CC BY
7
5. ШФОРМАЦШНШ ТЕХНОЛОГИ ГАЛУЗ1
УДК 539.3 Проф. М.М. Стадник, д-р техн. наук;
доц. 1.Я. Горбачевський, канд. техн. наук - НЛТУ Украши, м. Львiв
ПРУЖНИЙ СТАН Т1ЛА З ТУНЕЛЬНИМ ВКЛЮЧЕННЯМ ПРОФ1ЛЮ ВЕКУА
За допомогою методу стрибгав напружень та змщень на тонкому пружному включенш розв'язано в аналiтичному виглядi задачу про концентращю напружень в безмежному тш з цилiндричним включенням профшю крила кiнцевого розмаху. Дослiджено вплив кривини контуру у торцевш частит включення та його мехашч-них характеристик на напружено-деформований стан тша.
Ключовг слова: тонке тунельне включення, стрибки напружень та перемщень, концентращя напружень у тiлi.
Тонкостшне включення, тобто таке, один з розм1р1в якого е малим по-р1вняно з шшими, е поширеним дефектом або тдкр1плювальним чинником у матер1алах та елементах конструкцш. Вщомо, що бшя кра!в тако! неоднорщ-носп концентруються напруження, як залежать вщ профшю включення, тобто заокругленосп у торцевих точках перер1зу. У робот розглянуто випадок пружного тунельного включення в тш, перер1з якого мае форму крила кшце-вого розмаху [1], що може описувати весь спектр кривих вщ елштичних до гострокшцевих.
Постановка задач1. Нехай безмежне 1зотропне пружне тшо мютить цилшдричне включення, пружш характеристики якого можуть змшюватися в д1апазош вщ отвору до абсолютно жорсткого елемента. Нехай поперечний перер1з включення в прямокутнш декартовш систем1 координат 0ху2, початок яко! зб1гаеться з центром профшю, а цилшдрична вюь - з вюсю Оу, обме-жуеться кривою [1]:
1 1 + vx2 / а2 у
7 = ±Н (х) = ±------ • V а2 - х2, х < а. (1)
1 1 + тх2 / а2 1 1
Тут 1 = а / с, а 1 с - твош, а >> с, т >-1, V >-1, а рад1ус заокруглення р у вершит включення р = а (1 + v)2/[1(1 + т ))2. Кривою (1) описано р1зш конфь
гурацп профтв включення розм1ром 2а х 2с, зокрема: овальний, елштичний (V = т), прямокутний 1з заокругленими кутами чи гостроюнцевий з точками звороту 1-го роду (±а,0). За допомогою математичного анал1зу криво! (1) встановлено, що при V > т !! форма описуеться навколо елшса з твосями а, с, а при V < т, навпаки, вписуеться у нього. Кр1м того, при V > 0,5 + т контур перер1зу включення (1) набувае гантелепод1бно! форми.
Припускаемо, що жорстюсть включення е довшьною (0<е= 01/О <ю, О, О1 - вщповщно модул1 зсуву матер1ал1в матриц та
Науковий вкник 11.1ТУ Укра'1'ни. - 2013. - Вип. 23.8
включення). Нехай до тша на HecKÍH4eHHOCTÍ прикладеш pÍBHOMÍpHO розпода-леш взаемно перпендикулярш розтягальнi зусилля p i q так, що мiж напрям-ком сил p i вiссю 0x утворюеться кут ф . ^ím того, тiло пiддаеться рiвномiр-ному нагрiву (охолодженню) вiд температури T до T2 (T2 -T = AT ). В одно-рщному тiлi виникнуть тензор напружень а0 та вектор перемщень ü0, компонента яких задовольняють таким рiвностям:
[«0] *= 2G( -n)h (x)зт2ф; (u°) .= Ц[(1 -2¡u)(l + r¡) + (l - n)cos 2ф] + 2(1 + ¡i)axAT ; [«0] ,= [(1 -2м)(1 + n) - ((-n) cos^] + 2(1 + /u)ah(x) AT ; (u0)*= 2G(1 -n)xsin2ф; (а°),= p[1 + n-(1 -n)cos2ф];
(0 )*= p [1 + n + (1 -n) cos2($]; (а° )*= p (1 -n) sin2ф. (2)
Тут a - коефщент теплового розширення матрищ; r¡ = q / p; м - коефщент Пуассона для матерiалу тша (матрищ). Потрiбно визначити концентрацiю напружень у тЫ бiля включення й напруження у ньому.
Побудова розв'язку. Скористаемося вiдомими [2] спiввiдношеннями моделi тонкого пружного включення у тЫ, вiдтак отримаемо двi системи по два штегродиференщальних рiвнянь типу Прантля з ядрами Кошг
Bu j Midt + Bu j dt + -B3) j [Cx] dt = -M1 + A;
-a t - x -a t - x h (x)-a
B21 j dt+B22 a dt - B23 = -M2;
-a t - x -a t - x h (x)
B315 № dt+B32 j ^ dt+B) j с ] d+«=-M3+A3;
-a t - x -a t - x h (x)V h (x)
B41 j íufxl=.dt + B42 f tezAldt-Mf =-M4,|x| < a, z = 0, (3)
-a t - x -at - x h (x)
вiдносно похiдних вiд збурених стрибюв змiщень [üz] *, [üx] * та напружень [Czx] *, [Czz] * берепв прямолшшно! трiщини z = ±0 довжиною 2a, на яких дь ють напруження, знесенi з поверхонь включень z = ±h (x).
Тут A1, A3 - довшьш сталi, якi тдлягають визначенню. Крiм того, к = 3 - 4м - для плоско! деформацп та к = (3 -м)/(1 + м) - для узагальненого плоского напруженого стану.
B GM1 + G1 (1 - 2м) . B GM1 (1 - 2м)- . B B 1 .
B11 = ---Г""--Г, B12 = --Г""-Г, B13 = B33 = - ,
nG1 (1 - м)(1 - м1) 2nGG1 (1 - м)(1 - м1) G1
B = G (1 - 2М1)- G1M1 (1 - 2м) . b = G (1 - 2м) (1 - 2M1) + м£>К . B = 2 (1-M1). 21 Пл(1 -м)(1 -2м1) ' 22 2nGG1 (1 -м)(1 -2м) ' 23 (1 -2м) '
Д.1 = ; В32 =__В41 = 2О+ О(1-222; В42 = О1у-2О((1-2С2:
2п(1 -р) 4пО (1 -¿2 2Пл(1 -м) 4пОО1(1 - м)
М1 = Т^-дХ ("2 )•+ ОтММ — )•+ О7?ТХ21 — ] — (
М2 = —Ъ--М• А«) - ^М^М + 41
О1 1 - 2м дху '* 1 - 2м ^ (х) 1 - 2м1
М;
(х) 1 - 2м1
МзОЩ-И-; "4("0, <4>
а м - коефщент Пуассона матер1алу включення; а1 - коефщент його теплового розширення.
Користуючись подходом [1] до розв'язання одного штегро-диференць ального р1вняння типу Прандтля, шукаемо [2] розв'язок системи р1внянь (3) у такому виглядг
[йг]•= Я1Ф(к1, х); [—]•= Н2 —Ф(к2, х); |х| < а,
[«*]•= НзФ(кз,х) ; [-гг]-= Н4—Ф(к4,х) ; |х|< а, (5)
к, (V-т )12(—--
аа2+v-2
1 - к (V-т )102+— --
де: Ф(к,, х) = у(къ х) +--аГ/+(!/- )-/(к,, х);
Г (к,, х) = у0 (к,, х) - у0 (к,, а)
а +V-
008® (к,, х) ; С0$,ю(к, а)
г
У0 (к,, х) = 1 ^т [® (к,, Г) - ® (к,, х)] +-,——~008 [® (к,, Г) - ® (к,, х)]} -Г;
0 \а2 - Г2
/(к х)= 1 VС08[®(к'' г)-®(къ х)]-г сов® (к,, х) "рС08[®(ки г)-®(к,, а)]-г / ( " х) = П{ (1 -V2/ а 2 ))а2 - Г2 Г -пс08®(к,, а )} (1 -V2/ а2 ))а2 - Г2 Г
®(к' х '-х \щ; ('=>■ В'М=];
=2?МММ)[В2'(М''-- в.(2]; Нз="!(ММ; Н4 —(ОМ)
Н1 [1В13В23 - п (В12В23 - В21В13 ) ] + В1М2
к1 = 1—-\-;———;-;
(пВ12-1В13 )М 2 -пВ22 (( - 4)
, Н2[1В13В23 -п((В 23 - В21В13 )]-В23 (М1 - 4) , 2 = пВ11М2-(пВ21 +1В23)\М1 - 4) ;
Н 2 =
Науковий вкник НЛТУ Украши. - 2G13. - Вип. 23.8
k = „ Нз\Ц1 - l) + (G + 11 - 2l) Gi УGi] + 11 - l)M4. 3 M4 ((1 - 2l) + 21(1 -l)) '
= ,H 4 [A11 -l) + (g + 11 - 2l) GlVGl] . (6)
4 M4G '
Ml = GGl (1-L)I\(1+ n) 1(1 -2l)Gí + LG) + (1 - П(Gl -LiG)cos2(¿] +
AT
+4 (T-LL)((1+L)a-(1+Li)ai )
M 2 = GGl (ip- 2l) |[(1 + n)((l - 2Li)G-(1 - 2l)Gí) + (1 - 2Li)(l-Щ- G)cos2(¿]-
AT
' ((i + l)«-(1 + Li)a )
(1 - 2Lí)
M3 = !(1 -n)sm2(^ M4 = -£-(1 -n)(G -Gi)sm2(¿. G GGl
Конcтaнти A1 i A3, що входять y (3), мютять стрибки нaпpyжeнь [OX]* тa [aí?z]* i вибиpaють тaк, щоб зaдовольнити чacтковi випaдки зaдaчi:
а) для однорщного тiлa (Q = G , l = L, a = a)
[ï z ]*=(? zx ].= O, [Ux ].= ( ].= O. (7)
б) для порожнини ( G1 = O)
[Czx] .= [Сzx ]. + [Cx] O , [Czz] .= [Czz ]s + [a°z] s= O . (S)
в) для абcолютно жорсткого включення ( G1^œ, a = O)
[Uz]. = [Uz] .+ [u°°] .= O, [ïx]. = [Ux] .+ [uO] O. (9)
Знаходимо, що
Ai =JL(1 +n + (l-n)cos2^). A3 =p(1 -n)sin2^. (1O)
Gl Gl
Зayвaжимо, що y виразах (6) для H3 значення величини A3 вже враховане.
Якщо стрибки нaпpyжeнь [Сzx ]. i [Czz ]. та пepeмiщeнь [ux]., [Uz].
знайдено, то, використовуючи зaлeжноcтi [3] мiж коeфiцieнтaми штенсивнос-
тi напружень (К1Н) K¡ i Кц та концентращею напружень y тiлi, можна одер-
жати замкнений aнaлiтичний розв'язок задача
K =- lim J2n(a -x )
x^a-O V 4 '
GHi d , (1 -2LH2 d ,
——Ц---Ф^, X )+v , \2 •—Ф12, x)
2(1 -l) dx У 1 ' 4(1 -l) dx У '
X(x)= p(1 + n + (l-n)cos2^)-HX). И < a,
z (x )= 2 (1 + n-(l-n)cos2^)-
Mi - Ai + B1H2 H1
h (x)
О (1 - 2ц) 2 (1 -ц)2 _ 2KI
x=a+0- I +
•4жР
M 2 - ,В23Я1
Ф(М, x) А (х)
к < а,
х (а )+ Р (1 +^-(1 -п)со82^);
(11)
КII _- Нт л/2п(а - х)
ои3
2 (1 -ц)
х(х)-1(1 -п)8т2^-Н ^ (х)
хЬ™!х)
.Ф(, ХУ
А
dx
х < а , а2х х-а-0 -агх х-а+0 ■ (12)
Анал1з розв'язку та висновки. За формулами (11) - (12) дослщжено вплив форми поперечного перерiзу включення та його жорсткостi на локаль-ний напружено-деформований стан матерiалу та напруження у включеннi у випадку плоско! деформацп, коли М -0, ф - п / 2, п -0. Характер залежнос-тi прошюстровано (рис. 1-6). Зокрема показано, що серед множини можли-вих гладких контурiв включення, що задаються формулою (1) i мають одна-ковi величини радiуса кривини р у вершинах (±а, 0) тi !х форми, що опису-ються навколо "еквiвалентного" (в сенсi рiвностi радiусiв кривини у вершинi) елiпса, призводять до виникнення бшьшо!, а вписаш, навпаки, меншо!, нiж бiля елшса, концентрацiI напружень (рис. 1) залежно вщ жорсткостi включення. Як видно, геометрiя контуру перерiзу включення ютотно (залежно вiд параметрiв V i т) впливае на величину концентрацп напружень бiля вершин пружного дефекту. Отже, змшюючи форму включення за допомогою пара-метрiв V I т, можна при незмшному р зменшити величину концентрацп напружень у матерiалi порiвняно з випадком "еквiвалентного" елiптичного включення. Якщо ж розглядати "спiвоснi" (в сени рiвностi пiвосей) форми включень з рiзними радiусами заокруглення !х вершин (рис. 2), то спостерь гаемо зворотний ефект, тобто елштична форма включення (V - т) спричинюе у матерiалi бiльшу концентращю напружень, нiж описана овальна (V > т). Як видно з рисунка, при е- 0.1, X-10, <тгг | ^^ перевищуе значення <тгг | +0.5 бiльше, нiж на 60 %, а при е -10 i такому ж значенш X 1х спiввiдношення приблизно дорiвнюе 2.5 (точки порiвняння вiдзначенi квадратиками).
Отже, аналiз профiлiв тунельних включень за !х розмiрами ("ствос-ш") або за радiусом кривини у вершинах ("е^валентш") залежно вiд вщнос-но! жорсткостi включення дае змогу пiдбирати найбiльш оптимальну форму геометрп дефекту з погляду концентрацiI напружень у матерiалi, що створюе теоретичну основу для формування композицiй iз заданими властивостями.
Аналiз напружень ахх та <тгг (рис. 3 - рис. 6) показуе, що напруження у включенш, поперечний перерiз якого обмежений кривою (1), е неоднорщ-ними i досягають максимуму у точках (0, ± с) при О1 < О для вписаних у "ек-вiвалентний" елшс або описаних навколо "спiвосного" елшса конф^рацш дефекту. У випадку ж включень, форма яких, навпаки, описуеться навколо "е^валентного" елшса або вписуеться у "ствосний" елiпс, найбiльшi напруження виникають у точках (±а, 0).
а
Науковий вкник НЛТУ Украми. - 2013. - Вип. 23.8
12 20 28 ар
Рис. 1. Концентрацш напружень у тiлi бтя вершин "е^валентних включень профтю (1)
-0.5 0 V 0.5 0 0.4 0.8 х/а
Рис. 2. Концентрацш Рис. 3. Напруження
напружень у тШ бтя включеннях
вершин "ствосних" профтю (1) включень профтю (1)
О 0.2 0.4 0.6 0.8 х/а Рис. 4. Напруження включеннях профтю (1)
О 0.4 0.8 х/а Рис. 5. Напруження включеннях форми (1) як функщя параметрiв V та £
Рис. 6. Напруження включеннях форми (1) як функщя
Якщо G1 > G, то залежнiсть обернена. Отже, залежно вiд форми вклю-чення та механiчних властивостей матерiалiв тiла i включення, локальне руйнування композицп може розпочатися як у матриц бiля вершин включення, так i в точках (0, ± c) та (±а, 0) у включеннi.
Зауважимо, що у працi [4] одержано чисельний розв'язок i дослiджено вплив форми тонкостшного включення шшо1 конф^рацп у пластинi на К1Н.
Л1тература
1. Векуа И.Н. Об одном интегро-дифференциальном уравнении Прандтля / И.Н. Векуа // Прикладная механика. - 1945. - Т. 9, № 2. - С. 143-150.
2. Стадник М.М. Метод розв'язування тривим1рних термопружних задач для тш з тонкими включеннями / М.М. Стадник // Ф1зико-х1м1чна мехашка матер1ал1в. - 1994. - Т. 30, № 6. -С. 30-40.
3. Stadnyk M.M. A limit equilibrium of an infinite body with a complex form thin cylindrical elastic inclusion / M.M. Stadnyk, I.Ya. Gorbachevskyi // Proc. Int. Conf. "Strength, Durability and Stability of Materials and Structures" (Kaunas, Sept. 18-20, 1996). - Kaunas, 1996. - P. 152-157.
4. Сулим Г.Т. Влияние формы тонкостенного включения на концентрацию напряжений в пластине / Г.Т. Сулим // Физико-химическая механика материалов. - 1981. - Т. 17, № 3. - С. 64-68.
Стадник М.М., Горбачевский И.Я. Упругое состояние тела с туннельным включением профиля Векуа
С помощью метода скачков напряжений и смещений на тонком упругом включении получено аналитическое решение задачи о концентрации напряжений в неограниченном теле с цилиндрическим включением профиля крыла конечного размаха. Исследовано влияние кривизны контура в торцевой части включения и его механических характеристик на напряжённо-деформированное состояние тела.
Ключевые слова: тонкое туннельное включение, скачки напряжений и смещений, концентрация напряжений в теле.
Stadnyk M.M., Horbachevskyy I. Ya. An Elastic state of a body with the tunnel Vekua profile inclusion
An analytical solution of the stress concentration problem for an infinite body with thin elastic tunnel inclusion having the contour type wing of finite span is obtained due to using the method of stresses and displacements jumps. The influence of contour curvature in the end of inclusion and its mechanical characteristics on stress-strain state of the body.
Keywords: thin tunnel inclusion, stresses and displacements jumps, stress concentration in a body.
УДК 674.047 Проф. 1.М. Озаркв, д-р техн. наук;
доц. 1А. Соколовський, канд. техн. наук; доц. М.С. Кобринович, канд. фЬ.-мат. наук - НЛТУ Украши, м. Львiв
ОСОБЛИВОСТ1 РОЗРАХУНКУ РЕГЕНЕРАТИВНИХ ТЕПЛООБМ1ННИК1В
Проведено анатз сучасних теплообмшнигав з метою покращення регенеративно! функци рекуперативних апара™. Розкрито 1хш особливосп. Наведено методику розрахунку теплорекуперативних теплообмшниюв. Показано шляхи визначення ко-ефщенпв тепловiддачi цих апара™. Описано особливост розмщення таких систем та !х недолжи.
