CC BY
39
Моделирование термоползучести неоднородного толстостенного цилиндра в осесимметричной постановке
С.В. Литвинов, Л.И. Труш, А.Е. Дудник Ростовский государственный строительный университет
Аннотация: В статье приводится полный цикл решения плоской осесимметричной задачи: от получения основных разрешающих уравнений до решения практической задачи ползучести полимерной трубы. Используется два нелинейных закона связи «напряжения-деформации»: Максвелла-Гуревича и Максвелла-Томпсона. Проводится сопоставление и анализ полученных результатов, так, в некоторых случаях проектировщику вполне оказывается достаточно использования уравнения связи Максвелла-Томпсона, чем более сложного уравнения связи Максвелла-Гуревича. Решение задачи производится с использование численного метода — метода конечных разностей. При этом, в случае наличия температурного поля, все физико-механические параметры материала (упругие и релаксационные) принимаются в виде функции от температуры. Таким образом, учитывается наведенная (косвенная) неоднородность материала. Для определения температурного поля используется уравнение теплопроводности Фурье. Ключевые слова: осесимметричная задача, неоднородность, ползучесть, уравнение связи Максвелла-Гуревича, уравнение связи Максвелла-Томпсона.
Введение
Полимерные материалы пользуются большим спросом на рынке строительных изделий из-за своей легкости, прочности и удобства в эксплуатации. Вторичный поливинилхлорид (далее ПВХ) является одним из таких материалов. Большим его преимуществом является то, что он изготовляется из технических и бытовых отходов, что делает его выгодным как с экономической точки зрения, так и экологической. ПВХ используется для производства изоляции, покрытий, толстостенных труб и многих других строительных элементов. Перед проектировщиками часто стоит задача грамотного, быстрого и нетрудоемкого расчета подобных конструкций.
В статье рассматривается осесимметричное плоское деформированное состояние (далее — ПДС) однослойной трубы из ПВХ с учетом свойств ползучести. Для описания ползучести существует множество выражений, но уравнениями, максимально точно описывающими поведение материала, являются уравнения Максвелла-Гуревича и Максвелла-Томсона.
Конструктору удобнее использовать те уравнения, которые проще, но при этом, они должны быть приближены к реальной работе материала.
Цель статьи — проведение исследования НДС полимерной трубы, на основе разных уравнениях ползучести с последующим сравнением результатов. Данная проблема является актуальной, так как трубы из ПВХ, как правило, подвержены либо нагреву изнутри, либо находятся под внутренним давлением. Исследованием напряженно-деформированного состояния цилиндрических тел занимались авторы академик В. И. Андреев, профессор Р. А. Турусов, профессор Б. М. Языев в работах [1-17], однако такой материал, как ПВХ, ими не рассматривался.
Не смотря на то, что законы ползучести различаются, общее разрешающее уравнение будет одно. Наличие осевой симметрии в плоской задаче значительно упрощает основные уравнения. Для достаточно длинного цилиндра (в случае ПДС) общее разрешающее уравнение можно получить из дифференциального уравнения равновесия (1), условия совместности деформаций (2) и закона Гука (3), учитывая, что полная деформация равна сумме упругой, температурной и высокоэластичной деформаций, и £ = 0.
Проблема и ее актуальность
Вывод основного разрешающего уравнения
г
дг г
(1)
д£в_ + £в_££_ = 0-
дг г
(2)
с + с )]+£т + £*;
£г= Е [с -у( £в = Е [с-у(с + с )+£т+£*;
^=Е [с-л
(3)
С +а0)) + £т + £*;
где £г, £е, £2 — полные деформации вдоль соответствующих осей г, в, г; сг, с в, <с2 — нормальные напряжения вдоль соответствующих осей г, в,
г; £т — температурная деформация; £г, £в, £2 — деформации ползучести вдоль соответствующих осей г, в, г; Е — модуль упругости первого рода; у — коэффициент Пуассона, который равен у = 0,3.
Задача сводится к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка относительно радиальных напряжений:
а 2сг
дг 2
■ +
3 1 дЕ
г Е дг
дс 1 - 2у 1 1 дЕ
дг 1 -у г Е дг
сг =
Е д£
т
Е
г(1 -у) дг г(1 -у ) с граничными условиями: = -Р1, сы = -РЫ
д£2 д£в £в - £ у-
дг дг
(4)
(5)
где г1 и гм — внутренний и внешний радиусы цилиндра, Р1 и Рм — внутреннее и внешнее давления.
Законы ползучести
Для описаний деформаций ползучести, как было сказано выше, используются два закона: Максвелла-Гуревича и Максвелла-Томпсона.
Уравнения связи напряжений и деформаций по закону Максвелла-Гуревича имеют следующую форму:
_ * * /"* * г*
д£ 1гв д£в8 1вв д£28 3 28
дг
%
дг
%
дг
(6)
%
где
/п - 2 Р) ; -в - 3 {<Ув Р) ;
fzs — 2 {сГг — Р) - ;
(7)
1 1
1к • тах
•
т
% %%
Р —
аr + ав+аz
д д д
В уравнениях (6) и (7) ——, ——, —— — скорости деформаций
дг дг дг
ползучести вдоль соответствующих осей г, в, z; /г*, , — функции
"Г *
напряжений; — модуль высокоэластичности; % — модуль
релаксационной вязкости; т* — модуль скорости; р — среднее напряжение.
Задача ограничивается малым временем, поэтому рассматривается только первый спектр времен релаксации и е* — е*, е*в5 — е—, е* — е*. Закон Максвелла-Томпсона:
д е
1
дг гБ
г
\\
1 - Н
Б
а-Н ■ е
(8)
где Б и Н — мгновенный и длительный модули упругости соответственно; г — время релаксации напряжений.
Упругие и реологические параметры материала
Все упругие и реологические коэффициенты являются функцией температуры, то есть для вторичного ПВХ они имеют вид: Б {Т) — -0,2393Т2 + 8,3357Т +1402,6, МПа;
Бх1 {Т) — -0,0575Т3 + 11,095Т2 - 732Т +16618,МПа;
% {Т) — 74633,33е , ,МПа;
т* (Т ) = -0,0794Т + 15,134, МПа;
% (Т)
т = —г^г,с.
Е (Т)
Здесь Т — температура в градусах Цельсия.
Между мгновенным, длительным модулями упругости и модулем высокоэластичности имеется зависимость. Полную деформацию можно представить как сумму упругой и высокоэластической деформаций:
£ = с/Е + с/Ею. (9)
С другой стороны полная деформация есть соотношение нормального напряжения к длительному модулю упругости:
£ = с /Н . (10)
Приравнивая эти выражения, получаем, что длительный модуль упругости является следующей функцией от температуры:
, ч Е(Т)-ЕХ(Т) Н(Т)= } (11)
V ' Е(Т) + ЕХ(Т)
Задача решается несвязно, то есть в несколько этапов. На первом этапе определяется температурное поле, на втором — физико-механические параметры материала, на третьем — НДС, то есть определяются напряжения и деформации в цилиндре.
Для определения температурного поля было использовано уравнение теплопроводности Фурье:
д 2Т 1 дТ 1 дТ
+ -— = ——, (12)
дг2 г дг щ дг
где щ — коэффициент температуропроводности; р — плотность
рс
материала; с — удельная теплоемкость материала.
Так как задача осесимметричная, ее решение довольно удобно получить с использованием МКР. Для этого вводим сетку на интервале [а, Ь] с постоянным шагом по радиусу и времени:
b - a
= { = a + ihr}; hr =~N~; i = O'1'2^ N'
ю = { = (i - i)h}; ht = In- ; i = 0,1,2.•• N.
Аппроксимируя уравнение (4), получаем:
d а
ri
dr2
+
3 -e
v ri Ei dr у
да 1 - 2v 1 1 dEt
ds
Ti
r (1 -v) dr r (1 -v)
dr 1 -v r Ei dr
/ * * * * \ vdszr , dsei , sm-sn
ari =
V
dr dr
(13)
/
Полученное разностное уравнение (13) можно представить в виде:
/
1
1 Ei+1 - Ei-1
V h2 2hr 2hrEi 2h
1 3 -+-
r i r
\
а
r (i-1)
' 2 + 1 - 2v 1 Ei+1 --1Л
у
V h 1 -v rE
2hr
ari +
У
___L_ Ei+1 - Ei-1
^2/2Кп 2hrEi 2hr у
а
r(i+1)
Ei Ti+1 - Ti-1
—i— a——-—-
E;
r (1 -v) 2hr
* *
v ' z(i+1) üz(i-1) + üg(i+1) fcg(i-1) + s - sri
2h
2h
r
г (1 ).
где I —1,2...N -1.
Решение уравнения (14) приводится к матрице следующего вида:
(14)
1 0 0 0 0 0 - P1
a2 b2 С2 0 0 0 f2
0 a3 b3 C3 0 0 = < f3 >
0 0 0 aN-1 bN-1 CN-1 fN-1
0 0 0 0 0 1 " PN ,
Решение задачи происходит пошагово во времени. Это означает, что реологические параметры на следующем шаге определяются из решения для текущего момента времени:
Была решена задача определения НДС при следующих исходных данных: Я1 = 8 мм, = 28 мм. Внутреннее и внешнее давления:
Р1 = 10 МПа, Ры = 0 МПа. Время, в течение которого происходит расчет,
Матрица системы является трехдиагональной. Решение было выполнено в ПК «МА^АВ». На рис. 1-10 приведены графики изменения напряжений и деформаций ползучести вдоль радиуса с течением времени.
Задача распределения напряжений в однородном цилиндре хорошо известна. Напряжения не зависят от физико-механических параметров материала, соответственно, не зависят от выбранной теории связи «напряжения-деформации». Таким образом, напряжения, при одинаковой температуре на внутреннем и внешнем торцах цилиндра, не изменяются
При этом деформации при расчете с использованием уравнения Максвелла-Гуревича оказываются на порядок больше, чем при расчете с использованием уравнения Максвелла-Томпсона.
При решении задачи под действием температурного поля, картина для деформаций меняется несильно. Однако напряжения при этом отличаются весьма существенно.
(15)
равно Ттях = 3,6 ч .
Решения были получены при двух условиях:
(рис. 1).
1К1 Инженерный вестник Дона. №2 (2016) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2016/3560
0.01 0.015 0.02
г, м
0.025
0.01 0.015 0.02
г, м
0.025
Рис. 1 — Напряжение сг и свпри постоянной температуре: a — закон Максвелла-Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона
х 10
-2
ъ -4
х 10
-2
0 0
0.02 —" 2 0.02
г, ш и " Ь г, т и ^ ^ Ь
*
Рис. 2 — Деформации £г при постоянной температуре: a — закон Максвелла-
Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона
х 10
х 10
2-
0.5
0.02 „ ----- , 0.02 ___
г, т и и Г, И г, т 0 0 [ Ь
*
Рис. 3 — Деформации £е при постоянной температуре: a — закон Максвелла-
Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона
1К1 Инженерный вестник Дона. №2 (2016) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2016/3560
х 10 0
*ын -0.5
0 0 ЬЪ г,т 0 0 а
Рис. 4 — Деформации е2 при постоянной температуре: a — закон Максвелла-
Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона
СС Рн
св рц
Рис. 5 — Напряжение аг: a — закон Максвелла-Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона (при изменении температуры)
Рис. 6 — Напряжение а—: a — закон Максвелла-Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона (при изменении температуры)
Рис. 7 — Напряжение а,: a — закон Максвелла-Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона (при изменении температуры)
-0.01-
-0.02 0.04
-0.005
Рис. 8 — Деформации ег: a — закон Максвелла-Гуревича; Ь -
Максвелла-Томпсона (при изменении температуры)
ь
0.01
закон
0.01
0.005-
Рис. 9 — Деформации ев: a — закон Максвелла-Гуревича; Ь Максвелла-Томпсона (при изменении температуры)
ь
закон
IH Инженерный вестник Дона. №2 (2016) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2016/3560
*
Рис. 10 — Деформации sz: a — закон Максвелла-Гуревича; b — закон
Максвелла-Томпсона (при изменении температуры) Объяснить такую картину можно тем, что уравнение Максвелла-Гуревича учитывает вязкость как функцию от температуры, в то время как в уравнении Максвелла-Томпсона изменение значения релаксационной вязкости не учитывается.
При постоянной температуре решение задачи близко к решению упругой задачи. То есть, если в условии задачи будет дана постоянная температура, можно приять, что E = const, что значительно упрощает прочностной расчет.
Проанализировав полученный результат, можно сделать вывод, что при расчете напряженного состояния конструкции вполне достаточно применения уравнения Максвелла-Томпсона в качестве уравнения связи «напряжения-деформации». Однако если необходимо определять и деформации конструкции, следует использовать уравнение связи Максвелла-Гуревича.
Литература
1. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.: АСВ, 2002. 288 с.
2. Языев Б.М. Нелинейная ползучесть непрерывно неоднородных цилиндров: дис. ... канд. техн. наук: 01.02.04. М., 1990. 171 с.
3. Языев Б.М. Особенности релаксационных свойств сетчатых и линейных полимеров и композитов на их основе: дис. ... д-р. техн. наук: 01.00.06. Нальчик, 2009. 352 с.
4. Литвинов С.В., Языев Б.М.., Языева С.Б. Плоская деформация неоднородных многослойных цилиндров с учетом нелинейной ползучести // Вестник МГСУ. 2010. №1. С. 128-132.
5. Литвинов С.В., Языев Б.М., Бескопыльный А.Н. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении // Инженерный вестник Дона, 2011, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/704.
6. Литвинов С.В., Козельский Ю.Ф., Языев Б.М. Расчет цилиндрических тел при воздействии теплового и радиационного нагружений // Инженерный вестник Дона, 2012, №3 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/954.
7. Литвинов С.В., Козельский Ю.Ф., Языев Б.М. Осесимметричная термоупругая деформация цилиндра с учетом двухмерной неоднородности материала при воздействии теплового и радиационного нагружений // Вестник МГСУ. 2012. №11. С. 82-87.
8. Языев Б.М., Литвинов С.В., Козельский Ю.Ф. Плоская деформация элементов цилиндрических конструкций под действием физических полей // Инженерный вестник Дона, 2013, №2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1616.
9. Языев Б.М., Чепурненко А.С., Литвинов С.В., Аваков А.А. Построение модели равнопрочного толстостенного цилиндра при силовых и температурных воздействиях // Научное обозрение. 2014. №9. С. 863-866.
10. А. Е. Дудник, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов и д.р. Плоское деформированное состояние полимерного цилиндра в условиях термовязкоупругости // Инженерный вестник Дона, 2015, №2, Ч.2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3063.
11. Языев Б.М., Литвинов С.В. Плоскодеформированное и плосконапряженное состояние непрерывно неоднородного цилиндра под воздействием температурного поля // Сборник трудов. Ростов-н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2006. С. 25-27.
12. Дудник А.Е., Никора Н.И., Чепурненко А.С. Обратная зада для осесимметричного нагруженного толстостенного цилиндра // Научное обозрение. 2015. №11. С. 74-78.
13. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Никора Н.И. и др. Модель равнонапряженного цилиндра на основе теории прочности Мора при силовых и температурных воздействиях // Инженерный вестник Дона, 2015, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3064.
14. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Никора Н.И. Плоская осесимметричная задача термовязкоупругости для полимерного цилиндра // Инженерный вестник Дона, 2015, №1-2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2816.
15. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Нестационарная задача теплопроводности для электрического кабеля с ПВХ изоляцией // Научно-технический вестник Поволжья. 2015. №6. С.49-51.
16. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Yazyev B.M. Model of equal-stressed cylinder based on the Mohr failure criterion // Advanced Materials Research. 2014. Т.887-888. Pp.869-872.
17. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Energy Method in the Calculation Stability of Compressed Polymer Rods Considering Creep//Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257-260. Trans Tech Publications, Switzerland.
References
1. Andreev V.I. Nekotorye zadachi i metody mekhaniki neodnorodnykh tel [Some problems and methods of mechanics of heterogeneous solids]. M.: ASV, 2002. 288 p.
2. Yazyev B.M. Nelineynaya polzuchest' nepreryvno neodnorodnykh tsilindrov [Nonlinear creep continuously inhomogeneous cylinders]. M.: 1990. 171 p.
3. Yazyev B.M. Osobennosti relaksatsionnykh svoystv setchatykh i lineynykh polimerov i kompozitov na ikh osnove [Features of relaxation properties of linear and cross-linked polymers and composites based on them] Nal'chik: 2009. 352 p.
4. Litvinov S.V., Yazyev B.M.., Yazyeva S.B. MGSU. 2010. №1. pp. 128132.
5. Litvinov S.V., Yazyev B.M., Beskopyl'nyy A.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2011, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/704.
6. Litvinov S.V., Kozel'skiy Yu.F., Yazyev B.M. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №3 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/954.
7. Litvinov S.V., Kozel'skiy Yu.F., Yazyev B.M. Vestnik MGSU. 2012. №11. pp. 82-87.
8. Yazyev B.M., Litvinov S.V., Kozel'skiy Yu.F Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1616.
9. Yazyev B.M., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V., Avakov A.A. Nauchnoe obozrenie. 2014. №9. Pp. 863-866.
10. A. E. Dudnik, A. S. Chepurnenko, S. V. Litvinov i d.r. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №2, P.2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3063.
11. Yazyev B.M., Litvinov S.V. Ploskodeformirovannoe i ploskonapryazhennoe sostoyanie nepreryvno neodnorodnogo tsilindra pod vozdeystviem temperaturnogo polya. Sbornik trudov. [Plane strain and plane
stress continuous homogeneous cylinder under the influence of temperature field // Proceedings]. Rostov-n/D: Rost. gos. stroit. un-t, 2006. — pp. 25-27.
12. Dudnik A.E., Nikora N.I., Chepurnenko A.S. Nauchnoe obozrenie. 2015. №11. pp. 74-78.
13. Dudnik A.E., Chepurnenko A.S., Nikora N.I. i dr. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3064.
14. Dudnik A.E., Chepurnenko A.S., Nikora N.I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №1-2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2816.
15. Dudnik A.E., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Nauchno-tekhnicheskiy vestnik Povolzh'ya. 2015. №6. pp.49-51.
16. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Yazyev B.M. Model of equal-stressed cylinder based on the Mohr failure criterion. Advanced Materials Research. 2014. T.887-888. pp.869-872.
17. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Energy Method in the Calculation Stability of Compressed Polymer Rods Considering Creep.Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257260. Trans Tech Publications, Switzerland.
