CC BY
37
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 2
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 2
УДК 514.76 DOI 10.23683/0321-3005-2019-2-15-19
ГЕОМЕТРИЯ ТЕНЗОРА НЕЙЕНХЕЙСА SPCs-МНОГООБРАЗИЙ © 2019 г. А.Р. Рустанов1, Т.Л. Мелехина2, А.И. Юдин3
Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Москва, Россия, 2Финансовый университет при Правительстве РФ, Москва, Россия, 3Институт мировых цивилизаций, Москва, Россия
GEOMETRY OF THE NIJENHUIS TENSOR OF SPCs-MANIFOLDS
A.R. Rustanov1, T.L. Melekhina2, A.I. Yudin3
1National Research Moscow State University of Civil Engineering, Moscow, Russia, 2Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow, Russia, 3Institute of World Civilizations, Moscow, Russia
Рустанов Алигаджи Рабаданович - кандидат физико-математических наук, кафедра прикладной математики, Институт фундаментального образования, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Ярославское шоссе, 26, г. Москва, 129337, Россия, е-таИ: [email protected]
Aligadzhi R. Rustanov - Candidate of Physics and Mathematics, Department of Applied Mathematics, Institute of Fundamental Education, National Research Moscow State University of Civil Engineering, Yaroslavskoe Highway, 26, Moscow, 129337, Russia, e-mail: [email protected].
Мелехина Татьяна Леонидовна - кандидат физико-математических наук, доцент, департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий, Финансовый университет при Правительстве РФ, пр. Ленинградский, 49, г. Москва, 125167, Россия, е-таИ: TMelehina@fa. ги
Tatyana L. Melekhina - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Data Analysis, Decision Making and Financial Technologies, Financial University under the Government of the Russian Federation, Leningradsky Ave., 49, Moscow, 125167, Russia, email: [email protected]
Юдин Алексей Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теоретической и прикладной информатики, Институт мировых цивилизаций, Ленинский пр., 1/2, корп. 1, г. Москва, 119049, Россия, е-mail: [email protected].
Aleksey I. Yudin - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Theoretical and Applied Informatics Institute of World Civilizations, Leninsky Ave., 1/2, bld. 1, Moscow, 119049, Russia, e-mail: yudindad@gmail. com
Рассматриваются некоторые свойства почти контактных метрических многообразий класса С9. Получены несколько полезных тождеств, которым удовлетворяют структурные тензоры С9-многообразий. Доказано, что С9-структура является квазикосимплектической, а также строго псевдокосимплектической. Получены условия, при которых SPCs-структура - интегрируема. Интегрируемая и нормальная SPCs-структуры - косимплектические. Условия интегрируемости, нормальности и косимплектичности для 8РС.^-структуры эквивалентны. На пространстве присоединенной О-структуры подсчитаны компоненты тензора Нейенхейса. Его задание равносильно заданию четырех тензоров N(3\ . Рассмотрен геометрический смысл обращения в нуль этих тензоров. Доказа-
но, что на SPCs-многообразии М® и равны нулю; обращение в нуль тензоров и равносильно косимплектичности 8РС.^-многообразия.
Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, косимплектическое многообразие, тензор Нейенхейса, тензор римановой кривизны, С9-многообразие.
In this paper, we consider some properties of almost contact metric manifolds of class C9. Several useful identities are obtained, which are satisfied by the structure tensors of C9-manifolds. We prove that the C9-structure is a quasi-cosymplectic structure, as well as a strictly pseudo-cosymplectic structure. Conditions are obtained when the SPCs-structure is integrable. It is proved that an integrable SPCs-structure is a cosymplectic structure. It is proved that the normal SPCs-structure is co-symplectic. It is proved that the conditions of integrability, normality and cosymplecticity for SPCs-structures are equivalent. The components of the Nijenhuis tensor are calculated on the space of the adjoint G-structure. Setting the Nijenhuis tensor is equivalent to specifying four tensors N(2\ N(3\ N(4\ The geometric meaning of the vanishing of these tensors is consid-
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 2
ered. It is proved that on the SPCs-m anifolds N(2) and Nw are zero. It is proved that the vanishing of the tensors Nm and is equivalent to the cosymplecticity of SPCs-manifolds.
Keywords: almost contact metric manifold, cosymplectic manifold, Nijenhuis tensor, Riemann curvature tensor, C9-manifold.
Введение
Почти контактные метрические структуры дают один из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур. Интенсивному изучению подвергались специальные классы почти контактных метрических структур, в частности ко-симплектические. Они являются своеобразным аналогом келеровых структур в почти эрмитовой геометрии. Такие структуры индуцируются, например, на вполне геодезических гиперповерхностях келеро-вых многообразий [1, 2]. В работах [3, 4] доказано, что на ориентируемой 1 -гиперповерхности келерова многообразия индуцируется исключительно косим-плектическая структура.
Одним из наиболее интересных обобщений класса косимплектических многообразий является класс почти контактных метрических многообразий в классификации Чинья и Гонзалеза [5], называемый классом С9. В данной работе мы продолжаем его изучение, начатое в работе [6]. Почти контактные метрические многообразия класса С9 называются строго псевдокосимплектическими и обозначаются как ^РС^-многообразия [7].
Изучение взаимосвязи между классами почти контактных метрических и почти эрмитовых структур позволяет выделить новые классы почти контактных метрических структур. Так, например, Оубинья (Oubina J.A.) в 1981 г. в своем докладе «A classification for almost contact structures» на конференции «VIII Jornadas Luso-Espanholas de Matematica» (Коимбра, Португалия) выделил новый класс почти контактных метрических структур, которые назвал квази-К-косимплектическими. Он определил этот класс как линейное расширение ква-зикелеровых структур. Более того, он доказал, что если М - почти эрмитово многообразие, то многообразие M X R будет квази-А"-косимплектическим тогда и только тогда, когда М является квазикелеровым. Оубинья также доказал, что этот класс структур характеризуется тождеством + УфХ(Ф)Ф7 = = il(Y)Vq,xÇ, VX,Y G Х(М), которое позднее возьмут за определение Чинья [8] и Капурси [9]. Капур-си назвал этот класс почти контактных метрических структур квазикосимплектическими структурами.
В [7] вводятся в рассмотрение псевдокосимплек-тические (короче, PCs-) многообразия как квазико-симплектические, удовлетворяющие тождествам: 1) dî] = 0; 2) ФУфХ(Ф)(ФУ) + ФУфУ(Ф)(ФХ) = 0,
Х,¥ Е X; доказывается, что если М - приближенно келерово многообразие, то структура, индуцированная на квазикосимплектической гиперповерхности, является псевдокосимплектической.
Там же вводится определение строго псевдоко-симплектических (короче, SPCs-) многообразий как квазикосимплектических, удовлетворяющих соотношениям: 1) ^ = 0; 2) ФУфх(Ф)(Ф7) = 0, Х,¥ Е X. Из определения легко видеть, что класс SPCs-многообразий является подклассом класса PCs-многообразий. В [7] доказано, что структура, индуцированная на квазикосимплектической гиперповерхности келерова многообразия, является строго псевдокосимплектической.
В дальнейшем изучение квазикосимплектиче-ских многообразий вышло из поля зрения геометров. В печати не появлялись работы, связанные с изучением этих многообразий и их подклассов. Данная статья посвящена изучению геометрии тензора Нейенхейса, одного из подклассов квазикосимплектических многообразий, точнее, SPCs-мно-гообразий. Статья организована следующим образом. Даётся некоторый обзор работ по данной тематике; вводится определение SPCs-многообразия и доказываются некоторые свойства; исследуются нормальные, интегрируемые SPCs-многообразия и некоторые тензоры SPCs-многообразий, связанные с тензором Нейенхейса.
Определение и свойства З/Сж-многообразия
Напомним, что в [5] вводится класс почти контактных метрических структур, обозначенный как класс С9. Характеристическим тождеством данного класса многообразий является следующее: чх(й)(у,г) = чЮЧуШФХ) - п(У)ЧфХ(п)г; Х,У,2ЕХ(М). (1)
Используя равенства Чх(&)(у,1~) = = -фх(Ф)У,2),Чх№ = {У,ЧХ^) и Л(Х) = тождество (1) можно записать в виде ЧХ(Ф)У =
= л(У)ЧфХ* - {ФХ, ЧуЫ; Х,УЕ Х(М). (2)
В данной работе мы придерживаемся терминологии и обозначений, принятых в монографии [10]. В дальнейшем почти контактное метрическое многообразие класса С9 будем обозначать как С9 -многообразие.
Теорема 1. Интегральные кривые характеристического векторного поля % С9-структуры являются геодезическими.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
Доказательство. Положим в (2) X = <;. Тогда V^(Ф)У = 0; X,Y £ Х(М). (3)
В частности,
= 0. (4)
Дифференцируя ковариантно равенство Ф(0 = 0, получим + Ф о Vx^ = 0; X £ Х(М).
Дифференцируя ковариантно тождество Ф2 = —I + q ® получим ЧХ(Ф)ФУ + Ф о ЧХ(Ф)У = Vx(v)(Y)Z + v(Y)Vxf. В этом равенстве сделаем замену Y = %. Учитывая тождество Vx(rj)% = 0, приведём равенство к виду Ф о WX = Vx^ X £ Х(М). (5)
В тождестве (5) сделаем замену X ^ ФХ. Тогда Ф о ЧфХШ = х £ Х(М). (6)
В тождестве (2) сделаем замену Y = Тогда МФХ = — {ФХ, V&Z; X £ Х(М). (7) В (7) сделаем замену X ^ Тогда с учетом (4) получим = 0 , т.е. V^ = 0 , а значит,
(£?Л)(Х) = ^g(X,^) — g(V?X — Vx^,^) = = д(Х, Vff) = 0, где - производная Ли в направлении вектора т.е. интегральные кривые векторного поля £ являются геодезическими. □
Теорема 2. Для С9 -структуры справедливы тождества:
1) Ч^(Ф)Х = 0; 2) ЧХ(Ф){ = ЧфХ{;
3) ЧХ(Ф)? = Ф о ЧфХ(Ф){;
4) Ф о ЧфХ$ = Vx$; 5) Ф о ЧфХ(Ф)ФУ = 0;
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 2
-(
{Ф3Х, V&yfö — г!(ФУУ1ф1Х$ + {Ф2Х, ЧфуО^ =
= —№,vyoz — {x^yoz.
Из (2) с учетом (6) имеем
6) Vф2X(Ф)Ф2Y + Уф*(Ф)ФГ = 0;
7) ЧхШ = Чу(Л)Х; Х,¥£Х(М). Доказательство. Тождество 1) доказано выше (см.
(3)). Тождество (7) с учетом равенства (ФХ, = 0 примет вид ^(Ф)£ = X £ Х(М), т.е. тожде-
ство 2) доказано.
Подействуем оператором Ф на обе части тождества 2). Приходим к равенству
Ф ° vx(ФX = Ф ° X £ Х(М).
Сравнивая его с (5), получим тождество 4), т.е. Ф ° = X £ Х(М). Сравнивая (6) и тож-
дество 2), получим Ф ° VФX(Ф)^ = ^(Ф)£; X £ Х(М). Тождество 3) доказано.
Сделаем в (2) замену X ^ ФХ, У ^ ФУ. Тогда Vфx(Ф)ФY = -(Ф2Х^фу%)%; Х,У £ Х(М). Отсюда Ф ° VФX(Ф)ФF = 0; Х,У £ Х(М). Тождество 5) доказано.
Для доказательства тождества 6) преобразуем его левую часть VФ2X(Ф)Ф2F + VФX(Ф)ФF с учетом (2). Vф2X(Ф)Ф2F + VфX(Ф)ФF = 11(Ф2У^ф3Х^ -
1) ф о VX^)Y = г](У)Ф о = = v(Y)Vxf; 2) ЧХ(Ф)(ФУ) = -(ФХ, ЧфуЫ =
= (Х,Ф о Чфу^ = (X, Vy0S = Vy(V)(X)Z;
Х,У£Х(М). (8)
С учетом (8) получаем Уф2Х(Ф)Ф27 + V^^^F = 0. Таким образом тождество 6) доказано.
Докажем тождество 7). Продифференцировав ковариантно тождество Ф2 = —id + получим
^(Ф)(ФГ) + Ф о VxmY = Vx(n)(Y)S + +V(Y)Vxf; VX,Y£X(M). (9)
Подставляя (8) в (9), получим VY(q)(X)( +
+v(Y)Vxf = Vx(v)(X)Z + n(Y)VxЬ VX,Y £ X(M), т.е. Vy(tj)(X) = Vx(v)(Y); VX,Y £ X(M). Доказательство теоремы завершено. □
Теорема 3. Почти контактная метрическая структура класса С9 является квазикосимплектиче-ской.
Доказательство. Пусть S = {Ф, ц, д} - С9-струк-тура. Тогда с учетом (2) и (6) сумма
VxmY + Vфx(Ф)ФY = Л^ФХ* — —№,VYOt; + (Ф2Х^фУ0$ = ч(П*фх$, УХ, Y £ Х(М), т.е. ^(Ф)Г + V^^^F = = n(Y)V<bxt, УХ, Y £ Х(М). Структура S = {Ф, ц, $} является квазикосимплектической. Более того, из тождеств 5) и 7) теоремы 2 следует, что Cg-структура является SPCs-структурой, введенной в рассмотрение Р.Р. Валеевым в [7]. Поэтому в дальнейшем почти контактные метрические многообразия класса С9 будем обозначать как SPCs-многообразия.
Тензор Нейенхейса З'/'Сж-многообразия
Тензором (или оператором) Нейенхейса эндоморфизма Ф называется тензор типа (1,2), определенный формулой из [10]:
Ы(Х, У) = Ф2[Х, У] + [ФХ, ФУ] - Ф[ФХ, У] --Ф[Х,ФУ], Х,У£Х(М).
Его обращение в нуль равносильно интегрируемости почти контактной метрической структуры [5, 10]. Прямой подсчет с учетом тождества [Х,У] =
= VxY - VYX показывает, что Ы(Х, У) = 1
= 1^ФХ(Ф)Г - ФVx(Ф)Y - VфY(Ф)X + Ф^(Ф)Х}.
4
С учетом полученных выше тождеств легко показать, что тензор Нейенхейса эндоморфизма Ф 5РС£-структуры можно записать в виде
Ы(Х,¥) = \{г!(ХуЧу^ - чОПЧхЫ Ч,У£ х(м). (10)
Теорема 4. 5РСя-структура интегрируема тогда и только тогда, когда Т(Х) = Vx^ = 0.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 2
Доказательство. Из тождества (10) непосредственно следует, что Ы(Х,У) = 0 ^ = 0, т.е. Ы(Х, У) = 0 ^ Т(Х) = = 0. □
Этот же результат можно получить следующим образом. На пространстве присоединенной С-структуры компоненты тензора N эндоморфизма Ф SPCs-структуры определяются тождествами:
1) NSo = -Kß=\Fab-'
^ч /ч 1
2) Ко = -N£b = -2Fab.
Ко = -Kb = К =
_ nab _
Kb = Kc = К = 0
т.е.
(11)
Остальные компоненты тензора Нейенхейса тождественно равны нулю.
Теорема 5. SPCs-структура интегрируема тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры РаЬ = РаЬ = 0.
Доказательство. Из (11) следует, что SPCs-структура интегрируема тогда и только тогда, когда
РаЬ = Ра° =0. □
Почти контактная метрическая структура называется нормальной, если N + = 0. Понятие нормальности было введено Сасаки и Хатакеямой в 1961 г. [11] и является одним из наиболее фундаментальных понятий почти контактной геометрии, тесно связанных с интегрируемостью структуры.
Напомним, что полная группа структурных уравнений SPCs-многообразий на пространстве присоединенной С-структуры имеет вид [6]: 1) Лш = 0; 2) йша = -в£ Ашь + РаЬшь А ш;
3) йша = ва Ашъ + РаЪшь А ш;
4) + Ав£ = Аша- РЬсашс А ш + +Расьшс А ш;
5) аРаЬ + РсЬв? + РасвЦ = РаЬсшс + РаЬсшс + +РаЬ0ш; (12) 6) ^РаЬ - РсЬ^а - Рас^Ъ = РаЬсш° + РаЬ°шс + +Fab0ш,
где РаЪ = 4=1Ф1Гь,_Р_аЪ = -4-1Ф0а,ь, Р[аЬ] = Р[аЬ] = 0, Раь = РаЬ, Ам = ^ = 0; Рфс] = Ра[Ьс] = 0.
Как следствие из полной группы структурных уравнений вытекает
Предложение 1 [6]. SPCs-многообразие является косимплектическим тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-струк-туры Р"-Ъ=РаЬ = 0.
Пусть М - SPCs-многообразие. Учитывая, что ш = п*(т[), п - естественная проекция пространства присоединенной С-структуры на многообразие М, согласно (12:1) получаем, что (1ш = йц = 0, а значит, = 0.
Следовательно, SPCs-структура является нормальной тогда и только тогда, когда N = 0.
С учетом этих соотношений и (12) получим, что на пространстве присоединенной G-структуры тензор N(1)(X, Y) = N(X, Y) + 2d^(X, Y)$ = N(X, Y) имеет следующие компоненты:
1) ("{1Хь = -("(1% = -1Fab-'
2) (Ni1Xb = -(Ni1X0 = -\F«b. Остальные компоненты равны нулю.
Из последних соотношений следует, что условие нормальности равносильно соотношениям Fab = = Fab = 0.
Таким образом, SPCs-структура нормальна тогда и только тогда, когда Fab = Fab = 0, т.е. доказана
Теорема 6. Пусть 5 = (Ф,%,ц,д) - SPCs-структура. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) S = (Ф, интегрируема;
2) S = (Ф, %,ц,д) нормальна;
3) S = (Ф, %,Ц,д) является косимплектической структурой.
Согласно полученной теореме, косимплектиче-скую структуру можно определить как нормальную SPCs-структуру.
Известно [1, 11], что задание тензора Нейенхейса равносильно заданию четырёх тензоров N(1),N(2),N(3),N(4), а именно:
N(1)(X,Y) = N(X,Y) + 2dr](X,YN(2)(X,Y) = = (¿<t>xV)(Y) - (£фУг])(Х); N(3\X) = (£КФ)(Х); N(4\X) = (£^)(ХУ, X,YeX(M) . Рассмотрим геометрический смысл обращения в нуль этих тензоров.
В работе [12] подсчитаны компоненты этих тензоров на пространстве присоединенной G-струк-туры. Компоненты тензора N(1)(X,Y) SPCs -многообразия вычислены выше.
Теорема 7. На SPCs-многообразии N(2\X,Y) = 0.
Доказательство. Тензор N(2\X,Y) = = (UxV)(Y) - (£фУг1)(Х) = ЧфхШ + +Л{Чу(Ф)Х} - Чфу(Л)Х - ч[Чх(Ф)У] = (Y, ЧфхО + +{Х, ФЧуО - (X, ЧфуО - (Y, ФЧхО, где £х - производная Ли в направлении векторного поля X. Поскольку для SPCs-структуры имеют место тождества ЧфХ$ = ФЧ& vtfx^Y} = (X, ФЧГ$), то N(2)(X, Y) = (Y, - ФЧХ$) + (X, - = 0.
Теорема 8. На SPCs-многообразии N(3\X) = 0 тогда и только тогда, когда Т(Х) = 0, т.е. когда многообразие является косимплектическим.
Доказательство. Тензор N(3\X) = (£^Ф)(Х), VX Е Х(М) можно записать в виде N(3)(X) =
= £^(Ф)(Х) = £^(ФХ) - Ф£%Х = ФХ] -Ф[$,Х] = Ч^(ФХ) - - Ф(Ч^Х - Vx() = = Ч?(Ф)Х + ФЧ?Х - V0X( - ФЧ?Х + ФЧХ(.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 2
Поскольку на SPCs-многообразии V^ (Ф)Х = 0 , то N(3)(X) = + ФVX( = 2ФVX( =
= 2Ф о Т(Х),УХ Е Х(М). Поэтому N(3)(X) = 0 ^ Т(Х) = 0. □
Теорема 9. На SPCs-многообразии N(4\X) = 0.
Доказательство. Поскольку на SPCs-многообразии V^(ij)X = 0 и ij(Vx%) = 0, то для тензора N(4\X) = (Lyi)(X)) УХ Е Х(М) справедливо равенство N(4\X) = V^(rj)X + r)(Vx$) = 0, УХ Е Х(М). □
Заметим, что теоремы 7-9 можно доказать так же, как и теорему 4, методом присоединенной G-структуры.
Литература
1. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry // Lect. Notes Math. 1976. Vol. 509. 146 p.
2. Goldberg S., Yano K. Integrability of almost cosym-plectic structures // Pacific J. Math. 1969. Vol. 31, № 2. P. 373-382.
3. Банару М.Б. О почти контактных метрических 1-гиперповерхностях келеровых многообразий // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 4. С. 719-723.
4. Банару М.Б. Почти контактные метрические гиперповерхности с типовым числом 1 или 0 в приближенно келеровых многообразиях // Вестн. Московского ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 2014. № 3. С. 60-62.
5. Chinea D., Gonzalez С. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed ap-plicata (IV). 1990. Vol. CLVI. P. 15-36.
6. Рустанов А.Р., Юдин А.И., Мелехина Т.Л. Геометрия строго псевдокосимплектических многообразий // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2019. № 1. С. 33-40.
7. Валеев Р.Р. Геометрия квазикосимплектических многообразий : дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МПГУ, 2004. 79 c.
8. Chinea D. Quasi-K-cosymplectic submersions // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II. 1984. T. XXXIII. Р. 319-330.
9. Capursi M. Quasi cosymplectic manifolds // Rev. Roumane Math. Pures Appl. 1987. Vol. 32, № 1. Р. 27-35.
10. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Изд. 2-е. Одесса: Печатный дом, 2013. 458 с.
11. Sasaki S., Hatakeyama J. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II // Tohoku Math. J. 1961. Vol. 13, № 2. Р. 281-294.
12. Рустанов А.Р. Свойства интегрируемости NC10-многообразий // Мат. физика и компьютерное моделирование. 2017. Т. 20. № 5. С. 32-38. URL: https:// doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2017.5 (дата обращения 11.05.2018).
References
1. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry. Lect. Notes Math. 1976, vol. 509, p. 146.
2. Goldberg S., Yano K. Integrability of almost cosymplectic structures. Pacific J. Math. 1969, vol. 31, No. 2, pp. 373-382.
3. Banaru M.B. O pochti kontaktnykh metricheskikh 1-giperpoverkhnostyakh kelerovykh mnogoobrazii [On almost contact metric 1-hypersurfaces of Kahler manifolds]. Sib. mat. zhurn. 2014, vol. 55, No. 4, pp. 719-723.
4. Banaru M.B. Pochti kontaktnye metricheskie gi-perpoverkhnosti s tipovym chislom 1 ili 0 v priblizhenno kelerovykh mnogoobraziyakh [Almost contact metric hypersurfaces with type number 1 or 0 in approximately Kahler manifolds]. Vestn. Moskovskogo un-ta. Ser. 1: Ma-tematika. Mekhanika. 2014, No. 3, pp. 60-62.
5. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures. Annali di Matematica pura ed appli-cata (IV). 1990, vol. CLVI, pp. 15-36.
6. Rustanov A.R., Yudin A.I., Melekhina T.L. Geometri-ya strogo psevdokosimplekticheskikh mnogoobrazii [Geometry of strictly pseudo-cosymplectic manifolds]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2019, No. 1, pp. 33-40.
7. Valeev R.R. Geometriya kvazikosimplekticheskikh mnogoobrazii : dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Geometry of quasicosymplectic manifolds]. Moscow: MPGU, 2004, 79 p.
8. Chinea D. Quasi-K-cosymplectic submersions. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II. 1984, vol. XXXIII, pp. 319-330.
9. Capursi M. Quasi-cosymplectic manifolds. Rev. Roumane Math. Pures Appl. 1987, vol. 32, No. 1, pp. 2735.
10. Kirichenko V.F. Differentsial'no-geometricheskie struktury na mnogoobraziyakh [Differential-geometric structures on manifolds]. 2nd edition, suppl. Odessa: Pechatnyi dom, 2013, 458 p.
11. Sasaki S., Hatakeyama J. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II. Tohoku Math. J. 1961, vol. 13, No. 2, pp. 281-294.
12. Rustanov A.R. Svoistva integriruemosti NC10 -mnogoobrazii [Integrability properties of NC10-manifolds]. Mat. fizika i komp'yuternoe modelirovanie. 2017, vol. 20, No. 5, pp. 32-38. Available at: https://doi.org/10.15688 /mpcm.jvolsu. 2017.5.
Поступила в редакцию / Received
15 января 2019 г. / January 15, 2019
