Математическая модель газовзвеси с химическими превращениями в приближении парных взаимодействий Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.529

Б01: 10.14529/ттр140304

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГАЗОВЗВЕСИ С ХИМИЧЕСКИМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ В ПРИБЛИЖЕНИИ ПАРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

Ю.М. Ковалев, Е.Е. Пигасов

В данной работе предложена математическая модель, описывающая переход горения во взрыв твердого унитарного топлива в двухфазной гетерогенной среде: газ

- твердые частицы, инвариантная относительно преобразования Галилея. Проведенный анализ существующих математических моделей, описывающих переход горения во взрыв твердого унитарного топлива в двухфазной гетерогенной среде: газ - твердые частицы, показал, что они не являются инвариантными относительно преобразования Галилея. Бы.Н1 подробно изучены причины, приводящие законы сохранения к не инвариантности относительно преобразования Галилея, которые были устранены в математической модели перехода горения во взрыв твердого унитарного топлива в двухфазной гетерогенной среде: газ - твердые частицы, предложенной в работе.

Ключевые слова: математическая модель; инвариантность; многокомпонентная смесь; гетерогенная среда.

Введение

Отсутствие в природе чистых веществ требует активного развития математических моделей гетерогенных сред, достоверно описывающих изучаемые процессы. Данные математические модели находят широкое применение в различных отраслях науки и техники.

Перспективное использование взрывных процессов в ряде отраслей современной техники тесно связано с решением вопросов обеспечения мер безопасности, защиты инженерных сооружений и технологического оборудования от действия ударных волн (УВ). В связи с этим важное прикладное значение представляет изучение проблемы локализации механических эффектов взрыва и ослабления УВ с помощью математического моделирования данных физических процессов.

В настоящее время на практике ослабление УВ в газе осуществляется путем применения различных экранирующих систем в виде сплошных, перфорированных и разрушающихся перемычек. Один из основных недостатков сплошных и перфорированных перемычек состоит в их весьма большой материалоемкости и соответственно большой величине объемного содержания а твердого конденсированного вещества (а ~ 1 + 0,1). Указанный недостаток в меньшей степени относится к перемычкам, разрушающимся при взаимодействии с УВ и образующим экранирующие слои или завесы из пены или аэровзвесей [1]. Поэтому с особой остротой встает проблема разработки математических моделей многокомпонентных гетерогенных сред [2], адекватных тем физическим процессам, которые они пытаются описывать. Более того, для быстропротекающих процессов есть такие проблемы, когда математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явлений [3, 4]. Для верификации расчетов, с одной стороны, используют известные экспериментальные данные, а с другой стороны, при анализе проведенных измерений используют математические модели. Очень важно, чтобы условия проведения расчетов и экспериментов совпадали, а математическая модель была адекватна изучаемому физическому процессу [5, 6].

Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея математических моделей аэровзвеси [7, 8], активно применяемых для математического моделирования перехода конвективного горения унитарного твердого топлива во взрыв, показал, что они не являются

инвариантными относительно преобразования Галилея [9, 10]. Поэтому в данной работе был проведен анализ причин, приводящих к не инвариантности относительно преобразования Галилея, и предложен подход к построению математической модели перехода конвективного горения унитарного твердого топлива во взрыв, инвариантной относительно преобразования Галилея.

1. Математическая модель газовзвеси

Рассмотрим одномерный плоский случай математической модели течения газа с твердыми частицами (аэровзвесь), которая описывается системой уравнений сохранения [11], и проведем оценку ее на инвариантность относительно преобразования Галилея.

Система уравнений сохранения двухфазной аэровзвеси [11] без химических превращений

имеет следующий вид

др1 + др\У\ др2 + др2У2 = п дп + дп«2 , ,

дг + дх = ’ дг + дх = ’ дг + дх = ’ и

(у др

Р1~л = - дХ - пЛ р21Г =,л (2)

(1е1 ра1 (11р\

р'^Т = Ш~л + пЯ("' - *2) - щ' (3)

¿2в2 ра2 (кр°2 , ГЛЛ

р2ИТ = ЩИГ + щ’ (4)

р = Р^Р1,Т^ = Р2{ Р°2,Т^ , е1 = е^Р1,Т^ , е2 = е^р2,Т2) ,

V2

Р1 = р\а1, р2 = р2а2, а1 + а2 = 1, Ег = ег + у (г = 1, 2).

Здесь индексы 1, 2 относятся соответственно к газу и частицам; р°, а% {г = 1,2) -

истинные плотности и объемные содержания фаз; рг, ы, Тг, ег, Ег - парциальная плотность,

г р п

частиц в единице объема смеси. Уравнения (1) - уравнения неразрывности газа и частиц и уравнение сохранения числа частиц в единице объема смеси; (2) - уравнения импульса газа и частиц; (3) и (4) - уравнения сохранения внутренней энергии газа и частиц.

Получим уравнения сохранения кинетической энергии газовой и конденсированной фаз.

Умножая уравнение сохранения импульса газовой фазы на «1, а уравнение сохранения импульса конденсированной фазы на «2, получим уравнения сохранения кинетической энергии газа и частиц соответственно

«1

дг

дх

др

= —у^ ппу1,

дх

У1

др2«2

+

др2«2

= пЕь2,

дг дх

которые после простых преобразований принимают следующий вид

V2 V2

др1 — + др1У1 —

дг

дх

др

= —у^ пКу1 ,

дх

(5)

др2 % + др2У2 % п

жг + ^г- = пШ’2' (6)

Проведем анализ инвариантности относительно преобразования Галилея уравнений сохранения (1), (2), (5) и (6).

Запишем уравнения (1), (2), (5) и (6) в новой системе координат, движущейся с постоянной скоростью О. Скорости в новой системе координат будут равны:

Уы = VI + Б, (7)

У2и = У2 + О. (8)

Координата будет определяться из уравнения:

хн = ж + т. (9)

Производные:

д д

дх дхн’

(10)

(I) = (I) + ((11>

Легко показать [9, 10], что уравнения (1), (2), (5) и (6) инвариантны относительно преобразования Галилея.

Преобразуем левые части уравнений сохранения внутренней энергии газа и частиц. С учетом равенств (1) они могут быть представлены в виде

дре др1е1«1 ра1 (1р°1

~дГ + = Щ-л + иН("' - У2) - щ’ (12)

др2е2 др2е2У2 ра2 (2р2

~дГ + = щж+щ■ (13)

Из уравнений неразрывности газовой и конденсированной фаз (1) легко получить следующие равенства

йір\ 0( даі даіУі \

а'1Т = -р,( Ж + ~^)’

д,2р2 о( да2 , да2У2 \

а'2Ж = -РЧ Ж + ЖГ>'

(г 2 (г

Подставляя данные выражения в уравнения (12) и (13) соответственно, получим дре др1е1«1 (да1 дау \

~дТ + ^Ж = -р\Ж + ~а^) + пК (щ - У2) - щ, (14)

дР2е2 + дР2е2У2 = _р(дО!* + да2у2 \ + ип МгЛ

дг + дх р\ дг + дх )+ д. { }

Очевидно, что уравнения сохранения внутренней энергии газовой (3) и конденсированной (4) фаз, преобразованные к виду (14) и (15), инвариантны относительно преобразования Галилея.

Получим уравнение сохранения полной энергии смеси. Для этого суммируем левые и правые части уравнений (5), (6), (14), (15). В результате получим

д (р1 Е1 + р2 Е2) д др

------дг---------+ дх [Р1ЩЕ1 + Р2У2Е2 + (О1У1 + О2У2) р] = -О2 (ы - V2) (16)

которое не совпадает с уравнением сохранения полной энергии смеси, полученным в работе [7, И].

Для того, чтобы убрать это несоответствие, необходимо разделить силу взаимодействия между фазами К на две части [12]: на составляющую из-за воздействия макроскопического поля давлений - а2др, которая не связана со скоростной неравновесностыо между фазами, и составляющую f , которая связана с несовпадением скоростей

пК = -О2 ^ + и¡. дх

Подставляя полученное выражение в равенства (2) и преобразовывая левые части этих равенств к дивергентному виду, получим

дР1у1 др1у1 др

~дГ + -х = -О1 дх - п/' (17)

др2У2 др2У2 др

~ат + = -а2 ах + п!. (18)

К системе уравнений (1), (17) и (18) добавляются уравнения сохранения внутренней и кинетической энергии

др1е1 др1е1у1 (да\_ да1у1

дг

др1е1у1 ( да1 да1у1\ п, ч ,-1гЛ

+ -дж = Аж +~дГ) +п1 (У1 - ',2) - щ' (19)

др2е2 др2е2У2 (дО2 дО2У2 \

~дТ + ЖЖ = Аж +-вхт) + щ’ (20)

др1 + дР1У1-1 др ^

ЖГ + —д>хг- = -О1У1 дх - п,У1’ (21)

дР2 \ + дР2у2 др +

~дТ + ЖЖ = -а2У2 дх +,ф2' (22)

В этом случае уравнение сохранения полной энергии смеси будет иметь вид, совпадающий с предлагаемым в работе в [7, 11]

д(Р1Е1& Р2Е2 + дх РуЕ + р2У2Е2 + (ау + О2У2) р] = п. (23)

Легко показать, что уравнения (17) - (23) инвариантны относительно преобразования Галилея [9, 10].

2. Определение функциональной зависимости силы межфазного взаимодействия

При проведении анализа инвариантности относительно преобразования Галилея законов сохранения, описывающих поведение газовзвесей, предполагалось, что выражение для силы межфазного взаимодействия является инвариантным. Это возможно в том случае, когда силы межфазного взаимодействия являются функциями разности скоростей /1 (сила Стокса) и функциями разности ускорений /2 (сила присоединенных масс) [7, 8]. Явный учет выражения для силы присоединенных масс, проведенный в работе [7, 8], приводит к следующим уравнениям сохранения импульса газовой и конденсированной фаз [7, 8]

др1У1 др1у‘2 др

— + —+О дх = -/ <24>

др2У2 др2У2 3 др

~дТ + ^ + 202 дх = п/.

(25)

Из уравнений (24) и (25) следует, что уравнения сохранения кинетической энергии газовой и конденсированных фаз имеют следующий вид

дЬ

+

др

дх

2 + а1 У1 дх = -п/1У1>

(26)

дЬ

дх

др 2дх

(27)

Легко показать, что уравнения (24) - (27) являются инвариантными относительно преобразования Галилея.

Рассмотрим уравнение сохранения полной энергии смеси (23) и проведем его анализ на инвариантность относительно преобразования Галилея, используя уравнения сохранения (1), (24) - (27). Используя формулы перехода к новой системе координат (7) - (11), получим

д (/01 (е-1 + {Г° Ы2 °)2) + р2 {р2 + (^Н 0)2

+ 02 е2 +

дЬ

+

д 01 (е1 + (1и 2 + 02 (в2 + (2” 2 0)2 ))

дхя

+

Б +

д_

+ дх

( ( I (у^ - 0)2 \ , Г г>\ ( , (у2к - 0)2 I ,

01 (Уы - О) ( е1 +---------2----- I + р2 (У2П - Б) [ е2 +------------------ I +

;)

+ (а1(уы - Б) + а2(У2и - Б)) р

.

2

После простых алгебраических преобразований получаем:

дрі(ві + ^) . др2(в2 + ~2~) , Б2 ґдрі . дргыЛ Б2 Ґдр2 , др2У2и\

д + дг + 2 V ) + 9хн ) + 2 У дг + дха ) ( др1УЫ + др1У2Ы + _ / др2У2и + дрА + 3 дР

—Б{~^ +~а^ + аідъ) —п{~д- + ^ + 2а-х) +

Б дР др1УЫ (ві + др2У2а (в2 + \ )

+— а2—— +--------^+---------------^+

+ 2 2 дхн + дх„ + дх„

д

+ дх~ '[(а1УЫ + ®2У2*) Р] = 0-

Согласно (1) сумма третьего и четвертого слагаемых обращается в ноль, а пятое и шестое слагаемые согласно (24) и (25) будут равны Б/і и —Б¡і. В результате получим:

д(р1Еы + р2^2и) . д г г , / , ч і . Б др

--------Ш-----------+ дх [р1уыЕы + р2у2*Е2к + (а1 у1п + а2у2и) Р] + 2 а2 = 0- (28)

В новой системе координат в уравнении полной энергии смеси (28) появился дополнительный член

Б др

оа2~я >

2 дхи

который приводит к не инвариантности относительно преобразования Галилея уравнение полной энергии смеси. Появление дополнительного члена в уравнении сохранения полной энергии смеси связано с явным учетом силы присоединенных масс f2, которая зависит от разности ускорений фаз. Следовательно, для того, чтобы не нарушалась инвариантность законов сохранения, описывающих поведение газовзвесей, сила межфазного взаимодействия должна быть только функцией разности скоростей фаз f = — У2).

3. Математическая модель газовзвеси с химическими превращениями

В результате проведенного анализа была уточнена математическая модель, описывающая поведение газовзвесей. Полагая далее возможность химического превращения в конденсированной фазе, запишем законы сохранения в следующем виде [11]

др1 + дру = 3 др2 + др202 = _ 3 дп + дки2 = , , ,

дг + дх ’ дг + дх ' т + дх ' К ]

Р1 = —а1 дх — П^ + П'] (У* — ^

А.2У2 др

Р2^^~ = —а2 дх + пI — п,] (У* — У2), V31)

^в1 ра1 6,1 р\ , , . .

Р1ЧТ = + п1 (у1 — У2) — т

Т(у* — У1)2 т/. . ,

—щ + п)------- -----+ п) (г* — ц),

¿2е2 Ра2 (Ьр2 . Т(У* - У2)2 ,

Р2-ж = ш^~+щ - ---------------------------(и - '2)' ( 1

Здесь 1 характеризует интенсивность химического превращения, г* - энтальпия. С помощью уравнений (29) приведем правые части уравнений сохранения импульса газа (30) и частиц (31) к дивергентному виду. В результате простых преобразований получим законы сохранения импульса газа и частиц в виде

^ = -а, ^ - и/ + н1у„ (34)

от дх дх

др2 У2 др2у‘2 др

—тт— + ^г^ = -а2^~ + и/ - и.1у*. (35)

д1 дх дх

С помощью уравнений (29) и уравнений сохранения импульса газа (34) и частиц (35) очень просто получаются уравнения сохранения кинетической энергии газа и частиц в виде

2 2

дР1 \ , дР1У1и-2т др ^ + V ГосЛ

+----д^~ = -а1у1 дХ - и/у, + и1ь*У1 - и1 у, (36)

2

др2\ др2^2 ~2 др

д1 +------дх^ = -а2у2дХ + и/У2 - и.МУ2 + и1—. (37)

С помощью уравнений (29) приведем правые части уравнений сохранения внутренней энергии газа (32) и частиц (33) к дивергентному виду. В результате простых преобразований получим законы сохранения импульса газа и частиц в виде

дре др, в,У1 (да1 да,у,\

~дГ + -Х- = -рЫ + ~а^) -щ + (38)

2

(V ____ 7^1 )

+и/ (V1 - У2) + и1—----------------------------+ и1г*,

др2в2 , др2e2V2 (да2 , да2V2\ ,

— + ~а^~ = -Ч^Г + -дГ) + (39)

+щ - п12 ’*2)—+ и1г*.

Не представляет труда показать, что система уравнений (29), (34) - (39) инвариантна относительно преобразования Галилея [9]. Суммируя левые и правые части уравнений сохранения кинетической энергии газа (36) и частиц (37) с левыми и правыми частями уравнений сохранения внутренней энергии газа (38) и частиц (39) соответственно, получим уравнение сохранения полной энергии смеси (23).

Замыкая систему уравнений (29), (34), (35), (38) и (39) уравнениями состояния газа и частиц

р р^Т

—, Р = -.--¡Г5

Р1 1 - Рр1

е1 = ср (Т1 - То)-^, р = ^^ , (40)

е2 = с2 (Т2 - Т0) + Q-----------------р; = ег + р; (41)

р2 рг

а так же соотношениями, описывающими интенсивность силового, теплового и химического взаимодействия между фазами

/ = пй2р1 Сл V - и2) V - и2\/8, (42)

д = (Т1 - Т2), 1 = п(12р2п3(—^ , (43)

ро

получаем замкнутую математическую модель для описания перехода горения газовзвеси во взрыв, инвариантную относительно преобразования Галилея. Здесь Т - температура; Q0

- теплота химической реакции при Т2 = То, р = ро', р - давление, в - коволыом; ср и С2 - теплоемкости фаз; \1 - теплопроводность газовой фазы; К1 - универсальная газовая постоянная; С и N4 - коэффициент трения и число Нуссельта, определяемые числами Рейнольдса (Яе) и Прапдтля (Рг) относительного движения фаз; ^ - диаметр частиц, па и ф - эмпирические константы, характеризующие скорость горения топлива.

Авторы выражает, свою благодарность профессору В.Ф. Куропатенко за полезные обсуждения и интерес к работе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ грант, Жв13 - 01 - 00072.

Литература

1. Ковалев, Ю.М. Ослабление воздушных ударных волн системой решеток / Ю.М Ковалев, А.Ю. Черемохов // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. - 1997. - Вып. 3. - С. 39-43.

2. Куропатенко, В.Ф. Новые модели механики сплошных сред / В.Ф. Куропатенко // Инженерно- физический журнал. - 2011. - Т. 84, № 1. - С. 74-92.

3. Гришин, А.М. Экспериментальное исследование воздействия взрыва конденсированных ВВ на фронт верхового лесного пожара / А.М. Гришин, Ю.М. Ковалев // Доклады Академии наук. - 1989. - Т. 308, № 5. - С. 1074-1078.

4. Гришин, А.М. Экспериментальное и теоретическое исследование взаимодействия взрыва на фронт верхового лесного пожара / А.М. Гришин, Ю.М. Ковалев // Физика горения и взрыва. - 1989. - Т. 25, № 6. - С. 72-79.

5. Ковалев, Ю.М. Анализ инвариантности некоторых математических моделей многокомпонентных сред / Ю.М. Ковалев, В.Ф. Куропатенко // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2012. - Вып. 6, № 11. - С. 4-7.

6. Ковалев, Ю.М. Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея некоторых моделей математических многокомпонентных сред / Ю.М. Ковалев, В.Ф. Куропатенко // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование.

- 2012. - № 27 (286), вып. 13. - С. 69-73.

7. Нестационарные задачи горения аэровзвесей унитарного топлива / П.Б. Вайнштейн, Р.И. Нигматулин, В.В. Попов, Х.А. Рахматулин // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1981. - Вып. 3. - С. 39-43.

8. Baer, М. F. Two-Phase Mixture Theory for the Deflagration-to-Detonation Transition (DDT) in Reactive Granular Materials / M. F. Baer, J. Nunziato // Int. J. Multiphase Flow. - 1986.

- V. 12. - P. 861-889.

9. Ковалев, Ю.М. Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея двухфазных математических моделей гетерогенных сред / Ю.М. Ковалев// Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2014. - Т. 6, № 1. - С. 30-35.

10. Ковалев, Ю.М.. Математический анализ уравнения сохранения двухфазных смесей / Ковалев Ю.М., Ковалева Е.А. // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2014. - Т. 7, № 2. - С. 29-37.

11. Ивандаев, А.И. Газовая динамика многофазных сред. Ударные и детонационные волны в газовзвесях / А.И. Ивандаев, А.Г. Кутушев, Р.И. Нигматулин // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. - М.: ВИНИТИ, 1981. - Т. 16. - С. 209-287.

12. Нигматулин, Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И. Нигматулин . - М.: Наука, 1978. - 336 с.

Юрий Михайлович Ковалев, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Вычислительная механика сплошных сред>, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].

Егор Евгеньевич Пигасов, ассистент кафедры «Вычислительная механика сплошных сред>, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].

Поступила в редакцию 1 июня 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software",

2014, vol. 7, no. 3, pp. 40-49.

MSC 76L05 DOI: 10.14529/mmpl40304

A Mathematical Model of Gas Suspension with Chemical Reactions in the Pair-Interaction Approximation

Yu..M. Kovalev, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected],

E.E. Pigasov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected]

In this paper we propose a mathematical model describing the transition of solid unitary fuel from combustion to explosion in a two-phase heterogeneous gas-solid environment. The model is invariant under the Galilean transformations. It turned out that the existing mathematical models of this phenomenon lack invariance under the Galilean transformations. We studied in detail the reasons making the conservation laws not invariant and eliminated them in the model we propose.

Keywords: mathematical model; invariance; multi-component mixture; heterogeneous environments.

References

1. Kovalev Yu.M., Cheremokhov A.Yu. [Weakening of Air Shock Waves System Lattices].

Problems of Atomic Science and Technology. Series: Mathematical Modelling of Physical

Processes, 1997, vol. 3, pp. 39-43. (in Russian)

2. Kuropatenko V.F. New Models of Continuum Mechanics. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2011, vol. 84, no. 1, pp. 77-99. DOI: 10.1007/sl0891-011-0457-0

3. Grishin A.M., Kovalev Yu.M. [Experimental Study on the Impact of the Explosion of

Condensed Explosives to the Front Crown Forest Fire]. Doklady Akademii Nauk, 1989, vol. 308, no. 5, pp. 1074-1078. (in Russian)

4. Grishin A.M., Kovalev Yu.M. Experimental and Theoretical Investigation of the Effect of an Explosion on the Front of Crown Forest Fires. Combustion, Explosion, and Shock Waves, 1989, vol. 25, no. 6, pp. 724-730. DOI: 10.1007/BF00758739

5. Kovalev Yu.M., Kuropatenko V.F. [Analysis of the Invariance of Some Mathematical Models of Multi-Media]. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematics. Mechanics. Physics, 2012, no. 11 (270), pp. 4-7. (in Russian)

6. Kovalev Yu.M., Kuropatenko V.F. [Analysis of the Invariance under the Galilean Transformation of Some Mathematical Models of Multi-Media]. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming & Computer Software, 2012, no. 27 (286), pp. 69-73. (in Russian)

7. Vainshtein P.B., Nigmatulin R.I., Popov V.V., Rakhmatulin H.A. Nonstationary Problems of the Combustion of Aerosuspensions in Fuel that Contains the Oxidant. Fluid Dynamics, 1981, vol. 16, issue 1, pp. 14-19. DOI: 10.1007/BF01094807

8. Baer M., Nunziato J. F Two-Phase Mixture Theory for the Deflagration-to-Detonation Transition (DDT) in Reactive Granular Materials. Int. J. Multiphase Flow, 1986, vol. 12, pp. 861-889. DOI: 10.1016/0301-9322(86)90033-9

9. Kovalev Yu.M. [Analysis of Invariance under Galilean Transformations of Two-Phase Mathematical Models of Heterogeneous Enveronment]. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematics. Mechanics. Physics, 2014, vol. 6, no. 1, pp. 30-35. (in Russian)

10. Kovalev Yu.M., Kovaleva E.A. Mathematical Analysis of Two-Phase Mixtures of Conservation. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming & Computer Software, 2014, vol. 7, no. 2, pp. 29-37. (in Russian)

11. Ivandeev A.I., Kutushev A.G., Nigmatulin R.I. [Gas Dynamics of Multiphase Media. Shock and Detonation Waves in Gas Suspensions]. Itogi nauki i tekhniki. Mekhanika zhidkosti i gaza [Results of Science and Technology. Series: Fluid Mechanics], 1981. vol. 16, pp. 209-287. (in Russian)

12. Nigmatulin R.I. Osnovi mehaniki geterogennih sred [Fundamentals of Mechanics of Heterogeneous Enveronment]. Moscow, 1978. 336 p.

Received June 1, 2014