Загальний метод дослідження пружно-деформівного стану пластинчастих елементів конструкції у вигляді двозв'язної області Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3 Доц. О.1. Думанський, канд. фiз.-маm наук - УкрДЛТУ;

доц. П.М. Ocie, канд. фiз.-маm наук - Укратська академш друкарства

ЗАГАЛЬНИЙ МЕТОД ДОСЛ1ДЖЕННЯ ПРУЖНО-ДЕФОРМ1ВНОГО СТАНУ ПЛАСТИНЧАСТИХ ЕЛЕМЕНТ1В КОНСТРУКЦ11 У ВИГЛЯД1 ДВОЗВ'ЯЗНО1 ОБЛАСТ1

Пропонуеться загальний пiдхiд стосовно дослщження пружного стану пластинок у виглядi двозв'язно! областi, якщо конформно вiдображна функцiя, яка здшснюе перетворення областi пластинчастого елементу на кругове кшьце, що за-даеться у виглядi многочлена.

Doc. O.I. Dumanskyj - USUFWT; doc. P.M. Osiw - Ukrainian

academy of book-printing

The general method of research it is elastic - deformed conditions of lamellar elements of a design as two-coherent area

The general approach concerning research of an elastic condition of plates as two-coherent area if konphorm displaying function carries out transformations of area of a lamellar element on the circular ring, set as a multinominal is offered.

Актуальшсть проблеми

Елементи шженерно! конструкцп, незалежно вщ !х призначення, по-винш бути мщними, жорсткими та стшкими при найменших затратах матерь алу. Тому одшею з основних задач при проектуванш е встановлення напру-женого стану у деталях машин та мехашзм1в, елементах конструкцш задано! форми, а також утворення на основ! проведених дослщжень нових, бшьш ра-цюнальних конструктивних форм. Бшьшють пластинчастих елеменпв дере-вообробних верстат1в, пристро!в, устаткувань мають скшчеш геометричш розм1ри i розрахунок !х надшно! експлуатаци та мщност е важливим та акту-альним.

Аналiз вiдомих дослiджень

На сьогодш опублiкована достатня кiлькiсть монографiй та наукових робгг, присвячених дослiдженню пружно! та гранично! рiвноваги пластинчас-

тих та оболонкових елеменпв конструкцiй, якi шддаш д11 рiзних силових та температурних факторiв i послаблених отворами, надрiзами, трiщинами то-що. Це роботи М.Г. Мусхелшвш, Г.М. Савiна, Я.С. Шдстригача, В.В. Пана-сюка, М.П. Саврука, О.Г. Космодамiанського та шших, - що засв^уе необ-хщшсть та доцiльнiсть цього напрямку дослщжень в механiцi суцiльного де-формiвного середовища. 1нтенсивно ведуться науковi дослщження плоских задач анiзотропних пластинчастих елемент1в конструкцiй, основою для яких е розвиненi методи розрахунку напружено-деформiвного стану iзотропних тiл. Цiкавими е дослщження, представленi в роботах [1-5], в яких наведет за-дачi розгляду пружно! рiвноваги як анiзотропних, так iзотропних пластинчастих елементiв при дп рiзних силових факторiв.

У данш роботi пропонуеться загальний шдхщ для дослiдження напру-жено-деформiвного стану пластинчастого елемента конструкци у виглядi двозв'язно! областi, тобто елемента, в якому враховуеться взаемовплив кон-центраци напружень вздовж внутрiшнього та зовшшнього контурiв. Алгоритм розв'язання задачi будуеться за допомогою аналiтичних функцш та апа-рату конформно вщображно! функцп у виглядi ряду, що здшснюе перетво-рення двозв'язно! фiзично! областi на кругове кiльце.

Основний матер1ал досл1дження з обгрунтуванням отриманих

результатов

Формулювання задачi. Розглядаеться пружний iзотропний пластин-частий елемент конструкци у виглядi двозв'язно! областi (рис. 1). Вщнесемо цей елемент до прямокутно! системи декартових координат хОу так, щоби початок координат сшвпадав з центром отвору, площина хОу - iз середин-ною поверхнею областi пластини. Вважаючи, що пластинчастий елемент е двозв'язною областю Б, обмеженою всерединi кривою Ь1, а зовш кривою Ь2> i вщома конформно вiдображна функцiя г = ю(^), що здiйснюе перетворення кругового кшьця з границями у1 i у2 (рис. 2) на область Б, то розв'язок задачi зводиться до знаходження двох регулярних в р1< <1 функцiй ф(^) I ^(С), за якими знаходимо розподш концентраци напружень, що виникають на контурах, як обмежують дану область.

Комплекснi потенщали ф(^) \ у(^) знаходимо з контурно! умови [6]:

ю(а ■)--- -

х■ ф(а■) + ф (а■) + ■) = (а■) + с■ на у■, (1) ® ■)

де 7=1, 2, значення %/ та вигляд функцiй ) будуть залежати вiд типу основ-них задач (перша, друга або змшана), заданих на Ь1 i Ь2, контурних умов, наяв-ностi об'емних сил тощо, !=ю(0 - конформно вщображна функцiя, визначаеться

т

I = ю(£) = X с. Ск , (2)

к=-т

що здiйснюе конформне вщображення кругового кiльця р1<| 1 на задану

г

область Б (або на область Б досить близьку до задано! пластинчастого еле-мента).

Рис. 1. Рис. 2

Запишемо граничш умови (1) у розгорнутому виглядг

X2Ф(^2) + ф'(^2) + = /2(^2) + С2

ю(а1) ~Ч

на У 2 ,

Ххф(^1) + =Т7=Т ф'(а1) + ^(а1) = /1(а1) + С1 на Уг

(3)

(4)

Знаходження комплексних потенцiалiв ф(^) / . Для знаходження результату розв'язання задачi перейдемо у виразах (3) i (4) до спряжених значень:

Х2ф(^2) + Ю(а2) ф'(^2) + У(°2) = /2(^2) + С2 на У2,

Х1ф(^1) + -^7^4 ф'+ = /1(^1) + С1 на 71.

(5)

(6)

Задамо на у1 i у2 вiдповiдно однозначш функци /2(0 i /КО у виглядг

/2(0 = /21(0 + /20(0, /1(0 = /11(0 + /10(0, де: /21(0 i /п(0 - функци, якi не мають у кiльцi р1<| £|< 1 особливих точок; /20(0 i/10(0 - функци регулярнi поза кшьцем р1<| < 1, е головними частина-ми функцiй/2(0 i/1(0 вщповщно. Всi особливi точки цих функцш знаходять-ся у кшьщ р1< | £ | < 1.

Якщо /20(0 i /10(0 не дорiвнюють нулю, що може траплятися при розв'язанш певних задач, то функци ф(^) I , якi е регулярними у кшьщ

р1<| < 1, шукаемо таким чином.

Позначимо через ф1(^) I функци, регулярнi при |<^|< 1, а через

ф2(<0 * У2(С) функци, регулярнi при >р1 i дорiвнюють нулю в нескiнченно вщдалених точках. При виборi цих умов щ функци будуть мати такий вигляд:

ж ж

ф1(0 =х ак Ск, ф2(С) = Х а-к ,

к=0 к=1

^(О = Х Ь ^, У 2(0 = Х Ь_ к С-к.

к=0 к=1

-к

(7)

(8)

Задамо функцй ф(^) I ^(С) у такому виглядi

1

С.

1

+— /10 Х1

де

ф(0 = ф, Ю +—/20 X 2

ф, (О = Фх(С) + Ф2(С)-

2 р!

(9)

(10)

Вважаемо, що ф1(^) регулярна у крузi < 1/ р2, а функцiя ф2(0 - регулярна при > Р2, тобто, функцiя ф, (£) регулярна у кiльцi р2 < < р-2.

Для числового розв'язання задачi функци ) г Ф2(С) будуються у

виглядi полiномiв ф1 ^(О г ф2п)(С) • Тодi функщя ф*п)(0 = ф(п)(0 + ф2Ю(0 бу-

де регулярною у всш площинi комплексно! змiнноi за винятком точок ^=0 i в яких вона мае особливостi у виглядi полюсiв•

Запишемо контурш умови (5) i (6), з врахуванням (10), у такому виглядi - 1 - 1 -

Х2 ф1^—) + Х2 ф2^—) + [фКа2) + ф'2(^2)]+^(^2) = /22(^2) + С на У 2, (11) ^2 ® (^2)

_ 2 _ 2 ®(р!) _

Х1ф1(-р^) + Х1ф2(—) +—^^^[ф!(^1) + ф2(°2)](°1) = /и(^1) + С на У1, (12)

а1 а1 ю (а1)

де:

/22(^2) = /2г Ы--/Ю(р2^2) +Ю(1/а2)

Х1

®'(а2)

1 _ р2 _

/20(1/02) + -р1т /ш(р2/^2)

Х202

/11(01)=/г (02)/20(01/р2) +ю(р1/ 01)

1

х1о2

р1

2 /20(1/01) /0(р2/ 01)

(13)

Х2 ю'(01) [Х201 ОТ

Очевидно, функцii /22(0 i /п(0 не мають особливих точок у кшьщ р1<| 1, тому задамо !х у виглядi рядiв•

ж ж

МО = X 4 ^; /п(0 = I вк ^;

к=-ж к=-ж

або наближено у виглядi iнтерполяцiйних полiномiв

(14)

т

--1

2

/УЛо = 14й)с

т --1

/Ап)(0 = I вкпКк;

(15)

т

к=--

2

, т к=--

де коефщенти Л!(") ' Вк"^ мають такий вигляд

1 т

4и)=Лх /а ^з

т}=1

Вки)

1 т 4-(3) -'к0з -к п т'

'X/\\е 3р1 , (к =

т з=1 2

т

••,у -1). (16)

к

2

Вирази /¿2) i /Ц) (/=1, 2, ..., т') - це значення функцш, заданих формулами (14) i (12) в точках а!1') = егВ1, де В/ = —7/ або ст(1) = р1е'01, де

т

0 / = 2^ / для функщ! /1/ ). т

Проанатзуемо функцiональнi вирази у контурних умовах (11) i (12). Функцiональний вираз ю(^2) е контурним значенням ращонально! функщ!

т1_ , 2 ^ С-к1

ю(1/£) к1 =-т .... • ......

—1-- = —--, регулярно1 у всш площинi комплексно1 змiнноl ц, за

й'(° 2 к,Ск, ?к-1

к1 =-т

винятком точок £ =0 i в яких вона мае полюси скiнченого порядку (т1-т-1 i т - т1+1 вiдповiдно) та скшчено! кiлькостi точок

Ск (к = 1,..., р) I С,к (к = 1,..., я),(0 <|Ск| <Р1; 1 ; Р + Я ^ т + т^,

де вона мае полюси порядку тк. Таким чином, дослщжувану функцiю задамо всередин областi, тобто всерединi у2 та зовш у виглядах

Ю(1/ Г) т1-т-1 Р тк

= X + 22ек1 (С-Ск+ МО всередит 72, (17) ю (Ц) /=1 к=1/=1

Ю(1/ Г) т1-т+1 я тк

"ЮТ^ = 2 е;с + 22(С-Ск)" + ^(0 зовнi 72, (18)

ю (Ц) / = 0 к=1/ =1

де: ^(0 - функщя регулярна всерединi областi, обмеженiй контуром у2; А,2(£) -функцiя регулярна поза контуром у2 i дорiвнюе нулю в нескiнченно вiддаленiй точщ; еи ек1 та, е\, е'м - постiйнi.

Тодi функщональний вираз ю(^2) ф1(а2)е контурним значенням фун-

. ю(1/О ,(г) .

кцiонального виразу-ф1(ц) - регулярного всередит контура у2, за ви-

нятком точки £ =0 i точок к (к = 1,. .,Р) , де вона мае полюси, i тому його можна задати у такому виглядi

Ю(1/ Г) т1-т-1 Р тк

^т^ф1(0 = 2 ЕЛ" + 22Ей(С-Ск)-г + ЖС), (19)

ю (ц) /=1 к=1/=1

де: Б^О - функщя регулярна всередит у2; Б;, Eki - сталi величини.

Аналопчно запишемо функцiональний вираз ю(^2) ф 2(а2), який е

(^2)

контурним виразом функци, регулярно! зовт у2, за винятком точки i точок ^к (к = 1,...,я), де вона мае полюси

-1/ Г) т-т1 +1 4 тк

^^ф2(0 = I ЕС + 11 Е'к1 (С-Ск)-/ + *2(1/С), (20)

- (Ц) /=0 к=11=1

де: Б2(1/0 - функщя регулярна зовт контура у2 i дорiвнюе нулю у нескшчен-но вiддаленiй точцi; Е', Е'м - стал величини.

Помноживши контурна умову (11) на ядро Кошi —--та штег-

2п/ 02 -

руючи вздовж контуру у2, вважаючи < 1 i, враховуючи властивостi штегра-лу типу Кошi, отримаемо функщю

ж

= -Х2*0 - Х2ф2(1/С) - ф2(^) + ^2(1/С) + 14^ + С2 • (21)

- (О к=0

Аналопчно в граничнш умовi (12) вiдношення —(01) е граничним

(°1)

, ... ю(р!2/О .. - -г

значенням функци ——-, регулярно! на всiй площинi ц, за винятком точок

Ю

£ =0 i в яких вона мае полюси скiнченого порядку (т1 - т-1 i т - т1+1, вiдповiдно) та скiнченоi кiлькостi точок <^к(к = 1,...,р) i <^к(к = 1,...,4),

(0 < к| < р1 ; 1 < < ж ; р + 4 < т + т1), де вона мае полюси порядку тк. От-

же, дана функцiя може бути представлена всередиш у1 у виглядi (17), а поза у1 -

матиме вигляд, що спiвпадае з виразом (18). Тодi функцiонал —(01) ф'1(01) з

(°1)

контурно! умови (12) е граничним значенням вщповщно! функци, регулярно! всерединi у1; окрiм точки £ =0 та точок £к (к = 1,...,р) , де вона мае полюси порядку тк i може бути представлена у такому виглядi

— р2)

V ^ / т1 - т-1 р тк

—Ф1(^) = I ц-Г + 11 Ц (С-Ск Г + ад, (22)

- (Ц) /=1 к=1/ =1

де: - функцiя, регулярна всерединi у1; Ц, Цк/- постшт.

Функцiональний вираз —(01) ф'2(01), що входить у контурну умову

(°1)

(12), е граничним значенням функци ю(р1 / ф '2(<^), що е аналггичною зовнi

у1, о^м точки £ та точок ^к (к = 1,...,4) , де вона мае полюси порядку ткi може бути представленим у такому виглядi -(р2 /г) т1-т+1 4 тк

--^Ф^О = I цс + цц^-Ск)-'+^4(1/с), (23)

- (Ц) /=1 к=1/=1

де: ^4(1/^) - функцiя регулярна зовш у1; Ц, Ц - постшш.

Помноживши умову (12) на ядро Кошi та, штегруючи 11 вздовж контуру у1 при < р1, з врахуванням вигляду функцш (8), (14), (22) i (23), отримае-

мо значення функци у^О, регулярно! в < р1

.2 /^ (г) ю(Р2/О ф ,

у^) —Хх«0-Х1Ф2(Р1/О-ЖО-^Ю^ф 2(С) + ^4(1/О +2Вк£к + С1. (24)

ю (0 к=0

Оскшьки за умовою функцiя у 1(0 особливих точок у юльщ р1<| £|< 1 не мае, то лiвi частини у формулах (21) i (24) повинш збiгатися, тобто функцiя (21), регулярна в < 1 ^ вiдповiдно функцiя (24) регулярна в |^|<Р1 зб^а-

ються в област < р1. Отже, функщя (24) е аналiтично продовженою у круг < 1 i е аналiтичною всерединi у2. 1з аналiзу право! частини формули (24) теж випливае можливiсть продовження функци у^О, оскiльки вона не мае

особливих точок у кшьщ р1<| ^ 1< 1.

Проведемо аналопчш перетворення з умовами (11) та (12). Помноживши умову (11) на ядро Кошi та штегруючи по у2, а також вважаючи > 1 ^ враховуючи (8), (9), (14), (19), (20), знаходимо функцш у2(0 - аналiтичну поза у2:

^2(0=Х2а0 - Х2ф1(1/с)+ад - ^^фКс) - ад /с)+2л_кск. (25)

ю (0 к=1

Анaлогiчно, штегруючи умову (12) вздовж у1, при |^>р1, знаходимо

функцiю у 2(<0 - регулярну зовнi у1.

У2(0 = Х1 0) - Х1ф1(Р12/ О + ^3(0 -^¿^ ф1(0 - ^(1/О + 2 В-кС~к . (26)

ю (0 к=1

Додавши, зпдно з умовою (9) функци (21) та (25), отримаемо шукану функцiю у (О - aнaлiтичну у кшьщ р1<| ^ 1< 1:

у (С) = -Х2ф*(1/О ф*(0 + /22(С) + С2. (27)

Ю (О

Анaлогiчно, додавши (24) i (26), знаходимо теж функцш у(0 :

у (О = -ХlФ*(Pl2/О-^Ю^ф*(0 + /п(0 + С1. (28)

ю (о

Формули (27) та (28) мiж собою збiгaються i поряд з тим визначають функцш у(0 у зaмкнутiй формi, тобто задають точне значення ще! функци, якщо буде визначена функцiя ф*(0.

Знайдемо функцiю ф*(0 i постшш С1, С2, прирiвнявши прaвi частини формул (27) i (28), помноживши !х попередньо на ■ ю'(£):

С--' (О

X 2 ф*

' 1л

х1 ф*(| рт

+ сф* (о

-

' 1л

-

2 р!

С

+ N-С--' (О

= С - - '(О - I - Вк)к + ((-к - В-к К-к)

к=1

(29)

де позначено N = В0 - А0 + С1 - С 2.

Прирiвнюючи коефщенти при однакових степенях £ у лiвiй та правiй частинах виразу (29), отримаемо, перейшовши до спряжених значень, двi нескiнченi системи лшшних алгебра!чних рiвнянь для знаходження коефь цiентiв ак (к = ±1,±2,...) та постшно! N0:

N0 = N + а0(Х2 - Х1) = В0 - А0 + С1 - С2 + а0(Х2 - Х1) ;

I ак (X2 -Х1р2к )(к -/)Ск-/ + I какСк+/ (1 -р2(к+1)) -

2(к +/)*

к=1

к=1

- Iа-к (Х 2 - Х1р1 2к )(к + / )С - (к +/) -

к=1 ж

2(/-к)

I ка-кС1 -к (1 -р2(/-к)) -Щ1С-/ = I (А-к - В-к )(к - /)Ск-/

к=1

к=1

(30)

(31)

I (Ак - Вк )(к + /)С - (к+/) (/ = 0,1,..., ж);

к=1

I ак (X2 -Х1рГ )(к + /)Ск+/ + I какСк -/ (1 -рГ"/;) +

к =1 к =1 ж _

+ ! а-к (X2 ^рГ2к)(/ - к)С/-к -

к=1

2(к - / )-

-Iка - кС- (к+/)(1 -Р1"

к=1

- 2( к+/)

) +N0/0 = I (А-к - В - к )(к + / )Ск + / +

к=1

(/ = 0,1,..., ж).

(32)

+ ! (Ак - В к)(/ - к )С/-к)

к=1

У випадку першо! основно! задачi x1 = X2 = 1 i С1 вибираемо таким, що-

би N0=0• Тодi потреба у знаходженнi постiйних вщпадае. При другiй основ-

нiй задачi А0 i В0 вiдомi, С1=С2=0, %1 = X2 = -X i N0 = В0 - А0 е вiдомим i тодi

член з N0 можна перенести у праву частину рiвнянь (31) i (32).

У випадку змшано! задач^ коли на Ь2 заданий розподш напружень, а на Ь1 - перемщення, то потрiбно визначити постшну N0 згiдно з формулою:

N0 = а0(1 -X) + В0 - А0 -С2

або, навпаки, якщо заданi напруження та перемщення, то

N0 = а0(1 -X) + В0 - А0 + С1.

Обчисливши коефщенти ак iз системи рiвнянь (31), (32), отримаемо вираз функцп ф*(0, а дaлi функцiю ф (£) за формули (9).

Зпдно з формулою [7]

знаходимо розподш напружень на зовнiшньому та внутршньому контурах дослiджувaного об'екта.

Висмовки

Запропонований шлях дослщження нaпружено-деформiвного стану пластинчастих елеменпв у виглядi двозв'язно! област дае змогу отримати розв'язок, виражений в анаштичному виглядi порiвняно з числовими методами, що дае змогу змшюючи конформно перетворюючу функцш, отримати розв'язок для такого типу областей. Точшсть отриманого результату розв'язання залежить вiд кiлькостi вибраних рiвнянь системи (31) i (32), а також - вщ кшькосл членiв функцi! ф*(0- Запропонований шдхщ до розв'язання таких задач мае певш переваги над числовим (анал^ичшсть, зaгaльнiсть, врахування будь-якого навантаження тощо), але е все ж таки наближеним, оскшьки побу-дована конформно вщображна функцiя е многочленом i може не давати точного вщтворення контура фiзично! облaстi, система рiвнянь не е скiнченою.

1. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. - К.: Наук. думка, 1981. - 324 с.

2. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. -К.: Наук. думка, 1988. - 620 с.

3. Саврук М.П., Осив П.Н., Прокопчук И.В. Численный анализ в плоских задачах теории трещин. - К.: Наук. думка, 1989. - 248 с.

4. Стащук Н.Г. Задачи механики упругих тел с трещиноподобными дефектами. - К.: Наук. думка, 1993. - 359 с.

5. Божедармж В.В., Максимович О.В. Пружна та гранична р1вновага ашзотропних пластинок з отворами 1 трщинами. - Луцьк: ЛДТУ, 2003. - 240 с.

6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.

7. Савим Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. - К.: Наук. думка, 1968. - 887 с.

УДК 330. Ст. викл. Г.А. Лех, канд. екон. наук;

доц. 1.В. Стасюк, канд. екон. наук - УкрДЛТУ

ЗАКОНОМ1РНОСТ1 РОЗВИТКУ С1МЕЙНОГО Б1ЗНЕСУ В УКРА1Н1 ТА ЗА КОРДОНОМ

Вщомо, що будь-яка людина може брати участь у сфер1 зайнятосп 1 створюва-ти матер1альш цшносп, працюючи безпосередньо у домашньому господарст. У цш особливш сфер1 сконцентровано велику кшьюсть людей, яю виробляють вагому час-тку продукпв 1 послуг. Дослщжуються особливосп та законом1рносп розвитку сь мейного б1знесу в Укрш'ш та за рубежем.

(33)

Лгтература