Пружний та гранично-рівноважний стан пластинчастого елемента конструкції з криволінійним отвором за дії зосереджених сил Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

ПРУЖНИЙ ТА ГРАНИЧНО-Р1ВНОВАЖНИЙ СТАН ПЛАСТИНЧАСТОГО ЕЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦН 3 КРИВОЛ1Н1ЙНИМ ОТВОРОМ ЗА ДН ЗОСЕРЕДЖЕНИХ СИЛ

О.1. Думанський1,Б.О. Бекас2,Ю.С. ПроциК

Дослщжено пружно-рiвноважний стан пластинчастого елемента конструкцн, пос-лабленого криволiнiйним отвором, який перебувае пiд дieю зосереджених силових фак-торiв. Для розв'язання поставлено!' задачi використано апарат аншптнчннх функцш та побудовано аналiтичну функцш, згiдно з якою здшснюеться конформне вщображення зовнiшностi криволiнiйного отвору на зовншшсть кругового отвору. Такий шдхщ у дослщженш зумовив можливiсть отримання замкненого, аналiтичного розв'язку задачi. Отримано формули комплексных потенцiалiв, за якими визначено розподiл концентра-ц11 напружень залежно вiд геометричних характеристик крнволшшного отвору та ш-тенсивностi напружень залежно вщ розкриття трщннн.

Ключов1 слова: пружний стан, граннчно-ршноважннй стан, пластинчастий еле-мент конструкцн, конформне вщображення, розподiл концентрацн та штенснвност напружена, рiвномiрний тиск, зосередженi сили.

Актуальнiсть дослщжень. Мiцнiсть твердих тш визначаеться не тiльки ïx фiзично-хiмiчною природою, але й îctotho залежить вiд дефектностi структу-ри. У структурi реальних твердих тiл завжди е рiзного типу дефекти-концентра-тори напружень, таю як, наприклад, мжро- i макротрiщини, порожнини i включения, границ зерен i блоюв структур, скупчення дислокацiй, вакансiй тощо.

У певних випадках, з практичних потреб, потрiбно порушувати сущль-шсть пластинчастих елементiв тонкостiнниx конструкцiй вирiзами, надрiзами, щiлинами, включеннями. Наприклад, з метою полегшення конструкцiï, утво-рення проxодiв для iншиx деталей, кабелiв тощо. У процесi деформацiï твердого тша в околi таких дефекпв вiдбуваеться висока концентрацiя напружень, що призводить до зародкових i росту вже наявних у пластинчастому елемеитi трi-щин, тобто, до локального або повного його руйнування.

Аналiз вщомих дослщжень i публiкацiй, яким присвячена означена стаття. У фундаментальних наукових роботах i монографiяx М.1. Мусхелшш-m, Г.М. Савiна, В.В. Панасюка, О.С. Космодамiанського, А.А. Камiнського, М П. Саврука, В.М. Максимовича та iн. представлено широкий спектр досль джень пружного та гранично-рiвноважного стану пластинчастих та оболонко-вих елементiв, шддаються дп рiзноманiтниx силових або температурних факто-рiв, тобто, потреба та дощльшсть цього напрямку дослiджень у мехашщ суцшь-ного деформiвного середовища не викликае сумнiву. У бiльшостi iз цих задач розглядають пружно-деформiвний стан пластинчастих або оболонкових еле-менлв конструкцiй з простою геометричною конф^уращею криволiнiйниx от-вор1в, трiщин, надрiзiв та iн. Але часто в проектуванш конструкцiй потрiбнi отвори складнiшоï конфiгурацiï, а також утворюються трiщини iз рiзними нап-рямками розгалужень. У наукових роботах [1-4] дослвджено гранично^вно-

1 доц. О.1. Думанський, канд. фiз.-мат. наук - НЛТУ Украши, м. Льв1в;

2 ст. викл. Б.О. Бекас - НЛТУ Украши, м. Львгв;

3 доц. Ю.С. Процик, канд. фiз.-мат. наук - НЛТУ Украши, м. Льв1в

важний стан пластинчастих елементiв, послаблених трiщинами у виглядi мате-матичних розрiзiв ^з вiдсутньою вiдстанню мiж берегами трщини). Широкий клас задач та методику !х розв'язання наведено у монографп [5], стосовно пруж-но! та гранично! рiвноваги анiзотропних пластинок з отворами та трщинами.

У цш роботi проведено дослiдження пружного та гранично^вноважно-го стану пластинчатого елемента конструкцií, послабленого криволiнiйним от-вором iз заокругленими (дослiджено концентрацiю напружень) або гострокш-цевими вершинами - розкрита трщина (розглянуто iнтенсивнiсть розподту напружень), за дп зосереджених силових факторiв, оскiльки особливо ктотни-ми е дослiдження концентрацп та трщиноспйкосп пластинчастих елементiв конструкцiй, що тддаються такiй дп. Дослiдження мають бшьш загальний характер, оскшьки розглянуто концентрацш розподту напружень вздовж гладкого криволшшного контуру та знайдено штенсившсть напружень у вершинi гос-трокiнцевого отвору - розкрито'! трщини.

Основний матерiал досл1дження з обгрунтуванням отриманих на-укових результатiв. Розглядаемо пружний iзотропний пластинчатий елемент конструкций який послаблений криволiнiйним отвором, контур якого опи-суеться такими параметричними рiвняннями:

т(1 - г)

(1)

х (0) = A costil + „

v ; ^ 1 -2tcos20 +t2

y (0) = A sm 0Í1--

/v ; ^ 1 - 2t cos20 +t2

де: 0 <0<2n, е = — iнабуваезначения 0<е< 1, A = — [1-1 + (l + t)e\;

a 2L J

(1 -*)(l -12) , , . . ...

m =—-; a = х (0) - в1дстань в1д центру отвору до наибшьш в1ддале-

(1 -1 ) + (1 +t )е

roí точки отвору; b - рад1ус вписаного в отв1р кола; t - параметр, який обчис-

ro / —(1 - 2е) + е{2 -е) - 2J го/a (1 - го/a )(1 -е2)

люеться зидно з формулою t =---*---- i на-

(2-е)2 - го/ —(5 + 4е)

бувае значення (It\ < 1) ; r0 - радiус заокруглення вершин отвору.

Рис. 1

Рис. 1 a

За е=0,5 i г0/а=0,2, параметричнi р1вняння опишуть криволiнiйний отвiр iз заокругленими вершинами (рис. 1 - сущльна лiнiя), а при г0=0 i 0<е<1 маемо криволiнiйний отвiр (трiщиноподiбний) з двома гострокiнцевими вершинами iз певною вiдстаню ё мiж берегами отвору, тобто, розкриту трщину (див. рис. 1 -штрихова лшя).

Зокрема, при г0=0, отримаемо таю значения параметрiв А, т, г.

А т = ^а^, г = , (2)

2-£ 2-£ 2-£

якi геометрично iнтерпретують початкове розкриття трiщини. Зауважимо, що при 1=0 - рiвияиия (1) опишуть контур елштичного отвору, а при т=0 - кругового отвору.

Ввднесемо цей елемент до прямокутно!' системи декартових координат хОу так, щоб початок координат збiгався з центром отвору, площина хОу - iз серединною поверхнею пластини, а вкь Ох проходила через його вершини. Пластинчастий елемент пiддаеться дií зосереджених силових факторiв Р, прик-ладених до контуру отвору у двох симетричних його точках М i N. Потрiбно визначити концентрацда напружень, що виникае навколо отвору, якщо його границя е гладкою лшею, або дослiдити розподiл iнтенсивностi напружень в околi гострокiнцевоí вершини отвору.

Осюльки безпосередне розв'язування поставлено!' задачi за наявностi зосереджених сил, яю ддать на контур отвору, спряжеш iз його громiздкiстю та певною складшстю, то скористаемось таким шляхом. Задамо в околi точок М i N, тобто, на частинах контуру отвору г№22 та ?1М2 нормальний рiвномiрно розподiлений тиск штенсивноспр, прикладений до його берепв (рис. 1 а). Дос-лiдити пружний та гранично-рiвноважний стан у цьому трактуванш е бшьш простiшим. Далi, стягуючи вiдрiзки контуру, яю шддаються дií нормального тиску, в точки, отримаемо розв'язок задачi за дц двох зосереджених сил на кон-турi отвору.

Для розв'язку поставлено!' задачi скористаемося методом М.1. Мусхелш-вiлi [6] з використанням конформно перетворюючо!' функцií

: = а(С) = А^ С +

т^ (3)

Г2 - г

яка перетворюе область пластинчастого елемента з криволшшним контуром, описаним рiвияниям (1), на зовшшшсть кругового отвору 1, тобто, розв'язок задачi зводиться до знаходження двох регулярних у площиш 1 функцiй <ф(С) I ¥{£), якi знаходимо iзтако!' контурно!'умови [6].

Ф(о) + Чг\Ф(о) +№) = Г И, (4)

Залежно вiд заданого типу навантаження надаемо функщям ф(£) I такого вигляду.

4. 1пформапш1п технологи галузi 335

фо=[«(Г)- «&>)]+ш, ко=ххп У 1п[«(Г) - +ма

2п(1 +х)

причому /(а) =

2п(1 +х)

-рЛ\ а +

та

на дшянщ zMz2;

(5)

а2 - г,

-pz2 на дiлянцi zlNz2.

де X, У - компоненти головного вектора вах зовшшшх зусиль, прикладених до границ контуру, причому X =-рсо8(и,х), У =-рсо8(и,у), вiдповiдно

(X + гУ)ds =-р(йУ-idx) = ipdz або /(а) = (X + гУ^ = -pz = -р«(а),

Ь

де: р - штенсившсть рiвномiрно розподшеного навантаження на контурi отвору; ($/£) I щ(£) - регулярш в областi £ функцii, включаючи нескiнченно вщда-лену точку. З контурно! умови (4) визначаемо комплексш потенцiали залежно вiд поданого силового фактора.

Оскшьки розподiл напружень вздовж границi отвору виражаеться зпдно з формулою [7]

ав = 4Яе

(а

«(а)

(6)

тобто, комплексного потенщалу </>(£), то обмежимось тiльки записом його ви-разу

1 -1п а2

1п

а2 +

- л{с+т-\ - Zl 1п(а1 -0-^1 (Zl - Z2 )1п ^ + -

4г'

-С а1 + С а1 + 41

Л\С +

т£

1п(а2 -0-

(Лт

+\~т

С2 - г

1 , а2 -4~г

-1п =

т(1 - г2

Х+1 '(С2 - г )[(1 - г2 )2 - тг (1 + г2)

1 , а2 + 4~г

1п —

4г а1 -4~г 4г + С а1 + 4г

+ Л £ +

т£

1п(а2 -С)~

(7)

Х +1

- л[с+^т^ I-Zl 1п(а1 -z)-Xтг(Zl-Z2)1п^ +

де: Zl = л| а1 +

Х +1

гт(1 - г1

- )[(1 - 2 ) - т (1 + 2

та1 а2 -г

а22 -

z2 = Л| а2 + та2 |; а1 = а2 = вгв2; пiд виразом 1п — ро-

а1

зумiемо величину г в, де в - кутова вiдстань мiж точками о1 i о2 контуру отвору (вiдлiк проводиться ввд точки о1 проти стршки годинника).

Зокрема, якщо покласти у формулi (7) г=0, то отримаемо розв'язок ана-логiчноi задачi, коли концентратором е елштичний отвiр [1].

Зпдно з побудованим розв'язком для нормально розподшеного тиску на дшянку отвору, перейдемо до побудови розв'язку за дц зосереджено! сили Р, прикладено! до симетричних точок контуру.

Цього можемо досягти, якщо безмежно зменшувати дугу контуру z1Mz2 i поряд з тим збiльшувати штенсившсть тиску так, щоб границя

+

г

2

Zl - Z2

+

Z, - Z

1 "2

lim p\zi - z2 = P

була скiнченою величиною. Цю умову можна подати ще у такому виглядг

lim {ds ■ p} = P,

<52^61

(8)

(9)

де ds = ^(dx)2 + (dy)2 .

Згiдно з формулою (1) знаходимо, що ds = Ad61, де d< = в2 -в при в2 ^ в,

Ао = ~А^\/(к2 - 2тгк + т2 + г2)• к2 + 2к2(тг + к)008261+ 16тгк|2(к - 2тг)+ тг\8т226;

к = 1 - 2г 00826+ г2.

Здшснивши граничний перехiд у спiввiдношеннi, зпдно з яким подано комплексний потенщал ф(£), отримаемо його вираз для зосереджено!' силиР

-г ~ \

Ф(0=

PA | 2m (t + O1Z)

2пА "I (t -Z)2 (o - tax)

^ + \Z +

Z2 -1

Ol

Ol

Ol - Z Ol - Z

Ol - m-

Ol + tOl

Ol - toi)2

X

ln(oi-Z)-( Ol +

Ol - tOl ) Ol - Z

Ol

-I Ol +

Ol - tOl ) Ol -Z

Ol

X +1

(

m

V U

Ol + tOl

Ol + tOl +-4 - ReOl

Ol - tOl) (oi - tOl)

(10)

X +1

Re ol - m

Ol + tOl

Ol + tOl

(Ol - tOl) (Ol - tOl)

ln Z + tm (l -12)

(Z2 -1) (l -12)2 - mt(l +12)

Зокрема, поклавши у формулi (10) г=0, т=1, отримаемо, як частковий випадок, вираз для комплексного потенщалу за дн зосереджених сил, прикладе-них до границу прямолшшно!' трiщини [5].

Дослiдимо напружено-деформiвний стан пластинчастого елемента за дп зосереджених сил Р, тобто, концентрацда напружень вздовж контуру отвору, яку можемо встановити зпдно з формулою (6). Але оскшьки вершини отвору характеризуются максимальним градiентом напружень, то обмежимось вста-новленням концентращ!' напружень у його вершинах, тобто, при £ = ±1 i 6 = П2, а зосереджеш сили прикладенi до контуру концентратора по оа Оу у протилежних напрямах. Тодi значення коефiцiента концентрацн напружень ви-разимо згiдно з такою формулою.

к =

1

(1 -1 )2

пАо (1 -1)2 - m (1 +1) J 2m-(2 -1 )(l +1 )2 + (l +t)(2 (l +t)-m) m 2 (t -1)+12 (2 +1) ]

1 (1 -t)3 (1 -t)2 2(1 +t)4 I

(11)

r

m

m

\

r

f

1

X

де: А

1 -(е-1)3 а = а—*-'—, г = —

(1 - 2е) + е( 2-е)-2

1-

(1 -е*

2-е

(2-е)2 - ^ (5 - 4е)

-; г0 - рад1ус кри-

вини вершини отвору.

На рис. 2 наведено графш змши коефщ1ента концентраци напружень у вершит контуру отвору залежно вщ е = Ь / а при фжсованих значеннях рад1уса заокруглення вершини г0 / а.

Рис. 2. ГрафЫи змти коефщ1ента концентраци напружень у вершинах отвору

Анал1зуючи граф1чне подання змши концентраци напружень у вершинах отвору (див. рис. 2), можна констатувати, що ютотний вплив мае рад1ус заокруглення вершини на величину концентраци напружень до величини 0,25, а вже з подальшим його збшьшенням (г / а. >0,25), вплив його практично вщсут-

Дослщимо гранично-р1вноважений стан пластинчастого елемента, за на-явносл трщинопод1бного дефекту, тобто, криволшшного отвору з гострокшце-вими вершинами (г0/а=0). Зпдно з визначеними комплексними потенщалами, можемо знайти штенсившсть розподту напружень в окол1 гостроюнцевих вершин дефекту, як виражаються через коефщ1енти штенсивност1 напружень [2]. Коефщенти штенсивност1 напружень к 1 k2 визначаемо за формулою [2]

^в-фтв + 0(1) = 4Re Ф(1 + ^

(12)

2 "1 т~~ 2'" '"^(1 + £)' Поставивши у формулу (12) вирази (3), (10) 1 стввщношення

с=

1 -е г

.Г „в

в'р , та розвинувши праву частину цього виразу у ряд за степенями

. 1 + е а

С, 1, прир1внюючи коефщенти при однакових гармошках, отримаемо шукаш

П

значення к1 1 к2 (при в1 = —):

к =

(2 -е)2

1-е

2па42а ' 1 -(1 -е)2\2-е ' |2 + (2-е)(е-1)

(3-е)( 2-е)-4 (1 -е)2 (2-е)2

а

->

Р

р

-2s__Q-ít__g - 4 A-í 1.

2 + (2-í)(í-1) (2-í)2'

k _ P>¡2 (2 -g)2 g2__Vi-í

2 _ naja yi7g(i-(1 -g)2) 2 + (2-í)(í-1)'

На рис. 3 i 4 наведено графки значень коефiдieнтiв ÍHTeHCHBHOCTÍ k1 i k2 залежно вiд змiни s.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 £ o 0,5 1 8

Рис. 3. Графж значень коефщента Рис. 4. Графж значень коефщ1ента ттенсивностi напружень К ттенсивностi напружень К2

Висновки. При змЫ параметра s i Г(/а можемо змшювати геометричну конфигурацию контуру криволшшного отвору, тобто, проводити розрахунки розпод1лу концентрацií напружень у випадку заокруглених вершин отвору та штенсивносп напружень - при гострокiнцевих вершинах для рiзноманiтноí системи отворiB'

Л^ература

1. СаврукМП. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами / М П. Саврук. - К. : Изд-во "Наук. думка", 1981. - 324 с.

2. СаврукМП. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами / МП. Саврук - К. : Изд-во "Наук. думка", 1988. - 620 с.

3. СаврукМП. Численный анализ в плоских задачах теории трещин / МП. Саврук, ПН. Осив, ИВ. Прокопчук. - К. : Изд-во "Наук. думка", 1989. - 248 с.

4. Стащук НГ. Задачи механики упругих тел с трещиноподобными дефектами / НГ. Ста-щук - К. : Изд-во "Наук. думка", 1993. - 359 с.

5. Божедарнiк В В. Пружна та гранична рiвновага анiзотропних пластинок з отворами i трь щинами / ВВ. Божедарнк, О.В. Максимович. - Луцьк : Вид-во ЛДТУ, 2003. - 240 с.

6. Мусхелишвили Н И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н И. Мусхелишвили. - М. : Изд-во "Наука", 1966. - 707 с.

7. Савин ГН. Распределение напряжений около отверстий / ГН. Савин. - К. : Изд-во "Наук. думка", 1968. - 887 с.

8. ПанасюкВВ. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами / В В. Панасюк - К. : Изд-во "Наук. думка", 1968. - 248 с.

Надюлано до редакцн 23.02.2016 р.

Думанский О.И. , Бекас Б.А. , Процык Ю. С. Упругое и предельно-равновесное состояние пластинчатого элемента конструкции с криволинейным отверстием при действии сосредоточенных сил

Исследовано упруго-равновесное состояние пластинчатого элемента конструкции, ослабленного криволинейным отверстием, который находится под действием сосредоточенных силовых факторов. Для решения поставленной задачи использован аппарат аналитических функций и построена аналитическая функция, согласно которой осуществляется конформное отображение внешности криволинейного отверстия на внешность кругового. Такой подход в исследовании обусловил возможность получения замкнутого, аналитического решения задачи. Получены формулы комплексных потенциалов, по которым определено распределение концентрации напряжений в зависимости от геометрических характеристик криволинейного отверстия и интенсивности напряжений в зависимости от раскрытия трещины.

Ключевые слова: упругое состояние, предельно равновесное состояние, пластинчатый элемент конструкции, конформное отображение, распределение концентрации и интенсивности напряжений, равномерное давление, сосредоточенные силы.

Dumanskyy O.I., Bekas B.O., Protsyk Yu.S. Elastic and Extremely Equilibrium Condition of Construction's Laminar Element with a Curved Hole under the Action of Concentrated Powers

Elastic and extremely equilibrium condition of construction's laminar element, weakened by curved hole, which is located under the influence of concentrated power factors was analysed. To solve this problem, apparatus of analytical functions was applied and analytical function was built, according to which the conformal mapping of the curved hole exterior on the exterior of the circular hole. This approach led to the opportunity to get a closed, analytical solution of the problem. The research resulted in receiving formulas of complex potentials, which define the stress distribution depending on geometrical characteristics of curved hole and stress intensity depending on crack opening.

Keywords: elastic, extremely equilibrium condition, construction's laminar element, conformal mapping, stress distribution and stress intensity, uniform pressure, concentrated powers.

УДК 621.518

АЛГОРИТМЫ ТА ПАРАЛЕЛЬШ СТРУКТУРЫ СОРТУВАННЯ ДАНИХ

МЕТОДОМ ВСТАВКИ

1.Г. Цмоць1, В.Я. Антошв2

Сформовано вимоги i вибрано штегрований щдхщ до розроблення НВ1С-пристро-1в сортування чисел, який охоплюе розроблення паралельних алгорштшв сортування масивгв чисел методом вставки та нових НВ1С-структур пристрош для 1х реалiзацil. Удосконалено алгоритми сортування масивiв чисел методом вставки, розроблено узго-джеш потоковi графи алгоритмов сортування масивгв чисел методом вставки, особли-вiстю яких е можливють змшювати штенсившсть сортування чисел вибором кшькост каналiв i розрядност надходження чисел. Синтезовано паралельш i паралельно-потоко-вi НВ1С-структури сортування чисел методом вставки та визначено 1х швидкодш.

Ключовi слова: сортування чисел, метод вставки, НВ1С-структури, потоковий граф, паралельш алгоритми.

Постановка проблеми. На сучасному еташ розвитку шформацшних технологш наштилась тенденщя до нагромадження великого обсягу шформацп в базах даних. Одшею з основних операцш роботи з шформащею у таких базах даних е сортування, яке потребуе приблизно 40 % вщ загального часу роботи з

1 проф. 1.Г. Цмоць, д-р техн. наук - НУ "Львгвськаполггехнка";

2 acnip. В.Я. Антошв - НУ "Льв1вська полггехнка"