48а36 )] +122(а49 + а44а17) + /33(а33 а34а14) +

+/13(а34а45 - а33а44) +131(а17 - а14а36 - а33а15)] +

+а49(а33 - а34а14) + /171а33ау4 - а34а48)};

е4у — I1 - а44а15 ) {Му [^11 +133 + (1 - а44а15 )122 - а15^31 - а44/13 ] + а14 (а34 + а36а44 ) +

+а15 (а33а44 - а34а48 )- а33 - а49 - а44а17 - а48а36}; (2.46)

З а м е ч а н и е 2. Порядок вычисления параметров Хг(Цу). Выделение Хг (Цу) производится итерационным путем. Задаваясь Хг(цу), по формулам (2.30) (соответственно (2.46)), вычис-

. Решая затем алгебраические уравнения (2.33)

ляются значения b0i, b1;-, b2i, b3i, b4i

и c.

0 j 2 j 4 j

(соответственно (2.43)), определяются корни pki, rkj (k = 1,2,...,6), а по формулам (2.36),

(2.45) — коэффициенты 8(k\ §22,..., §62 и A1k^ А2*,..., A6;k). ПоДставляя найденные значения §1^,..., §6i) и соответственно A(j\..., Аб^ в (2.37) и (2.45) проверяем, удовлетворяются ли эти

уравнения. В случае их неудовлетворения принимаем X= Х, + АХг-, (1 i = М-г- +Ацг- и повторяем описанную выше процедуру.

Применяя к выражению (2.28) формулы обращения биортогонального КИП (2.2), окончательно получаем следующие спектральные разложения для разрешающих функций перемещений трехслойной цилиндрической оболочки:

ф0(1 )cos V + j o(1i) + bi jo(1i) sin X;t

—

+—e~bt JP(X;-, x)ebix sin X;- (t -x)dx | G1 (ц, z) (i, Gj) . = P;

j0(X; )cos Хг t + j o(Xi) + bi jo(1i) sin Хг

—i

1 t I _ ___ —i

+_ e-3^ J Р(Хг, x)ebi x sin Хг (t -x)d x I G2(i, , z) (, Gp) ^ p; j0(X; )cos Хг t +j o(Xi) + bi jo(Xi) sin Хг t

W (z, t) = ^^e i=1

—bit

Y( z, t) = ^e i=1

—bit

+-’-e_b't jР(Хг,x)eb'x sinХг(t-x)dx |g3(i,,z)((■,Gj). (2.47)

Здесь квадратуры ф0(Х;-), ф0(Х;-), Р(Хг,t) определяются соотношениями (2.15), компоненты двух ядровых функций биортогонального КИП Ку, Куг-, К31, О1 у, Оуу, 03у — по формулам

(2.31), (2.41). Параметры Хг, Цг являются корнями трансцендентных уравнений (2.37), (2.42). Скалярное произведение в разложениях (2.47) вычисляется на основании (2.4) и равенств

(2.31), (2.41). Имеем

__ ______ 6

(г, 0у ) — у — Х|111 {(Х2/31 + а44 + а34а48 )р2г +Х4122133 +Х2(а44122 - а33131) + а34а48 - а33а49 }Х

11 к—1

Х|[Мг (/13 + а15122) + а17 - а15а33 - а36а14 ] гкг + а15гкг + Мг/13122 + Мг (а17/22 - а33113) - а17а33}-

- 122 {а48р кг ~ Х| 1ауу131 - ау8 ) + ^4 ауу }|(а36 + а34 а15 )гкг + [Ц/ (а36 + а34113) + а17 а34 ]^к( } +

- 133{р*1 + [Х/ (111 +122) + 1aу/aз/ - а33)]р,«гг +ХIIУУ1ХII22 - а33)}|г*1 + [М'1 1IУУ +122) + aзуaуу - а33 К/ + + М/ (Мг + а33)}- /13 {(Хг131 + ауу + а3уау8)р*1 + Хг122133 + Хг (ауу122 - а33131) + а3уау8 - а33ау9 }х

Х{гкг +[мг (/11 + /22) + (а14а34 - а33)] гк1 + М/ /11(Мг122 + а33)}-

0

Х{а15/*г + [М-г (/13 + а15/22) + а17 - а15а33 - а36а14]Гк1 + М,/13/22 + М, (а17/22 - а33/13) - а17а33}}Х

хЛк1Бк1 (рк, + Гк,)-1 Н -1]. (2.48)

Выражения (2.47), (2.48) представляют общее решение нестационарной задачи для упруго защемленной круговой трехслойной цилиндрической оболочки, загруженной произвольной осесимметричной динамической нагрузкой с учетом сил вязкоупругого сопротивления. Действительно, путем дифференцирования равенств (2.47), в соответствии с формулами (1.8)—(1. 10), могут быть получены аналогичные разложения для внутренних усилий, возникающих в среднем, внешнем и внутреннем слоях оболочки.

Построенное решение существует, так как (2.47), (2.48) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (1.1) и краевым условиям (1.2), (1.3).

3. О собственных значениях ядровых краевых задач. В настоящем пункте сформулируем условия, при которых собственные значения 1,, т, и собственные функции сопряженной

(2.16), (2.17) и инвариантной (2.24), (2.25) краевых задач для ядра биортогонального КИП (2.1), (2.2) будут вещественными.

ТЕОРЕМА. Если 113 = 131 = 0, то собственные значения 1,, т, и собственные функции К1;-, К2,, К3,, Ои, 021,031 однородных краевых задач (2.16), (2.17) и (2.24), (2.25) являются вещественными.

Указанные выше условия теоремы соответствуют случаю, когда инерцией поворота в первом уравнении системы (1.1) и инерцией продольных сил в третьем можно пренебречь.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проводим от противного. Предположим, что т,,

1, — комплексные числа и Ои, 021, 031, Ку, К21, К31 — комплексные функции. Это значит, что для инвариантной (2.24), (2.25) и сопряженной (2.16), (2.17) краевых задач их можно представить в виде:

т = Ь + с,л/-1, 1, = Ь - сгЛ/-1; (3.1)

Оу = Щ + Гул/-1, а21 = и2, + УяуП, 03, = и3, + К3,л/-Т;

Кц = Щ -у^, К2, = и2, -к,гл/-1 К31 = и3, -^л/-! (3.2)

где 1ши1;- = 1т и2, = 1т и3, = 1т Ру = 1т У2, = 1т У3, = 0.

Воспользуемся условием биортогональности (2.23). После подстановки выражений (3.2) в соотношение (2.23) получаем

н

I {/„(и, + )(и, - ^л/-Г)+122(и2 + у^-1 )(и2 - К2Т-Т)+/33^3 + V3.F1 )и - Vз V-Г ) +

0

+/31(и1 + У1у1-Г)(и3 - К3л/-Г) + /13(и3 + V3^f—Т)(U1 - Ут^ТЩсЬ =

Н

= |{/11(и2 + V2) + /22(и2 + К22) + /33(и2 + V2) + (/13 + /31)(и1 и + V К3) +

-[(/31 -/13^ + (/13-/31^3 ]7-1}^2 = 0. (3.3)

Принимая во внимание, что /13 = /31 = 0 , из (3.3) следует

Н

|[/п(и2 + V2) + /22(и2 + V?) + /33(и2 + V2)]йЪ = 0 . (3.4)

0

Поскольку /п > 0, /22 > 0, /33 > 0 и (и2 + V2) > 0, (и2 + V22) > 0, (и32 + V2) > 0, то выполнение условия биортогональности (3.4) возможно лишь в случае, когда

и = и 2 = и 3 = V = Г2 = У3 = 0. (3.5)

Из равенств (3.2) теперь следует, что

Оу = а21 = 03, = Ку = К2, = К31 = 0. (3.6)

Таким образом, принятые комплексные величины (3.1), (3.2) соответствуют тривиальным

(нулевым) решениям однородных краевых задач (2.24), (2.25) и (2.16), (2.17), т. е. 0и, 021,

0

G3i, Klt, K2i, K3i не являются собственными функциями. Полученное противоречие и указывает на ошибочность представлений (3.1), (3.2), т. е. доказывает утверждение, сформулированное в теореме.

4. Частные случаи построенного решения. Рассмотрим сначала частные случаи закрепления торцов оболочки.

I. Шарнирное опирание по торцам z = 0, H. В этом случае необходимо принять коэффициент жесткости

Сз = 0. (4.1)

С учетом (4.1) равенства (2.36), (2.45) принимают следующий вид:

83i =Pki + [l; (I11 +122 ) + a15(1il31 + a44 + a34a48) + a14a34 - a33 ]р3г +

+ {1il11(1il22 - a33) + a15 [1il22 +1; (a44l22 - a33l31) + a34a48 - a33a49 ]}pki ;

d(i) = d(ibPkH •

06k ~ °3ke ;

A3kk) = rkj + [M-j' (I11 +122 ) + (a34a17 - a33 )] rkj + mjl11 (М-./122 + a33 ) rkj;

Aj = A3{)erkjH , (4.2)

где 8(k), 822, $42, §52 и A(k), A2'k), A4i), Ajj) вычисляются (как и в общем случае) по формулам (2.36) и (2.45)

II. Жесткое защемление торцов оболочки z = 0, H. При жестком защемлении коэффициент жесткости

С3 . (4.3)

Поделив правые части соответствующих равенств (2.36), (2.45) на С3 и осуществив предельный переход по (4.3), в результате получим

§3k) = -Pfc +[a15(1il31 + a44 + a34a48)-1; (I11 +122) - (a14a34 - a33)](^^^^ +

-{1il11(1il22 - a33) + a15 22131 + 1; (a44l22 - a33l31) + a34a48 - a33a49 ]} ;

§(i) = §(i)ePk,H •

06k ~ 3ke ;

A (3l) = -rkj - [M-j' (I11 +122 ) + a34a14 - a33 ] rkj ~mjl11 (m jl22 + a33 ) ;

A(6l) = A$/llH . (4.4)

Как и выше 822,84г2k, §52 и A(k), A2;k), A4i), A5j) вычисляются по равенствам (2.36),

(2.45).

Общее решение (2.47), (2.48) рассматриваемой задачи было построено для произвольных осесимметричных динамических воздействий qz (z, t), qR (z, t), mz (z, t). Для каждого конкретного случая нагружения оболочки эти функции должны быть заданы. Ниже приводятся некоторые частные случаи динамических воздействий.

В разложения (2.47), (2.48) функции qz, qR, mz попадают через трансформанту ф(1;-,t) (2.28). При этом для каждого нагружения необходимо вычислить интеграл нагрузки (2.28), (2.15), т. е. интеграл Дюамеля:

t t H

JP(1 i, X)eb-x sin a,(t -%)dT = JJ [qz (z, t)K1 (1i, z) + anqR (z, t)K2 (1, z) +

0 0 0

+mz(z,t)K3(1 j,z)]ebT sina;-(t-t)dtdz . (4.5)

1) Действие на цилиндрическую оболочку в момент времени t* = 0 равномерно распределенного по ее поверхности скачка давления (внезапно приложенной нагрузки) интенсивностью q* = const, p* = const:

q*(t*) = q*h(t*); q*(t*) = p*h(t*); m* = 0, (4.6)

где h(t*) — единичная функция Хэвисайда.

10, если t* < 0; h(t*) = Г * (4.7)

[1, если t > 0.

Обезразмеренные величины нагрузки (4.6) в соответствии с (1.5) имеют вид

qR(t) = qh(t); qz(t) = pn(t); mz = 0. (4.8)

Здесь

q = q * RA-1, p = p * RA-1. (4.9)

В результате подстановки равенств (4.8) в (4.5), получаем

t t Hr 6 1

JP(1,, t)ebit sin a, (t -t)dt = Jebit sin a, (t -t)dt J j ^ (pF1(kl) + a11qFj‘k? jlCkiePkiZ I p, (4.10)

0 0 0 Lk=1 J

где

ё(1г131 + a44 + a34a48)p2i + 1;IjjI31 + 1; (a44Ijj a33I31) + a34a48 a33a49 ],

F2k = a48p3i - [(1; (al4131 - a48111) + a14a44 Jpki . (4.11)

Вычисляя (4.10), с использованием интегрирования по частям, окончательно имеем: t 6 п-1

J P(1;, T)ebiT sin a (t-T)d t = X Сь [pki (a2 + p2)J (p( + anqF2k) )(ep -1) x

0 k=1

x[a;- (ebit - cos at) - P;- sin a;t J. (412)

Таким образом, в случае скачка давления (4.8) представления (2.47), (2.48) остаются справедливыми, когда выражение трансформанты (2.28) при нулевых начальных условиях ф0(1) = ф0(1) = 0 (см. (2.15)) определяются соотношением (4.12);

2) Действие на оболочку в момент времени t* = 0 равномерно распределенного на части ее поверхности z* = [h*, H *] скачка давления интенсивностью q* = const, p* = const.

Принимая во внимание свойство единичной функции, заданное воздействие можно представить в виде

q* (t*,z*) = p *h(t*)h(z * -h*); q*(t*,z*) = q * h(t*)h(z * -h*); m *z = 0. (4.13)

В безразмерной форме воздействие (4.13) можно представить так:

qz(t,z) = ph(t)h(z-X); qR(t,z) = qh(t)h(z-X); mz = 0, (4.14)

z* ^ h

причем z = —, c = — ,p и q определяются равенствами (4.9), а t — по (1.5).

RR

Подставляя выражения (4.14) в (4.5), окончательно получаем

t 6 п-1

J P(1;, T)ebiT sin a (t-T)d t = X С2, [pfo (a2 + p2)J (p( + anqF2(;i) )(ePki'H - ePkiX) x

0 k=1

x^a;- (ebit - cos a;t) - P;- sin a;t]. (415)

Трансформанта ф(1;-,t) (2.28) в разложениях (2.47), (2.48) для приведенного воздействия при нулевых начальных условиях определяется равенством (4.15).

3) Действие в момент времени t* = 0 по поверхности оболочки импульса единичной интенсивности:

q* (t*) = A11R _18(t*); q*(t*) = A11R _18(t*), m * = 0, (4.16)

где 8(t*) — дельта-функция Дирака.

Имея в виду (1.5), импульсное воздействие (4.16) в безразмерной форме можно представить так:

qz (t) = 1 • 8(t); qR (t) = 1 -§(t), mz = 0. (4.17)

Вычисляя (4.5) с учетом представлений (4.17) и фильтрующего свойства дельта-функции, находим

t 6

J P(1;, T)ebiT sin a (t-T)d T = X (F]2° + anF2k )Ck;p-/(ePkiH - 1)sin a;t. (4.18)

0 k=1

Таким образом, при нулевых начальных условиях трансформанта ф(1;-,t) в разложениях (2.47), (2.48) определяется выражением (4.1+8). Следует отметить, что часть формулы (4.18) зависящая от «/» представляет функцию Г рина для различных осесимметричных динамических нагрузок, задаваемых как функции времени.

4) Действие стационарной равномерно распределенной по поверхности оболочки вибрационной нагрузки с частотой изменения полных циклов 0:

q* (z*, t*) = p *cos 0t; q*(z*, t*) = q *cos 0t; m* = 0. (4.19)

Здесь q* = const, p* = const.

Воздействие (4.19) в безразмерной форме описывается соответственно:

qz (z, t) = p cos 0t; qR (z, t) = q cos 0t; mz = 0, (4.20)

где p и q определяются равенствами (4.9).

В результате подстановки выражений (4.20) в (4.5), после выполнения интегрирования, окончательно имеем:

J p(1i, T)eb'T sin a (t -T)d t = 2 X ( pF } + a11qF2(k) )(ePki'H -1) x

0

x|p, [b2 + (0 - a;- )2 ] 1 x

2

Jbt

k=1

/

0-a

sin 0t---------- cos 0t

bi

0-a;- .

+------- cos at - sin a.t

bi

+bi [b2 - (0+a )2 ]1 x

bit

) + a

bi

- cos 0t - sin 0t

+ ai ...

+—-—- cos a;t - sin a;t

bi

(4.21)

Следовательно, трансформанта ф(1г-,t) в разложениях (2.47), (2.48) при действии стационарной вибрационной нагрузки определяется равенством (4.21).

В заключение необходимо отметить, что в работе оригинальным методом приведено новое аналитическое решение осесимметричной задачи динамики для трехслойной круговой цилиндрической оболочки конечной сдвиговой жесткости при наличии сил вязкоупругого сопротивления. Существенным представляется то, что результаты получены для произвольной динамической нагрузки и весьма общих (упругих относительно углов поворота) условий закрепления торцов. Рассмотрены частные случаи, соответствующие идеальным условиям опирания оболочки и различным стационарным и нестационарным воздействиям.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сеницкий Ю. Э. Нестационарная задача динамики для трехслойной непологой сферической оболочки. // Строительная механика и расчет сооружений, 1990. — № 6. — С. 207-216.

2. Сеницкий Ю. Э. Лычев С. А. Динамика трехслойных сферических оболочек несимметричной структуры. // Тр. XVIII международ. конф. по теории оболочек и пластин. — Саратов, 1997. — C. 47-53.

3. Gederbaum G. T. Heller. R. A. Dynamic deformation of orthotropic cylinders// Trans. ASME. J. Pressure vessel Tech-nol, 1989. — Vol 111, No. 2. — P. 97-101.

4. Сеницкий Ю. Э. Козьма И. Е. Дифференциальные уравнения колебаний трехслойных ортотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью.// Тр. XXI международ. конф. по теории оболочек и пластин. — Саратов, 2005. — C. 207-216.

5. Цейтлин А. И. Кусаинов А. А. Методы учета внутреннего трения в динамических расчетах конструкций. — Алма-Ата: Наука, 1987. — 238 с.

6. Сеницкий Ю. Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. — Саратов: Изд-во СГУ, 1985. — 176 с.

7. Колесников С. В. Уточненная теория колебаний многослойной ортотропной пластины // ПММ, 1993. — Т. 57, № 5. С. 160-165.

8. Сеницкий Ю. Э. Обобщенные биортогональные конечные интегральные преобразования и их приложение к нестационарным задачам механики // Докл. РАН, 1995. — Т. 341, № 4. — С. 474-477.

9. Сеницкий Ю. Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное преобразование и его приложение к краевым задачам механики // Изв. вузов. Математика, 1996. — № 8. — С. 71-78.

10. Сеницкий Ю. Э. Метод конечных интегральных преобразований. Его перспективы в исследовании краевых задач механики (обзор) // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер: Математическая, 2003. — № 22. — С. 10-39.

11. Сеницкий Ю. Э. Сеницкий А. Ю. К проблеме разложения по собственным вектор-функциям в нестационарных начально-краевых задачах динамики оболочек вращения.// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер: «Физ.-мат. науки», 2004. — № 30. — С. 83-91.

Поступила 4.07.2006 г.