CC BY
26
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2008. №4(15)
УДК 536-12
ПСЕВДОЧАСТИЧНЫЙ ПОДХОД В ОПИСАНИИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ
, А.В.Яценко
В данной работе предлагается псевдочастичный метод описания дискретной эволюции сложных систем. Рассматривается дискретный временной ряд измерений, который мы представляем в виде совокупности набора пяти физических величин: координаты, скорости, ускорения, кинетической энергии и энергетического потока движущейся в тепловом резервуаре частицы. На основе обобщенного уравнения Ланжевена найдена цепочка связанных дискретных псевдочастичных уравнений немарковского типа для статистического набора исходной псевдочастичной временной корреляционной функции и функций памяти. Предложены псевдочастичные кванторы памяти, которые позволяют извлекать дополнительную информацию об эффектах памяти в дискретной стохастической эволюции сложных систем. Ожидается, что разработанный метод окажется эффективным для анализа временных сигналов сложных систем.
Ключевые слова: псевдочастичный метод, дискретная эволюция сложных систем
© Р.М.Юльметьев
В настоящей работе предлагается новый физический метод описания дискретных временных рядов. Основная идея предлагаемого псе-дочастичного метода заключается в следующем: пусть в одномерном пространстве (тепловом резервуаре) движется частица массой m (такую частицу далее мы будем называть псевдочастицей, а ее массу m - псевдомассой). Тогда экспериментально фиксируемый ряд можно рассматривать в виде совокупности дискретных значений х выбранной псевдочастицы. Наряду с координатой можно найти набор физических величин, характеризующих ее динамику - скорость, ускорение, кинетическую энергию и энергетический поток. Таким образом, можно получить набор дискретных значений физических величин псевдочастицы, каждый из которых имеет определенный физический смысл. В общем виде временную эволюцию сигнала можно записать в виде:
% = {%(Т), %(Т + г), %(Т + 2т), ..., %Т + ^- 1))},
где % = х, v, a, e, q.
Каждый временной ряд характеризуется средним значением %%, флуктуацией 8%] и абсолютной дисперсией а2:
1 N-1
%=77 £ %(Т+)
я у=0
% = 5% (Т + )) = %(Т + ))-%,
1 N-1
а2 = Т7 £ % (Т + ) .
7 j=0
Для описания динамических свойств исследуемой системы удобно использовать набор пяти
нормированных временных корреляционных функций (ВКФ). Отметим, что каждый ряд характеризуется собственной ВКФ, которую в общем виде можно записать следующим образом:
N-т-1
£ 8%Т + ]т)5%Т + Г + т)г)
СГ ) =-^------------Тч---------------,
(7-т)£8%2 (Т + ))
:=о
Нормированная ВКФ должна удовлетворять условиям нормировки и ослабления корреляций:
ШС( г ) = 1; Итси ) = 0.
г^0 4 ' t4 '
Представим набор значений динамической переменной 8%] = 8%(Т + ]т~), ] = 0, 1, ., N -1
через к -компонентный вектор начального состояния системы:
(0) = {8%0, 8%, 8%2,...,8%к-1} =
= {(Т), 8%Т + {, 8%Т + 2т),...,8%Т Г (к - 1))}.
Вектор конечного состояния системы запишется в следующем виде:
^:+к (г) = {8%т, 8%т+1, 8%т+2,.,8%т+к-1} =
= {8%(Т + тг ), 8%(Т + (т + 1)г),
8%Т + (т + 2)),...,8(Т + ( + к - 1)г)},
где 1 < к < N -1; < ={х0, VI а0, е°, як } ;
Жт+, ={хт+,, ут+,, ат+,, ет+ ,, ат+,}.
т+к { т+к~ т+к5 т+к5 т+к5 1т+к)
Аналогично работам [1-4], используя технику проекционных операторов Цванцига-Мори, в евклидовом пространстве векторов состояний можно получить универсальную цепочку псев-дочастичных конечно-разностных уравнений немарковского типа для набора пяти исходных
РМ.ЮЛЬМЕТЬЕВ, А.В.ЯЦЕНКО
ВКФ £(ґ) и пяти наборов функций памяти М^ (ї), і = 1, 2,.. где % = х, V, а, е, д :
АС(Г)
Аї
■ = %С(і )-<£ М‘(т)с (ї - —
І=0
АМ* (ї)
Аї
= АЇМЇ (ї) - — 2 £МЇ (—)М* (ї - — ,
І=0
АМІ1 (ї)
А/
= % Мп-і ()- — П £ М5 ())Міі ( - —.
І=0
Здесь - собственные значения квазиоператора Лиувилля Ь, а Л ^ - релаксационные параметры размерности квадрата частоты:
.(^ьк-). А,=
случай псевдочастичного описания дискретных негамильтоновых сложных систем.
Определим время релаксации исходной ВКФ Ы1 (г) и функций памяти п-ного порядка сле-
дующим
N-1
образом: —о =А/£( ),...,
І = 0
т) =
1М п
N-1 А £1().
І=0
По аналогии с работами [5, 6], для каждого отдельного временного ряда можно определить статистический спектр параметра немарковости:
Квазиоператор Лиувилля Ь с помощью оператора пошагового сдвига определяется следующим выражением:
Ь = ())-1 (А-1); А С = С+1.
Псевдочастичные динамические ортогональные переменные могут быть получены с помощью процедуры ортогонализации Грама-
Шмидта: (жС ,К ) = 8т (\Жп Г }, где 8,т - символ Кронекера. Старшие динамические переменные связаны с младшими рекуррентным соотношением вида
К = к (0), Ж^ = [гЬ-Х)К, ж* =( х^) -АfЖ0С,...,
Ж с =Ть -Хс )жс, - А с .Ж с2 - ...
п \ п I п-1 п-1 п-2
Аналогично можно получить набор из пяти цепочек конечно-разностных уравнений немарковского типа, производя соответствующие подстановки:
1) для координаты - £ (г) = х (г); Ж° = х0;
2) для скорости - £ (г) = V(г); Ж° = V;
3) для ускорения - £ (г) = а (г); Ж° = а\;
4) для кинетической энергии -
£ (г ) = е (г); к0 = е0;
5) для энергетического потока -
С (г) = х(г); К = х°°.
Отметим, что представленные выше немарковские конечно-разностные кинетические уравнения представляют обобщение теории Цванци-га-Мори, известной в статистической физике, на
г I г г г ) с М0 Ґ М 0
А = КА,.,єп-1}, где А =—,А =—,..
Тм1 Тм 2
Таким образом, величина параметра немарково-сти характеризует отношение времен релаксации для функций памяти М^-1 и М5 . Номер п соответствует номеру уровня в системе.
В работах [7, 8] введена концепция обобщенного параметра немарковости для частотного случая. По аналогии мы можем определить частотную зависимость параметра немарковости
М=
^1 V)
2
Здесь Щ (г) представляет собой спектр мощности функции памяти г -го порядка М(г) :
п=
N-1 /
Аї£М5 (ї)ео8\2nvt.)
І=0
где Ц (г) - Фурье-образ соответствующей
функции памяти г -го порядка М^ (г) .
Полагая % = х, V, а, е, q можно получить набор пяти статистических спектров параметра не-марковости.
По аналогии с работой [9] вторую информационную меру памяти можно определить следующим соотношением:
М* (V)
М' C(v)
где М'У (V) = і ' У/^у, му (V) - Фурье-образ
соответствующей функции памяти -го порядка М^ (ї) . Статистический квантор и его спектр
8 ={s1:,sz,..., 5сп_1} удобно использовать для
количественной оценки эффектов памяти на различных релаксационных уровнях. Фактически данный квантор характеризует изменение времени памяти на соответствующих уровнях сложности.
ФИЗИКА
Аналогично, полагая % = х, V, а, е, q можно получить набор пяти статистических спектров второй информационной меры памяти.
Таким образом, используемые информационные кванторы памяти позволяют разделить стохастические процессы на три возможных класса: марковские, немарковские и квазимарковские. В
случае {еся 8 >> 1}, п -ный уровень релаксации является марковским. Когда {е^ ,8% ~ 1}, уровень релаксации является немарковским, а динамика характеризуется эффектами сильной статистической памяти. Ситуация, когда {е^,8^ > 1} ,
соответствует квазимарковскому уровню релаксации.
Особый интерес для анализа роли памяти в динамике сложных систем представляет область сверхнизких частот е^ (у = 0), 88 (у = 0) , так как
именно здесь содержится ценная информация о дальнодействующих корреляциях исследуемого сигнала.
Таким образом, в данной работе предложен псевдочастичный метод описания дискретной эволюции сложных систем. Его удобно использовать для нахождения дополнительной информации о структуре временного сигнала, динамической перемежаемости, особенностях различ-
ных динамических и спектральных характеристик, поведении релаксационных и кинетических параметров. Представленный метод анализа может оказаться полезным для изучения широкого класса дискретных случайных процессов в сложных системах различной природы, например, в кардиологии, нейрофизиологии, сейсмологии, физиологических экспериментах и др.
1. Zwanzig R. // Cambridge Univ. Press, Cambridge, 200І.
2. Zwanzig R. // Physical Review. - І96І. - Vol.i24. -P.9S3-992.
3. Mori H. // Progress of Theoretical Physics. - І965. -Vol.33. - P.423-455.
4. Mori H. // Progress of Theoretical Physics. - І965. -Vol.34. - P.399-416.
5. Shurygin V.Yu., Yulmetyev R.M., Vorobjev V.V. // Physics Letters A. - І990. - Vol.i48. - P.199-203.
6. Shurygin V.Yu., Yu lmetyev R.M. // Physics Letters A. - І993. - Vol.i74. - P.433-436.
7. Yulmetyev R.M., Hanggi P., Gafarov F.M. // Physical Rewiev E. - 2000. - Vol.62. - P.6i78-6i94.
S. Yulmetyev R.M., Hanggi P., Gafarov F.M. // Physical Rewiev E. - 2002. - Vol.65. - P.046i07-i-i5.
9. Mokshin A.V., Yulmetyev R.M., Hanggi P. // Physical Review Letters. - 2005. -Vol.95. - P.20060i-i-4.
PSEUDOPARTICLE APPROACH IN DESCRIPTION OF DISCREPTE STOCHASTIC PROCESSES IN COMPLEX SYSTEMS
, A.V.Yatsenko
We suggest here a new universal approach to study complex systems by pseudoparticle method. The initial time series we present by the set of coordinates, velocities, accelerations, kinetic energies, and flow of energies of the moving pseudoparticle. The goal of the article is to find the chain of finite-difference non-Markov kinetic equations for the time correlation functions (TCF) in terms of pseudoparticle description.
Using the projection operator's technique we find the chain of finite-difference non-Markov kinetic equations for discrete pseudoparticle TCF (PTCF) and for the set of pseudoparticle discrete memory functions (PMF's). In addition, we suggest pseudoparticle the statistical quantifiers of the memory function. They allow us to extract new supplementary information about relaxation peculiarities and memory effects of the complex system in general. We hope that the developed method will be useful for the time series analyses of complex systems. The developed method also has a certain preference to existing methods.
Key words: pseudoparticle method, discrete evolution of complex systems
- доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой теоретической физики Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета
Яценко Александр Викторович - аспирант кафедры теоретической физики Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета
Юльметьев Ренат Музипович
R.M.Yulmetyev
E-mail: [email protected]
