Додатні розв’язки для еліптичного рівняння з двома параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

системы и

процессы ушл

управления ^

УДК 519.713

ДОДАТН1 РОЗВ'ЯЗКИ ДЛЯ ЕЛ1ПТИЧНОГО Р1ВНЯННЯ З ДВОМА ПАРАМЕТРАМИ

ЛУХАНШ В.С._

Розглядаються питання юнування, единост та побудови двостороншх наближень до додатного розв'язку одше! лшшно! елштично! крайово! задачi з двома параметрами. Описуються умови, яким мають задовольняти пара-метри, щоб двостороннi наближення можна було побу-дувати.

Ключовi слова: функщя Грiна, двостороннi наближення, iнварiантний конусний вiдрiзок, додатний розв'язок, уг-нутiсть, монотоннiсть.

Key words: Green's function, two-sided approximations, invariant cone segment, positive solution, concavity, monotonicity.

Вступ

Багато фiзичних процесiв зводиться до задачi -Ди = f (x,u) Vx ейс Rm,

и > 0, u| 5Q= 0,

де f (x,u) e лiнiйною вiдносно u функщею.

Актуальнiсть дослiдження: до тако! крайово! задачi зводиться достатньо велика кшьшсть фiзичних про-цесiв. Отримати точний розв'язок ще! задачi вдаеться дуже рiдко. Застосування багатьох наближених ме-тодiв, зокрема варiацiйних або сгткових, пов'язано з дослiдженням точност отриманого розв'язку, що в загальному випадку виявляеться досить складною задачею. Вважаемо, що побудова двостороншх наближень позбавляе дослвдника цих труднощiв.

Метою роботи е дослiдити можливють побудови дво-стороннiх наближень для розв'язання дано! задачi.

Метод двостороншх наближень належить до ггерацш-них методiв. Вони е унiверсальним шструментом як при дослiдженнi питань юнування та единост розв'-язшв операторних рiвнянь, так i для фактичного !х знаходження. При цьому двосторонш наближення дозволяють отримати верхню та нижню ощнку розв'язку на кожнш ггераци.

1. Постановка задач1

Розглянемо крайову задачу для лшйного елiптичного рiвняння

-Ди = au(x) + b Vx ейс Rm, (1)

ul5Q = 0, b > 0, a = const. (2)

Якщо рiвняння (1) набувае вигляду

- Ди = к2u(x),

маемо задачу про розповсюдження, випромiнювання та розаювання звуку на твердих тшах [1].

Якщо вивчаеться процес дифузп за наявност "ланцю-гових" реакцш (частинки дифундуючо! рiдини або газу вступають у реакцто з навколишшм середови-щем i розмножуються), також маемо рiвняння (1), в якому стала a е коефiцieнтом пропорщйносп швид-кост реакцп розпаду до концентращ! газу.

2. Побудова послщовних наближень

Вiдомо [2], що задача (1), (2) у клаа неперервних функцiй еквiвалентна iнтегральному рiвнянню

u(x)= jG(x,s)[au(x)+b]ds ,

й

де G(x, s) - функшя Грiна оператора Лапласа для першо! крайово! задачi в област й, x = (xlv..,xm),

s = (s1,...,sm) .

На конусi K невщ'емних в С(й) функцiй введемо в розгляд лшйне операторне рiвняння u = Tu , де

Tu = j G(x, s)[au(s) + b]ds. (3)

й

Вiдомо, що конус невiд'eмних в С(й) функцш е нормальним, крiм того, оскшьки функцiя

f (x, u )= au(x) + b

неперервна за u, оператор T, вщображаючи простер С(й) в себе, щлком неперервний [2, 3].

Розглянемо деяк властивостi оператора T вигляду (3).

1) Оператор T монотонний, тобто з ui < u2 повинно випливати Tui < Tu2. Складаемо рiзницю

Tu1 - Tu2 = j G(x, s)[au1(s)+b]ds -

й

- j G(x, s)[au2(s)+b]ds = j G(x, s)a (u1 (s)- u2 (s))ds < 0

йй

Останне виконуеться, якщо

a > 0 . (4)

2) Для побудови конусного вiдрiзку (v0,w^,

V0 < u < W0 , iнварiантного для оператора T, в (3)

покладемо u = V0 = 0 та складемо елемент

РИ, 2015, № 4

vj = Tv0 = J G(x, s)[av0 (s) + b]ds =

Q

= J G(x, s)bds > v0 = 0

Q

Потгм побудуемо елемент

v2 = J G(x, s)[av^s)+b]ds > vj

Q

i так далi.

Тепер в (3) покладемо u = W0 =P , P = const > 0 -визначиться в майбутньому, маемо

wj = J G (x, s)[aw0 (s)+b]ds = J G(x, s)[ap+ b]ds

QQ

Пiдбираемо параметри a та P так, щоб Wj < W0 . Ця вимога приводить нас до умови

max f G(x, s)ds < —P—

xeQ Q aP+ b . (5)

При цьому

w2 = JG(x,s)[aw1(s)+b]ds < JG(x,s)[ap+b]ds = wj

QQ

Таким чином, маемо V0 < vj < wj < w0, отже, конус-

ний вiдрiзок (v0, w^, V0 = 0, W0 = P, е iнварiантним для оператора T вигляду (3).

3) Дослщимо оператор T на угнутють на (v0, w0). Для цього мае виконуватися умова T(tu)> tTu Vt e [0j], u e(v0,w0). Складемо

T(tu)- tTu = = J G(x, s) b (i -1 )ds, t e [0j]. (6)

Q

Щоб (6) була невiд'емною, треба вимагати виконання умови

b(j-1)> 0 .

Для t e [0Д] та Vx e Q ця умова виконуеться завжди.

4) Дослвдимо оператор T вигляду (3) на U0 -угнутють, де

u0 = J G(x, s)ds

Q

Угнутий оператор T називаеться U0 -угнутим на ^0, w^, якщо для кожного t0 e (0,j) можна вказати таке n = n(u, t0) > 0 , що T(t0u) > (j + n)t0Tu на вiдрiзку,

сумiрному з U0 [2] (будь-який елемент вигляду const • U0 e (v0,w^ сумiрний з U0 за визначенням). Складаемо

T(t0U )-(j + n)t0Tu = = J G(x, s)(b -10b -nt0[au(s)+b])ds . (7)

Q

Щоб (7) була неввд'емною, вимагаемо виконання нерiвностi

b -10b - nt0[au(x) + b]> 0 , Vt0 e (0,j), n > 0 , звiдки маемо умову

n< b(j -10)

t0 (au (x)+b(x)),

яка виконуеться, якщо чисельник b (j -10 )> 0, що, очевидно, мае мюце.

1з виконання властивостей 1) - 4) випливае юнування та единiсть додатного розв'язку у задачi (1), (2) [2, с. 283].

1теращйний процес для задачi (1), (2) будуемо за схемою

vn (x) = J G(x, s)[avn-j(s) + b]ds , n = j,2,...,

Q

wn (x) = J G(x, s)[awn-j(s) + b]ds, n = j,2,...,

Q

де v0 = 0 , w0 = p . За умови виконання вимог (4), (5) маемо рiвномiрну збiжнiсть до единого додатного

розв'язку u* e (v0,w0). При цьому

*

0 = v0 < vj < ... < vn < ... < u <...

... < wn < ... < wj < w0 = P . Якщо в задачi (1), (2)

b = b(x), b(x)> 0 Vx eQ, то умова (5) приймае вигляд

max J G(x, s)ds < —, ~ = max b(x). (8)

xeQ ^ aP + b' xeQ W W

3. Результата обчислювального експерименту

Обчислювальнi експерименти проведено у випадку b = const та b = b(x) у крузi та пiвкрузi ввдповщно.

1) Розглянемо область

Q = j(xj,x2)|x2 + x2 < j}

при значениях a = 0,j, b = 5 , P = !>9 . Так значення задовольняють умовам (4), (5).

В табл. 1 наведено значения для наближень vз(x) та 2) Тепер розглянемо область

wз(x)у точках област пз полярними координатами П { )| 0 2 2 1}

фj), де Pi = 0,21, фj = Ц 1 = 1,4, } = 1,5. при значеннях а = 0,5, Р = 1,9,

Ь = Ь(х)= 10sin(0,1)(- Дю(х) + 10ю(х)):

Таблиця 1

ф

п 10

п

т

10

2п

т

п 1

wз

vз

vз

wз

vз

0,2

1,2198з0

1,219820

1,2198Э0

1,219820

1,2198Э0

1,219810

1,2198Э0

1,219810

1,219860

1,219850

0,4

1,070450

1,0704з0

1,069770

1,069760

1,069020

1,069010

1,069280

1,069270

1,07з5з0

1,07з520

0,6

0,814061

0,814052

0,812з6з

0,812з54

0,810916

0,810908

0,811528

0,811519

0,820921

0,820912

0,8

0,45з726

0,45з722

0,451975

0,451970

0,450081

0,450077

0,450668

0,450664

0,461770

0,461766

На рис. 1 та 2 представлен поверхш та л1нл р1вня для наближення wз(х) ввдповвдно.

Рис. 1. Поверхня для наближення Wз (х)

Рис. 2. Лшп р1вня для наближення Wз (х)

де ю(х)= х2 (1 - х2 - х2 1

21 - Х1 - х2) е р1внянням меж1 дП [4]. Таи значения задовольняють умовам (4), (8).

В табл. 2 наведено значения для наближень vз(x) та wз(х) у точках област п з полярними координатами (рь фj), де Р1 = 0,21, ф1 =^1, 1 = 14, 1 = 15.

На рис. з та 4 представлеш поверхш та л1нл р1вня для наближення wз(x) в1дпов1дно.

Таблиця 2

р

0,2 0,4 0,6 0,8

wз 0,111160 0,190904 0,206723 0,141847

10 уз 0,111160 0,190902 0,206722 0,141846

п wз 0,211367 0,362888 0,392750 0,269359

5 V? 0,211366 0,362886 0,392748 0,269357

3п w3 0,290852 0,499246 0,540053 0,370257

10 vз 0,290850 0,499243 0,54005 0,370255

2п wз 0,341867 0,586820 0,634845 0,435241

5 vз 0,341865 0,586816 0,634842 0,435239

п w3 0,359443 0,616922 0,66727 0,457381

2 у3 0,359440 0,616918 0,667266 0,457379

Рис. з. Поверхня для наближення Wз (х)

Рис. 4. Лшп р1вня для наближення Wз(x)

РИ, 2015, № 4

Р

4. Висновки

Вперше до розв'язання задачi (1), (2) з лшшною функщею було запропоновано застосувати методи теори операторних рiвнянь у напiвупорядкованих просторах.

Дослвджено можливiсть побудови двостороннiх наближень до додатного розв'язку задачi (1), (2) та отримано умову (5), яка гарантуе збiжнiсть терац-iйного процесу.

Зазначимо, що побудова конусного вiдрiзку (v0,w^ по сутi е апрюрною оцiнкою шуканого

розв'язку, оскшьки маемо v0 < u* < W0 . Отриманi двостороннi наближення до розв'язку задачi дають можливiсть робити апостерюрш висновки.

Хочемо ще зазначити, що при застосуванш запро-понованого методу немае необхвдност робити по-рiвняння отриманого розв'язку з розв'язками, от-риманими iншими методами.

Ще одшею з переваг цього методу у порiвняннi з iншими е ввдносна простота реалiзацil алгоритму, що в свою чергу вимагае менше обчислювальних ресурсiв.

Крiм вказаного вище, нам вдалося накласти певнi умови на два параметри, якi входять у постановку задачу що дозволяе довести юнування единого додатного розв'язку та побудувати двостороннi на-ближення.

Лиература: 1. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1980. 688 с. 2. КрасносельскийМ.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 394 с. 3. Опойцев В.И., Хуродзе Т.А. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. 246 с. 4. КалиниченкоВ.И., КощийА.Ф., РопавкаА.И. Численные решения задач теплопроводности. Харьков: Вища школа, 1987. 108 с.

Транслитерированный список литературы: 1. Budak B. M., Samarskij A. A., Tihonov A. N. Sbornik zadach po matematicheskoj fizike. M.: Nauka, 1980. 688 р. 2. Krasnosel'skij M.A. Polozhitel'nye resheniya operatornyx uravnenij. M.: Fizmatgiz, 1962. 394 р. 3. Opojcev V.I., Hurodze T.A. Nelinejnye operatory v prostranstvah s konusom. Tbilisi: Izd-vo Tbilis. un-ta, 1984. 246 р. 4. Kalinichenko V.I., Koshhij A.F., Ropavka A.I. Chislennye reshenija zadach teploprovodnosti. Har'kov: Vishha shkola, 1987. 108 р.

Надшшла до редколегл 28.08.2015

Рецензент: д-р фiз.-мат. наук Колосов А.1.

Луханш Володимир Сергшович, мапстр, астрант кафед-ри ПМ ХНУРЕ, шженер-програмют в EPAM Systems. Науковi тереси: розв'язання крайових задач для дифе-ренцiальних рiвнянь у частинних похiдних. Хоббi: читан-ня, спорт. Адреса: Укра!на, 61103, Харюв, вул. Космо-навтiв, 5А, кв. 2, тел. +3 8(050) 617-41 -94.

Volodymyr Lukhanin, master, postgraduate student at the Department of Applied Mathematics of Kharkiv National University of Radio and Electronics, software engineer at EPAM Systems. Scientific interests: solving boundary value problems for partial differential equations. Hobby: reading, sports. Address: Ukraine, 61103, Kharkiv, Kosmonavtiv str. 5А, apt. 2, phone +38(050) 617-41-94.