CC BY
6Краткие сообщения
УДК 512.555.4
РАДИКАЛЫ /-КОЛЕЦ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ /-МОДУЛЕЙ
Н. Е. Шавгулидзе1
В работе изучаются специальные классы решеточно упорядоченных модулей. Устанавливается связь со специальным классом /-колец и специальный радикал /-кольца R представляется в виде пересечения аннуляторов /-модулей над R из соответствующего специального класса модулей. Первичный радикал /-кольца R представляется в виде пересечения /-аннуляторов /-первичных /-модулей над R.
Ключевые слова: решеточно упорядоченное кольцо, решеточно упорядоченный модуль, специальный класс /-модулей, специальный радикал /-кольца, первичный радикал /-кольца.
A special class of lattice-ordered modules is studied. We show that for any special class of /-modules we can define a special class of /-rings. The special radical of an /-ring R can be represented as the intersection of the /-annihilators of /-modules over R belonging to the special class. The prime radical of an /-ring R can be represented as the intersection of the /-annihilators of /-prime /-modules over R.
Key words: lattice-ordered ring, lattice-ordered module, special class of /-modules, special radical of an /-ring, prime radical of an /-ring.
В работе В. А. Андрунакиевича, Ю. М. Рябухина [1] изучаются специальные классы модулей, устанавливается их связь со специальными классами колец. Если задан специальный класс колец, специальный радикал кольца R представляется в виде пересечения аннуляторов R-модулей из соответствующего специального класса модулей. Приводятся примеры специальных классов модулей, в том числе класс всех модулей.
В данной работе показывается, что то же самое можно сделать для решеточно упорядоченных колец и решеточно упорядоченных модулей. Изучаются решеточно упорядоченные модули (/-модули), специальные классы /-модулей и их связь со специальными классами /-колец. Специальный радикал /-кольца R представляется в виде пересечения /-аннуляторов /-модулей над R из соответствующего специального класса. Первичный радикал /-кольца R представляется в виде пересечения /-аннуляторов /-первичных /-модулей над R.
Все кольца предполагаются ассоциативными, необязательно с единицей. Терминология и обозначения следуют [2, 3]. Там же можно почерпнуть необходимые сведения об /-кольцах. Приведем здесь некоторые определения и факты.
Пусть R — ассоциативное решеточно упорядоченное кольцо (/-кольцо). Обозначим R+ = {r Е R\ r ^ 0}; \r\ = r V 0 - r Л 0.
Для любых a,b Е R выполняются неравенства \a + b\ ^ \a\ + \b\, \ab\ ^ \a\\b\, \a V b\ ^ \a\ + \b\.
(Правый) идеал I /-кольца R называется (правым) /-идеалом, если из того, что a Е I, x Е R, \x\ ^ \a\, следует x Е I.
Тот факт, что I является (правым) /-идеалом /-кольца R, мы будем обозначать в виде I < R (I <r R).
Если I < R, то факторкольцо R/I (со следующим отношением порядка: a + I ^ b + I тогда и только тогда, когда a1 ^ b' для некоторых a' Е a +1, b' Е b +1) является /-кольцом, а естественный гомоморфизм п : R ^ R/I — /-гомоморфизмом.
Определение. Класс К ассоциативных /-первичных /-колец называется специальным, если выполнены условия:
(A) если R Е К и 0 = Б <1 R, то B еК;
(B) если 0 = B Е К, B < R и R — /-первичное /-кольцо, то R Е К.
С понятием специальный класс можно ознакомиться в [4, 5].
Определение. Модуль Mr над /-кольцом R называется /-модулем, если M — /-группа и для любых r Е R, a,b Е M, таких, что r > 0, a ^ b, выполняется неравенство ar ^ br.
1 Шавгулидзе Наталия Евгеньевна — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Будем обозначать М+ = {т Е М| т ^ 0}.
Определение. 1-Аннулятором ¡-модуля Ми называется множество (0 : М)и = {г Е Щ М|г| = 0}. ¡-Аннулятор ¡-модуля Ми является ¡-идеалом ¡-кольца К.
Определение. ¡-Модуль Ми называется ¡-первичным, если МК = 0 и для любых 0 < х Е М и В <К из равенства хВ = 0 следует, что В С (0 : М)и.
Из определений вытекает, что всякий первичный ¡-модуль является 1-первичным. В качестве ¡-пер-вичного, но не первичного ¡-модуля можно взять ¡-кольцо К из примера 1 работы [6] и рассмотреть его как ¡-модуль над собой.
Для того чтобы ввести определение специального класса ¡-модулей, нам потребуется несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Если Ми — 1-первичный 1-модуль и В<К, причем МВ = 0, то М — 1-первичный В -модуль и (0 : М)л Р| 13 = (0 : М)в-
Лемма 2. Пусть К — I-кольцо, А< К и К = К/А, тогда:
1) если М — 1-первичный 1-модулъ над К, то М является 1-модулем над К (тг = т(г + А) для любых т Е М, г Е К) и Ми — 1-первичный 1-модуль;
2) если М — 1-первичный 1-модулъ над К и А С (0 : М)и, то М — 1-первичный 1-модулъ над К (т(г + А) = тг для любых т Е М, г Е К).
Определение. ¡-Модуль Ми называется ¡-точным, если его ¡-аннулятор равен нулю. Лемма 3. 1-Кольцо К I-первично тогда и только тогда, когда существует над ним 1-точный 1-первичный 1-модуль М.
Каждому ¡-кольцу К поставим в соответствие некоторый класс ¡-модулей Хи над ним. Определение. Класс ¡-модулей Х = и Хи называется специальным, если он удовлетворяет следую-
и
щим условиям:
^1) если М Е Хи , то М — 1-первичный 1-модуль;
(Я2) если М Е Хд , где Я = К/А, А< Я, то М Е Хд. Обратно, если М Е Хд и А < К, А С (0 : М) д, то М Е Хд (композиция ХГ = хг)]
@3) если М Е Хи, В < К, МВ = 0, то М Е Хв;
^4) если 0 = В < К, где К — ¡-первичное ¡-кольцо и существует 1-точный модуль Мв Е Хв, то существует 1-точный модуль Ки Е Хи.
Корректность определения следует из предыдущих лемм. Следующая теорема показывает, что если задан специальный класс ¡-модулей, то можно задать специальный класс ¡-колец, и, наоборот, если задан специальный класс ¡-колец, то можно определить соответствующий специальный класс ¡-модулей.
Теорема. Пусть Х = У Хи — специальный класс 1-модулей и К^ — класс всех 1-колец, обладающих свойством
К Е Кц ^ существует модуль М Е Хи, такой, что (0 : М)и = 0. (К)
Тогда К^ — специальный класс ¡-колец.
Если К — специальный класс ¡-колец, то класс всех ¡-модулей Хк = У Хд, обладающих свойством
М Е Х^и ^ К/(0 : М)и Е К и М — ¡-первичный К-модуль,
является специальным классом ¡-модулей.
Следствие. Если Х = У Хи — специальный класс ¡-модулей и К = К^ — специальный класс ¡-колец, обладающий свойством (К) из теоремы, то соответствующий специальный радикал можно представить в виде
р(К, К)= р| {(0: Ма)и}.
Напомним, что класс всех ¡-первичных ¡-колец является специальным и задает первичный радикал в классе ¡-колец (см. [4] и [7]). Из предыдущих утверждений следует, что первичный радикал ¡-кольца К можно представить в виде пересечения ¡-аннуляторов ¡-первичных ¡-модулей над К.
Класс всех ¡-первичных ¡-модулей является специальным (это следует из лемм 1-3). Из леммы 3 также следует, что соответствующий специальный класс ¡-колец — это класс всех ¡-первичных ¡-колец. Отсюда получаем
Предложение. Для любого ¡-кольца К первичный радикал можно представить в виде
р(К, К)= р| {(0: Ма)и},
где Хи — класс всех ¡-первичных К-модулей, К — класс всех ¡-первичных ¡-колец.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Специальные модули и специальные радикалы // Докл. АН СССР. 1962. 147.1274-1277.
2. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Мир, 1984.
3. Фукс Л. Упорядоченные алгебраические системы. М.: Наука, 1965.
4. Шаталова М.А. К теории радикалов в структурно упорядоченных кольцах // Матем. заметки. 1968. 4, № 6. 639-648.
5. Шавгулидзе Н.Е. Специальные классы /-колец // Фунд. и прикл. матем. 2009. 15, вып. 1. 157-173.
6. Шавгулидзе Н.Е. Радикалы /-колец и односторонние /-идеалы // Фунд. и прикл. матем. 2008. 14, вып. 8. 169-181.
7. Михалев А.В., Шаталова М.А. Первичный радикал решеточно упорядоченных колец // Сборник работ по алгебре. М.: Изд-во МГУ, 1989. 178-184.
Поступила в редакцию 27.05.2009
УДК 523.682
ЗАВИСИМОСТЬ ВЫСОТЫ ПОГАСАНИЯ МАЛЫХ МЕТЕОРНЫХ
ТЕЛ ОТ ИХ ПАРАМЕТРОВ
Н. В. Попеленская1
Представлен новый метод определения параметров малых метеорных тел при входе в атмосферу Земли по высоте погасания. При расчетах учитывались процессы теплообмена в области перед телом. Приведены результаты расчетов для малых метеорных тел из Канадской болидной сети.
Ключевые слова: метеорное тело, метеороид, внеатмосферная масса, высота погасания, хондрит, камень.
A new method for determining the parameters of small meteoric bodies by the height of disappearance on entering the Earth's atmosphere is proposed. The heat exchange processes in front of a body are taken into account. Some numerical results for a number of small meteoric bodies registered by the Canadian Network are discussed.
Key words: meteoric body, meteoroid, extra-atmospheric mass, height of disappearance, chondrite, stone.
Для обеспечения безопасности полетов орбитальных аппаратов необходимо иметь максимально точные данные о телах, с которыми возможно столкновение. Поэтому постоянно совершенствуются существующие и разрабатываются новые методы определения параметров метеорных тел. Все метеорные тела, входящие в атмосферу Земли, можно разделить на три класса: крупные, малые и микрометеороиды. Крупные метеороиды выпадают на землю или разрушаются в нижних слоях атмосферы, как правило, путем дробления. При движении в атмосфере они тормозятся, а ударный слой перед телом вызывает яркое свечение. Поэтому внеатмосферная масса для крупных метеорных тел может быть определена как фотометрическим, так и динамическим методами. Фотометрический метод основан на анализе интенсивности свечения, а динамический метод — на анализе торможения. Оба метода подробно описаны в работах [1, 2]. Самые мелкие — так называемые микрометеоры — незаметны для наземных болидных сетей, ведущих непрерывную фотосъемку неба [2], и не могут быть описаны ни одним из этих методов. Данные о движении микрометеоров могут быть получены с помощью радионаблюдений. К отдельной группе относятся мелкие метеорные тела. С одной стороны, их свечение улавливается фотодатчиками и может быть обработано, а с другой — при движении в атмосфере в большинстве случаев их скорость меняется незначительно. Поэтому применительно к малым метеороидам ранее использовался только фотометрический метод определения массы [1], который обладает очень низкой точностью. В таблицах наблюдений Канадской болидной сети [3] таких метеороидов 90 из 259, т.е. более 30%.
1 Попеленская Наталья Вадимовна — науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: [email protected].
