Распределение напряжений по штампа на упругом основании с возрастающим по глубине подошвой модулем упругости Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

7. Федорцов А. П. Позитивная коррозия, или коррозия по В. И. Соломатову, и физико-химическое сопротивление бетонов / Успехи строительного материаловедения: Материалы юбил. конф.

М., 2001. С. 214 - 218.

8. Федорцов А. П. Повышение прочности и физико-химического сопротивления бетонов агрессивными факторами среды // Композиционные строительные материалы. Теория и практика: Сб.

науч. тр. Междунар. науч.-практ. конф. Пенза, 2002. С. 344 — 346.

9. Федорцов А. П. Повышение физико-химического сопротивления цементных композитов путем применения при их отверждении агрессивных сред / А. П. Федорцов, В. Т. Ерофеев // Вестн. ВРО

РААСН [Ниж. Новгород]. 2002. Вып. 5. С. 98 - 101.

10. Федорцов А. П. Характеристика сред и особенности их взаимодействия с бетонами /

А. П. Федорцов, А. Ф. Андронов // Материалы научной конференции «XXX Огаревские чтения (естественные и технические науки)». Саранск, 2001. С. 335 — 338.

Поступила 18.02.02.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПОД ПОДОШВОЙ ШТАМПА НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С ВОЗРАСТАЮЩИМ ПО ГЛУБИНЕ

МОДУЛЕМ УПРУГОСТИ

А. Е. ДУРАЕВ, кандидат технических наук

В работе В. И. Моссаковского [2] дано решение задачи о штампе на упругом полупространстве с модулем упругости, изменяющимся с глубиной 1 по закону Е = ЕпЪп. В этой модели полупространства в плоскости контакта (1 = 0) штампа с полупространством модуль упругости равен нулю. В работе приводится формула для определения давления под штампом, куда входит осадка штампа значение которой не определено. Ниже рассмотрим эту задачу при условии, что модуль упругости полупространства будет иметь конечное (не равное нулю) значение на его поверхности. Закон изменения модуля упругости примем в следующем виде:

Е = Е0+Епгп, (!)

где £ о — модуль упругости полупространства в плоскости контакта его со штам-

1

пом; Еп — добавочный модуль на глубине 1 = 1 (коэффициент увеличения); п — показатель степени, характеризующий изменение модуля упругости по глубине (0 < п < 1).

Если бы полупространство имело по-

стоянный модуль упругости Е} то давление под подошвой симметрично нагруженного круглого штампа можно было бы определить по формуле

=_Ш?_

Р~тг(1-у(¡)(а2-г2)°>5' Ш

где — коэффициент Пуассона полупространства; а — радиус штампа; г — расстояние от центра подошвы штампа до точки, где определяется давление; V/ — осадка штампа от действия силы Р, определяемая по формуле

(3)

2 аЕ

Для решения задачи полупространство с модулем упругости, изменяющимся по закону (1), условно разделим на полупространство с постоянным модулем упругости Е0 и полупространство, модуль упругости которого изменяется в соответствии с выражением Е^ Долю силы Р, приходящуюся на полупространство с модулем упругости £0, обозначим через Я. Тогда на другое полупространство остается доля 1-Я. При этих условиях давление в по-

© А. Е. Дураев, 2002

дошве штампа предлагаем определить как сумму давлений от каждой доли в соответствии с формулой (2) и решением В. И. Моссаковского [2] по формуле

W-W0

wn =

п 1 -Е

(6)

ш

р =

W0E0

-v$)(a

2 \0,5

+

гО

+

W Е

уу п^п

Величину параметра Fm можно вычислить по программе STAMP (язык Фортран), где следует в каждом случае вводить значение N = п и D = 2En (1-Vq)x

хап /(/ЗЕ0).

П(1-п)/2)Г((1 + п)/2Ха2-r2)(i'n)/2 ' С ПРОГРАММА STAMP

REAL N

(4)

где \Уо — осадка штампа на полупространстве с постоянным модулем упругости £0 от действия силы ЯР; — осадка штампа на полупространстве с модулем упругости Е 1П при нагружении его силой

(1 - АХР; Я( 1- и)/2), Г(( 1 + п)/2) -

гамма-функции.

Осадку будем определять по формуле [ 1 ]

2аЕо

(5)

где R

ш

Fc + \A5Fk 2,45

которую следует

рассматривать'как долю Я (Я = Fm );

Fc =

4

а

х

т

ds

х

J0l + 2£n(l-v0)sV№))

Л =

4

k 2 я а

х

я- / 2 2а cos а

X

dcx/s

О

О

l + 2£„(l-v0)s"/(j3£o)

с0 л/тг (1 - у0) Г( (я +1) / 2) . щ, Р~ (п + 1)Г((и + 2)/2) ^ 2 '

со

2

п + 3

4яГ(п + 2)

х

ХГ((П + 3+(7>/2)Г((И + 3-^)/2);

Значение осадки Wn найдем из выраже ния

N = 0.75 D = 4.548 N1 = 300 N2 = 200 N3 = 200 FK = 0 J = 0

10 В = 0

11 IF(B-Nl*COS(J*3.1416/(2*N2)) + »1)12,12,13

12 FK = FK + 1/(1 + D*((1/N1 + *B*2/N1)**N))

В = В + 1 GOTO И

13 J = J + 1 IF(J-N2 + 1)10,10,14

14 FK = FK*4/(3.1416*N1*N2) FC = 0

3

5

A = 0 IF(A-N3+1)6,6,7

6 FC = FC + 1/(1 + D*((1/(2*N3) + *A /N3)**N))

A = A + 1 G0T05

7 FC = FC*4/(N3*3.1416) F = (FC+1.45*FK)/2.45 OPEN (3,FILE = 'F') WRITE(3,16)F CLOSE(3)

16 FORMAT(4H Fni = ,F6.3) STOP END

Пример. Вычислить давление под подошвой круглого штампа радиусом а = 1,2 м, лежащего на упругом полупространстве с модулем упругости, изменяющимся по закону

£=5 + 10Z°'75 (МПа).

Коэффициент Пуассона полупространства v'q = 0,3. На штамп приложена сила Р = = 2 МЫ. Определим необходимые для расчета величины:

<7 = д/(1 + n) (1 — WVQ /(I-VQ )) =

= ^/(1 + 0,75) (1 - 0,75 • 0,3 / (1 - 0,3» =1,0897;

Г (га + 2 ) = Г (0,75 + 2) = Г(2,75) = 1,6083; Г((п + 3+<7)/2)=Г((0,75+3+1,0897)/2) =

= Г (2,4198 ) =1,2584;

Г((я+3-<7)/2)=Г((0;75+3-1,0897)/2) =

= Г (1,3301) =0,8934; Г ((га + 1)/2) = Г (1,75/2) = = Г(0,8750) = 1,0896;

Г ((га + 2 ) / 2) = Г (1,3750) = 0,8889;

со =

2

я+3

4яГ(га + 2)

Г

2

га + 3 + q )„( n + 3-q

\

)

2

J

2

3,75

4-3,14-1,6083

-1,2584-0,89334 = 0,7488;

с0л/я(1-У0)Г((га + 1)/2) =

(и + 1)Г((га + 2) / 2) 2

0,7488-1,772-0,7-1,0896

1,75-0,8889

х

х 1,0897-sin3'14"1,0897 =0,7018;

2

D = 2En (l-v0 )an /(/3Щ) =2-10(l-0,3)x

x 1,20,75-/ (0,7018 • 5)=4,548.

Подставив в программу STAMP N = = 0.75 и D = 4.548 и сделав вычисления на ЭВМ, получим F = 0,305. После этого по формулам (3), (5) и (6) определим

2 аЕ

2-1,2-5

2аЕо

21,2-5

= 0,0463 (м);

W„ =

W-Wi

п

1-Е

0 ^0,1517-0,0463^д517(м);

1 - 0,305

Г ((и +1) / 2) = Г((1 + 0,75) / 2 ) =

= Г.(0,8750) = 1,0896; Г((1-я)/2)=Г((1-0,75)/2) =

= Г(0,1250) = 7,534. По формуле (4) получим

р =

0,0463 • 5

+

3,14-(1-0,32)(1,22 -г2)0'5

_0,1517-10_

7,534 • 1,0896-(1,22 -г2)0'125

+

0,081

+

0,1848

(1,44-г2)0'5 (1,44-г2)0'125

При г = 0 р = 0,2362 МПа; при г = = 0,5 м р = 0,2551 МПа; при г = 1,15 м р = 0,4778 МПа; при г = 1,2 м р = «>.

Эпюра давления под штампом на рис. 1 представлена сплошной линией. Пунктиром проведена эпюра давления для этого же штампа на полупространстве с постоянным модулем упругости, а соответствующие числовые значения для нее даны в скобках. Как видно из рисунка, под штампом на полупространстве с возрастающим с глубиной модулем упругости давление в средней части штампа оказалось больше давления под этим же штампом на полупространстве с постоянным модулем упругости, а по мере приближения к краю штампа — меньше.

Рис. 1