CC BY
20
УДК 539.6
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ И ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ШТАМПА С НЕОДНОРОДНЫМ
ОСНОВАНИЕМ
© 2010 г. С.М. Айзикович, А.В. Калайда, Л.И. Кренее, Б.В. Соболь
Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону
Donskoy State Technical University, Rostov-on-Don
Построено приближенное решение задачи о внедрении жесткого кругового в плане штампа с плоской подошвой в функционально-градиентное покрытие. Получены аналитические формулы, позволяющие определить простые выражения для описания распределения контактного давления и зависимости осадки штампа от величины приложенной к нему силы. Решение сравнивается результатами МКЭ расчета аналогичной задачи и результатами натурного эксперимента.
Ключевые слова: штамп; контактное давление; неоднородная среда; парное интегральное уравнение.
The approached solution of a problem on introduction rigid circular in respect of a stamp with a flat sole in functional-gradient a covering is constructed. The analytical formulas are received, allowing to define simple expressions for the description of distribution of contact pressure and dependence deposits of a stamp from size of the force enclosed to it. The decision is compared by results FEM of calculation of a similar problem and results of natural experiment.
Keywords: a stamp; contact pressure; the non-uniform environment; the pair integrated equation.
Постановка задачи о вдавливании штампа с плоской подошвой в функционально-градиентное покрытие
Недеформируемый круглый в плане штамп вдавливается в верхнюю грань Г упругого неоднородного полупространства силой Р. С полупространством связана цилиндрическая система координат г, ф, г . Силы трения между штампом и полупространством предполагаются отсутствующими. Вне штампа граница полупространства г = 0 не загружена. Штамп представляет собой осесимметричное тело с поперечным сечением О. (г < а) и поверхностью основания г = у(г).
Коэффициенты Ламе Л и М полупространства изменяются с глубиной по закону:
1) Л = Л0(г), М = М0(г), -Н < г < 0;
2) Л = Л! =Л0(-Н), М = М1 =М0(-Н), -»< г <-Н.
Под действием центрально приложенной силы Р штамп переместится в направлении оси г на величину 5. Граничные условия при сделанных предположениях имеют вид:
г = 0, х =т = 0;
' гг гф '
Предполагаем, что на границе изменения закона неоднородности имеют место условия сопряжения:
z = -H,
X = X
|wC =wS,
CTC =CTS, r > a;
uC = uS,
r < a.
При (г; - г напряжения в полупространст-
ве исчезают. Требуется определить перемещение штампа и распределение контактных нормальных напряжений под штампом
<зСг | г = 0 = -Р(гX г < а .
Используя преобразование Ханкеля и метод моделирующих функций, можно свести решение системы дифференциальных уравнений в частных производных в форме Ламе к решению эквивалентного парного интегрального уравнения [1]:
j P(y)L(Xy)J0(ry)dу =©оf (r), r < 1;
j P(y) J0 (ry)ydу = 0, r > 1;
0
a = 0, r > a;
z
lw =-5(r) = -(5-y(r)), r < a.
©0 =
E(0) 1 - v(0)2
X)
Трансформанта ядра парного интегрального уравнения (1) при монотонном изменении модуля Юнга и коэффициента Пуассона может быть аппроксимирована дробно-рациональным квадратичным выражением
у 2 + Л2 X"2
у 2 + B 2 k-2
В этом случае уравнение (1) имеет решение:
) = 2ЫСЩ+Со п Ivi - Г2
ch Äk-1 .. -11sh Äk-1tdt - Äk 1J-
JTr 2
Постоянная С0 определяется из условия
Со
Bk-1 ch Äk-1 + Äk-1 sh Äk-1 Bk-1
B2k-2 - Ä2k-2
Ä2 k-2
= 0.
Ä :
Со =
1 - B2 / Ä2
ch Äk-1 + (Ä / B)sh Äk-1
1 - L(0)-1
ch Äk-1 +VL(Ö)sh Äk-1
(3)
p(0) = ■
20 о(0)8
L1 (0) +
1 - L(0)
ch Äk-1 +VL(Ö)sh Äk-1
. (4)
ch Äk-1 + ,/L(0)sh Äk-
Численный анализ результатов исследования
В натурном эксперименте исследовался процесс взаимодействия квадратных штампов с плоской подошвой и размерами сторон 0,6 м, 0,9 м, 1,2 м, 1,5 м с утрамбованным грунтовым основанием. Определенные экспериментально физико-механические характеристики основания [2] приведены в таблице.
Модуль Юнга грунтов экспериментальной площадки
Связь между приложенной силой и осадкой штампа имеет вид
Р = 4па00 {1_1(0) + С0 А~\sh АХ"1} 5 . (2) Коэффициент С0 можно выразить через 1(0) и
Глубина, м Модуль Юнга, МПа
0,5 16,4
1,0 9,1
1,5 8,3
2,0 4,6
Рассмотрим влияние параметров неоднородности L(0) и X на величину контактного давления в центре штампа с плоской подошвой:
.Г „ _____1 Л
Анализируя выражение (4), можно отметить, что значение знаменателя второго слагаемого не меньше единицы, поэтому р(0) < 0 при 0 < X < да и отсутствует отрыв штампа от слоя.
Кроме того, мы видим, что при большой толщине слоя величина контактного давления в центре штампа соответствует его величине для однородного полупространства, упругие характеристики которого совпадают с характеристиками слоя, а в случае малой толщины слоя величина контактного давления в центре штампа соответствует его величине для подстилающего полупространства:
р(0) = ^, X"1 = 0; р(0) = ^L-1(0), X = 0. п п
Подставляя в соотношение (2) значение коэффициента С0 из (3), получим выражение для определения силы, действующей на штамп,
р=4-0 и+(1" ; АХ"11* • (5)
С целью проведения численного моделирования натурного эксперимента были приняты следующие предположения:
- модуль Юнга основания линейно изменяется от значения 18 МПа на поверхности до 4,5 МПа на глубине 2 м и далее остается постоянным. Это обусловлено определенными экспериментально физико-механическими характеристиками основания (таблица);
- коэффициент Пуассона основания линейно убывает от значения 0,46 на поверхности до 0,2 на глубине 2 м и далее остается постоянным. Это обусловлено тем, что процесс трамбования нарушает структуру грунта;
- квадратные в плане штампы моделируются равновеликими по площади круглыми с радиусами 0,335 м, 0,505 м, 0,675 м, 0,845 м. Естественно, концентрация напряжений в угловых точках штампа не рассматривается и сравнение результатов производится по оси симметрии, на некотором удалении от поверхности.
На рис. 1. показано изменение по глубине напряжений а г (0, г) вдоль оси симметрии при г = 0 для всех четырех размеров штампов.
-0.09 -0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.00
Рис. 1. Изменение напряжений ог по глубине вдоль оси симметрии по данным аналитического расчета
п
Для однородного основания величина
Е = —— ™ па d5
(6)
является постоянной и не зависит от размеров штампа. Здесь а - радиус штампа, Р - величина вдавливающей силы, 5 - перемещение штампа под действием силы Р . Ew связана с модулем упругости Е соот-Е
-— , где V - коэффициент Пуас-
ношением К., = -
2(1 -v 2)
сона.
В случае же воздействия штампа на неоднородную среду эта величина является функцией, зависящей от радиуса штампа, толщины неоднородного покрытия, закона изменения упругих свойств по глубине и отношения величины модуля Юнга на поверхности к его значению на глубине. На рис. 2 приведены значения функции жесткости, построенные по формулам (5), (6) и посчитанные по результатам натурного эксперимента.
Е 10,09,59,08,58,07,57,06,56,05,55,0-
—■— Теория • 0.1 МПа эксперимент А 0.2 МПа эксперимент
0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 а/Н
Рис. 2. Сравнение функции жесткости Ем,, построенной по аналитическим формулам, с экспериментальными данными
Было проведено численное исследование напряженно-деформированного состояния (НДС) неоднородного трёхмерного основания с плоским круглым штампом. Для этой цели использовался программный комплекс ANSYS. Решение вышеизложенной задачи было получено для центрально нагруженных штампов, поэтому, исходя из условий симметрии, рассматривалась У основания штампа.
Для реализации алгоритма решения задачи исследуемая область была разбита на конечные элементы. Выбор оптимального варианта пространственной конечно-элементной сетки определялся несколькими требованиями. Размеры области должны быть достаточными, чтобы выполнялись граничные условия. Кроме того, шаг сетки должен быть, по возможности, меньше, чтобы точнее оценить НДС основания.
Неоднородность основания штампов обусловлена изменением коэффициента Пуассона и модуля деформации по глубине. При расчётах коэффициент Пуассона изменялся по глубине основания в пределах от 0,46 до 0,02, а модуль деформации от 18 до 4 МПа, начиная от поверхности.
В результате численного исследования НДС неоднородного основания плоских круглых штампов различных размеров были получены составляющие напряжений и перемещений. Исследования проводились применительно к штампам, имеющим, соответственно, радиусы: R = 0,34; R = 0,51; R = 0,68; R = = 0,85. Как видно из расчётов, увеличение площади штампов при фиксированной осадке приводит к возрастанию послойных деформаций основания. Причём максимальные значения деформаций распространяются в глубину до 0,9 - 1,2 диаметра штампа. При постоянном удельном давлении послойные перемещения, как и глубина активной зоны, зависят от площади штампа и растут с её увеличением. Например, с увеличением размера штампа в 2,5 раза его осадка возрастает в 1,5 раза.
При одинаковой осадке всех штампов, равной 5 см, вертикальные перемещения под центром штампа несколько превышают перемещения под краями до глубины около одного метра, а затем эпюры стремятся к прямой линии. На глубине 2 м перемещения практически равны нулю.
На поверхности основания, в силу принятых в задаче граничных условий, перемещения для всех штампов одинаковы и равны 5 см. В исследуемом массиве перемещения под штампами меньшей площади затухают быстрее, чем под большими, не только вдоль оси симметрии, но и по всей области.
Распределение вертикальных нормальных напряжений по глубине вдоль оси симметрия штампов представлено на рис. 3.
N 0.0-, -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1.0
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
о.оо а,
Рис. 3. Изменение напряжений ог по глубине вдоль оси симметрии по данным МКЭ расчета
Наибольшие напряжения наблюдаются в области, примыкающей к подошве штампа, с глубиной они монотонно убывают и практически затухают к глубине 2 м. На характер рассматриваемой зависимости существенно влияет площадь штампа. На контакте штампов с основанием вертикальные нормальные напряжения тем больше, чем меньше площадь штампа. Например, напряжение под центром штампа (Я = = 0,85) равно 0,0621 МПа, а под штампом (Я = 0,34) -- 0,0808 МПа. Начиная с глубины 0,1 м, картина меняется. Так, на глубине 0,40 м вертикальное нормальное напряжение на оси симметрии штампа (Я = 0,85)
равно 0,0401 МПа, а штампа (Я = 0,34), соответственно, 0,0181 МПа.
Выводы
1. Расчет МКЭ подтвердил адекватность принятой модели о замене квадратных в плане штампов равновеликими круглыми при исследовании напряженно-деформированного состояния основания в зоне, прилегающей к центру штампа.
2. Аналитические расчеты показывают, что под центром штампа с плоской подошвой, контактирующего с основанием, модуль Юнга которого быстро убывает по глубине, наблюдается разгрузка. В эксперименте с грунтовым основанием и численными расчетами разгрузка не выявляется, так как грунт - среда линейно-деформируемая, а не упругая, и МКЭ расчет не учитывает полностью наличие краевой корневой особенности в контактных напряжениях.
3. Штамповые испытания являются одним из методов экспериментального определения модуля Юнга основания. В том случае, когда свойства основания
Поступила в редакцию
изменяются по глубине, измеряемое значение модуля Юнга зависит от размера штампа. Рис. 2 показывает, что теоретически установленная тенденция изменения величины модуля Юнга подтверждается экспериментально.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-08-00839-а)
Литература
1. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред / С.М. Айзикович [и др.]. М., 2006. 240 с.
2. Ананьев И.В., Калайда А.В., Тищенко С.Г. О поведении грунтового основания при заданной на его поверхности кратковременной нагрузке // Исследования по расчету пластин и оболочек. Ростов н/Д., 1987. С. 35 - 40.
13 июля 2010 г.
Айзикович Сергей Михайлович - д-р физ.-мат. наук, заведующий лабораторией, Донской государственный технический университет. Тел. (863)273-85-27. E-mail: [email protected]
Калайда Алексей Васильевич - старший преподаватель, Донской государственный технический университет. Тел. (863)273-85-82. E-mail: [email protected]
Кренев Леонид Иванович - канд. физ.-мат. наук, доцент, Донской государственный технический университет. Тел. (863)2336146. E-mail: [email protected]
Соболь Борис Владимирович - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, Донской государственный технический университет. Тел. (863)273-83-41. E-mail: [email protected]
Aizikovich Sergey Mikhailovich - Doctor of Phisico-Mathematical Sciences, head of laboratory, Donskoy State Technical University. Ph. (863)273-85-27. E-mail: [email protected]
Kalaida Alexey Vasilyevich - senior lector, Donskoy State Technical University. Ph. Тел. (863)273-85-82. E-mail: [email protected]
Krenev Leonid Ivanovich - Candidate of Phisico-Mathematical Sciences, assistant professor, Donskoy State Technical University. Ph. (863)233-61-46. E-mail: [email protected]
Sobol Boris Vladimirovich - Doctor of Technical Sciences, head of department, Donskoy State Technical University. Ph. (863)273-83-41. E-mail: [email protected]
