Расчет пульсаций продуктов цилиндрического подводного газового взрыва в скважине Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

г и д р о э н е р г е т и к а

УДК 628.112

РАСЧЕТ ПУЛЬСАЦИЙ ПРОДУКТОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ПОДВОДНОГО ГАЗОВОГО ВЗРЫВА В СКВАЖИНЕ

Канд. техн. наук, доц. ИВАШЕЧКИН В. В., канд. физ.-мат. наук, доц. ВЕРЕМЕНЮК В. В.

Белорусский национальный технический университет

Подводный газовый взрыв нашел свое применение при восстановлении снизивших дебит скважин [1]. Фильтр обрабатывают поинтервально взрывами водородно-кислородной газовой смеси, которую накапливают в открытой снизу стальной взрывной камере, снабженной отражателем в нижней части для подвода энергии к поверхности фильтра. Недостатки применения подобной технологии: малый интервал активного воздействия на фильтр из-за ограниченной площади излучающей поверхности парогазового пузыря, расширяющегося вдоль оси фильтра, и большие потери энергии из-за охлаждения перегретого пара в парогазовом пузыре при прямом контакте с жидкостью и стальными стенками рабочей камеры.

Для создания равномерной нагрузки на фильтр, уменьшения напряжений на его локальных участках, подвода энергии взрыва нормально фильтру с наименьшими потерями энергии и исключения прямого контакта перегретого пара с жидкостью перспективным представляется применение замкнутых цилиндрических взрывных камер с эластичными оболочками. Поэтому целью настоящей работы является теоретический расчет пульсаций подобных взрывных камер в скважинах.

Рассмотрим процесс пульсаций в фильтре скважины цилиндрической взрывной камеры с продуктами взрыва. Расчетная схема пульсаций представлена на рис. 1.

Рис. 1. Расчетная схема пульсаций цилиндрической взрывной камеры в фильтре скважины 1 - обсадная колонна; 2 - фильтр; 3 - цилиндрическая взрывная камера; 4 - оболочка

Гидродинамические характеристики процесса расширения цилиндрической камеры в скважине зависят от соотношения между тремя пространственными масштабами: длиной камеры I, ее начальным радиусом Я1 и глубиной погружения Н.

Будем рассматривать цилиндрическую камеру, длина которой Я1 << I << Н. Согласно классификации [2] такую камеру можно отнести к коротким цилиндрам, у которых длина I лежит на отрезке Я1 << I << X, где величина X равна произведению скорости волны с на длительность процесса расширения полости т, т. е. X — ст. Скорость расширения продуктов подводного газового взрыва в скважине невелика по сравнению со скоростью звука с в жидкости, поэтому жидкость можно считать несжимаемой.

Пусть в фильтре скважины имеется цилиндрическая взрывная камера с наружным радиусом Я1, имеющая снаружи тонкостенную упругую оболочку толщиной 5, которая согласно [3] должна составлять менее 1/20 наружного диаметра цилиндрической камеры или менее 1/10 Я1. Тогда принимают, что напряжения в оболочке распределены равномерно по ее толщине.

Полость цилиндрической взрывной камеры радиусом (Я1 - 5) заполнена газообразным энергоносителем. Так как в задаче рассматриваем «короткий цилиндр» по сравнению с глубиной погружения Н, у которого I << Н, начальное давление р0 в полости принимаем одинаковым по всей длине и равным абсолютному давлению рабс в жидкости на уровне центра цилиндра Р0 = Рабс = Ратм + РёН.

Пусть в энергоносителе произошло быстрое химическое превращение -взрыв. Учитывая высокую скорость распространения взрыва, камера практически мгновенно оказывается заполненной продуктами взрыва с одинаковым и равным по всему объему давлением р1 = тр0, где т - степень возрастания давления. Камера аксиально расширяется, вытесняя жидкость по кольцевому зазору в ствол скважины.

Будем считать, что начальная энергия продуктов взрыва Э1 расходуется на увеличение их внутренней энергии ЩЯ-5), на работу А над окружающей жидкостью и на работу Аоб растяжения тонкостенной упругой оболочки. Уравнение, описывающее движение заполненной газом цилиндрической камеры в скважине, имеет вид

^(я-5)+ А + Аоб = Э1. (1)

Начальная энергия Э1 продуктов взрыва равна внутренней энергии _5) продуктов взрыва перед расширением, т.е.

Э = ж = тРоп(Я1 _8)2I

Э1 = _8)- п _ 1 , (2)

где п - среднее значение показателя политропы продуктов взрыва в процессе пульсаций.

Предполагаем, что при расширении полости изменение состояния продуктов взрыва происходит по политропной зависимости. Поэтому связь между давлением газов р в полости и ее текущим радиусом Я имеет вид

Г Я - 5 У"

р=Р1 [Я-5] • (3)

Внутренняя энергия _5) в процессе расширения равна =

рп(Я _5)21 ...

=---. С учетом (3) получим

п _ 1

тРоГп(Я _ 5)21

^Я_5)= ^ " _ 1-* (4)

Работа, затрачиваемая продуктами взрыва на упругую деформацию цилиндрической оболочки, равна потенциальной энергии деформированного тела, и ее найдем как половину произведения силы давления продуктов взрыва на радиальное перемещение АЯ = Я - Я1 [4]

Аоб = 0,5р2пЯ/Я-Я!) . (5)

В соответствии с законом Гука [3] радиальное перемещение цилиндрической оболочки

Я

Я _ Я = Е (С2 ), (6)

где Е - модуль упругости материала оболочки; оь о2 - соответственно ме-ридианальные и кольцевые напряжения в оболочке от действия равномерного внутреннего давления р1; ц - коэффициент Пуассона. Напряжения о1 и о2

а = Р^-С1 25 ;

а Р1Я1 (7)

а2 = Т" * (7)

Подставив (7) в (6), выразим Р" и, подставив его в (5), приняв коэффициент Пуассона для резины ц = 0,5, получим

4пЕ/5( Я _ Я)

А- = —Зя" ■ (8)

Работу продуктов взрыва против сил внешнего давления при увеличении объема взрывной камеры от V до V определим по формуле

V 5

А = | р dV = /1 р dS, (9)

где 5 - площадь поперечного сечения взрывной камеры; р\ - давление на оболочку со стороны жидкости в скважине в процессе движения.

Давление р\ найдем из уравнения Д. Бернулли на случай неустановившегося движения, записанного для сечения 1-1, совпадающего с наружной боковой поверхностью оболочки, и сечения 11-11, проходящего по уровню

воды в скважине (рис. 1). Плоскость сравнения проводим по нижнему днищу взрывной камеры.

Используем следующие допущения:

• жидкость несжимаема;

• стенки скважины абсолютно жесткие и непроницаемые;

• давление продуктов взрыва по всему объему полости одинаково;

• инерционными силами в кольцевом зазоре пренебрегаем. Уравнение имеет вид

+А + = + Рл + и + К , (10)

1 Р£ 2 g 11 Р£ 2 g I-II ин'-ч' 4 '

где zi, pi и vi - соответственно геометрическая высота положения центра тяжести сечения над плоскостью сравнения, давление в центре тяжести сечения, средняя скорость в сечении; и - потери напора на трение между сечениями; и - инерционный напор.

Тогда имеем:

/ ЖЯ / и . / и ,Я2 - Я?

г V! = —; г2 = - + Н + Аг = - + Н +1 П2 1 ;

2' 1 ЖГ 2 2 2 Я2

2Я/ ЖЯ

Я2

2 ж'

(11)

где Аг - повышение уровня жидкости в скважине; Як - радиус обсадной колонны.

Инерционный напор на участке 1-11 равен сумме инерционных напоров в фильтре иин ф и обсадной колонне Лин к

2/

и + и =_

ин.ф ин.к ~

1ф -1 - а , /к

л Ж\ЯЖ4

Яф Я2

(12)

Потери на трение составляют итр!-п = идл.к.уч + идл.ф + идл.к + им.с, где

идлкуч - потери напора на кольцевом участке между стенками взрывной камеры и фильтра; йдлф - потери в фильтре; Ьдлк - в колонне; Ишс - потери

в местном сопротивлении при переходе колонны и фильтра.

Потери напора на участке кольцевого поперечного сечения неравномерно распределены по его длине /. Это обусловлено переменной скоростью жидкости vz по длине участка, которая линейно возрастает от V = 0 при г = 0 до V = при г = /.

Связь осевой скорости vz в кольцевом зазоре на расстоянии г от начала

ЖЯ

отсчета с радиальной скоростью цилиндрической камеры найдем из уравнения неразрывности, записанного для цилиндрического и кольцевого сечений: = Яф - Я2)vz, откуда

Рп = Ратм; ^1 =

2Rz dR

v„ =

z R^ - R2

(13)

При z = l

2Rl dR

v , =-

z=l R^ - R2

(14)

Воспользуемся известной формулой для расчета потерь напора h'

дл.к.уч

на участке кольцевого поперечного сечения [5, 6] при постоянной скорости по длине участка, т. е. когда v = vK с = const, имеем

h = k х

Дл.К.уч Н ф R — R 4g '

(15)

где кн - поправочный коэффициент; А,ф - коэффициент гидравлического сопротивления фильтра; Уф - средняя скорость за кольцевым сечением (в фильтре). Выразив Уф через постоянную скорость в кольцевом сечении, получим

дл.к.уч н

=k >

4g

^ф - R2^

V R /

l

Rф -R кс'

Учитывая, что на рассматриваемом участке кольцевого сечения длиной I (рис. 1) происходит движение жидкости с переменной массой, т. е. наблюдается непрерывный приток жидкости по длине участка от нуля в начале до максимального значения в конце участка, определим потери напора dhдлкуч на элементарном участке длиной ёг на расстоянии г от начала

отсчета по формуле

dh„

кнхф

4 g

^ф - R

V R /

(Rф - R)

и2.

(16)

Подставив выражение (13) в (16), получим dh

К хф

R

дл.к.уч

g Rф(Rф - R)

х I ^^ | z2dz . Интегрируя от z = 0 до z = l (для всего кольцевого участка),

получим h

кнХф

R2

дл.к.уч

g R4(Rф - R)

dR

J z2 dz .

или

КХф13 R2 f dR

дл к уч 3gR ^ - R

Потери напора в фильтре определим по формуле Дарси-Вейсба-

ха к . = Х.

1ф - а -1 V,

, Учитывая, что из уравнения неразрывности

дл ф ф 2 Rф 2 g' VфШф = v5.с.г=1 юк.с, где vк.с.г-/ определим по (14), после преобразований получим

к -А. (/ф-а-1 )12 (^Т

gR

ф

(18)

Потери напора в колонне также определяем по формуле Дарси-Вейсбаха:

к -А

дл к к 2RK2g,

или

-Ак~~т R! í ^ !2.

(19)

Потери напора на переходе колонны и фильтра найдем по формуле Борда для резкого расширения

(

ъ. -1

чЮф у

У „2 (л 2 У

V*. 2g

"Г -1

2

к 2 (^1

V ф у

При подстановке (11), (12), (17) - (20) в (10) получим

(20)

ратм 1R2 - R12 а( dR

р ^ ^ я++- ^

2 21 (

1ф -1 - а I

>_

V Rф

Rк2

R

dR

К У3 R2 ( dR^2 3gRф RФ- ^^

(21)

Аф (1ф - а -/)/2 2а/2 . АкЦ2 . 212 ( Rк2

2

gRф

gRф gRк5

£-1

R21 ^^

Окончательно, подставив выражения (2), (4), (8), (9) в (1), получим

лЯ2

/ | р1 dS

лй,2

+ АпЕ/Ь(R -^)2 + тро-5)2"/ ^ = яр,^ -5)2/

3К п-1 ( ) я-1 , ( )

где р1 определяется по выражению (21).

Сокращая уравнение (22) на / и используя соотношения

S - ^2; ^ - ; ^ - п^2; S5 - Sф - п^, (23)

приводим его к виду

5 (t)

J

t+f (s - v+a

i ;2

2S2 8%S

dS Y (L -1 - a I

2

S

S

d 2S

l ( dS

sign

dS_ dt

КlK >ф (1ф -1 - a) . kjJ*

R S2

ф н

Кф Sф

зsф

(

S2

Sk- - 1 5ф

2

dS _-

4mp0R1 - 5)

2n /

3lp(n -1)

E54n(W) -A)2

S (t)

л/5ф-45

\2-2n

-5

lp

л/ST

- const,

где sign

ds_ dt

i dS -1 при —— < 0; dt dS

1 при —— > 0.

dt

Этот множитель введен для учета того фак-

та, что действие сопротивлений всегда направлено в сторону, противоположную направлению движения.

Дифференцируем это интегральное уравнение по времени и сокращаем

на • Вводим в рассмотрение безразмерную величину:

~ S dS 1 dS 5ф ' dt 5ф dt

(24)

и после несложных преобразований получаем дифференциальное уравнение

A^l _ C

Adt2 0

( к \ 1 5

B1 , R 45 R ^

B2~-Г27 - B35

V5 2 (S - k5) 2

-1*1- 5

^dS^

(25)

A' ^

v dS>

-VS"

sign

d^ dt :

где

A _ 1 j a + j 5ф ; C _ gS1 P0 4E5 ; B _ 4E5 A_ 1ф-l-a+lKv C0 _gs:-7f0-3/Pv B _ вд

ф

mP0

lp

R -5

v R /

ч 2n

1

, 5 я 5» П а I (5ф 1

2

V к /

П =-

аЯ,

ф .

(

П = 4

X

4 -1 - а

» Я

Х 1к

л я;

Г ^ 1

V к

Г 5 1

2Л

к 12

• П -Х кн1 ; П4 ф 12Я •

5

Начальные условия для требуемого решения: 5(0) -ттЧ 5'(0) - 0. Из

(23) и (24) следует, что реальный радиус и скорость его изменения пере-

ЛЯ Я» Л5

считываются по

формулам: Я(^) - Я»^/5(0;

Л 2Д0 ёГ

Уравнение (25) не допускает решения в квадратурах. Поэтому для нахождения решения 5! (¿) использовались численные методы (а именно, метод Рунге-Кутта-Мерсона).

Надо также отметить, что (25) имеет стационарное решение 5" = 50, ко-

1 - к

В

торое определяется из уравнения

1 х5 1

+ В2-^

V5" (5" - ,5)2

- - В3- -С0. Это урав-

нение легко решается методом половинного деления.

Система в вариациях уравнения (25) для решения = 50 имеет чисто мнимые характеристические показатели. Поэтому точка (50; 0) для (25) может являться либо центром (вокруг которого вращаются точки (5"(¿), '(^))), либо фокусом. Численное моделирование показывает (рис. 2), что эта точка является притягивающим фокусом (т. е. (^) ^ 50 и 5"(0 ^ 0 при t ^<х>).

Рассмотрим вопрос получения оценки для Ятах максимально возможного значения радиуса пузыря. Исследуем промежуток времени [0; t1], на котором 55'(0 > 0, если 0 < t < ^ , и 55- 0 . Момент времени ^ как раз

соответствует значению Ятах. В (25) делаем подстановку у -

Л2 55 1 Л у

- — —— и получаем уравнение 1-го порядка

г 12

Л2 2 ё5

1 Л у

2 Л" = С0

1 - к5

ь -к--Ь35-у

г

^ 2 (5"-,5)2

5 1 -л/5"

где с0 - С0 / А; Ь1 - В1 /А и т. д., а Л - (П1 + П3)/А. Начальное значение для решения: у(50) - 0, где 50 - 51 / 5ф.

Используя стандартные методы, находим искомое решение

у( £) = и (£ М £ ),

где и(5) = 52Се-2"55+4С^ (1 -л/^

\4С4

v( -) = 21

1 - к5 1

4у 2 (у-2к54У+к\)'

- Ъз у

и( у)'

(26)

Обозначим 5тах = 5(^) =

(Я ^ Лтах

к

. Тогда у(^>тах) = 0 . Будем считать,

что -Iтах < 1 (т. е. пузырь не достигает стенки фильтра). Тогда и(¿>тах) ^ 0 и, следовательно, у(Бтах) = 0 . Так как для реальных объектов значения С, С2 и С4 малы (С2 и С4 имеют порядок 10-3, а С - порядок 10-2), то в интеграле (26) можно считать, что и(у)«1. Это дает возможность оценить этот интеграл в явном виде, и равенство v(S)max) = 0 превращается в уравнение

Р ( ^тах) = Р (-^0),

где

р(у) = ^у + 2Ъ1У[у + (у - 2к^4У + к52) "

Ьз у2

(27)

. Решая (27) мето-

дом половинного деления, мы можем оценить значение Ятах = Яф^/-?тах .

Погрешность при нахождении ->тах с помощью уравнения (27) возрастает, если истинное значение ->тах «1 (это происходит из-за того, что при у «1 нельзя считать, что и(у) « 1). Но численный эксперимент показывает, что если истинное значение ->тах < 0,99, то относительная погрешность менее 3 %.

Результаты численных расчетов по (25) пульсаций цилиндрической взрывной камеры, снабженной герметичной эластичной оболочкой, представлены на рис. 2.

Из рис. 2 следует, что радиус оболочки в процессе расширения возрастает до Ятах (рис. 2а), при этом скорость вначале растет, а затем к концу расширения уменьшается до нуля (рис. 2б), давление р(¿) в продуктах взрыва, высчитанное по (3), при этом достигает минимального значения (рис. 2в). Вследствие потерь энергии пульсации продуктов взрыва имеют затухающий характер.

Характер изменения давления во времени на стенке фильтра будет таким же, как и в продуктах взрыва. В рамках рассматриваемых здесь приближений можно считать, что давление в сечении с координатой г на стенке фильтра напротив взрывной камеры будет меньше давления в продуктах

взрыва р на величину удельной кинетическом энергии в этом сечении ару^ /2 в соответствующие моменты времени. Указанное имеет место, когда применяются взрывные камеры, радиус которых соизмерим с радиусом фильтра. Применение взрывных камер малых диаметров нецелесообразно из-за затухания давления в кольцевой зоне между наружной поверхностью камеры и фильтра. Предельной по диаметральному размеру взрывной камерой из условия недопущения ее касания стенки фильтра при максимальном расширении является камера, у которой Лтах « Лф.

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

Л/Лф

0,8

1,6

2,4

3,2 г, с 4,0

1.0 0.6 0.2 -0.2 -0.6 -1.0

1,0 0,8

0,6 0,4

0,2

р/рвз

0,8

1,6

2,4

3,2 г, с 4,0

Рис. 2. Характер пульсаций цилиндрической взрывной камеры в фильтре скважины при: Л1 = 0,04 м, Лф = 0,125 м, Лк = 0,25 м, 1 = 2 | м, 5 = 0,002м, I = 8 м, 1к = 8 м, т = 10, п = 1,21;

а - Л/Лф; б - Л'/Лтах; в - р/рЮр

При оценке действия взрыва на кольматирующие отложения, помимо максимального давления на фронте волны, которое в основном определяется глубиной воды в скважине Н, к разрушающим факторам относится

г

импульс давления I, который определяется как интеграл I = | р(гЭф-

0

фективность декольматации фильтра будет тем выше, чем больше будет величина импульса давления I.

Для определения величины импульса давления I с помощью программы решения уравнения (25) по формуле Симпсона вычислялось значение

I =

| р(г)Л,

(28)

а

0

б

в

0

0

где - момент времени, когда радиус пузыря принимает максимальное значение Ятах, а р^) определяется по формуле (3). Обработка результатов вычислений при различных геометрических размерах взрывных камер, скважин и условиях подводного взрыва позволила предложить формулу для расчета импульса давления I для стадии расширения продуктов взрыва (при т = 10 и Е = 6 мПа). Для получения формулы был использован метод наименьших квадратов.

Эта формула для импульса давления I имеет вид:

/°'49Я,1,09 (/ф + 8 - а)0,053 (/ф + /к - а)0,08 к

I = 0'213тР0-1 ЛУ ) " , (29)

Яф Як (2 + 5)

где кп = 0,285 + 0,98п_1'7 - коэффициент, учитывающий влияние коэффициента политропы п. Значения переменных /, Я1, Яф, Як, /ф и /к следует

задавать в метрах, толщину оболочки 5 - в миллиметрах. Ограничения на использование формулы следующие: / е[0,2;2], Я1 е [0,02; 0,07], Яф е[0,08; 0,25], Як е[0,08;0,3], (/ф - а) е[2;18], 4 е[25;100], 5е[1;5], п е [1,2; 2]. При данных ограничениях результаты, полученные с использованием формулы (29) , отличаются от соответствующих результатов вычисления интеграла полученных по (28) с использованием формулы Симп-сона не более чем на 5 % (а для часто встречающихся конструкций скважин - не более чем на 3 %). Надо также отметить, что использование формулы (29) имеет смысл, если Ятах < Яф, что можно проверить, используя (27).

Анализ формулы (29) показывает, что импульс давления I линейно возрастает с увеличением давления взрыва рюр = тр0, практически пропорционален корню квадратному из длины взрывной камеры ~ -V/, имеет рост порядка Я11'09 при возрастании начального радиуса взрывной камеры, имеет практически линейный рост при возрастании длины фильтра и колонны (поскольку от них линейно зависит глубина Н и соответственно давление р0, а множители (/ф + 8 - а)0 053 и (/ф + /к - а)0 08 вносят несущественный вклад) и уменьшается с увеличением Яф, Як, п и 5.

В Ы В О Д Ы

1. На основе анализа недостатков газоимпульсной регенерации фильтров с помощью открытых снизу стальных взрывных камер предложено использование герметичных цилиндрических взрывных камер с эластичными оболочками.

2. Для описания пульсаций продуктов цилиндрического подводного газового взрыва в закольматированном фильтре скважины на основе 1 -го

закона термодинамики составлено уравнение закона сохранения энергии для процесса расширения газовой полости в оболочке внутри заполненной жидкостью вертикальной трубы с учетом сил трения и инерции.

3. Полученное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка решалось численным методом, в результате составлена программа

расчета, которая позволяет получить зависимости R(t), ^^, р(0 и значения

импульса давления I при различных параметрах скважины и взрывной камеры.

4. Для определения максимального радиуса взрывной камеры йmax получено выражение, которое решается численным методом.

5. Для расчета импульса давления I получена формула, которую можно использовать для проектирования взрывных камер, обеспечивающих заданные режимы обработки фильтров.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. И в а ш е ч к и н, В. В. Газоимпульсная технология восстановления пропускной способности фильтров водозаборных скважин / В. В. Ивашечкин; под ред. А. Д. Гуриновича. -Минск: БНТУ, 2005. - 270 с.

2. Н а у г о л ь н ы х,К. А. Энергетические разряды в воде / К. А. Наугольных, Н. А. Рой. - М.: Наука, 1971. - 155 с.

3. К о ч е т о в, В. Т. Сопротивление материалов / В. Т. Кочетов, А. Д. Павленко, М. В. Кочетов. - Ростов н/Д.: Феникс, 2001. - 366 с.

4. Г и д р а в л и к а, гидравлические машины и гидравлические приводы / Т. М. Башта [и др.]; под ред. Т. М. Башта. - М.: Машиностроение, 1970. - 504 с.

5. И д е л ь ч и к, И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям / И. Е. Идель-чик. - 2-е изд. - М.: Машиностроение, 1975. - 559 с.

6. А л ь т ш у л ь, А. Д. Гидравлика и аэродинамика / А. Д. Альтшуль, П. Г. Киселев. -2-е изд. - М.: Стройиздат, 1975. - 215 с.

Представлена кафедрой

гидравлики Поступила 28.12.2006