CC BY
53
:
Расчет круговой цилиндрической оболочки по моментной теории c
учетом ползучести
А.С. Чепурненко, А.В. Сайбель, А.А. Савченко
Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону
Аннотация: В статье приведены общие уравнения моментной теории круговой цилиндрической оболочки с учетом ползучести: статические, геометрические и физические. Решена задача определения напряженно-деформированного состояния оболочки, жестко защемленной в основании, при действии на нее внутреннего гидростатического давления. Задача свелась к линейному неоднородному дифференциальному уравнению четвертого порядка относительно прогиба. Решение выполнялось численно методом конечных разностей в программном комплексе Matlab. В качестве закона связи между деформациями ползучести и напряжениями использовалось обобщенное нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича. Для определения деформаций ползучести применялась линейная аппроксимация первой производной по времени. Произведен расчет оболочки из вторичного ПВХ, и в результате установлено, что в процессе ползучести в оболочке на 15% возрастают окружные напряжения. Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, ползучесть, моментная теория, полимеры, метод конечных разностей.
Рассматривается тонкая цилиндрическая оболочка постоянной толщины, жестко защемленная в основании, под действием гидростатического давления (рис. 1). Данная задача является осесимметричной, однако для начала получим общие уравнения ползучести круговой цилиндрической оболочки при ее произвольном нагружении.
При учете ползучести уравнения равновесия, а также геометрические
уравнения по сравнению с теорией тонких упругих оболочек не
претерпевают изменений. Статическая сторона задачи представлена тремя
уравнениями равновесия [1]:
dNx 1 dS 0
—x +--+ Xv = 0;
dx R dQ v
dS 1 dNe 1 dMe 1 dH v .
— +--Q н—2-1 +--+ Yv= 0; (1)
dx R dQ R2 dQ R dx v w
d2Mx 1 d2Me Ne 2 d 2H ^ Л
-T- + ^—TT —e +--+ z v = 0.
dx2 R2 de2 R R dxdQ v
1
где Ых,Ые - продольные силы; £ - сдвигающая сила; Мх, Ме - изгибающие моменты; Н - крутящий момент; Xv, Уу, Zv - компоненты поверхностной нагрузки.
Рис. 1. - Цилиндрическая оболочка под действием гидростатического
давления
Геометрические уравнения записываются в виде [1]:
е х = е0 + х; £е=ее+ ?Хе; У хе=У °е + 2 хе,
(2)
где
кривизн; е х
а2 —
, Хе
1
ах2'Ле я2
8у0 а2
чае~ аёгу
,Х хе
1
я
г а2 — 1 ауА
ч ахае 2 ае у
- изменения
аи0 е0 = 1 ах' е я
ае
, У хе
1 аи0 ау0
я ае ах
- деформации срединной
поверхности; и0, у0, — - перемещения срединной поверхности соответственно в направлениях х, в,
Физические уравнения с учетом ползучести записываются в виде [2,3]:
1/ \ * 1/ \ * т
ех = —(х -^е) + ех; ее=~(
Е
хе
Е (е-^ х ; + ее; У хе 0
+ У хе,
(3)
* * * .. где ех, ее, Ухе - деформации ползучести.
Выразим из (3) напряжения через деформации:
1К1 Инженерный вестник Дона, №2 (2017) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2017/4197
^х = (ех + уее - (е*х + )) = ( + + 7(х + уХе ) -(< + уе'е ));
ае = (ее + уех - (ее + уеХ)) = 2( + уеХ + 7(е + уХх) (е + уе*х)); (4)
-
^ хе
°(Ухе - У*е ) = 2( + у)(ухе + 27Ххе - Ухе).
Продольные и сдвигающая силы записываются в виде:
к/2
К = /ах& = (ех + уее)-К*;
-к/2 1 У к/2 Ек
Ке = {а^ = —т (е° )- К*; (5)
/ о IV
-к/2 к/2
^ = = (1Ек)у0*-- к/2 2 (+у)
— к/2 — к/2 — к/2
где к=1—2 1 (ех+уее ^ =^—2 1 (ее+уе*х^ ^*=^—ч 1 у 1 -у - к/2 1 -у -к/2 2 (- + у)- к/2
Изгибающие и крутящий момент определяются следующим образом:
к/2
мх = \ъх7й7 = в (х + уХе)- к/2 к/2
ме= = В (Хе + УХх )-ме*; (6)
-к/2 к/2
Н = |х хе = В (1 -V) хе- Н *,
-к/2
* — к/.2 * * * — к/2 * * —к3 где мх* = 1-2 1 (е*х + уее )^ Ме* = 1-2 1 (ее + )В = ^-гг -
1 -у -к/2 1 -у - к/2 12 (1 -У2 )
— к/2
цилиндрическая жесткость, Н* = —-- Г у*е7й7 .
2 (1 + У)-к/2 х
В общем случае задача определения напряженно-деформированного состояния круговой цилиндрической оболочки сводится к системе из 15
1
уравнений с 15 неизвестными, решение которой связано с большими математическими трудностями.
Перейдем к расчету с учетом ползучести осесимметрично нагруженной оболочки, показанной на рисунке 1. Ввиду симметрии сдвигающее усилие £ и крутящий момент Н обращаются в нуль. Из составляющих поверхностных нагрузок отлична от нуля только одна: Zv = q = у(I - х), где у - удельный вес
жидкости. Уравнения равновесия (1) с учетом осевой симметрии принимают вид:
dNx 0 й2Мх Nе 0
—^ = 0;-2х--е + q = 0. (7)
йх йх Я
Выражения для изгибающего момента и продольных сил запишутся в
виде:
N =•
ЕЙ
Nе
1 -V
ЕЙ
г йи0 — Л
• + V —
1 -V2
V йх Я у г — йи0 Л
— + V 0
V
Я йх
- N * = 0;
А; (8)
,, „й2 — *
Мх = -В~гт "Мх. ах
Выразим из первого уравнения (8) величину
йи0 йх
йщ =_™ + Nx*. (9)
йх я ЕЙ х Подставив (9) во второе уравнение (8), получим:
АГ ЕЙ— * *
Nе= — + А - Nе. (10)
Далее, подставляя (10) и третье равенство из (8) во второе уравнение (7), получим основное разрешающее уравнение:
й4— ЕЙ— й2М*
В-
ЕЙ— йМ* 1/ * *\ + —^ = q--^+ — ( - vNr I. (11)
Г>2 1 г>\ е х)
йх4 Я2 йх Я
:
Граничные условия имеют вид:
При х = 0: — = 0,
йх
0;
ТГ 7 ГЛ й2— * йМх
При х = И: Мх = -В— -М* =0, бх
В
й3— йМ*
(12)
0.
йх йх йх
Уравнение (11) решается численно методом конечных разностей. Методика определения деформаций ползучести приводится в работах [4-8].
Был выполнен расчет полимерного резервуара из вторичного ПВХ И = 3 см, I = 3 м, Я = 2 м, у = 10 кН / м , Е = 1480 МПа, V = 0.3. В качестве закона ползучести использовалось нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича [9]. Реологические параметры ПВХ при температуре 20°С: модуль высокоэластичности Еда = 5990 МПа, модуль скорости т* = 12.6 МПа, начальная релаксационная вязкость ^0 = 9.06 • 105 МПа • мин [10].
Рис. 2. - График роста Рис. 3. - Изменение напряжений ох во
максимального прогиба времени
На рис. 2 представлен график изменения во времени максимальной величины прогиба. В процессе ползучести произошло увеличение максимального прогиба на 24%. На рис. 3-4 приведено соответственно изменение напряжений ох и ое в основании при г = - И/2. Из представленных графиков видно, что напряжения ох остаются практически постоянными, а напряжения ое выросли на 15%.
1.16 1.14 1 12
1.1
£ 1.08 Э
1.06 1.04 1.02 1
0.98
i
Рис. 4. - Изменение напряжений oq во времени Таким образом, расчет оболочки только в упругой стадии приводит к заниженным значениям напряжений, и как следствие возможному ее разрушению в процессе эксплуатации.
Литература
1. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1982. 264 с.
2. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Никора Н.И., Денего А.С. Плоское деформированное состояние полимерного цилиндра в условиях термовязкоупругости // Инженерный вестник Дона, 2015, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3063.
3. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. On the bending of a thin polymer plate at nonlinear creep // Advanced Materials Research. 2014.Vol. 900. pp. 707-710.
4. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Yazyev B.M. Energy method in the calculation stability of compressed polymer rods considering creep // Advanced Materials Research. 2014. Vol. 1004-1005. pp. 257-260.
5. Языев Б.М., Чепурненко А.С., Литвинов С.В., Козельская М.Ю. Напряженно-деформированное состояние предварительно напряженного
2 4 6 8 10
t, час
железобетонного цилиндра с учетом ползучести бетона // Научное обозрение. 2014. № 11. С. 759-763.
6. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Инженерный вестник Дона, 2013, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1714.
7. Юхнов И.В., Языев Б.М., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Продольный изгиб гибкой железобетонной стойки при нелинейной ползучести // Современные проблемы науки и образования. 2014. № 5. С. 182.
8. Чепурненко А.С., Юхнов И.В., Аваков А.А., Никора Н.И. Устойчивость дюралюминиевой арки при высокотемпературной ползучести // Научное обозрение. 2014. № 10-2. С. 406-410.
9. Chepurnenko A.S., Yazyev B.M., Savchenko A.A. Сalculation for the circular plate on creep considering geometric nonlinearity // Procedia Engineering. 2016. Vol. 150. pp. 1680-1685.
10. Chepurnenko A.S., Andreev V.I., Beskopylny A.N., Jazyev B.M. Determination of Rheological Parameters of Polyvinylchloride at Different Temperatures // MATEC Web of Conferences. 2016. URL: matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2016/30/matecconf_smae2016_06059.pdf.
References
1. Samul' V.I. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti [Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity]. M.: Vysshaya shkola, 1982. 264 p.
2. Dudnik A.E., Chepurnenko A.S., Nikora N.I., Denego A.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2015. № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3063.
3. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. On the bending of a thin polymer plate at nonlinear creep. Advanced Materials Research. 2014.Vol. 900. pp. 707-710.
4. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Yazyev B.M. Energy method in the calculation stability of compressed polymer rods considering creep. Advanced Materials Research. 2014. Vol. 1004-1005. pp. 257-260.
5. Yazyev B.M., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V., Kozel'skaya M.Yu. Nauchnoe obozrenie. 2014. № 11. pp. 759-763.
6. Kozel'skaya M.Yu., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2013. № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1714.
7. Yukhnov I.V., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya. 2014. № 5. p. 182.
8. Chepurnenko A.S., Yukhnov I.V., Avakov A.A., Nikora N.I. Nauchnoe obozrenie. 2014. № 10-2. pp. 406-410.
9. Chepurnenko A.S., Yazyev B.M., Savchenko A.A. Calculation for the circular plate on creep considering geometric nonlinearity. Procedia Engineering. 2016. Vol. 150. pp. 1680-1685.
10. Chepurnenko A.S., Andreev V.I., Beskopylny A.N., Jazyev B.M. Determination of Rheological Parameters of Polyvinylchloride at Different Temperatures. MATEC Web of Conferences. 2016. URL: matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2016/30/matecconf_smae2016_06059.pdf.
