Расчет пульсаций продуктов сферического подводного газового взрыва в скважине Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

г и д р о э н е р г е т и к а

УДК 628.112

РАСЧЕТ ПУЛЬСАЦИЙ ПРОДУКТОВ СФЕРИЧЕСКОГО ПОДВОДНОГО ГАЗОВОГО ВЗРЫВА В СКВАЖИНЕ

Канд. техн. наук, доц. ИВАШЕЧКИН В. В., канд. физ.-мат. наук, доц. ВЕРЕМЕНЮК В. В.

Белорусский национальный технический университет

Подводный газовый взрыв нашел свое применение при восстановлении снизивших дебит скважин [1]. Фильтры скважин обрабатывают поинтер-вально взрывами водородно-кислородной газовой смеси, которую накапливают в открытой снизу стальной взрывной камере с отражателем. В связи с малым интервалом активного воздействия на фильтр из-за ограниченной площади излучающей поверхности открытой камеры, больших теплопотерь при прямом контакте перегретого пара с холодной жидкостью и трудностей при производстве взрывов в реагентах, перспективным представляется применение замкнутых цилиндрических и сферических взрывных камер, образованных эластичными оболочками.

Целью настоящей работы является теоретический расчет пульсаций сферической взрывной камеры в скважине.

Рассмотрим процесс пульсаций в фильтре скважины сферической взрывной камеры с продуктами взрыва. Расчетная схема пульсаций представлена на рис. 1.

Скорость расширения продуктов подводного газового взрыва в скважине невелика по сравнению со скоростью звука с в жидкости, поэтому жидкость можно считать несжимаемой [2, 31.

Рис. 1. Расчетная схема пульсаций сферической взрывной камеры в фильтре скважины: 1 - обсадная колонна; 2 -фильтр; 3 - сферическая взрывная камера; 4 - оболочка

Пусть в фильтре скважины имеется сферическая взрывная камера с наружным радиусом Я1, имеющая снаружи тонкостенную упругую оболочку толщиной 5. Толщина тонкостенной оболочки согласно [4] должна составлять менее 0,1ЯЬ тогда принимают, что напряжения в оболочке распределены равномерно по ее толщине.

Полость сферической взрывной камеры радиусом Я1 - 5 заполнена газообразным энергоносителем. Начальное давление р0 в полости принимаем одинаковым по всей длине и равным абсолютному давлению рабс в жидкости на уровне центра шара р0 = рабс = ратм + рgЯ.

Пусть в энергоносителе произошло быстрое химическое превращение -взрыв.

Учитывая высокую скорость распространения взрыва, камера практически мгновенно оказывается заполненной продуктами взрыва с одинаковым и равным по всему объему давлением р1 = тр0, где т - степень возрастания давления. Камера радиально расширяется, вытесняя жидкость по кольцевому зазору в ствол скважины.

Будем считать, что согласно первому закону термодинамики начальная энергия продуктов взрыва Э1 расходуется на увеличение их внутренней энергии Ж(Я-5), работу А над окружающей жидкостью и работу Аоб растяжения тонкостенной упругой оболочки. Уравнение, описывающее движение заполненной продуктами взрыва сферической камеры, имеет вид

Ж(л _8)+ А + Л0б = Э,. (1)

Начальная энергия Э1 продуктов взрыва равна внутренней энергии Жф -5) продуктов взрыва перед расширением, т. е.

31 = ЩК5) = 4троП(Я -5)3 , (2)

1 (Я-5) 3(п -1)

где п - среднее значение показателя политропы продуктов взрыва в процессе пульсаций.

Предполагаем, что при расширении полости изменение состояния продуктов взрыва происходит по политропной зависимости. Поэтому связь между давлением газов р в полости и ее текущим радиусом Я имеет вид

( «1-5?"

тз ш Ш р4п(Я -5)3

Внутренняя энергия Ж(Я_5) в процессе расширения Ж(Я-5) =-.

3(п -1)

С учетом (3) получим

_ тро4п( «1 -5)3" («-5)3(1-п) (4)

ЖЯ-5)= 3(п -1) . (4)

Работа, затрачиваемая продуктами взрыва на упругую деформацию сферической оболочки, равна потенциальной энергии деформированного тела и с учетом закона Гука [4] составляет

Аоб = 8nE5(R - R )2. (5)

Работа продуктов взрыва против сил внешнего давления при увеличении объема взрывной камеры от V до V

V 4/3nR3

А = j p dV = j p dV, (6)

V 4/3jiRj3

где рI - давление на оболочку со стороны жидкости в скважине в процессе движения.

Давление рI найдем из уравнения Д. Бернулли на случай неустановившегося движения, записанного для сечения I-I, совпадающего с наружной поверхностью сферической оболочки и сечения II-II, проходящего по уровню воды в скважине (рис. 1). Плоскость сравнения проводим через центр шара.

Используем следующие допущения: жидкость несжимаема; стенки скважины абсолютно жесткие и непроницаемые; давление продуктов взрыва по всему объему полости одинаково.

Уравнение имеет вид

Z + А + ^ = ^ + ^ + ^ + hTp + , (7)

1 pg 2g 11 pg 2g тр- UHI-11 V '

где Zb pi и у, - соответственно геометрическая высота положения центра тяжести сечения над плоскостью сравнения, давление в центре тяжести сечения и средняя скорость в сечении; h - потери напора на трение между сечениями; h п - инерционный напор. Тогда:

Z, = 0; у, = f ; Z,,=H + AZ = H + ;

4R2 dR

Pu = Ратм; Vn = VK =— —, (8)

где AZ - повышение уровня жидкости в скважине; R и vK - радиус

и скорость в обсадной колонне.

Инерционный напор на участке I—II равен сумме инерционных напоров в фильтре hHK ф и обсадной колонне hHK к

/ ; 4

= h А +h = —

Hi—и ин.ф ин.к

M n2 dR

Ч - a

v RФ R y

(9)

ПотеРи на трение ^ = кож + Лдд.ф + йдд.к + Ижс, где Нк, - потери напора в кольцевом зазоре (отверстии) между взрывной камерой и стенкой фильтра; Ндлф - то же в фильтре; Ндлк - то же в колонне; Ишс - то же на

переходе колонны и фильтра.

Потери напора Нкз определим из известной формулы расхода б [5, 6] при истечении через дроссельную диафрагму в трубопроводе. Распространив формулу на кольцевое отверстие, получим

б = М®к

2АРК,

Р 1 - Г Яф2 - Я2 У

V яф2 J_

(10)

где юк з - площадь кольцевого отверстия, юкз = п(Яф - Я ); Дркз - потери

давления в кольцевом зазоре, Дрк.з = р£Йк.з; ц - коэффициент расхода отверстия.

Учитывая, что через отверстие протекает примерно половина расхода, проходящего через живое сечение фильтровой колонны, и выразив Нкз, получим

2Я4

Нк.з =-

1 -

Г Яф2 - Я2

~яГ

вм2 (Яф2 - Я2)

ёЯ

(11)

Потери напора по длине в фильтре и колонне определяются по формуле Дарси - Вейсбаха:

Н . 1ф- . 4(/ф- а) Г ёЯ

^дл.ф = Я ф^^:?" = л Ф „„5 Я 1 —

2 Яф 2 g

ф

(12)

I V2 „ 41, „4 ГёЯ

Н = Я --^ = Я

дл.к к

2Як 2g gЯк5

Я4 —

(13)

где Яф, А,к - коэффициенты гидравлического трения внутренних поверхностей фильтра и обсадной колонны.

Потери напора на переходе колонны и фильтра найдем по формуле Борда для резкого расширения

V --2 Г „2 V

- 1

V ф /

2g

Я2 -1

V Яф /

Я4I —

(14)

При подстановке (8), (9), (11)-(14) в (10) получим

Р: =Pg

Н

4 Я3 - Я3 а

1

Г8Я4 1^

Р§ 3 я2

Я4 2

ёЯ

2 R

1 -

(R2 - r2\2

v RФ2 у

^2 (Rф2 - R2 )2

dR

1ф - a l

л dl R

i>2 i>2

V RФ R у

dR

(

4

+—

g

1ф - a - i

R5 R4

1 1Ф a + T, + 2

R

ф

2

4-i

v RФ у

r4i —

Окончательно, подставив выражения (2), (4)-(6) в (1), получим уравнение

4/3nR3

j pdV + 8nE5(R-Ri)2 + 4mp°n(R'-5)" (R-5)3(1-

4/3nR13 3(П 1)

_ 4mp0n(R1 -5)3 _ 3(n -1) '

n) _

(16)

где р1 определяется по (15). Используя соотношения:

К = ^ = 4п*> * ; „= 5. = П*;, = <

3 & <И 3 к ^ ф ф

(17)

приводим уравнение (16) к виду (для сокращения записи положено

Кп= ^з74П)

V (t) pj

V

Po , „V - V1 , a 2

f

L - a L

V ^ S у

SK

2V 1

T + -t2 4

1V

-4/3 Л

S2 6^67

dV

Лф

2Ц

vv

1 -

V Rф у

2

-2 Л

- 1

1к ^ф (1ф - a) 2

R Sk2

> v-ф

г) о 2 о 2

2

Sl -1

V ^ у

dV у . dV

slgn"dT

dV _

_ const - 8лЕ5КП (3v - )2 -у^R1 - 5)3n (КП3jV - s)

3(1-n)

где sign

dv dt

dV n

-1 при -< 0;

dt dV

1 при -> 0.

dt

Этот множитель введен для учета того

факта, что действие сопротивлений всегда направлено в сторону, противоположную направлению движения.

Дифференцируем это интегральное уравнение по времени и сокращаем ёУ

на-. Вводим в рассмотрение безразмерную величину

ёг

У = У. ёУ = 1 &У У/ ёг У ёг

(18)

и после несложных преобразований получаем дифференциальное уравнение

ё 2У ёг2

(

= Со - ВУ + В2 (

1

0

/ \2-3n

В

Я

1J

д -

А

Дз + дА

1-

Я#

2

Я

-2 ^

-1

Г су? V

ёУ

/J

V /

(19)

где

А = ру

Ч - а

V ^ф

; Со =pgУ^ - Ро. В! =pgУ^; В2 = 4£-|-;

Вз = тРо I 1 - Я

• д =Ра

; Д1 2

Г У V

V J

; Д2 =

раЯ12

(

Дз =Р

3 4

К

4 - а

2

Г У А

Я

V 5ф J

А А-

к Як

У_

У!

^-1

V 5ф J

2

Д4 = А

2

Г У А

8м2

V 5ф J

Начальные условия для требуемого решения: У (0) = 1; 5 '(0) = 0. Из (17) и (18) следует, что реальный радиус и скорость его изменения пересчиты-ваются по формулам:

Я(0 = Я#; ё-Я = -Я^ё-У-. 1 ёг 3^у2 ёг

(20)

Уравнение (19) не допускает решения в квадратурах. Поэтому для нахождения решения У (г) использовались численные методы (а именно метод Рунге - Кутта - Мерсона).

Надо отметить, что (19) имеет стационарное решение У = У0, которое

определяется по формуле - В1У + В2

1

IV

/ \2-3n

В

Я

1J

■ = - С0.

Это уравнение легко решается методом половинного деления. Численный эксперимент показывает, что точка (У0; 0) для уравнения (19) является притягивающим фокусом (т. е. V^) ^ ¥0 и V'(0 ^ 0 при (^ да).

Рассмотрим вопрос получения оценки для Ятах - максимально возможного значения радиуса пузыря. Исследуем промежуток времени [0; tl], на котором V'(0 > 0, если 0 < t < и V' ^^ = 0. Момент времени 11 как раз соответствует значению ^тах. В уравнении (19) делаем подстановку

у =

ídV V

йV 1 dцr

—— =--— и получаем уравнение 1-го порядка

dt2 2 й¥

1 й V ,Ту ,

--^ = с0 - ЪУ + Ь2

2 dV

(

1

/ \2-3n

' #

я

1

(

V

^ ^ ^ У У2 У

1 -

я

-1

//

где с0 = С0 /А; Ъ1 = В1 /А и т. д., а й = (Д + £>3)/А. Надо найти решение с начальным значением у(1) = 0.

Используя стандартные методы, находим это решение: уф) =

= и (V ^), где

и (V) = е

= 2(й4-й V-6d2V_

1 + к 0 1 - к #

3й4 г^т

е к2 1-к^ к = Я ЯФ

v(V) = 2|

С0 - Ъ1 .У + Ъ2

1___

Л

Л

2-3п Л

я

1

и( у)

(21)

Обозначим Vmax = V (t1) =

^ Я V

Ят

V Я У

. Тогда у^^) = 0. Будем считать,

что Ятах < Яф (т. е. пузырь не достигает стенки фильтра). Тогда и(^¡ц^ ^ 0 и, следовательно, v(Vmax) = 0. Так как для реальных объектов значения й, й2 и й4 малы (й2 и й4 имеют порядок 10-4, а й - порядок 10-3), в интеграле (21) можно считать, что и (у)«1. Это дает возможность оценить данный интеграл в явном виде, и равенство v(Vmax) = 0 превращается в уравнение

и

р (Уах)=р (1),

(22)

в ( 5л3(1-п) В2 (з3У-1,5^у2) + I ЗУ -• Решая УРав"

Ву2

где Р(у) = С0у +

V / 1-п ч ,

нение (22) методом половинного деления, мы можем оценить значение ^тах = . При этом если получено значение Ятах > Яф, то следует

положить Ятах = Яф. Численный эксперимент показывает, что относительная погрешность при нахождении Ятах с использованием уравнения (22) и при непосредственном интегрировании уравнения (19) составляет менее 2 %.

Результаты численных расчетов по уравнению (19) пульсаций сферической взрывной камеры, снабженной герметичной эластичной оболочкой при различных соотношениях между Ятах и Яф, представлены на

рис. 2 и 3.

а

'Я/Я

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

0 0,2 ' Я'/Я'тах <

0,4 0,6

б

0,8 г, с 1,0

1,0 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1,0

0 0,2

р/тр0

0,4

0,6

0,8 г, с 1,0

1,0 0,8 0,6

л Л л

0,4 Л л

0,2 1 \ А —►

0

0,2

0,4

0,6

0,8 г, с 1,0

Рис. 2. Характер пульсаций сферической взрывной камеры в фильтре скважины при Ятах < Яф: Я! = 3,9 см; Яф = 10 см; Як = 15 см; а = 0 м; Ьф = 4 м; Ьк = 30 м; т = 10; п = 1,21; ц = 0,62; 5=1 мм. Вычисленное значение Ятах= 1,457 м/с. Стационарное решение Я! = 6,8 см; Ятах = 9,97 см, что меньше Яф

Из рис. 2 следует, что при Ятах < Яф радиус оболочки в процессе расширения возрастает до Ятах (рис. 2а), при этом скорость вначале растет, а затем к концу расширения уменьшается до нуля (рис. 2б), давление р в продуктах взрыва, высчитанное по (3), при этом достигает минимального значения (рис. 2в). Вследствие потерь энергии пульсации продуктов взрыва имеют затухающий характер.

в

а

+Я/Яф

0 0,2 0,4 0,6 0,8 г, с 1,0

0,8

0,4 0,2

. р/шр,

0,2

0,4

0,6

0,8 г, с 1,0

в

0

0

Рис. 3. Характер пульсаций сферической взрывной камеры в фильтре скважины при Ятах = Яф: = 4,7 см; Яф = 10 см; Як = 15 см; а = 0 м; Ьф = 4 м; Ьк = 30 м; ш = 10; п = 1,21; ц = 0,62; 5 = 1 мм. Вычисленное значение я'тах =1,337 м/с. Стационарное решение Я = 8,3 см

Характер изменения давления во времени на стенке фильтра будет таким же, как и в продуктах взрыва. В рамках рассматриваемых здесь приближений можно считать, что давление на стенке фильтра напротив взрывной камеры будет меньше давления в продуктах взрыва р на величину удельной кинетической энергии в этом сечении в соответствующие моменты времени. Указанное имеет место, когда применяются взрывные камеры, радиус которых соизмерим с радиусом фильтра. Применение взрывных камер малых диаметров нецелесообразно из-за затухания волн давления в кольцевой зоне между наружной поверхностью камеры и фильтра. Предельной по диаметральному размеру взрывной камерой из условия недопущения ее касания стенки фильтра при максимальном расширении является камера, у которой Ятах « Яф.

Из рис. 3 следует, что при Ятах « Яф радиус оболочки в процессе расширения возрастает до Ятах (рис. 3а), при этом резко возрастает сопротивление течению жидкости в кольцевом отверстии и увеличиваются затраты энергии продуктов взрыва на преодоление этого сопротивления, в связи с чем скорость движения оболочки в последующей пульсации резко падает (рис. 3б), давление р в продуктах взрыва во 2-й и последующих пульсациях также уменьшается (рис. 3в).

При оценке действия взрыва на кольматирующие отложения, помимо максимального давления на фронте волны, которое в основном определя-

ется глубиной воды в скважине Н, к разрушающим факторам относится

г

импульс давления I, который определяется как интеграл I = | р(г)ёг. Эф-

0

фективность декольматации фильтра будет тем выше, чем больше величина импульса давления I.

Для определения величины импульса давления I с помощью программы решения уравнения (19) по формуле Симпсона вычислялось значение

к

I = | р(г)Ж, (23)

0

где - момент времени, когда радиус пузыря принимает максимальное значение Ятах, а р(г) определяется по формуле (3). Обработка результатов вычислений при различных геометрических размерах взрывных камер, скважин и условиях подводного взрыва позволила предложить формулу для расчета импульса давления I для стадии расширения продуктов взрыва (при т = 10 и Е = 4 мПа). Для получения формулы был использован метод наименьших квадратов.

Эта формула для импульса давления I имеет вид

1: = тР0 кпкф

( п П Ч0,015„ , , \0,08л , хч20

Я1

яф ,

(/ф -а)0,015( 1ф + /к -а) (1 + 5)2 (24)

0,79 , (24)

Як0,

где кп = 1,57 - 0,51п + 0,032п2 - коэффициент, учитывающий влияние коэффициента политропы п, кф = 0,00164 - 0,006Яф + 0,43Яф - 0,86Яф. Значения переменных следует задавать в метрах. Ограничения на использование формулы следующие: яф е [0,08; 0,25]; 0,35яф <я, < 0,55яф; Яф < Як < 2Яф;

(/ф - а) е [2; 18]; /к е[20;100]; 5е [0,001; 0,005]; п е[1,17; 1,81]. При данных ограничениях результаты, полученные с использованием (24), отличаются от соответствующих результатов вычисления интеграла (23) с использованием формулы Симпсона не более чем на 6 % (а для часто встречающихся конструкций скважин - менее чем на 3 %). Ограничения на величину Я1 вполне естественны, так как при Я1 < 0,35Яф значение I очень

мало (что малоинтересно с точки зрения практического приложения), а при Я1 > 0,55Яф происходит «залипание» пузыря на стенке фильтра, и он не

совершает колебаний.

Анализ формулы (24) показывает, что импульс давления I имеет практически линейный рост при возрастании длины фильтра и колонны (поскольку от них линейно зависят глубина Н и соответственно давление р0, а множители (/ф - а)0 015 и (/ф + /к - а)0 08 вносят несущественный вклад), уменьшается с увеличением Я и п, но увеличивается с ростом 5.

В Ы В О Д Ы

1. На основе анализа недостатков газоимпульсной регенерации фильтров с помощью открытых снизу стальных взрывных камер предложено использование герметичных сферических взрывных камер с эластичными оболочками.

2. Для описания пульсаций продуктов сферического подводного газового взрыва в закольматированном фильтре скважины составлено уравнение закона сохранения энергии для процесса расширения газовой полости в оболочке внутри заполненной жидкостью вертикальной трубы с учетом сил трения и инерции.

3. Полученное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка решалось численным методом, в результате составлена программа расчета, которая позволяет получить зависимости Я(г), у(г), р(г) и значения импульса давления I при различных параметрах скважины и взрывной камеры.

4. Для определения максимального радиуса взрывной камеры Ятах получено выражение, которое решается численным методом.

5. Для расчета импульса давления I получена формула, которую можно использовать для проектирования взрывных камер, обеспечивающих заданные режимы обработки фильтров.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. И в а ш е ч к и н, В. В. Газоимпульсная технология восстановления пропускной способности фильтров водозаборных скважин / В. В. Ивашечкин; под ред. А. Д. Гуриновича. -Минск: БНТУ, 2005. - 270 с.

2. Н а у г о л ь н ы х, К. А. Электрические разряды в воде / К. А. Наугольных, Н. А. Рой. -М.: Наука, 1971. - 155 с.

3. К о у л, Р. Подводные взрывы / Р. Коул. - М.: Изд-во иностр. лит., 1950. - 418 с.

4. К о ч е т о в, В. Т. Сопротивление материалов / В. Т. Кочетов, А. Д. Павленко, М. В. Кочетов. - Ростов на/Д.: Феникс, 2001. - 366 с.

5. Г и д р а в л и к а, гидравлические машины и гидравлические приводы / Т. М. Башта [и др.]; под ред. Т. М. Башта. - М.: Машиностроение, 1970. - 504 с.

6. Б а ш т а, Т. М. Гидропривод и гидропневмоавтоматика / Т. М. Башта. - М. : Машиностроение, 1972. - 320 с.

Представлена кафедрой

гидравлики Поступила 6.06.2007