CC BY
24
УДК 532.529
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА СИЛЫ МЕЖФАЗНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГАЗОВЗВЕСИ С ПАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ1
Ю.М. Ковалев2
На основании анализа инвариантности относительно преобразования Галилея известной математической модели, описывающей течение двухфазной среды, было показано, что, несмотря на инвариантность уравнений сохранения компонентов, получающееся уравнение сохранения полной энергии смеси не является достоверным. Подробно исследованы и устранены причины данного несоответствия. Для полученной математической модели двухфазной среды была определена функциональная зависимость силы межфазного взаимодействия.
Ключевые слова: математическая модель; инвариантность; многокомпонентная смесь.
Введение
С течениями гетерогенных сред очень часто приходится сталкиваться в различных областях науки и техники. Это связано с тем, что в природе практически отсутствуют «чистые» вещества. Наличие даже небольшого объемного содержания примеси приводит к существенному изменению картины течения смеси. Все это требует активного развития математических моделей гетерогенных сред, достоверно описывающих изучаемые процессы. Данные математические модели находят широкое применение в различных отраслях науки и техники. Например, перспективное использование взрывных процессов в ряде отраслей современной техники тесно связано с решением вопросов обеспечения эффективных мер безопасности, защиты инженерных сооружений и технологического оборудования от действия ударных волн (УВ). Правильное применение математических моделей многокомпонентных многофазных сред позволяет прогнозировать многие техногенные катастрофы и находить верные средства по их предотвращению. Показано, что перспективными средствами защиты могут быть перемычки, разрушающиеся при взаимодействии с УВ и образующие экранирующие слои или завесы из пены или аэровзвесей [1].
В связи с этим важное прикладное значение представляет изучение проблемы локализации механических эффектов взрыва и ослабления УВ с помощью математического моделирования данных физических процессов. Поэтому с особой остротой встает проблема разработки математических моделей многокомпонентных гетерогенных сред [2], адекватных тем физическим процессам, которые они пытаются описывать. Более того, для быстропротекающих процессов есть такие проблемы, когда математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явлений [3, 4]. Для верификации расчетов, с одной стороны, используют известные экспериментальные данные, а с другой стороны, при анализе проведенных измерений используют математические модели. Очень важно, чтобы условия проведения расчетов и экспериментов совпадали, а математическая модель была адекватна изучаемому физическому процессу [5, 6].
В настоящей статье с помощью анализа инвариантности относительно преобразования Галилея математической модели аэровзвеси [7, 8], применяемой для математического моделирования перехода конвективного горения унитарного твердого топлива во взрыв, попытаемся определить дефекты данной математической модели [9, 10] и найти способы их устранения.
1. Математическая модель газовзвеси
Рассмотрим одномерный плоский случай математической модели течения газа с твердыми частицами (аэровзвесь), которая описывается системой уравнений сохранения [8], и проведем оценку ее на инвариантности относительно преобразования Галилея.
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ грант №13-01-00072.
2 Ковалёв Юрий Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной механики сплошных сред, Южно-Уральский государственный университет.
E-mail: [email protected]
Система уравнений сохранения двухфазной аэровзвеси [8] без химических превращений имеет следующий вид:
М_ + Эру = 0 р + Эр2у2 = 0 дп + дт^ = 0 дх дх дх дх дх дх
&1у1 др ё2у2
р —_^ = —— - пЯ, р2^^ = пЯ,
& дх &
Р_
&_е_ _ ра1 &_р_ &
Р2
(Р_°) &
&2е2 _ Ра2 &2р2
+ пЯ ( У_ - У2 ) - Щ
+ пд
& (р2) &
Р = Р_ (р_ ,Т1 ) = Р2 (р2 ,Т2 ), е1 = е1 (Р1° ,Т1 ), е2 = е2 (р2 ,Т2 ) ,
а_ +а2 = 1.
(1)
(2)
(3)
(4)
е2
° ° „ V2 , ч & д д
р1 =Рlаl, р2 =р2^ еі = е +у (1=1, 2), =дґ+V дХ
Здесь индексы 1, 2 относятся соответственно к газу и частицам; р{,аг (г = 1, 2) - истинные плотности и объемные содержания фаз; р1, ,Т, ег, Ег - парциальная плотность, скорость, температура, внутренняя и полная энергия г-й фазы; р - давление, п - число частиц в единице объема смеси. Уравнения (1) - уравнения неразрывности газа и частиц и уравнение сохранения числа частиц в единице объема смеси; (2) - уравнения импульса газа и частиц; (3) и (4) - уравнения сохранения внутренней энергии газа и частиц соответственно.
Получим уравнения сохранения кинетической энергии газовой и конденсированной фаз.
Умножая уравнение сохранения импульса газовой фазы на у1 , а уравнение сохранения импульса конденсированной фазы на \2, получим уравнения сохранения кинетической энергии газа и частиц соответственно
дЛу1 +дЛу1 ді
дх
др п
= -у------------пЯу1,
1 дх 1
др2у2 +др2у2 дх
дх
= пЯу2,
которые после простых преобразований принимают следующий вид:
2 2
дР ^ Р ^ др ^
2 - +------— = -у — - пЯуъ
дх 1 дх 1
дх
др2
2
др2у2
+ -
2 _
яЯv2.
(5)
(6)
дх дх
Проведем анализ инвариантности относительно преобразования Галилея уравнений сохранения (1), (2), (5) и (6).
Запишем уравнения (1), (2), (5) и (6) в новой системе координат, движущейся с постоянной скоростью В. Скорости в новой системе координат будут равны:
у1н = V + D, (7)
у2н = у2 + В. (8)
Координата будет определяться из уравнения
хн = х + ВХ. (9)
Производные:
_д=А
дх дх
(10)
V
V
2
2
2
V
V
2
2
(э )
V дхн у
Б, (11)
Легко показать [9, 10], что уравнения (1), (2), (5) и (6) инвариантны относительно преобразования Г алилея.
Преобразуем левые части уравнений сохранения внутренней энергии газа и частиц, С учетом равенств (1) они могут быть представлены в виде
Эде, 4д+ (V _ )_ (12)
Эг дх р аг г} 4 ( )
+*РгУ2 = ра<ЬРг + (13)
дг дх (р2) аг
Из уравнений неразрывности газовой и конденсированной фаз (1) легко получить следующие равенства
ар ° (а да1У1
а1~Г~ — _р1
аг
+ -
г х
агрг ° да2 да2у2
а2 ~Г - _р2
аг
■ + -V дг дх
Подставляя данные выражения в уравнения (12) и (13) соответственно, получим
Эре Эреу (Эа Эау) ^ ^
+ ^Ш-_р + _±± I + пК(^ _^)_Щг (14)
и г о х V д г о х у
др2е2 , др2e2V2 — „(да2 , да2у2 I + п^ (15)
+----2---------_ Р
г х
г х
лений - а2 —, которая не связана со скоростной неравновесностью между фазами, и состав-
Очевидно, что уравнения сохранения внутренней энергии газовой (3) и конденсированной (4) фаз, преобразованные к виду (14) и (15), инвариантны относительно преобразования Галилея
Получим уравнение сохранения полной энергии смеси, Для этого суммируем левые и правые части уравнений (5), (6), (14), (15), В результате получим
д (рлЕл + р2 Е2) д г / \~1/\ др
-------д-------------+ ^р1Е + P2V2Е2 + (О! + а2^2 ) Р\ — _а2 (V _ ^2 )^’ (16)
которое не совпадает с уравнением сохранения полной энергии смеси, полученным в работе [7, 8],
Для того, чтобы убрать это несоответствие, необходимо разделить силу взаимодействия между фазами на две части [11]: на составляющую из-за воздействия макроскопического поля дав-др дх
ляющую /, которая связана с несовпадением скоростей:
пЯ — _а2 — + п/,
2 дх П
Подставляя полученное выражение в равенства (2) и преобразовывая левые части этих равенств к дивергентному виду, получим
—_а _/ (17)
дг дх 1 дх ^ к '
др2у2 др2у\ др ,10.
^2 2 + ^2 2 —_а2 — + п/, (18)
г х 2 х
К системе уравнений (1), (17) и (18) добавляются уравнения сохранения внутренней и кинетической энергии
Эр1е1 др1е1у1 _ (Эа1 да1у1
+ —— — _ р
г х
V.
Эг +_дг I+п/ (у1 _ ^)_ nq, (19)
дР2е2 , дР2е2>2 _ р
---------I-----------_ — Р
ді дх
да да2У2
~чг+^гк I + Щ
ді дх
2 2 р ^2- р >2 др
------— +----------------— _ —а,у,-------піу-і ,
ді дх 11 дх У1
дР:
V-
2
2
V-
і
- +
др2у2 2 др
----ЦТ-— _ —а2^2^Т + Ф2-
х х
(20)
(21)
(22)
В этом случае уравнение сохранения полной энергии смеси будет иметь вид, совпадающий с предлагаемым в работе в [7, 8]
Э(^ + Р Е ) + дХ [р^ + р2У2 Е2 + (а^ + а2У2) р ] = 0. (23)
Легко показать, что уравнения (17)—(23) инвариантны относительно преобразования относительно Галилея [9, 10].
2. Определение функциональной зависимости силы межфазного взаимодействия
При проведении анализа инвариантности относительно преобразования Галилея законов сохранения, описывающих поведение газовзвесей, предполагалось, что выражение для силы межфазного взаимодействия является инвариантным. Это возможно в том случае, когда силы межфазного взаимодействия являются функциями разности скоростей (сила Стокса) и функциями
разности ускорений /2 (сила присоединенных масс) [7, 8]. Явный учет выражения для силы присоединенных масс, проведенный в работе [7, 8], приводит к следующим уравнениям сохранения импульса газовой и конденсированной фаз [7, 8]:
р+МІ+а Ф _—
ді дх дх
др2>2 , дР2>2 , 3 а дР _ + 2 дх ~
(24)
(25)
Э? Эх
Из уравнений (24) и (25) следует, что уравнения сохранения кинетической энергии газовой и конденсированных фаз имеют следующий вид:
22 др ^ Р V- др ,
--- +-----+а1у1 — _ — п(1у1,
ді дх 11 дх Л 1
2
2
р2
2
і
,
др2>2 22 3 др .
----г----+ ~а2У2 — _ пА>2 ■
х 2 х
(26)
(27)
Легко показать, что уравнения (24)-(27) являются инвариантными относительно преобразования Г алилея.
Рассмотрим уравнение сохранения полной энергии смеси (24) и проведем его анализ на инвариантность относительно преобразования Галилея, используя уравнения сохранения (1), (24)-(27). Используя формулы перехода к новой системе координат (7)-(11), получим
( ( ~<2 \ ( , ^ч2^
э
Р1
е1 +
’1»—р) 2
+ р2
е2 +
2» — Р ) 2
//
( (
Р1
е, +
(>1» — Р )2
ді
+ р2
Є2 +
+ -
\Л
/У
дх„
+
Р +
2
V
2
э
2
2
д +— х
р1 ( ^н - D )
e1 +
(v^ - D )2
+ р2 ( v2н - D )
e2 +
( v2н - D )
+
+ (al (VU - D) + a2 ( v2н - D)) p] = °.
После простых алгебраических преобразований получаем:
Ґ 2 Л ( 2 Л
р1
e1 +
Пн
2
р
e2 +
у2н
2
t
-D
+
t
2
+
D
2
ЭР1 + р1н t х
+
н
D1
2
ЭР2 + ЭР2^н
t
х
н
АЭЛПн + ЭРУ\н +a др ^ t хн 1 хн у
(
-D
дP2V2н +дР2^н + 3a Эр
+ Ca
22 х
t
+
D дp
1н
ei +
v1
v - дх,
2 Л ^
дP2V2н
+
ну
1н
2
+—a
2 2 хн
+
у
e2 +
2 v2н
дхн
+
V
хн
+
+
э
[(^їн + a2V2н ) p] = 0.
Согласно (1) сумма третьего и четвертого слагаемых обращается в ноль, а пятое и шестое слагаемые согласно (24) и (25) будут равны Ц/1 и — Ц/1. В результате получим:
д(РіЕін*Рі Еін ) + А [ру„ Е1„ + р2^2н Е2„ + (аЛ„ + а2^2„ ) Р ] + ^ а2 = О-
-Л, ' -Л I Г 1' 1Н_ 1Н ■ /~'2'2Н_ 2Н ' \ “'1 ' 1Н ' “'2 ' 2Н / Л" \ ' - '"2
(28)
д? дх -'А дхн
В новой системе координат в уравнении полной энергии смеси (28) появился дополнительный член
В др
—а2^—,
2 дхн
который приводит к не инвариантности относительно преобразования Галилея уравнение полной энергии смеси. Появление дополнительного члена в уравнении сохранения полной энергии смеси связано с явным учетом силы присоединенных масс /2, которая является функцией разности ускорений фаз. Следовательно, для того чтобы не нарушалась инвариантность законов сохранения, описывающих поведение газовзвесей, сила межфазного взаимодействия должна быть только функцией разности скоростей фаз / = / (у - v2).
Автор выражает свою благодарность профессору В.Ф. Куропатенко за полезные обсуждения и интерес к работе.
2
2
2
Литература
1. Ковалев, Ю.М. Ослабление воздушных ударных волн системой решеток/ Ю.М. Ковалев, А.Ю. Черемохов // Вопросы атомной науки и техники. Серия «Математическое моделирование физических процессов». - 1997. - Вып. 3. - С. 39-43.
2. Куропатенко, В.Ф. Новые модели механики сплошных сред / В.Ф. Куропатенко // Инженерно- физический журнал. - 2011. - Т. 84, № 1. - С. 74-92.
3. Гришин, А.М. Экспериментальное исследование воздействия взрыва конденсированных ВВ на фронт верхового лесного пожара / А.М. Гришин, Ю.М. Ковалев // Доклады Академии наук. - 1989. - Т. 308, № 5. - С. 1074-1078.
4. Гришин, А.М. Экспериментальное и теоретическое исследование взаимодействия взрыва на фронт верхового лесного пожара / А.М. Гришин, Ю.М. Ковалев // Физика горения и взрыва. -1989. - Т. 25, № 6. - С. 72-79.
5. Ковалев, Ю.М. Анализ инвариантности некоторых математических моделей многокомпонентных сред / Ю.М. Ковалев, В.Ф. Куропатенко // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2012. - Вып. 6. - № 11(270). - С. 4-7.
6. Ковалев, Ю.М. Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея некоторых моделей математических многокомпонентных сред / Ю.М. Ковалев, В.Ф. Куропатенко // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2012. - № 27. - С. 6973.
7. Нестационарные задачи горения аэровзвесей унитарного топлива / П.Б. Вайнштейн, Р.И. Нигматулин, В.В. Попов, Х.А. Рахматуллин // Известия АН СССР. Серия «Механика жидкости и газа». - 1981. - Вып. 3. - С. 39-43.
8. Ивандаев, А.И. Газовая динамика многофазных сред. Ударные и детонационные волны в газовзвесях / А.И. Ивандаев, А.Г. Кутушев, Р.И. Нигматулин // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. - М.: ВИНИТИ. - 1981. - Т. 16. - С. 209-287.
9. Ковалев, Ю.М. Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея двухфазных математических моделей гетерогенных сред / Ю.М. Ковалев// Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2014. - Т. 6, № 1. - С. 30-35.
10. Ковалев, Ю.М. Математический анализ уравнения сохранения двухфазных смесей / Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2014. - Т. 7, № 2. - С. 29-37.
11. Нигматулин, Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И. Нигматулин. - М.: Наука, 1978. - 336 с.
Поступила в редакцию 27 мая 2014 г.
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics” _________________2014, vol. 6, no. 3, pp. 23-29
DETECTION OF A TYPE OF INTERPHASE INTERACTION FORCE FOR MATHEMATICAL MODELS OF GAS SUSPENSION WITH PAIR INTERACTION
Y.M. Kovalev'
Based on the analysis of invariance under Galilean transformations of a known mathematical model describing a two-phase medium flow, it was shown that despite the invariance of the equations for conservation of components, the resulting equation for conservation of total energy of the mixture is not reliable. The reasons for this discrepancy are thoroughly examined and eliminated. Functional dependence of the interphase interaction was determined for the obtained mathematical model of a two-phase medium.
Keywords: mathematical model; invariance; multi-component mixture.
References
1. Kovalev Yu.M. Voprosy atomnoy nauki i tekhniki. Seriya “Matematicheskoe modelirovanie fizicheskikh protsessov”. 1997. Issue 3. pp. 39-43. (in Russ.).
2. Kuropatenko V.F. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal. 2011. Vol. 84, no. 1. pp. 74-92. (in Russ.).
3. Grishin A.M., Kovalev Yu.M. Doklady Akademii nauk. 1989. Vol. 308, no. 5. pp. 1074-1078. (in Russ.).
4. Grishin A.M., Kovalev Yu.M. Fizika goreniya i vzryva. 1989. Vol. 25, no. 6. pp. 72-79. (in Russ.).
5. Kovalev Yu.M., Kuropatenko V.F. Analysis of the invariance some mathematical models of multicomponent media (Analiz invariantnosti nekotorykh matematicheskikh modeley mnogokomponent-nykh sred). Vestnik YuUrGU. Seriya “Matematika. Mekhanika. Fizika”. 2012. Issue 6. no. 11(270). pp. 4-7. (in Russ.).
1 Kovalev Yury Mikhailovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Computational Continuum Mechanics Department, South Ural State University.
E-mail: [email protected]
6. Kovalev Yu.M., Kuropatenko V.F. Analiz invariantnosti otnositel'no preobrazovaniya Galileya nekotorykh modeley matematicheskikh mnogokomponentnykh sred. (Analysis of the Invariance Under the Galilean Transformation of Some Mathematical Models of Multicomponent Media). Bulletin of the South Ural State University. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software. 2012. no. 27. pp. 69-73. (in Russ.).
7. Vaynshteyn P.B., Nigmatulin R.I., Popov V.V., Rakhmatullin Kh.A. Izvestiya AN SSSR. Seriya “Mekhanika zhidkosti i gaza”. 1981. Issue 3. pp. 39-43. (in Russ.).
8. Ivandaev A.I., Kutushev A.G., Nigmatulin R.I. Itogi nauki i tekhniki. Mekhanika zhidkosti i gaza. Moscow, VINITI Publ. 1981. Vol. 16. pp. 209-287. (in Russ.).
9. Kovalev Yu.M. Analysis of invariance under Galilean transformation of two-phase mathematical models of heterogeneous media. Bulletin of the South Ural State University. Series “Mathematics. Mechanics. Physics”. 2014. Vol. 6, no. 1, pp. 30-35. (in Russ.).
10. Kovalev Yu.M., Kovaleva E.A. Matematicheskiy analiz uravneniya sokhraneniya dvukhfaznykh smesey (A Mathematical Study of the Conservation Equation for Two-Phase Mixtures). Bulletin of the South Ural State University. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software. 2014. Vol.
7, no. 2. pp. 29-37. (in Russ.).
11. Nigmatulin R.I. Osnovy mekhaniki geterogennykh sred (The fundamentals of the mechanics of heterogeneous media). Moscow, Nauka Publ., 1978. 336 p. (in Russ.).
Received 27May 2014
