Устойчивость и единственность процессов формоизменения деталей при обработке давлением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374

УСТОЙЧИВОСТЬ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРОЦЕССОВ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ ПРИ ОБРАБОТКЕ ДАВЛЕНИЕМ

В.В. Козлов, А. А. Маркин

При обработке давлением возможности получения изделий заданной формы ограничены условиями единственности и устойчивости процессов их формоизменения при заданном внешнем воздействии. На основе вариационных условий равновесия и равновесности в форме Журдена получены общие условия бифуркации и устойчивости, учитывающие, в отличие от неравенства Р.Хилла, влияние скорости внешнего нагру-жения. Данный подход позволяет с единых позиций определить в упругопластических телах моменты начала изменения требуемой формы изделия как в процессах активного внешнего нагружения и разгрузки, так и в случае нулевой скорости внешнего нагру-жения.

Ключевые слова: процессы конечного деформирования, единственность, устойчивость, упругопластическое деформирование, вариационные условия, устойчивые и неустойчивые бифуркации.

В основу описания процессов конечного деформирования положены условие равновесия в вариационной форме Журдена и условие равновесности также в вариационном виде [1, 2, 3]. В работах [4, 5, 6] достаточное условие единственности продолжения процесса сформулировано в виде неравенства относительно интеграла по объему от свертки разностей скоростей напряжений и градиентов поля скоростей. При этом предполагается существование потенциала тензора напряжений Кирхгоффа в виде квадратичной формы компонент тензора-градиента скоростей. Использование подхода Хилла предполагает существование двух возможных продолжений процесса при одной и той же скорости внешнего нагружения, которая остаётся неопределенной. Кроме того, полагается, что возможные продолжения реализуется при одних и тех же связях. Неявно допускается, что в случае упругопластического материла зоны догрузки и разгрузки, соответствующие двум рассматриваемым продолжениям, одинаковы. Ввиду неопределенности скорости внешнего нагружения в момент бифуркации распределение зон принимается совпадающим с имеющимся к данному моменту.Это приводит к концепции равноактивного нагружения Шенли-Работнова [7, 8], когда бифуркация сопровождается ростом внешней нагрузки и в этом смысле является устойчивой.

Непосредственное использование критерия Хилла для упругопластического материала не позволяет выявить границу перехода от устойчивых бифуркаций к неустойчивым, происходящим при убывающей внешней нагрузке.

В данной работе выделяется основной процесс упругопластическо-го деформирования, единственность которого обеспечивается наложением дополнительных связей. Получена система двух вариационных условий бифуркации основного процесса при снятии дополнительных ограничений. Вариации скоростей побочного продолжения включают вариации основного и дополнительного продолжений. В отличие от условий единственности, приведенных в работах [2-6, 10-12], учитывается "скорость" внешнего нагружения в момент бифуркации, что позволяет выделить устойчивые, нейтральные и неустойчивые бифуркации.

Рассматривается процесс равновесного нагружения тела по части начальной поверхности Е0, на которой задано распределение внешних векторов напряжений

Р(х2, X) = по • Р , х=хх

где Р - несимметричный тензор напряжений Кирхгоффа; п0 - единичные векторы, нормальные к начальной поверхности; хЕ - радиус-векторы точек поверхности в начальном состоянии; X - монотонный параметр.

В соответствии с принципом Журдена условие равновесия тела примет вид [1]

о

| Р-ЬУУс1Ь = |Р^¥с£ (1)

Яо % £о

Условие равновесия (1) дополняется условием равновесности «скоростей» внешних и внутренних напряжений [1]

о

| Р-ьУУ(Я= |Р•ьу(2)

Яо % £о

/ \ 0 ■ э

Здесь У (х,X) - поле «скоростей» точек тела; У = в1—- - набла-оператор

Эх1

начального состояния. Под «скоростью» понимаем производную по произвольному монотонному параметру X, что означает независимость свойств упругопластических материалов от физического времени. В дальнейшем кавычки опускаем.

С целью удобства записи определяющих соотношений представим несимметричный тензор Кирхгоффа и его скорость через симметричный тензор Кирхгоффа Т по известным формулам [1]

( о \

Р = Т •

Р = Т

Е + У и

V

( о \

Е + У и

+ Т •УУ,

где Е - единичный тензор; и - поле перемещений.

Пусть задан закон внешнего нагружения Ро (х £, г), определяющий

равновесное движение тела. Будем называть этот процесс основным и обозначать значком «о». Основной процесс должен удовлетворять вариационному условию (2):

0 О о

i Р--д¥0 УdJ = |(4) Яо % £о

Рассмотрим возможность существования в момент г = г0 побочного продолжения процесса с полем скоростей

V=V+V

Введение дополнительного поля скоростей V расширяет поле возможных скоростейв побочном продолжении процесса

V = З0 + 3.

Будем считать основное продолжение неединственным, если выполняется условие

О

I Р ■ ■З¥1 Ус1Я = IР ■ 870&, (5)

Яо %1 £о

О

где Р = тР.

Для выполнения требования (5) достаточно, чтобы выполнялись условия

О

i Р ■ ■ЗУ0 УdJ = iР ■ (6)

Яо %1 £0

О

л • -► —*•

i Р ■ З¥УdJ = 0 (7)

Яо %1

В отличие от условий неединственности процессов равновесного деформирования, приведенных в работах [2-6],условие (5) содержит скорость внешнего нагружения Р. Это позволяет рассматривать бифуркации процесса при различных скоростях внешнего нагружения. В частности, если бифуркация происходит при внешней догрузке, когда т = 1 и Р ■ Р > 0, будем называть её устойчивой. Если же т = 1, то бифуркация сопровождается внешней разгрузкой Р ■ Р < 0 и она неустойчива. Критическое значение при переходе от устойчивых бифуркаций к неустойчивым достигается, когда т = 0 и

Р = 0.

38

Отметим, что если Р = Р, то рассматривается возможность существования различных продолжений процесса - основного и побочного при одинаковых скоростях внешнего нагружения. Если же существует побочное продолжение при Р = 0, то его можно трактовать как переход из основного состояния в бесконечно близкое при неизменной внешней нагруз-

о

ке. Существенно, что при Р = 0 основной процесс заторможен и У0 ° 0. В случае побочного продолжения при р = 0 возможно движение в направле-

, о

нии основного процесса и 5У0 Ф 0. Первый вариант при Р = Р представляет концепцию продолжающегося нагружения [8], а второй при Р = 0 рассматривается как условие неустойчивости упругопластического состояния тела [8].

Конкретизируем постановку задачи бифуркации упругопластиче-ских процессов в рамках кусочно-линейных соотношений между скоростями деформаций и напряжений в виде

Т = N+ ■-а при Т ■ -Т > 0 - догрузка,

Т = N -с при Т ■■Т< 0 - разгрузка

С о о л

УУ + У У

Здесь N + и N - тензоры 4-го ранга; сс = 1

(8)

тензор скорости

деформации.

Запишем условие бифуркации (6), (7) для гипоупругого материала,

когда

N + = N- = N.

В этом случае скорости напряжений представляются в виде

Т (1)= Т + Т, (9)

где Т = N ■ ; Т = N ■-Ж.

Из соотношений (9) и связи (3) следует представление условий неединственности (6), (7) в следующем виде:

0 о о _

| Р- -дУ0 УdJ + | Р■ЪУ0 УdJ = |Р ■ЬУ0с£ (10)

Я-0 % Я-0 % £0

о о о

i Р■ ■ 8УУdJ + i Р■ ■ 8УУdJ = 0 (11)

^0 % ^0 % 39

о

Здесь

/

о о

Р = Т ■

Е + У Я

+Т ■УК

V У

р = т ■

, л (12)

I о \ о

+ Т ■УК

Е+У я

V У

Потребуем, чтобы дополнительные мощности основного и побочного продолжений были независимы в силу выполнения следующий условий:

| Р ■-8Ко У<М = 0;

* о о (13)

|Р^ ■ЗУ У<<$ = 0.

*

При выполнении условий независимости (13) условия бифуркации (10) и (11) принимают вид

С о & & Г & &

I р ■ ■ ЗУ0 = IР ■ ЗУ0<Ъ (14)

о

IР ■ ■ ЗУ У<* = 0 (15)

В соответствии с выражениями (9) и (12) условие бифуркации (15) зависит только от дополнительного поля скоростей У (х, ?) и не зависит от

скорости внешнего нагружения Р. Отсюда следует, что в гипоупругом материале необходимое условие неустойчивости (Р = 0) и условие неединст-

, о

венности (Р = Р) совпадают, если дополнительное поле скоростей удовлетворяет условиям независимости (13).В этом случае (15) переходит в условие Хилла [5].

Рассмотрим общий случай определяющих соотношений в форме (8). Представим условия бифуркации (6), (7) через скорость симметричного тензора Кирхгоффа. Ограничимся малыми деформациями, когда

о

Е + У и □ Е ,и пренебрегаем напряжениями по сравнению с модулями определяющих соотношений (8). В результате из (3) получим выражение несимметричной скорости тензора Кирхгоффа в виде

Р = Т(1)+ Т^ ф,

{ о о

1

где ф =-%1 2

уу - у у

тензор вихря.

Подставляя это выражение в условие неединственности (6) и (7), приходим к следующим соотношениям:

J (i(1)+ T ■ w )•• V fdtf = J P ■ SVQdS (16)

Jo So

o

J (t&(1)+ w )■■ dV VdJ = 0 (17)

Jo

Запишем систему (16), (17) для рассмотрения неединственности процесса сжатия полосы с размерами:

b b h h 0 < x1 < l - длина; -— £ x3 < — - ширина; -— £ x2 < — - толщина.

Поле скоростей основного процесса представляется в виде

о о о

V0 =Лхд +12x2e2 +13X3R3, где l - скорости удлинений координатных материальных волокон. Диад-ное представление градиента основной скорости совпадает с тензором скорости основной деформации

о — о о о

= W0 =1—1—1 + 1 —2—2 + 1 —3—3 (18)

Вектор внешних напряжений P равномерно распределен по торцу

о

x1 = l и может изменяться со скоростью P. Так как рассматривается процесс сжатия, то

P=-|Pe; P=-|P|0 —1 (19)

Если |p|0 > 0, то сжимающая нагрузка растет (догрузка), если же

|p|0 < 0, то происходит внешняя разгрузка. Условие равновесности основного процесса с учётом выражений (18) - (19) принимает вид

о 0 о

T ■ ■ W =-| P d1.

о

Приравнивая коэффициенты при d11 в левой и правой частях, получим представление скорости тензора напряжений в основном процессе:

о 0 о о

Tn =-|P , T22 = T33 = 0. (20)

Побочное продолжение процесса. Рассматриваем возможность побочного продолжения в виде изгибной формы в рамках гипотез Кирх-гоффа-Лява. При этом кинематические характеристики побочного продолжения выражаются через скорости относительных удлинений 1 и скорости углов поворота нормальных к срединной линии плоскостей ф по формулам

V =го(1)(х1) ф(х1 )х2 рЬ V = -ф(х! )х2в!

о

V = (11 - ф,1х2\е1 + (е^ - ^2^1)ф;

Ж(1) = (Ч -Ф,1Х2 Ш = ш = - ё2ё1),

(21)

* dvj1)

где * =

dx1

Подставляя (21) в условие (16), получим

i

| (Т - Ы1) -51^ = 0, (22)

о

у

гдеТ1 = Ь | 771(^)dx2 ; Ы1 =-|р|' ЬН.

- н/ /2

Условие (17) с учётом (21) принимает вид i i

| М5ф,^х1 + Ц Ы1 |ф5фdx1 = 0, (23)

о о

/ 2

где М = Ь | ТЦx2dx2.

Н2

Дифференциальные формы условий (22), (23) имеют вид

Т1 - Ы1 = 0 , (24)

dM

dx1

- N1 ф = 0. (25)

Условия (24), (25) не зависят от свойств материала и выражают условие равновесности главного вектора Т1 и главного момента М в поперечных сечениях полосы.

Так как напряженное состояние определяется компонентой Т1 и материал полагается изотропным, то соотношения (8) принимают вид

Т1(11)= Е'жЦ, 0 (26)

Т1(11)= ЕжЦ, Ж111)> 0 (27)

Здесь е - модуль упругой разгрузки; е' - модуль пластической догрузки. Выбор знаков скорости деформации соответствует процессу дополнительного сжатия (догрузки) (26) и растяжению (разгрузки) (27). Для определения скоростей главных вектора и момента необходимо указать априори

42

неизвестное распределение зон разгрузки и догрузки по объему полосы. В зависимости от связи между скоростями 1 и ф1 возможны различные варианты условий бифуркации.

1. Равенство скоростей внешнего нагружения основного и побочного продолжений. Пусть основной процесс является осевой догрузкой и сопровождается ростом сжимающей силы. В этом случае из выражений (18), (20), (26) получим

О О 0

Т11 = Е\=-\Р\ < 0.

Отсюда и из уравнения (24) находим представление скорости внешнего нагружения основного процесса

И1 = - Е

11

ЬИ.

Потребуем равенства скоростей внешнего нагружения при основном и побочном продолжениях:

N = И1 = - Е

11

ЬИ.

(28)

Условие (28) будет выполнено, если скорости осевых деформаций в основном и побочном продолжениях совпадают -

11

11

(29)

и во всех точках полосы в побочном процессе происходит догружение, когда

1

> Х2Ф,1.

(30)

Действительно, распределение осевых скоростей напряжений с учётом требования (29), (30) имеет вид

Т1(11) = - Е

11

+ Х2 ¿1

(31)

Интегрируя (31) по площади поперечных сечений полосы, получим

Т = - ЕЬ |

11

+ Х2^д

сХ~ = - Е'ЬИ

11

(32)

Из выражения (32) и условия равновесности (24) следует равенство скоростей внешнего нагружения (29).

Используя (31), находим скорость главного момента

М = -ЭП1фл, (33)

ЬИ3

где Б,,, =-Е' - изгибная жесткость Шенли.

ш 12

о

о

О

о

о

Уравнение равновесности (25) в результате подстановки связи (33) принимает вид

d 2ф

2 + k2j = 0, (34)

dx2

где к2 = Щ/Бш .

Полагаем край полосы x1 = I свободным, а край x1 = 0 защемленным, тогда выполняются следующие условия:

x=0 dj

dxl

= 0

x=l

Уравнение (34) и граничные условия удовлетворяются, если

ж

j = A sin kx,; к =—(1 + 2n), n = 0,1,2,... (35)

Минимальная величина критической силы, получаемая из решения задачи на собственные значения (34), (35), определяется известным выражением

N„„ = D Ж

ЧШ ^Ш 412 •

Таким образом, условия равновесности (24), (25) при выполнении требования равенства скоростей основного и побочного догружения приводят к тому же результату, что и концепция продолжающегося нагруже-ния [8].

2. Бифуркация при нулевой скорости внешнегонагружения. Как

было сказано выше, бифуркация при Ы1 = 0 представляет переход от основного состояния в бесконечно близкое побочное при неизменной внешней нагрузке. Из условия (24) следует, что в этом случае Т1 = 0. Равенство нулю главного вектора возможно лишь при существовании зон догрузки и разгрузки. В зоне разгрузки скорости деформаций положительны и соответствуют началу перехода от сжатия к растяжению.

Полагаем, что зона разгрузки примыкает к нижней стороне x2 = - Н

полосы. Тогда распределение скоростей деформаций по толщине полосы имеет вид

(1) ^ Н а (^)

Ж® = 1 - xфl > 0, если -2 < Х2 < ,

(1) ^ а (^) Н

<}=Л-x2фл <0, если <Х2 <-

Уравнение границы разделения зон определяется из условия

_ а к2'

х*> =— 2

11 - а ф1 = 0

2 .

Отсюда получаем уравнение границы раздела зон в виде

аЫ=А (37)

2 ¿1 .

Исходя из соотношений (26), (27) и представлений (36) определяем скорости главного вектора и главного момента на границе, где имеет место разделение зон

Т = ^[(а + И)Е + (И - а)Е] -^(И2 - а2)(Е-Е) (38)

М = 1 (И2 - а2)(Е-Е)-^ [(а3 + И3) Е + (И3 - а3) Е] (39)

Из выражений (37) и (38) находим границу раздела зон при условии нулевой скорости внешнего нагружения. Положим в условии (24) = 0, тогда

Т = 0 (40)

Исключим из (38) с помощью (37) 1. В результате получим квадратное уравнение относительно а , из которого следует, что

а = -И^Ё= (41)

Подставляя (41) в (39), из условия (25) получим уравнение (34), в котором

к2 =| Щ/,

где Вк = -ЬИ-Ек - изгибная жесткость Кармана, выражаемая через приведенный модуль

4ЕЕ

Ек

[4Ё

В результате критическая сила Кармана получается заменой изгиб-ной жесткости Шенли на жесткость Кармана:

Иг = Б р

1к 412

Так как Е > Е', то бифуркация при продолжающемсянагружении-достигается при меньшей внешней нагрузке по сравнению с бифуркацией при неизменной внешней силе.

3. Бифуркации при внешней разгрузке. В этом случае происходит переход от скоростей деформаций сжатия к растяжению во всем объеме полосы. Для этого необходимо потребовать выполнение неравенства

Ж

(1)

11

Л

■х2фл > 0.

Распределение скоростей напряжений в соответствии с законом (27) принимает вид

Т11 = Е

Л

Х2^,1

Скорости главного вектора и момента определяются по формулам

Т = ЪНЕ

Л

м = -я>1,

ЬИ

где БЭ = Е - жесткость Эйлера.

Критическая сила Эйлера получается заменой изгибной жесткости Шенли на жесткость Эйлера

.2

м,=а

р

Бифуркация Эйлера сопровождается разгрузкой основного процесса, когда

n = n = еьи

Л

> 0.

Данная бифуркация неустойчива в отличие от бифуркации Шенли, которая происходит в процессе догружения и поэтому относится к устойчивым.

Отметим принципиальное различие между законами скоростей осевого деформирования при нейтральной бифуркации Кармана и бифуркациях Шенли, Эйлера. В случае устойчивой или неустойчивой бифуркации скорость осевой деформации однородна и совпадает со скоростью основ-

о

ного процесса Л1 = Л1 . Однако при нейтральной бифуркации Кармана из соотношений (35), (37), (41) следует, что

2

Л =—^бш кх1. а

Это означает, что нейтральная бифуркация сопровождается неоднородной, в отличие от бифуркаций Шенли, Эйлера, осевой деформацией.

Если свойства материала при побочном продолжении упругие, то

Т11 = Е®11 = Е (Л - Х2^,1 ) .

о

о

о

о

3

о

В этом случае из уравнения (25) независимо от скорости внешнего нагружения получаем критическую силу Эйлера, что согласуется с выводом о независимости условия (15) от условия (14).

Отметим, что в статьях [13,14] процесс упругопластического выпучивания стержней рассматривался с помощью критерия начальных несовершенств и последующего численного решения.

Работа выполнена в рамках гранта РФФИ № 15-01-01875.

Список литературы

1. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013. 320 с.

2. Маркин, А. А. Вариационные условия единственности и устойчивости равновесных состояний и процессов упругопластического деформирования // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. № 2. С. 179-193.

3. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Из-во СО РАН, 2000. 261 с.

4. Hill R. A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids // J. Mech.Phys. Solids, 1958. V. 6. Issue 3. P. 236 - 249.

5. Хилл Р. Бифуркация и единственность в нелинейной механике сплошной среды // Проблемы механики сплошной среды: сб. научных тр. М.: АН СССР, 1961. С. 448 - 457.

6. Triantafyllidis N. Bifurcation phenomena in pure bending // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1980. V. 28. P. 221 - 245.

7. Синева Н.Ф. Критерии устойчивости в теории наведенной неоднородности // Вестник СГТУ. 2011. № 4. С. 21 - 27.

8. Клюшников В. Д. Лекции по устойчивости упругопластических систем. М.: Изд-во МГУ, 1986. 224 с.

9. Маркин А.А., Юдаева А.А. Анализ неединственности и устойчивости процесса сжатия упругопластической полосы на основе условий равновесности // Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела: материалы VIII Международного научного симпозиума, посвященного 85-летию со дня рождения заслуженного деятеля науки и техники РФ профессора В.Г. Зубчанинова. Тверь: Тверской государственный технический университет, 2015. С. 177-182.

10. Audoly B., John W. Analysis of necking based on a one-dimensional model // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2016. V. 97. P. 68-91.

11. Petryk H. Plastic Instability: criteria and Computational // Archives of Computational Methods in Engineering. 1997. V. 4. P. 111-151.

12. Karyakin M., Kalashnikov V., Shubchinskaya N. Nonlinear effects in a plane problem of the pure bending of an elastic rectangular panel // International Journal of Engineering Science. 2014. V. 80. P. 90 - 105.

13. Перелыгина Е.С. О продольном изгибеупругопластического стержня // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. Прикладная математика: спец. выпуск. С. 177 - 184.

14. Ванько В.И. Продольный изгиб и выпучивание. Ч. I. Модель Шенли // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. 2014. №5(176). Вып. 34. С. 112-125.

Козлов Виктор Вячеславович, канд. физ.-мат. наук, доц., vvkozlovtsn a mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Маркин Алексей Александрович, д-р физ.-мат. наук, проф., markin-nikramayandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

STABILITY AND UNIQUENESS OF THE PROCESS OF FORMING PARTS BY PRESSURE

TREATMENT.

V. V. Kozlov, A.A. Markin

In the treatment ofpressure opportunities for products specified form limited by the terms of uniqueness and stability of the processes of forming a given external influence. On the basis of variation of the equilibrium conditions and equilibrium in the form of Jourdain are obtained general conditions of bifurcation and sustainability, taking into account, in contrast to inequality R.Hill, the impact speed of the external load. This approach from uniform positions allows to define in elastic-plastic bodies moments of the start changing required shape of the product in the process of active external loading and unloading, as well as in the case of zero external loading speed.

Key words: finite deformation processes, uniqueness, stability, elastoplastic deformation, variational conditions, stable and unstable bifurcation.

Kozlov Viktor Vyacheslavovich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, vvkozlovtsu@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Markin Alexey Alexandrovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, markin-nikramayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University