CC BY
26
УДК 532.5
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ОСРЕДНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД С МАЛЫМ ОБЪЕМНЫМ СОДЕРЖАНИЕМ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ФАЗ
Ю.М.Ковалев
Челябинский государственный университет
Предложена математическая модель течений многофазных сред с малым объемным содержанием конденсированной фазы. Для пространственного осреднения получены соотношения, связывающие производные от осреднен-ного по фазе параметра с осредненной производной от соответствующего микропараметра.
Интерес к изучению процессов в гетерогенных или многофазных средах связан с тем, что с неоднофазными смесями приходится иметь дело гораздо чаще, чем с однофазными. Сложность, многообразие и взаимовлияние эффектов гетерогенности приводит к необходимости разработки математических моделей многофазных сред. Математическое моделирование во многих случаях является единственно возможным методом изучения тонких эффектов в многофазных средах, позволяющим понять и интерпретировать экспериментальные результаты. 6 настоящее время опубликовано большое количество работ, посвященных математическим моделям многофазных сред. По-видимому, наиболее обоснован и строг метод пространственного осреднения для двухфазных сред [1,2] . Однако на практике часто приходится сталкиваться со случаями, когда компоненты в двухфазной смеси имеют настолько разные свойства, что их целесообразно выделять в отдельные фазы. Поэтому данная работа посвящена математическому моделированию течений гетерогенных смесей с числом фаз больше двух и малым объемным содержанием конденсированных фаз.
1. Основные предположения для пространственного осреднения законов сохранения многофазной смеси. Считается, что во всех точках пространства, занятого 1-й фазой, то есть внутри объема в. , справедливы
микроуравнения сохранения массы, импульса и энергии, записанные для микропараметров ьй фазы [1,2] :
др° ~ —= 0 ,
ар. _
(1.1)
(1.2)
(1.3)
147
Здесь величины с тильдой р°г аг ёг ^ —.мгновенные значения
плотности, вектора скорости, тензора напряжений, вектора ускорения внешних массовых сил, удельной внутренней энергии и вектора плотности теплового потока. Следует отметить, что в дифференциальном. операторе 3, _ ~ _ ^
приращение времени ¿Ь и пространственной переменной
дхк во много раз меньше соответственно характерного времени движения конденсированных фаз и их размеров.
Умножая уравнение (1.2) на Р1 и вычитая его из уравнения (1.3), получим уравнение сохранения удельной внутренней энергии ¡-й фазы
Пусть в состав гетерогенной смеси входят п фаз, которые пронумерованы следующим образом: от 1 до п -1 — конденсированные фазы, с номером п-газовая фаза (несущая). Каждая фаза занимает элементарный макрообъем д&1 , а элементарный макрообъем смеси <50 является суммой элементарных
макрообъемов фаз. Как отмечается в монографиях [1,2], для применения континуального приближения линейные размеры макрообьема ¿в должны быть намного больше линейных размеров конденсированных фаз и намного меньше характерного гидродинамического размера.
К центру выделенного макрообъема относятся осредненные величийы и бв1
объемные доли фаз ддг :
<$>,«<£>,-¿■./>,30. (1.5)
' '¿в I
Для пространственного осреднения микроуравнений (1.1)-(1.4) необходимо получить уравнения, связывающие производные от осредненного по фазе параметра с осредненной производной от соответствующего михропараметра. Докажем, что данная связь определяется следующими равенствами:
I
где ^ — нормальная составляющая скорости перемещения межфазной
границы ]'! ; п^ — внешняя нормаль к поверхности , направленная из 1-й фазы в $и~д5,./дв -- удельная межфазная поверхность.
148
Для доказательства рассмотрим макрообъем смеси 6в^^йв(=сот(,
ограниченный поверхностью dS=J?dS=const . Внутри объема дв имеются
i
многосвязные поверхности раздела фаз <5S/V , внешние нормали к которым будут направлены из i-й фазы в j-ю. Таким образом, масса i-й фазы внутри макрообъема 66 занимает объем <36., ограниченный поверхностью ¿St+^£6Sj(.
i
Для любой дифференцируемой скалярной, векторной, тензорной функции ¡pt и фиксированного в пространстве элементарного макрообъема
t9*=^J>6 **const, ограниченного поверхностью dS=^6Si=const, справедливо
г I
следующее равенство:
Уь as
м Ц j is^
Так как 6St(t) перемещается по неподвижной поверхности 6S , то на <5S.(f)
нормальная составляющая скорости перемещения этой поверхности Л/J* равна нулю. Следовательно, равен нулю и второй интеграл последнего равенства. Учитывая определение средних величин, получим
д ftp. ~
aj<<£> Д0,)=<~>а0(+£<0(лг,.>. asv • (1.8)
/
Здесь слева, вследствие неподвижности центра объема, к которому относятся осредненные величины, стоит частная производная по времени. Разделив левую и правую части равенства (1.8) на постоянный объем, получим выражение (1.6).
Из теоремы Гаусса-Остроградского применительно к объему 601 ,
ограниченного поверхностью dS^+^dS^ , следует, что для любой дифферен-
J
цируемой векторной или тензорной функции справедливо
равенство JV (p.3e~f prfclS^f ^¡nfiS+^f p(ntl3S M, iS, j iS,
У
Выражая интегралы, входящие в последнее равенство, через осредненные функции, получим
Ja^V-^»,30=/я)3S+2 $1..<ф.п..>пП9 . л» is j ¿в
20 Зак 3732
149
Преобразуя поверхностный интеграл в последнем равенстве в объемный по 'формуле Гаусса-Остроградского и учитывая тот факт, что это равенство справедливо для произвольного неподвижного макроскопического объема д$ , получим формулу (1.7), которая связывает пространственную производную от осредненной по фазе функции с осредненной пространственной производной мгновенных значений соответствующих функций. Бели фаз в гетерогенной смеси две, то выражения (1.6) и (1.7) переходят в формулы, полученные Р.И.Нигматулиным [1,2].
2. Осредненные по объему законы сохранения массы, импульса и энергии для гетерогенной смеси. Осредняя уравнение (1.1) по макрообъему дв1 и
умножая полученное выражение на объемную долю ьй фазы а. , имеем
(2.1)
Применяя формулы (1.6) и (1.7) к уравнению (2.1), получим следующее равенство
1 / которое преобразуется к виду
I
Если ввести среднемассовые значения плотности р°*><р°> и скорости Р.= <р°^>/р" , то последнее уравнение запишется в виде
<2.2)
1
где Ъ>, •
Осредняя по макрообъему д$1 уравнение движения (1.2) и умножая полученное выражение на объемную долю ¡-й фазы а{ , имеем
Л ~ „*,
а1<Р°~оГ>Га1<*'д1>1+а1<Ри1>1 ■ <2-3)
Преобразуем левую часть уравнения (2.3) с помощью уравнения неразрывности (1.1) и равенств (1.6) и (1.7) :
3?. .
-^¿■Щ- *Н>Г (2.4)
У
150
Если обозначить флуктуации актуальных величин относительно среднемассовых значений через А<р1—<р—<р1 , то
<р№,>,= <#£>-?>,.<#>г 0; <Д#>=0. (2.5) Второе слагаемое правой части равенства (2.4) с помощью выражения (2.5) приводится к виду
<рр?1>ГРрр1+ <Р°аЩ>, ■ (2.6)
Подставляя (2.6) в правую часть равенства (2.4), получим
1
Подставляя последнее выражение в уравнение (2.3), получим уравнение движения ¡-й фазы в виде
I /
С учетом уравнения неразрывности (2.2) последнее уравнение можно записать следующим образом:
йР.
/ !
. (2.7)
!
Комбинация первого и последнего членов уравнения (2.7) может быть представлена в виде
• <2.8)
I 1 }
где Рцу — среднемассовая скорость той части 1-й фазы, которая претерпевает фазовый переход.
Окончательно уравнение движения ьй фазы может быть записано в виде
¿9.
/ I
Первый член в правой части (2.9) определяет воздействие на ¡-ю фазу вдоль внешней границы выделенного объема
V •о'=Ч-(а,<о>га1<р°Ьр£Р1>.)=Чо1+Ч-Пг (2.10)
20*
151
Здесь первый член определяется средним тензором напряжений, а второй характеризует перенос импульса за счет пульсаций скоростей относительно среднемассовых значений.
Второй член правой части уравнения (2.9) представляет собой силу межфазного взаимодействия
р,г'„<д,"„>// • <2Л1>
Третье слагаемое в правой части уравнения (2.9) характеризует внешнее воздействие массовых сил
ai<P°Si>raiP0it • <2Л2)
а четвертое — перенос импульса за счет химических и фазовых превращений.
С учетом введенных выше обозначений получим уравнение движения i-й фазы ^
1 i
Если гетерогенная смесь состоит из двух фаз, то уравнения (2.2) и (2.13) совпадут с уравнениями неразрывности и импульса, полученными Р.И.Нигма-тулиным [1].
Осредняя по макрообъему 6в1 уравнение полной энергии (1.3) и умножая полученное выражение на а, , получим
Цё^/2) „ „ ~ а,<Р°-at->rai<V^d?rti>l+at<P°gi-Vi>i ■ (2-14)
Преобразуем правую часть уравнения (2.14) с помощью уравнения неразрывности (1.1):
d(e.+ V*/2) а ~ - --J(->Га,<-[(ё,+Р2/2)#) >l+al<V- 2)] >, (2.15)
Применяя преобразование (1.6) к первому слагаемому в правой части равенства
(2.15), получим
• (2.16)
1
Преобразуем выражение, стоящее в первом члене правой части равенства
(2.16) под знаком осреднения по объему:
<6+i>2/2)#>.= <#?,> (2.17)
Первое слагаемое равенства (2.17) с помощью равенств (2.5) преобразуется к виду
152
<р°ё(>,=р?е(, (2.18)
а второе слагаемое можно записать следующим образом:
■ (2.19)
Следовательно, первый член правой части равенства (2.16) можно представить в следующем виде:
. (2.20)
где величина К=^<р°(А1?1)2>,/р° представляет собой кинетическую энергию
мелкомасштабного движения ьй фазы.
Рассмотрим далее второе слагаемое в правой части равенства (2.15). Применяя к нему преобразование (1.7), получим
>,-У- [а^Щ+Щ/2)>,] +
. (2.21)
У
Преобразуем выражение, стоящее в первом слагаемом правой части последнего равенства под знаком осреднения по объему 69. , .следующим образом:
. (2.22)
Первое слагаемое правой части равенства (2.22) с учетом выражений (2.5) может быть записано в виде
<Р&?,> , (2.23)
а второе слагаемое — следующим образом:
~<Р°?У1>■ (2.24)
Следовательно, левую часть уравнения (2.14) можно представить в виде
2.(ё.+Р?/2) 5 , ,
♦V- [а. </>°&Р1(ё1+Р(2/2)>(] Р^.+^/гД
/
• (2.25)
/
Используя уравнение неразрывности (2.2), преобразуем первые два слагаемых правой части выражения (2.25):
153
!
Применяем последовательно к каждому члену правой части уравнения (2.14) преобразование (1.7):
(2.27)
/
/
Последний член уравнения (2.14) представим в виде, предложенном г монографии [1]:
. • (2.29)
Собирая вместе выражения (2.25)-(2.29) и подставляя их в'уравнение (2.14), получим
й. , ~
У I )
<2.30)
/
Введем обозначения, принятые в монографии Р.И.Нигматулина [1]: В результате уравнение полной энергии ¡-й фазы можно представить в виде
154
Величины ^ и д, определяют обмен энергией в ¡-й фазе вдоль внешних
границ <55, выделенного элементарного объема <50.; IV.. — межфазный обмен
энергией за счет работы межфазных сил; — межфазный теплообмен;третье
и четвертое слагаемые правой части уравнения (2.31) описывают работу внешних массовых сил, а последний член — приток энергии за счет химических и фазовых превращений. Если смесь состоит из двух фаз, то уравнение (2.31) будет совпадать с уравнением полной энергии 1-й фазы, приведенным в монографии [1].
И, наконец, осредним по элементарному макрообъему <50, микроуравнения
сохранения удельной внутренней энергии ¡-й фазы (1.4) и умножим полученное выражение на объемную долю а, :
' (232>
Преобразуем левую часть уравнения (2.32) с помощью уравнения неразрывности (1.1): '
и применим к правой части последнего равенства преобразования (1.6) и (1.7):
— — _ __ _
^^"¿Г > > ^+у' > /) - - • % > •
/
С учетом равенств (2.5) правую часть последнего уравнения можно записать в виде
V • V• -^>„.(2.33)
1
Правую часть уравнения (2.32) представим следующим образом:
, (2.34)
] 1 где А. соответствует средней работе внутренних сил за единицу времени
. . л»
в единице массы 1-й фазы; Ау' ■ определяет работу сил Р. на сжатие или расширение 1-й фазы; Асоответствует работе вязких или сдвиговых внутренних напряжений 1-й фазы.
155
Объединяя равенства (2.33) и (2.34), получим уравнение сохранения удельной внутренней энергии ¡-й фазы
йе, -»
/ 1
Как следует из уравнения (2.35), изменение удельной внутренней энергии ьй фазы вдоль траектории ее центра масс происходит за счет ряда процессов, определяемых правой частью данного уравнения: первое слагаемое описывает изменение внутренней энергии за счет работы внутренних сил; второе — за счет внешнего по отношению к выделенному объему гетерогенной смеси притока тепла, описываемого вектором ^ , третье — за счет притока тепла
через межфазную поверхность; четвертое — за счет притока массы из-за мелкомасштабного движения, описываемого вектором Г. , а пятое — за счет
фазовых и химических превращений на межфазной поверхности.
В уравнении сохранения полной энергии 1-й фазы появляется дополнительная составляющая К. — кинетическая энергия мелкомасштабного
движения 1-й фазы. Для вывода уравнения сохранения ее необходимо получить уравнение сохранения кинетической энергии 1-й фазы. С этой целью умножим уравнение сохранения импульса ¡-й фазы (2.13) на вектор скорости и
получим уравнение сохранения кинетической энергии макроскопического движения ¡-и фазы в виде
■ ^ •
/ I
Вычитая уравнение притока тепла (2.35) и кинетической энергии (2.36) из уравнения полной энергии ¡-й фазы, получим уравнение сохранения энергии мелкомасштабного движения ¡-й фазы йК. _
/
Г*<>; (2.37)
I 1
где — вектор потока пульсационной механической энергии за счет самого
пульсационного движения и работы поверхностных сил в этом движении.
Объединяя четвертый и пятый члены правой части уравнения (2.37), получим
156
У У У . 1 У
I
У У
Объединяя полученное выражение с шестым членом правой части (2.37), в котором пренебрегается вкладом пульсационных составляющих третьего порядка, с учетом, (1.7) имеем
/
Таким образом, уравнение сохранения кинетической энергии мелкомасштабного движения 1-й фазы представляется в виде
йК. _
, (2.38)
У
где А/>Р=а,<У-(ЗА?,)>. .
В уравнении (2.38) остается неопределенным вид выражений а(р°/4.,
через осредненны'е по объему характеристики. В общем случае получить
вид этих выражений не удается. Поэтому попытаемся сделать это в предельном случае малого объемного содержания конденсированных фаз.
3. Пространственно-осредненные законы сохранения в смесях с малым объемным содержанием конденсированных фаз. Рассмотрим возможности упрощения захонов сохранения в случае малого объемного содержания конденсированных фаз. Для этого рассмотрим закон сохранения импульса
(2.13). Здесь появилась новая величина П.-а<р°А1?Лр>. — тензор
пульсационных напряжений, связанный с мелкомасштабными пульсациями скоростей фаз. В силу того, что конденсированные фазы являются несжимаемыми и имеют малые объемные доли, вкладом тензора пульсационных напряжений для конденсированных фаз можно пренебречь. Пульсации скорости газовой фазы связаны тольхо с относительным макроскопическим движением,
поэтому характерные значения пульсаций скоростей газовой фазы имеют порядок и охватывают область несущей фазы, равной по порядку
объему конденсированных фаз а1 . Здесь Рг обозначает скорость любой из конденсированных фаз, а Ри — скорость газовой фазы. Следовательно, имеем
П=а<р^Л>п ~ «МСК-Ъ2 '
где а{ имеет порядок 10~4 - 10~3. Даже для скоростей газа порядка 103 м/с величина анагР°п(У„~^2 имеет порядок 103 Па, что на два порядка меньше
21 Зак. 3732
157
давления в газе Р при нормальных условиях. По этой причине можно не
учитывать вклад тензора пульсационных напряжений и в газовой фазе. Следовательно, закон сохранения импульса для ¡-й фазы может быть записан в виде
• <зл>
у /
Рассмотрим уравнение полной энергии 1-й фазы (2.31) и проведем оценку вкладов пульсационных составляющих в соответствующие члены уравнения:
^а.р0^1 ]-арУ, 2 ' ' 1 2 ' ' '
а.
- а.
Так как величина а, имеет порядок 10 4—10 3 , то вкладом приведенных
выше пульсационных членов в уравнении Полной энергии 1-й фазы можно пренебречь. Если массовыми силами являются сила тяжести и сила Кориолиса, а расстояние над поверхностью Земли менее 102 м, то можно пренебречь вкладом и величины а1р°Н1 . Тогда уравнение полной энергии 1-й фазы имеет следующий вид:
й. .
> 1 1
В этом случае уравнение сохранения внутренней энергии 1-й фазы (2.35) запишется следующим образом:
158
1 1
а уравнение кинетической энергии мелкомасштабного движения 1-й фазы (2.38) вырождается в уравнение вида
ДЭД. (3.4)
Полученные в данной работе осредненные законы сохранения массы (2.2), импульса (3.1), полной энергии 1-й фазы (3.2), удельной внутренней энергии ¡-й фазы (3.3) с замыкающим соотношением (3.4) являются достаточно общими для смесей с малым объемным содержанием конденсированных фаз и могут быть использованы для математического моделирования процессов в таких средах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.
2. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1. М.: Науха, 1987. 464 с.
Получено 02.07.93
