Про побудову двосторонніх наближень до додатного розв’язку еліптичної крайової задачі з експоненціальною мажорантою Текст научной статьи по специальности «Математика»

методы решения неустойчивых задач. М.: Наука и техника, 1981. 344 с. 7. Мартинсон Л.К., Малое Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 368 с. 8. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с. 9. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Наука, 2004. 416 с. 10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004. 798 с. 11. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 352 с. 12. Гибкина Н.В., Подусов Д.Ю., Сидоров М.В. Оптимальное управление конечным температурным состоянием однородного стержня // Радиоэлектроника и информатика. 2014. №2. С. 9-15. 13. Клопотов В.Д., Нестеренко В.П. Математическое моделирование тепловых процессов в режущем инструменте // Изв. Томского политехнического университета. 2005. Т. 308, № 3. С.125-128. 14. Коновалов В.И., Пахомов А.Н., ГатаповаН.Ц., КолиухА.Н. Методы решения задач тепломассопереноса. Теплопроводность и диффузия в неподвижной среде: учеб. пособие. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2005. 80 с.

УДК 519.713

ПРО ПОБУДОВУ ДВОСТОРОНН1Х НАБЛИЖЕНЬ ДО ДОДАТНОГО РОЗВ'ЯЗКУ ЕЛ1ПТИЧНО1 КРАЙОВО1 ЗАДАЧ1 З ЕКСПОНЕНЦ1АЛЬНОЮ МАЖОРАНТОЮ

ЛУХАН1Н В.С._

Розглядаються питання юнування, единост та побудови двостороншх наближень до додатного розв'язку одте! елштично! крайово! задачi з експоненщальною не-лшшшстю. Описуються умови, яким мають задовольня-ти параметри, що входять до нелшшноста, щоб двосто-роннi наближення можна було побудувати.

Ключовi слова: двостороннi наближення, iнварiантний конусний вiдрiзок, додатний розв'язок.

Key words: two-sided approximations, invariant cone segment, positive solution.

Вступ

Разом iз зростанням можливостей обчислювально! технiки сьогоднi збiльшуеться зацiкавленiсть до про-цесiв, якi вiдбуваються у нелшйних середовищах. Математичними моделями процеив у таких середовищах е нелшйш крайовi задачi математично! фiзики, оскшьки лiнiйнi не зовсiм адекватно описують фiзич-ну реальнiсть. Досить часто там моделi мають вигляд

-Au = f(x,u) Vx eüc Rm , u > 0, u|5Q = 0.

Метод двостороншх наближень належить до гтерацш-них методiв та дозволяе отримати верхню та нижню ощнку розв'язку на кожнш терацп. Ще однiею з переваг цього методу у порiвняннi з шшими е ввднос-на простота реалiзацi! алгоритму, який в свою чергу вимагае менше обчислювальних ресурав.

Поступила в редколлегию 20.05.2015

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Гибкина Надежда Валентиновна, канд. техн. наук, доц. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, оптимальное управление и его приложения, математическая физика, актуарная и финансовая математика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Мартыненко Михаил Сергеевич, студент группы СА-11-1 факультета прикладной математики и менеджмента ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование и оптимальное управление, программирование. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Сидоров Максим Викторович, канд. физ.-мат. наук, доц. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, математическая физика, теория R-функций и её приложения, стохастический анализ и его приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

1. Постановка задачi та побудова двостороншх наближень

Дослвдимо можливють побудови двостороншх наближень до додатного розв'язку елiптично! крайово! задачi [1]

-Au = x(eu + eyu) в vx ейс Rm , СО

uIsq = 0, 0, Y>0 (Y-const). (2)

Ведомо [2], що задача (1), (2) у клаа неперервних функцш е^валентна iнтегральному рiвнянню

u(x)=J G(x, s)x(eu (s) + eY u (s))ds

й

де G(x, s) - функщя Грiна оператора Лапласа для першо! крайово! задачi в област й , x = (xi,..., xm), s = (S1,...,sm) .

На кону« K неввд'емних в С(й) функцiй введемо в розгляд нелшйне операторне рiвняння

u = Tu, де

Tu = J G(x, s)x(eu (s)+ eY u(s))ls (3)

й

Ввдомо, що конус невiд'eмних в с(й) функцш е нормальним, крiм того, оскшьки

f (x,u ) = x(eu(x) + e Y u (x)) (4)

неперервна за u, оператор T, ввдображаючи простiр С(й) в себе, цшком неперервний [2, 3].

Розглянемо деяк властивостi оператора T вигляду

(3).

1) Опеpaтоp T мoнoтoнний, тoбтo з u < u2 випливае, щo Tu! < Tu2. Дшсда,

Tu! - Tu2 = J G(x, s)x(eu (s)+ eY u(s))ds -

Q

-J G(x, s)x(eu2 (s) + eY u2 (s))ds =

Q

= J G(x, s)X (eu!(s ) - eu2(s )+e Y u!(s) - e Y u2 (s))ds < 0

Q

2) Для П0бyд0ви ТОнуСТОГО вiдpiзкy (vo,W^, Vo <u<Wo, iнвapiaнтнoгo для oпеpaтopa T, в (З) пoклaдемo u = Vo = О та склaдемo елемент

v! = Tv0 = J G(x, s)X (eVo + eY Vo )ds =

Q

= 2 xJ G(x, s )ds S v0 = О

Q

Тoдi бyдyeмo елемент

v2 = J G(x, s)x(eV + eY V )ds S v!

Q

i так дaлi.

Тепеp в (З) пoклaдемo u = wo =ß, ß = const S О -визначиться в мaйбyтньoмy, мaeмo

W! = J G(x, s)x(eWo + eY Wo )ds = J G(x, s )x(eß + eYß)ds =

QQ

= x(eß + e Yß)J G(x, s)ds

Q

Пiдбиpaeмo пapaметpи X, ß та Y так, щoб w! < w0 . Ця вимoгa пpивoдить нас дo yмoви

mQxQG(x's)ds <x(ß). (5)

Пpи цьoмy

W2 = J G(x, s)x(eW! + eY W )ds <

Q

< JG(x, s)x(eß + eYß)ds = w!

Q

Таким чинoм, мaeмo Vo < V! < W! < w0, oтже, тонус-

ний вiдpiзoк (vo, w^ , Vo = 0, Wo = ß, e i^apiaro^M^ для oropaTOpa T вигляду (З).

3) Дoслiдимo oпеpaтop T на угнутють на (vo, Wo). Для цьoгo мае викoнyвaтися yмoвa T(tu)s tTu Vt e [0,¡], u e(v0,w0). Склaдaeмo

T(tu )- tTu =

= J G(x, s)x(etu + eY tu - teu - teY u )ds, t e[o,¡]. (6)

Q

Щoб (6) була невiд'eмнoю, тpебa вимагати викoнaння yмoви

etu + eYtu -teu -teYu S0. (7)

Нехай u = Vo = 0 , тoдi (7) стае yмoвoю ! -1S 0 , яка вигонуеться Vt e [0j].

Якщo u = Wo = ß , (7) ^иймае виг ляд

eßt + eYßt -teß -teYß S0. (8)

4) Дoслiдимo oпеpaтop T вигляду (З) на uo -yгнyтiсть, де

u0 = J G(x, s)ds

Q

Угнутий oпеpaтop T називаеться uo -угнутим на (vo, Wo) , якщo для ^ждаго to e (0,!) мoжнa вказати таке n = n(u,to )> 0 , щo T(tou)s (! + n)toTu на вiдpiзкy, сyмipнoмy з uo [2] (будь-який елемент вигляду const• uo uo,w^ сyмipний з uo за визначенням).

В [2, с. 28З] для пеpевipки oпеpaтopa T на u0 -угнутють пpoпoнyeться ^ocrma yмoвa

f (x, т u ) - т f (x,u )> 0 Vтe(0,i), u > 0, x eQ , фyнкдiя f (x,u ) визначаеться виpaзoм (4). Склaдaeмo

f (x, т u )-т f (x,u ) = x(eт u + e YX u -т eu -т eY u ). (9) Щoб (9) була дoдaтнoю, вимaгaeмo викoнaння не-piвнoстi exu + eYXu -тeu -тeYu > 0 ^e^,!), Vu e ^Vo,w^, звiдки мaeмo yмoвy

e*ß + eYxß -тeß -тeYß >0. (10)

Якщo викoнyeться (10), тo i (8) буде мати мiсце. ^му зв'язoк мiж пapaметpaми X, ß i Y визначаеться yмoвaми (5) i (10).

1з викoнaння влaстивoстей 1) - 4) випливае юнування та единють дoдaтнoгo poзв'язкy y зaдaчi (1), (2).

Iтеpaцiйний пpoцес для зaдaчi (1), (2) бyдyeмo за схемoю

vn(x)= JG(x,s)X(eVn-!(s)+ eY^))ls , n = !,2,..., Q

wn(x)= jG(x,s)x(ew(s) + eYw-1(s))ds , n Q

= 1,2,...,

де Vo = 0 , Wo = Р . За умови виконання вимог (5) та (10) маемо рiвномiрну зб1жнютъ до единого неввд'емно-

го розв'язку и* е . При цьому

*

0 = v0 < V! < ... < vn < ... < и < ... ... < wп < ... < w1 < Wo = Р . 2. Результати обчислювального експерименту Обчислювалъний експеримент проведено в облает

1}

при значеннях в = 1, X = 0,5 , у = 0,5 . Так значення параметрiв задоволъняютъ умовам (5) та (10).

В таблиц наведено значення для наближень v6 (х) та w6 (х)в точках обласп О з полярними координатами

(Р1, Ф]), де р; = 0,21, ф. = ^1, 1 = 14, j = 1,5.

10

Q= j(xi,x2)|x2 + x2 < 1}

ф п w6 f 0,2 0,4 0,282310 0,246222 0,6 0,8 0,185364 0,101914

10 V6 0,282278 0,246195 0,185346 0,101905

п w6 5 V6 3п w6 0,282312 0,246063 0,282279 0,246036 0,282314 0,245890 0,184971 0,101535 0,184953 0,101526 0,184644 0,101131

10 V6 0,282282 0,245863 0,184626 0,101122

2п w6 5 V6 п w6 0,282318 0,245961 0,282286 0,245934 0,282332 0,246972 0,184798 0,101268 0,184780 0,101259 0,186959 0,103654

2 V6 0,282299 0,246945 0,186940 0,103645

На рис. 1 та 2 представлен поверхн та лши piBHa для наближення vg (x) вiдповiдно.

-0.5 0.0 0.5 1.0

Рис. 2. Лши piвня для наближення v6 (x) Висновки

До^джено можливiсть побудови двостоpоннiх наближень до додатного розв'язку задачi (1), (2) та отримано умови (5), (10), як гарантують збiжнiсть гтеращйного процесу.

Результати роботи можуть бути застосоваш при pозв'язаннi прикладних задач, яш описуються моде-лямиу вигляд нелшшних крайових задач iз нелшшмстю вигляду (4).

Лтгература: 1. S. Baraket, Ye. Dong. Singular Limit Solutions for Two-Dimensional Elliptic Problems with Exponentially Dominated Nonlinearity // Chinese Annals of Mathematics. Series B. 2001. V. 22, № 3 P. 287-296. 2. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 394 с. 3. ОпойцевВ.И. Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов // Труды Моск. ма-тем. общества. 1978. Т. 36. С. 237-273.

Надшшла до редколеп! 14.05.2015

Рецензент: д-р фiз.-мат. наук, проф.Колосов А.1.

Лухашн Володимир Сергшович, мапстр, астрант кафед-ри ПМ ХНУРЕ, iнженеp-пpогpамiст в EPAM Systems. Науковi iнтеpеси: розв'язання крайових задач для дифе-ренщальних piвнянь у частинних похiдних. Хоббг читан-ня, спорт. Адреса: Укра!на, 61103, Хаpкiв, вул. Космонавта, 5А, кв. 2, тел. +38(063) 643-40-47.

Рис. 1. Поверхня для наближення V6 (x)