Двусторонние вычислительные схемы решения нелинейных дифференциальных уравнений с оценкой главного члена погрешности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.94+519.62

Р. Я. ПЕЛЕХ (НУ «Льв1вська полтгехтка»), Й. Й. ЛУЧКО (Льв1вська фiлiя ДПТу)

ДВОСТОРОНН1 ОБЧИСЛЮВАЛЬН1 СХЕМИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ НЕЛ1Н1ЙНИХ ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ З ОЦ1НКОЮ ГОЛОВНОГО ЧЛЕНА ПОХИБКИ

Виведено двосторонш розрахунков1 формули другого порядку точносп розв'язання задач1 Кош1 для зви-чайних диференщальних р1внянь, що базуються на неперервних дробах. У запропонованих обчислювальних формулах можна оцшити значення головного члена локально! похибки без додаткових звертань до право! частини диференщального р1вняння.

Ключовi слова: нелшшш диференщальш р1вняння, похибка, метод Рунге-Кутта, ряд Тейлора

Выведены двусторонние расчетные формулы второго порядка точности решения задачи Коши для обычных дифференциальных уравнений, которые базируются на непрерывных дробях. В предложенных вычислительных формулах можно оценить значение главного члена локальной погрешности без дополнительных обращений к правой части дифференциального уравнения.

Ключевые слова: нелинейные дифференциальные уравнения, погрешность, метод Рунге-Кутта, ряд Тейлора

The two-side methods of the second order of accuracy are constructed. The formulas give an opportunity to receive upper and lover approximation at each point to the exact solution and define the value of the main error without referring to the right part of differential equation.

Keywords: nonlinear differential equations, precision error, Runge-Kutta method, Taylor series

Актуальшсть проблеми

Багато прикладних задач, зокрема розраху-нок напружено-деформованого стану тонко-стшних елеменпв конструкцш (стержшв, пластин, оболонок), задач1 багатовим1рно! оптим> зацп, електрошки, кшетики, проблеми побудо-ви i дослщження математичних моделей ф1зико-х1м1чних, бiологiчних i економiчних процесiв у загальному випадку зводяться до розв'язання задачi ^mi для нелiнiйних систем диференцiальних рiвнянь.

В прикладнiй математицi широкого застосу-вання набули неперервнi (ланцюговi) дроби. Вони дають можливють отримувати двосторонш i монотоннi наближення, мають слабку чутливють до похибок заокруглень, а також вiрно вiдображають основш властивостi розв'язкiв дослiджуваних задач [1-3].

Запропоноваш у данiй роботi обчислюваль-нi алгоритми дають можливiсть у кожнш точцi отримувати не тшьки двостороннi наближення до точного розв'язку, але i оцiнку головного члена локально! похибки. Двостороннють i не-обхiдна точнiсть на всьому iнтервалi штегру-вання досягаеться за допомогою параметрiв ю i h.

Характерною особливютю таких алгоритмiв е те, що при вщповщних значеннях параметрiв,

що входять в обчислювальнi схеми, можна отримати як нов^ так i традицiйнi двостороннi методи Рунге-Кутта розв'язання поставлено! задача Двостороннi розрахунковi формули першого порядку точностi подано в робот [4].

Випдно виокремлюе цi схеми вiд традицш-них двостороннiх алгоритмiв

Вигiдно виокремлюе щ схеми вiд традицш-них двостороншх алгоритмiв [5-7] те, що у запропонованих обчислювальних формулах можна ощнити значення головного члена локально! похибки без додаткових звертань до право! частини диференщального рiвняння.

Постановка задачi

Розглянемо на в^^зку 1L : [х0, x0 + L ] задачу Кошк

у' = f (^ y), y (x0 ) = Уo, x x0 + L], (1)

де y(x) - дiйсний, m - компонентний вектор, f - дiйсна векторна функцiя залежно! та неза-лежно! змiнних, причому припускаеться, що функщя f диференцiйована стiльки разiв, скшь-ки необхiдно для чисельного аналiзу.

Використовуючи апарат неперервних дробiв [3, 4] та iдею побудови методiв типу Рунге-Кутта [8], пропонуються наближенi методи розв'язування рiвняння (1).

© Пелех Р. Я., Лучко Й. Й., 2011

131

Двосторонш розрахунковi формули буду-ються так, щоб !х локальнi похибки в кожнш вузловiй точцi мали вигляд:

У (*и+1)-Уп+1 = юНрКРп (/) + 0(Ир+1\ (2)

де у(хп+1) i уп+1 - вщповщно точний i набли-жений розв'язок задачi (1), Н - крок штегруван-ня, ¥п (/) - деякий диференщальний оператор, обчислений в точщ (хп, уп), К - константа, р - порядок точност обчислювально! схеми, ю - параметр двосторонносп.

Побудова двостороннiх методiв типу Рунге-Кутта

Не обмежуючи загальносп, будемо шукати наближений розв'язок задачi (1) у скалярному випадку, оскшьки на системи рiвнянь дана методика знаходження двостороншх наближених розв'язюв переноситься покомпонентно.

Введемо на вiдрiзку сiтку аН = {а=х0 < х1 < х2 < ... < хм = Ь} з кроком

Н хп+1 хп.

Для побудови двостороннiх методiв типу Рунге-Кутта, представимо наближений розв'язок задачi (1) у виглядi ланцюгового дро-бу:

у[+1]=%

(3)

де

к-1

А = Е

к ,0

'2,0

г =0

1 + -

йк ,1

1 + + _ йк ,1 -1

1 + й

к ,1

Вирази для йк 1 у випадку к +1 = 1,4 (к = 1,4; I = 0,3 ) мають вигляд:

= 1; 4,0 =-£ й-т,0 ; г = 1,4;

Уп

-; v = 1,3; I

^,1 > ' ' ' ц,2 Ц+1,1

dv,0

1 -й>д; ^=1,2;

1,3 = й1,2 ^т1; = НЕ ашкг; ч=к+1; (4)

2=1

к = /(хп+аК Уп + НЕРгА); а =Еру- ;

]=1 .=1

Уп * 0.

де Н - крок штегрування (Н = хп+1 - хп, п = 0,1,2,...), а., а2 р. - параметри.

Ц формули дозволяють будувати як явнi (Р. = 0, при г < .), так i неявнi числовi методи.

Значення параметрiв а., аг Рг. зручно запису-

вати у виглядi таблищ:

а1 Рп - К а11 - а1у

аv Ру1

Р™ ау1

Побудуемо двостороннi методи другого порядку точность Для цього розглянемо формули

(3) i (4) при к +1 = 3 (к = 13; I = 02) тобто

У^Ч

Уп

-, якщо к = 3,1 = 0

*0,0 ™1,0 ™2,0 ™3,0 Уп

якщо к = 2,1 = 1

2,0

*0,0 1 "1,0

1 +

(5)

Уп

-, якщо к = 1,1 = 2,

+

1+

1,1

1 + й1,

де

=1; й,0 =-!

г-т,0

т=1 Уп

и = 1,2,3;

' 1,2 2,1 "1,1'

"1,0 3

(6)

СТт = Н 'Е ат,к,; к = /(хп + аЛ Уп + ^РгА );

г =1

.=1

_ а- =ЕР..

.=1

Параметри атг,аг,р. (т,г,. = 1,2,3) визна-чаються з умови (2). Розвинення У (хп+1) в ряд Тейлора по степенях Н в околi точки хп мае вигляд

У (хп+1 ) = У (хп) + Н/ + 2Н А/ +

1

(

\

А/+д-в/ + О (Н4)

^ /

де для скорочення запишв введенi позначення:

д „ д ^ д2 „ „ а2

д2 д2 д2 ^Т + 2+ / —2 сх2 сх^У сУ2

А ^ —+ /—, А2 = — + 2/-+ ^

дх дУ

т.д.

0,0

т=1

1.2

Розглянемо формули (3) i (4) при к = 3, I = 0 Поставивши замють di 0 (г = 1,3) !х зна-

[3,0]

чення, отримаемо у1п+1 у виглядi:

к■ = /

хп+^ Уп+кЕРгА ' а=Ер

}=1

1=1

р

У[3,0] = ■Уп+1 ~ п

Ц3.0]

(7)

де р3,0] = У4,

(i=1'3) •

Розвинемо в ряд Тейлора по степенях к ви-

Ра3и Для [Еа1к ' ^Е'а2гкг i

(33 \ "^,3 л 2 Г л

б[3,0] = Уп - кУп2 | ЕЕатгкг + к2Уп | Еа1гкг + | Е ац кг

V т=1 г=1 У V г=1 У V г У

Еa1iki (тут позначено Е =Е ):

+21 Е а1гкг II Е а2гкг

V i =1 /V г'=1 У

Е а1гкг \ i=1 У

Г ¥ л Г ¥ л ЕоА- Еа«к = Еа« Еа« /2+к

V i /V i У V i /V i У

Г а2 ^ Г а2 ^

Еа«у •Еа« + Еа«у -Еа«

V i У i V i У i

Г л г л 1

Еал -Еа« + Еа«а 'Еа« / • О+кх

V i У i V i У i _

Г л Г л

/• °>2/++ Еа« Еа«ЕРл- +Еа« Еа«ЕРл-

г V г 1 У г V г 1 У

х/ •/• О+^Еа«аг /(^ОЛ /(О )2 + )

V г /V г /

^ V ( л3

ЕОьк = Еа / + КЕоА ]/2 • О+3к2 [Е

V г У V г У V г У V г У V г У

л

ГЕа1;|V • О/ + Еа* ЕРЛ-

.г 2 У V г 1 у

х/2 • О/

дУ

г лг

+3к2 Еа1г'

V г У V

2

Пiдстaвивши розвинення (8), (9) в 0[3 0] отримаемо :

б[3,0] = УП - кУп2/1 Е а1г +Е а2г +Е а3г Г + к

Еа1г Л + 2ГЕа1г ]ГЕ а

\

(

г

.2

2i

i У

Уп/2 -

ЕаИ а! +Еа2!а! +^а3!а! | У2п • О/| + к ^Е^^Г + Еиа2г^2- +

2

Г л

Е а1г ЕРуа 1 ++Е а2г ЕРц-а 1 +Е а3г Е Ру а

V г 1 г 1 г 1

.2 /

Уп2 •-у• О/ + 2

ду

\

Е а2г Е а1гаг +1 Е а1г II Е

Л'

г У \ г

г У

Л-/• О/-I Е ац. /3 [ + о (к4 )

Уп2 • О/ -

л

(8)

(9)

тодi

У (Хп+1 )• б[3,0]- Р3,0]=Е ^ + о (к4 ),

г=1

(10)

де

I 1

1-ЕЕа»

V т г У

(

1

\

?-ХЕа»а • у3 •А+

V т г у

( х

( V

Еа +2 Еа Е^ |-ЕЕа

V г / V г /V г

л л

У?/2;

^3 =(1 -ЕЕаи а? ]• У • А?/+(1 -ЕЕа-Ее. а. 1* У •¥ • а+

V6 т г

Еа1г I Е^а

V

V т г 1 у 1

2

Еа1г II Еа1гаг |+| Е^' || ЕЙ

* У V г

-1ЕЕат -ЕЕата

т г т г

_ _ уп •//

г У_ т г т г у

Побудуемо явш двостороннi формули ( по-

г-1

кладемо Р. = 0, якщо г < . i а1 = 0 , а г = Ев.

1=1

(г = 2,3) ). В результат отримаемо наступш вирази для коефiцiентiв чисельника при Н, Н ?, Н3:

Еа1г | + 2| Еа1г || Е» |-| Ей

? У\ 2

Уп • /3

¥ • у3: 1-ЕЕат;

т

Н2уп • : ?-ЕЕата;

т \?

Н?у?/2: [Еа 1+ 2|Еа« Е? ЬЕЕа»;

* у V ?

Н3у3 • А?/: 6-ЕЕа» а.

Н3У? • / • А/ : 2

Еа1г I1 Еа1г аг

V г Л г У

1 I V

ГУ 1 Г У 1 + Еог, Еаа + Еа Еаг,а

V г У\ г У V г У V г У

-1 ЕЕа -ЕЕа а

/ у/ У » / у/

т г т г

Н3У1 ¥• А/: -6-ЕЕа»Е.1

су 6 т г 1

Н3уп ¥3: [Еа ^Еи ТЕ^Е

I) Позначимо

г / \ г

13 3 а?

1 -ЕЕа =

т

6 т=2 г =1 2

ю,

6

а?в3? Е аг3 =

ю

Е а1г = 1, Е а ?' = 0, Е а 31 = 0,

г = 1 г = 1

1 3 3

? - Е Е агт а т = 0

2 т = ? г = 1

а 3?а ? + а 33а 3 = 0,

г = 1

(1?)

1 3 3

1 - ЕЕ

а

= ю,

т = ? г = 1

• - а

гр 3? Е

а,3 = ю.

В цьому випадку

Д[3,0]( Уп, /, А/, А?/) =

= |юН3 уп | А2 / + |а/ ^ + О (Н 4 )||

[3,0 :

де

б[3,0]= у3 - НУ? + О (Н?).

Система рiвнянь (12 ) мае три множини розв'язюв:

1) а? ^а3:

а? +(а3 -а?)а13 а?

а

а

i прирiвняемо до нуля вс решта коефiцiенти при степенях Н, Н2 i Н3. Тодi матимемо систему нелiнiйних рiвнянь:

2а13 (а? -а3)-1 2а?

1 + 2а13а3

?? = ~ ,

2а?

2 (1 - 6ю) - 3а 2 6а ?а3

1

6

=1

а21

1

=1

а31 =

3а2 - 2(1 - 6ю)

32 ба2(а3 -а2) 2 (1 - 6ю)-3а 2

33 6а3 (а3 -а2)

Р21 = а2, Р31 = а3 - Р3;

Р32 =-

а3 (а3 -а2)(1 -6ю)

а

(2 -3а2 - 12ю)

(13)

а13- дов1льне число, а2, а3 - параметри, що задовольня-ють умову:

а2а3 (а3 - а2 )(2 - 3а2 - 12ю) Ф 0 .

2). а2 = а3: 0 0 0 0 1 -а13 а13

1- 6ю) 2 1 - 6ю) 0 0 3 3 ■ а23 а23

3 ( 3 4 (1 - 6ю) 4 (1 - 6ю)

3 ( 3 1- 6ю) " (1 - 3 6ю)--— • ' 4Ь -1 0 4Ь 0 -а33 а33

де Ь = а13 + а23 + а33 , alз, а23, а33 — параметри (Ь Ф 0) .

3). а 2 = 2/3 ; а 2 Ф а3 :

0 0 0 0 1 - "а13 0 а13

2 3 2 3 0 0 3 4 - а23 3 4 а23

0 1 - 6ю 4Ь 1 - 6ю 4Ь 0 - а33 3 —ю 4 а33

де Ь = а13 + а23 + а33 , alз, а23, а33 — параметри (Ь Ф 0)

(14)

(15)

Зауваження. Обчисливши значения пара-метр1в а., аг в., можна легко ощнити голо- розв язюв:

вний член локально! похибки А). а 2Фа3:

^[3'0]((, /, В/, В2/) за допомогою лшшно!

комбшаци величин ki ( = 1,2,3)

II) Знайдемо значення параметр1в, при яких мае мюце ощнка

Дана система мае також три с1мейства

я[3,0]((, /, В/ ) = юИ3 £ /В/ / е[3,0]+О (И 4).

В цьому випадку параметри а., аi в. по-винш задовольняти таку систему р1внянь:

'3 3 3

Е аИ = 1 Е а2г = 0, Е а31 = 0,

г=1 г=1

3 3

г=1

1 -ЕЕа1тат = 0,-6-ЕЕагт Цг = 0, (16)

2 т=2 г=1 6 т=2 г=1 2

1 3 3 2

6 а2в32 Е аг3 =0, ЕЕ'

6 г=1 т=2 г=1

1 + ю

а11 = 1 + а1

(а3 -а2 )

а

а3

— ^^^^ а -

а2

2а23 (а3 -а2)-а2 (1 + ю)

2а2

а2 (1 + ю)-2а23а3

2а2

2а33 (а3 -а2 ) + ю

2а 2

2а33а3 + ю 2а2

(2 - 3а 2 ) 6а3 (а3 - а2)

(а3-а 2 )

а13 а23 , в21 = а

2

в32 =

а2 (2 - 3а2 )

, в31 =а3 в32 , (17)

де а13, а23- дов1льн1 числа, а2, а3 - параметри, що задо-вольняють умову:

а2а3 (а3 - а2)(2 - 3а2)(3а3 - 2) Ф 0 .

а22

а31

? = а3 :

0 0 0

2 2 0

3 3

2 1 2 -1

3 4Ь 3 - 4Ь

-а,

13

•43

-"4(1 + ю) 4(1 + ю)- а?3 а?3

3

4

(18)

-ю

-а33--ю

33 4

де Ь = а13 + а?3 + а33, а13, а?3, а33 - параметри (Ь Ф 0) . С). а? = 2/3; а? Ф а3 :

0 0 0 0 1 - а13 0

2 2 0 0 3 3

— — - 4 (1+ю)- а?3 -( 1 + ю

3 3 4

0 1 1 0 3 3

- - —ю - а33 4 33 ю

4Ь 4Ь 4

(19)

33

де Ь = а13 + а?3 + а33, а13, а?3, а33 - параметри (Ь Ф 0) . III). Покладемо

13 3 13 3 а2

--ЕЕ а»а т = 3ю ,--ЕЕ а» —'- = ю,

2 ' ' ' гт т ' ^ / * / * тг ^ '

т=? г=1

6 т=? г=1 2

Система р1внянь (20) мае наступш розв'язки : а) а ? Фа3:

6

-а?в3? Е аг3 =

ю

а11 = 1 + а13

(а3 -а?)

а

а?

а?

i прирiвняемо до нуля вс решта коефiцiенти при степенях Н, Н2 i Н3. В результат отримае-мо систему нелшшних рiвнянь:

Е а1 г = 1 Е а ? г = 0, Е а 31 = 0

г = 1 г = 1 г = 1

1 3 3

--ЕЕ а. а » = 3 ю ,

гх / * / * гт т '

2 т = ? г = 1

а 3 ? а ? I а 3 3 а 3 — 0,

1 3 3 а ?

I -Е Е агт =ю ,

/ ' / * гт гх '

2а?3 (а3 - а?) -(1 - 6ю)

2а?

(1 - 6ю) - 2а?3а3 2а ?

(а3 -а?)

а

а

а

(21)

( 2 - 3а ? )(1 - 6ю)

а33 — I 7 " а13 а?3 , Рц а? ,

(20)

6а3 (а3 - а ?)

р31 =а3 - Р3? , р3? =

а 3 (а 3 а ?) а2 (2 - 3а? )

т = ? г = 1

1

■ - а

? Р 3? Е "г 3

г = 1

а■ 3 = ю.

де а13, а?3 - довiльнi числа, а ?, а3 - параметри, що за-

довольняють умову:

а?а3 (а3 - а?)(2 - 3а? )(3а3 - 2) Ф 0 .

1

1

г=1

«21 =

а?? ~

6

Ь) 2). а? = а3 :

0 2 з" 2 3

0

2

3 "р3?

0 0 0 0

Р32 0

де Р3? Ф 0,а13,а?3 - параметри.

-а,

13

-7(1 - 6ю) т(1 - 6ю)

23

а13 + а?3

4Р

32

23

1 - 6ю (1 - 6ю)

4Р

32

(22)

1

0

c). a2 = 2/3; a2 Ф a3

0 0 0 0

2 2 0 0

3 3

0 -Р32 Р32 0

Д1

i3,0](/, Df, Df )=ах

h 3 y5nDf+hy f Df+^-Df

dy

df

/ e[3'°]+ о ()

1 - a.

- 411 - 6«)

-(1 - 6ю)

(23)

a13 -

(1 - 6ю) 4P32

(1 - бю) 4P32

-ar

де P32 - вiдмiнне вiд нуля число.

У цьому випадку головний член локально! похибки на кожному крощ мае вигляд:

Зауваження 1. При значеннях параметрiв (17), (18), (19), а також з (21), (22), (23) можна отримувати двосторонш наближення до точного розв'язку , використовуючи лише три звер-тання до право! частини диференщального рiв-няння.

Зауваження 2. Обчисливши значення пара-метрiв атЛ, а1,Ру (т,I, у = 1,2,3), можна легко ощнити головний член локально! похибки за допомогою лiнiйно! комбiнацi! величин к ( = 1,2,3) .

Пари формул, що вщповщають двом зна-ченням ю, як вiдрiзняються лише знаком, складають формули двостороннього методу, оскiльки одна з них дае верхне, а друга - нижне наближення до точного розв'язку задачi (1). За наближений розв'язок приймаемо пiвсуму дво-стороннiх наближень.

Модульний характер запропонованих мето-дiв дае можливiсть в кожнш точцi iнтегрування отримати кшька наближень до точного розв'язку.

Висновки

Виведено двосторонш розрахунковi формули другого порядку точносп розв'язання задачi Кошi для звичайних диференцiальних рiвнянь, що базуються на неперервних дробах. У запро-понованих обчислювальних формулах можна оцiнити значення головного члена локально!

похибки без додаткових звертань до право! частини диференщального рiвняння.

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Бейкер, Дж. Аппроксимации Паде. Обобщения и приложения [Текст] / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис - М.: Мир, 1986. - 502 с.

2. Джоунс, У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения [Текст] / У. Джоунс,

B. Трон. - М.: Мир, 1985. - 416 с.

3. Скоробагатько, В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике [Текст] / В. Я. Скоробагатько. - М.: Наука, 1983. - 312 с.

4. Пелех, Р Я. Двосторонш алгоритми розв'язування нелшшних диференщальних р1в-нянь з ощнкою головного члена похибки [Текст] / Р. Я. Пелех, Й. Й. Лучко // Ддагностика, довгов1чшсть та реконструкщя моспв i буд1ве-льних конструкцш. - 2009. - Вип. 11. -

C. 106-113.

5. Горбунов, А. Д. О приближенном решении задачи Коши для обыкновенних дифференциальных уравнений с наперед заданным числом верных знаков. I. [Текст] / А. Д. Горбунов, Ю. А. Шахов // Журн. вычислит. математики и матем. физики - 1963. - Т. 3, № 2. - C. 239-253.

6. Ляшко, И. И., Методы вичислений [Текст] / И. И. Ляшко, В. Л. Макаров, А. А. Скоробагатько. - К.: Вища школа, 1977. - 408 с.

7. Шахов, Ю. А. Решение задачи Коши с наперед заданным числом верных знаков для обыкновенного дифференциального уравнения [Текст] / Ю. А. Шахов // Вопросы вычислительной математики: труды ВЦ АН ГрузССР. - Тбилиси. -1973. - Т. 12, № 1. - C. 105-117.

8. Butcher, J. C. Numerical methods for ordinary differential equations [Текст] / J. C. Butcher. -London: Wiley & Sons, 2008. - 463 p.

Надшшла до редколегп 14.04.2011. Прийнята до друку 15.05.2011.

0