Конечно-элементное моделирование ползучести пластин произвольной формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Конечно-элементное моделирование ползучести пластин произвольной

формы

А.С. Чепурненко, А.В. Сайбелъ, А.А. Савченко Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону

Аннотация: В статье приведен вывод уравнений изгиба треугольного конечного элемента пластины с учетом ползучести. При выводе уравнений используется вариационный принцип Лагранжа. Задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Полученные уравнения позволяют рассчитывать пластинки произвольной формы с учетом вязкоупругих свойств материала. Приведен пример расчета прямоугольной полимерной пластинки из вторичного ПВХ, шарнирно опертой по контуру и загруженной равномерно распределенной по площади нагрузкой. В качестве закона, устанавливающего связь между деформациями ползучести и напряжениями, используется нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича. Представлены графики изменения во времени напряжений и прогиба. Напряжения в процессе ползучести меняются несущественно, разница между напряжениями в начале и в конце процесса ползучести не превышает 6%. Ключевые слова: ползучесть, метод конечных элементов, изгиб пластин, полимеры, уравнение Максвелла-Гуревича, длительная цилиндрическая жесткость.

Известно, что для многих конструкционных материалов характерно явление ползучести, т.е. развитие во времени деформаций при постоянных нагрузках. В то же время на данный момент отсутствуют общие методы расчета конструкций и их элементов с учетом реологии материала. В литературе приводятся некоторые частные решения для стержневых элементов [1-4], пластин [5] и оболочек [6]. В работе [5] рассматривается методика расчета прямоугольных пластин с учетом ползучести методом конечных разностей, однако данная методика неприменима для пластин произвольной формы.

В настоящей статье приводится вывод уравнений изгиба с учетом ползучести для плоского треугольного конечного элемента, что позволяет рассчитывать пластины произвольной формы.

Рассматриваемый конечный элемент представлен на рис. 1. В каждом из его узлов имеется 3 степени свободы: прогиб wi и 2 угла поворота ф1Х и Ф1у. Поле перемещений конечного элемента записывается в виде:

'(р1>'

{и Н{р2}

(рз)

где {р,} ={щ фх фу}т =

(1)

Щ -■

дщ ду

дщ дх

Рис. 1. - Треугольный конечный элемент пластины Для функции прогиба принимается следующая аппроксимация, которая также используется в работе [7]:

г2г Агт г,. О „2- 1

Щ = Р1А + Р2А + Рз А + РЛАА +- ААА) + ••• + Р9С4А + - АААз), (2)

где Р 9 - неопределенные коэффициенты, Ц, Ц, А - ¿-координаты, определяемые следующим образом:

Ц = -1 (а, + Ьх + су), » = 1...з,

» г ^ » » ^^

где

л=1

2

1 х1 У1

1 х2 у2 - площадь конечного элемента,

1 хз Уз

а1 Х2уз хзуг ? Ь1 у2 уз9 хз Х2 .

Остальные коэффициенты определяются путем циклической

замены индексов _. Постоянные (31 9 можно найти, подставив в

выражение (2) узловые значения прогибов и углов поворота. При этом возникает необходимость дифференцирования по координатам х и у.

Т

Производные по декартовым координатам вычисляются следующим образом:

д дЦ д дЬ9 д дЬ д - 1 +—2-+ 3

1

дх дх дЦ дх дЬ2 дх дЦ 2 А

д дЬ д дЬ д дЬ д - 1 +—2-+ 3

1

д

ъ —+ ъ

1 дЦ д

+ с

дЬ

д +ъ д 1

дь2 3 дЬз)

д д 1

+ с

дь2 3 дЬз)

(3)

ду ду дЦ ду дЬ2 ду дЦ 2 А Окончательно функция прогибов записывается в виде:

" = {ТО ТО

где {Ы1}, }, {N3} - функции формы.

(4)

ТО7 =

ц + Ь2 Ц

Ъ3 (Ц Ь2 + ^ Ь1Ь2 Ь3 ) Ъ2 (Ь3А Ь1Ь2 Ь3 ) С3 (Ь1Ь2 + Т Ь1Ь2 Ь3 ) — С2 (Ь3 Ь1 + Т Ь1Ь2Ь3 )

1 2

1 2

(5)

Выражения для {N2} и {N3} также можно получить путем циклической замены индексов.

При выводе уравнений используется вариационный принцип Лагранжа. Потенциальная энергия деформации пластинки определяется следующим образом:

Я = 1 |{а}7 {ве/ , (6)

2 к

где {а}7 = {ах а^ т^} - вектор напряжений, {8е/} - вектор упругих

деформаций, которые представляют разность между полными деформациями и деформациями ползучести:

{С/} = {8}-{8-} = {с х 8 у у у }7 -{бХ 8* }7. (7)

Деформации связаны с напряжениями следующим образом:

{а} = Р]({8}-{8*}), (8)

где [Б] =

Е

1 -V2

1 V 0

V 1 0

0 0 (1 ^)/2

матрица упругих постоянных.

Вектор полных деформаций определяется следующим образом:

{8} ==- 2

д2 Щ д 2{^ }

дх2 дх2

д2 Щ д 2{^ }

ду2 ду2

0 д2 щ .д 2{^ }

дхду дхду

(и } = - 2[ В](и }.

(9)

Элементы матрицы [В] являются функциями от х и у. Данная матрица нами была получена в символьном виде в математическом пакете Matlab и здесь не приводится ввиду ее громоздкости.

С учетом (9) векторы напряжений и упругих деформаций записываются в виде:

{8е1} = -2[В][Щ - {8*}; {а} = -2[Б][В](и} -[Б]{8*}. (10)

Подставив (10) в (6), получим:

П = 1 (12 2{и }Т [ В]Т [ D] [ В]{и }аУ + | {8*}[ D]z[ В] {и }dV +

2 к к

1 рЗ ^

2{и}Т[В]Т[В][8^у + |{8*}ТР]{8>К) = -{и}Т-1[В] [Б][В^Л{Щ

+

+

к/2

+{и}Т|[В] [ЩМ • | {8*}гс1г.

- к/2

Если на элемент действует равномерно распределенная нагрузка, то работа внешних сил записывается в виде:

{^}Т ш =

Л = | дщ( х, у)йЛ = {и }Тд |

ад7

íTqA к ьз - ь2 С - ^ ь! - ьз c1 - Сз ь2 - ь1 С2 - cl

.{щ!^ ^ 1 ^-Г2 1 Г^Ц 1

3 [ 8 8 8 8 8 8 ]

После минимизации полной энергии Э = П - А по узловым перемещениям задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений:

[К]{и} = ^} + {F *}, (11)

/?з т

где [K] = — |[B] [D][B]dA - матрица жесткости, - вектор внешних

12 A

т h/2

узловых нагрузок, {F*} = |[B] ^А ■ | {£*} zdz - вклад деформаций

A - h/ 2

ползучести в вектор узловых нагрузок.

Интегралы по площади в выражениях для [К ] и ^*} вычисляются численно. В матрицу жесткости и вектор нагрузки входят члены со степенью не выше второй, поэтому интегрирование будет точным при использовании всего лишь трех точек (середин сторон элемента) [7]. Формула

интегрирования записывается в виде:

| f (у)М = A

A 3 V V

г

Г ~ , ~ Л, , Л, Л

f + х2 у1 + у2 + f . хз У1 ■ уз + f

г хх + Хз У1 + УзЛ

Г „ , - , Л Л

Х2 + Х3 у2 + уз

Интегралы по толщине пластинки вычисляются методом трапеций. Был выполнен расчет прямоугольной шарнирно опертой по контуру пластинки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 2).

Материал пластинки - вторичный ПВХ, модуль упругости E = 1480 МПа, коэффициент Пуассона V = 0.3, величина нагрузки q = 2 кПа, размеры пластины: а = 0.8 м, Ь = 0.6 м, толщина пластинки к = 2см. В

качестве закона ползучести использовалось нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича, которое при плоском напряженном состоянии записывается в виде:

г

дет Г

11 ^ 11

=Чг. 1 = У. 1 = У.

д? ц

где /. - функция напряжении, ц - релаксационная вязкость.

./1 = |(С. -А)-^ Где Р = ^

- среднее напряжение, 5г -

символ Кронекера, ^ - модуль высокоэластичности.

1 1

— = — ехр

Ц Цо

/ *

■у т

т

\ У

где ц. - начальная релаксационная вязкость, т - модуль скорости.

Рис. 2. - Расчетная схема пластинки

Реологические параметры ПВХ при различных температурах приводятся в работах [8-9]. При I = 20° С: Е^ = 5990 МПа,

ц. = 9.06 • 105 МПа • мин, т* = 12.6 МПа.

Полученныи в результате график роста прогиба в центре пластины представлен на рис. 3. Отметим, что для пластин, материал которых

подчиняется уравнению Максвелла-Гуревича, отношение прогибов при t ^го и t = 0 должно быть равно: ^(го) В

40) В

где В =

ЕИ3

- цилиндрическая жесткость пластинки, В - длительная

12(1 -V2)

цилиндрическая жесткость, впервые введенная в работе [10]. аИ3

12(а2 -р2) '

11* V 1

где а = — + , р = —ь

Е Е„

Е 2Е„

Рис. 3. - График роста прогиба в центре пластины По результатам численного расчета отношение ^(го) / ^(0) составило 1.2092, что отличается от точного значения на 0.26% и свидетельствует о достоверности полученных уравнений и методики.

800

750

700

650

и 600

ей

64 СХ С яЗ

550

500

450

400

[III!

\

а / х

------

I / xv

/ "

1 I i I

10

t, час

Рис. 4. - Изменение во времени наибольших напряжений На рис. 4 представлены графики изменения во времени наибольших напряжений. Напряжения а выросли на 0.93%, ах - на 4.05 %, наибольшие

касательные напряжения снизились на 6%.

Литература

1. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Инженерный вестник Дона. 2013. №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1714

2. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Yazyev B.M. Energy method in the calculation stability of compressed polymer rods considering creep // Advanced Materials Research. 2014. Vol. 1004-1005. pp. 257-260.

3. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Расчет на устойчивость сжатых полимерных стержней с учетом температурных воздействий и высокоэластических деформаций // Научно-технический вестник Поволжья. 2013. № 4. С. 190-194.

4. Чепурненко А.С., Языев Б.М. Оптимизация формы поперечного сечения сжатых стержней из условия устойчивости // Научное обозрение. 2012. № 6. С. 202-204.

5. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. On the bending of a thin polymer plate at nonlinear creep // Advanced Materials Research. 2014. Vol. 900. pp. 707-710.

6. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Никора Н.И. Плоская осесимметричная задача термовязкоупругости для полимерного цилиндра // Инженерный вестник Дона. 2015. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2816

7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 538

с.

8. Chepurnenko A.S., Beskopylnyi A.N., Jazyev B.M., Andreev V.I. Determination of rheological parameters of polyvinylchloride at different temperatures // MATEC Web of Conferences. 2016. URL: matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2016/30/matecconf_smae2016_06059.pdf

9. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Определение реологических параметров поливинилхлорида с учетом изменения температуры // Пластические массы. 2016. № 1-2. С. 30-33.

10. Андреев В.И., Языев Б.М., Чепурненко А.С. Осесимметричный изгиб круглой гибкой пластинки при ползучести // Вестник МГСУ. 2014. № 5. С. 16-24.

References

1. Kozel'skaya M.Yu., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1714

2. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Yazyev B.M. Advanced Materials Research. 2014. Vol. 1004-1005. pp. 257-260.

3. Kozel'skaya M.Yu., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Nauchno-tekhnicheskiy vestnik Povolzh'ya. 2013. № 4. pp. 190-194.

4. Chepurnenko A.S., Yazyev B.M. Nauchnoe obozrenie. 2012. № 6. pp. 202204.

5. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. Advanced Materials Research. 2014. Vol. 900. pp. 707-710.

6. Dudnik A.E., Chepurnenko A.S., Nikora N.I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2816

7. Zenkevich O. Metod konechnykh elementov v tekhnike [Finite element method in engineering science]. M.: Mir, 1975. 538 p.

8. Chepurnenko A.S., Beskopylnyi A.N., Jazyev B.M., Andreev V.I. MATEC Web of Conferences. 2016. URL: www.matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2016/30/matecconf_smae2016_06059.pdf

9. Dudnik A.E., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Plasticheskie massy. 2016. № 1-2. pp. 30-33.

10. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. Vestnik MGSU. 2014. № 5. pp. 16-24.