CC BY
7Теорема 5. Пусть (S,G) — расслоение на коники степени 4. Предположим, что —Ks не является обильным. Тогда S имеет структуру исключительного расслоения на коники У\ и Aut(Yi) ~ N х P. Пара (S, G) минимальна тогда и только тогда, когда группа G изоморфна одной из следующих групп:
1) Dn, Dn х 2, DnA22, Dn х 2 х 2, DnA2(2 х 2), n ^ I, при P ~ 2 х 2;
2) Dn, Dn х 2, DnA22, Dn х 4, DnA24, Dn х 2 х 2, DnA2(2 х 2), Dn х D4, DnA2D4, n ^ l, при P ~ D4;
3) Dn, Dn х 3, Dn х 2 х 2, DnA2(2 х 2), Dn х A4, n ^ l, при P ~ A4. Работа выполнена при поддержке гранта "Научные школы" НШ-1987.2008.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dolgachev I., Iskovskikh V. Finite subgroups of the plane Cremona group // Algebra, Arithmetic, and Geometry. Vol. 1. Boston: Birkhaüser, 2010. 243-319.
Поступила в редакцию 11.03.2009
УДК 512.555.4
СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ /-КОЛЕЦ И ЛЕММА АНДЕРСОНА-ДИВИНСКОГО-СУЛИНСКОГО
Н. Е. Шавгулидзе1
В статье изучаются специальные классы решеточно упорядоченных колец (/-колец) и доказывается лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского для специальных радикалов /-колец, т.е. доказывается, что специальный радикал /-идеала /-кольца является /-идеалом, причем выполняется равенство p(I) = IП p(R).
Ключевые слова: решеточно упорядоченное кольцо, специальный радикал /-кольца, лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского.
If р is a radical in the class of rings and I is an ideal of a ring R, then p(I) is an ideal of R (the Anderson-Divinsky-Sulinski lemma). Let p be a special radical in the class of /-rings (lattice-ordered rings) and I be an /-ideal of an /-ring R. In this paper we prove that p(I) is an /-ideal of the /-ring R and p(I) = p(R) П I.
Key words: lattice-ordered ring, special radical of an /-ring, Anderson-Divinsky-Sulinski lemma.
Напомним необходимые определения и факты (см. [1-3]).
Пусть R — ассоциативное решеточно упорядоченное кольцо (/-кольцо). Обозначим R+ = {r Е R\ r ^ 0}; \r\ = r V 0 - r Л 0.
Для любых a,b Е R выполняются неравенства \a + b\ ^ \a\ + |b|, \ab\ ^ \a\\b\.
(Правый) идеал I /-кольца R называется (правым) /-идеалом, если из того, что a Е I, x Е R, \x\ ^ \a\, следует x Е I.
Тот факт, что I является (правым) /-идеалом /-кольца R, будем обозначать в виде I < R (I <r R).
Если I, J — /-идеалы /-кольца R, то I + J и I П J также являются /-идеалами /-кольца R.
Пусть R, S — /-кольца. Гомоморфизм колец f : R ^ S называется /-гомоморфизмом, если для любых a,b Е R выполняются равенства
f (a V b) = f (a) V f (b), f (a Л b) = f (a) Л f (b).
Если I <R, то факторкольцо R/I является /-кольцом, причем порядок задается следующим образом: a + I ^ b + I тогда и только тогда, когда a' ^ b' для некоторых a' Е a + I, b' Е b + I. Естественный гомоморфизм п : R ^ R/I, n(r) = r +1 является /-гомоморфизмом.
1 Шавгулидзе Наталия Евгеньевна — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Теорема об ¿-изоморфизме. Пусть R — l-кольцо; A, I — l-идеалы l-кольца R. Тогда A + I — l-кольцо, AHI — l-идеал l-кольца A, I — l-идеал l-кольца A+I и (A+I)/I = I/(AHI), где под изоморфизмом, подразумевается изоморфизм l-колец.
Определение. Правый l-идеал P l-кольца R называется l-первичным, если P = R и выполнено следующее условие:
для любых A<r R, B <r R если AB С P, то либо A С P, либо B С P, где
n
(*) AB = {z = xiyi | xi e A, yi e B}.
i=1
Лемма 1 [4, теорема 1]. Если P < R, то условие (*) может быть заменено более слабым:
для любых A<R, B < R если AB С P, то либо A С P, либо B С P,
т.е. односторонние l-идеалы могут быть заменены двусторонними.
Определение. l-Кольцо R называется l-первичным, если 0 — l-первичный l-идеал. Лемма 2 [5, лемма 4]. Если R — l-первичное l-кольцо и A = 0 — l-идеал R, то A — l-первичное l-кольцо.
Определение. Говорят, что класс l-колец R называется радикальным, если выполнены условия:
1) гомоморфный образ l-кольца, принадлежащего классу R, является l-кольцом, принадлежащим классу R;
2) всякое l-кольцо R содержит радикал p(R) (l-идеал, принадлежащий классу R и содержащий все l-идеалы l-кольца R, принадлежащие R);
3) факторкольцо любого l-кольца R по его радикалу p(R) р-полупросто, т.е. не содержит ненулевых l-идеалов, принадлежащих R.
Кольца, принадлежащие классу R, называются радикальными.
Определение радикала l-колец, понятия специального класса l-колец и специального радикала вводятся в работах М.А. Шаталовой [3] и [5] соответственно.
Определение. Класс K l-первичных l-колец называется специальным, если выполнены условия:
(A) если R eK и 0 = B < R, то B eK;
(B) если 0 = B eK, B < R и R — l-первичное l-кольцо, то R eK. Из леммы 2 видно, что определение корректно.
Всякий специальный класс K l-колец определяет радикал, называемый K-специальным, — аналог верхнего радикала Куроша, определяемого классом R. Радикальными при этом являются кольца, не отображающиеся l-гомоморфно на l-кольца из K. Специальный радикал является наследственным, причем в любом l-кольце R специальный радикал, определяемый K, можно представить в виде
p(R, K) = р|{Pa | Pa <R, R/Pa e K}.
Напомним, что радикал называется наследственным (см. [5]), если любой l-идеал радикального l-кольца является радикальным l-кольцом. Далее будем иногда обозначать p(R, K) через p(R).
Докажем, что для специального радикала в классе l-колец выполняется лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского (см. [6] или [7, гл. 2, § 4]).
Теорема. Пусть K — специальный класс l-колец, I — l-идеал l-кольца R. Тогда p(I, K) — l-идеал l-кольца R, причем выполняется равенство p(I) = IH p(R).
Доказательство. Так как специальный радикал является наследственным, то IH p(R) — радикальный l-идеал l-кольца R. Поэтому он содержится в p(I). Мы знаем, что p(R) = f| {P | P < R, R/P eK} и
р(!) = ПW I Q<I,I/Q eK}. (1)
Следовательно, p(R) H I = f|{P H I | P < R, R/P e K}.
Пусть P < R. По теореме об ¿-изоморфизме имеем I/(P П I) = (P + I)/P. Так как R/P G K и (P + I)/P < R/P, то по свойству (A) определения специального класса (P + I)/P G K, т.е. I/(P П I) G K. Поэтому P П I входит в пересечение (1).
Следовательно, p(I) С p(R) П I, т.е. p(I) = p(R) П I. Пересечение ¿-идеалов является ¿-идеалом. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Мир, 1984.
2. Фукс Л. Упорядоченные алгебраические системы. М.: Наука, 1965.
3. Шаталова М.А. ¿а- и ¿/-кольца // Сиб. матем. журн. 1966. 7, № 6. 1383-1389.
4. Шавгулидзе Н.Е. Радикалы ¿-колец и односторонние ¿-идеалы // Фунд. и прикл. матем. 2008. 14, вып. 8. 233-245.
5. Шаталова М.А. К теории радикалов в структурно упорядоченных кольцах // Матем. заметки. 1968. 4, № 6. 639-648.
6. Anderson T, Divinsky N, Sulinski A. Hereditary radicals in associative and alternative rings // Can. J. Math. 1965. 17. 594-603.
7. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория. М.: Наука, 1979.
Поступила в редакцию 29.04.2009
УДК 519.21
МОНОТОННОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ ВОЗВРАЩЕНИЯ В ИСТОЧНИК В МОДЕЛЯХ ВЕТВЯЩЕГОСЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ
Е. Б. Яровая1
Рассматриваются две модели ветвящегося случайного блуждания по многомерной решетке с размножением и гибелью частиц в одном из ее узлов — источнике ветвления. В первой модели случайное блуждание предполагается симметричным, а во второй это свойство нарушается из-за введения параметра, позволяющего усилить степень преобладания свойства ветвления или блуждания в источнике. Доказана монотонность вероятности возвращения в источник для второй модели, являющаяся ключевым свойством при анализе ветвящихся случайных блужданий.
Ключевые слова: ветвящиеся случайные блуждания, вероятность возвращения в источник, монотонность.
The paper deals with two models of a branching random walk on a multidimensional lattice with birth and death of particles at a single site, the source of branching. In the first model the underlying random walk is assumed to be symmetric. In the second one an additional parameter is introduced to intensify artificially prevalence of branching or walk at the source. As the result, it violates the symmetry of the random walk. The monotonicity of the return probability into the source is proved for the second model which is a key property in the analysis of branching random walks.
Key words: branching random walks, return probability, monotonicity.
1. Постановка задачи. Модель симметричного ветвящегося случайного блуждания с непрерывным временем по решетке Zd и одним источником ветвления, расположенным в начале координат, была исследована в работах [1-4]. В дальнейшем эту модель будем называть моделью I.
Случайное блуждание частиц определяется бесконечномерной матрицей переходных интенсивностей А = \\а{х,у)\\ХуУ£1л и предполагается симметричным: а(х,у) = а(у,х), однородным: а(х,у) = а(0,у — х) =
1 Яровая Елена Борисовна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yarovaya@mech. math. msu. su.
