Приведение уравнения второго порядка параболического типа к каноническому виду Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис. 3. Влияние размера частиц измельченной ОБВ на разрушающее напряжение при изгибе (1)

и растяжении (2)

Оценка конкурентоспособности разработанных шпатлевочных композиций проводилась путем сравнения их характеристик с аналогом, используемым для ремонта кузовов автомобилей. Разработанные составы базальтонаполненного материала по разрушающему напряжению при изгибе превышают выпускаемую промышленностью шпатлевку в 3,4 раза, по ударной вязкости - в 1,4 раза, модулю упругости - в 5,8 раза.

Литература

1. Чернышев Е. М.Фундаментальные и природные прикладные исследования РААСН по научному обеспечению развития архитектуры, градостроительства и строительной отрасли РФ в 2002 г.: сб. науч. тр. РААСН: в 2 т. Белгород, 2008. Т. 2. С. 154-179; Максаковский В. П. Географическая картина мира. В 2 кн. Кн. 2: Общая характеристика мира. М., 2007.

2. Чирков А. С. Добыча и переработка строительных горных пород. М., 2009.

3. Шевцов К. К. Охрана окружающей природной среды в строительстве: учеб. пособие для строит. спец. вузов. М., 1994.

Приведение уравнения второго порядка параболического типа

к каноническому виду Мадалиева Э. И.

Мадалиева Эркиной Ибрагимовна /Madalieva Erkinoy Ibragimovna - старший преподаватель,

кафедра точных наук,

Ферганский медицинский колледж, г. Фергана, Республика Узбекистан

Аннотация: в статье рассмотрено приведение уравнения второго порядка параболического типа к каноническому виду.

Abstract: the article considers the reduction of second-order equations ofparabolic type in the canonical form.

Ключевые слова: производные, функция, дифференцируемые функции, уравнение, уравнение параболического типа, независимые переменные.

Keywords: derivatives, function, differentiable function, equation, parabolic type, the independent variables.

Рассмотрим уравнение 2-го порядка с двумя независимыми переменными, линейное относительно производных второго порядка:

| 7 | СОВРЕМЕННЫЕ ИННОВАЦИИ № 3(5) 2016

Auxx + 2Buxy + CUyy + F (x y, u ux, uy )= 0, (1)

где A, B и C - функции, зависящие от x и y, имеющие непрерывные производные до 2-го порядка включительно.

С помощью преобразования переменных

§ = Р (Х У) 1 = Р2 (Х У) (2)

допускающего обратное преобразование, получим новое уравнение. Пусть (2) дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем якобиан

dpi dPi

D(PiP2)_ dx dy

D(x, y) dP2 dP 2

dx dy

* 0

(3)

в рассматриваемой области [1].

Преобразуя производные к новым переменным, получаем:

Ux = U§§x + U1x ,

uy = U§§y + U1y,

Uxx = U§§§1 + 2ui§x1x + ищП1 + U§§xx + Un1xx ,

Uyy = U^y + 2u§§y1y + Ull + U§§yy + U1yy ,

Uxy = U^£y + U1(^x1y +^y!x )+ Ui1x1y + U^xy + Ui1xy

Подставляя значения производных из (4) в уравнение (1), будем иметь ~A(§,1)u§§ + 2B(^,1)u^i + C(^,i)ui + F {§1 u u§, u1) = a

A(§,l) = A§ + 2B§§y + C§1,

B(§ 1 = A§x1x + B(§x1y + 1x§y )+ C§ C(§,1)= Aix + 2B1x1y + C1y.

,2

ix-iy ■ “7y-

Непосредственной подстановкой нетрудно проверить, что

B2 - AC =(B2 - AC )§x1y-tyl, )2.

Рассмотрим дифференциальное уравнение 1-го порядка

APxx + 2BPxPy + CPyy = °. (7)

Исследуем случай, когда во всей рассматриваемой области

B2 - AC = 0

(6)

(4)

(5)

Тогда уравнение (1) принадлежит параболическому типу. Пусть в рассматриваемой области коэффициенты уравнения (1) не обращаются одновременно

в нуль. В силу условия B - AC = 0 из этого предположения следует, что в каждой точке этой области один из коэффициентов A и C отличен от нуля. Не нарушая

общности, можно считать, что в рассматриваемой области всюду A * °. Тогда уравнение (7) можно записать в виде

Wx + (b W B2 - AC }py J [avx + (b -V B2 - AC \y J = 0.

Это уравнение распадается на два:

СОВРЕМЕННЫЕ ИННОВАЦИИ № 3(5) 2016 | 8 |

APx + (b WB2 - AC}py = 0, (8)

APx +(b -4B2 - AC }py = 0. (9)

Решения каждого из уравнений (8) и (9) будут решениями уравнения (7). Оба уравнения (8) и (9) совпадают и обращаются в уравнение

APx + BPy = °.

(10)

B2 - AC = 0,

удовлетворит также

Всякое решение уравнения (10), в силу уравнению

BPx + CPy = 0. (11)

Для интегрирования уравнений (8) и (9) составим соответствующие им системы

dx _ dy

обыкновенных

dx dy

дифференциальных уравнений

A B + 4B2 - AC ’

A B-4B2 -AC’

Ady + (b + 4B2 - AC ^fix = 0,

(12)

(13)

Ady - (b + 4B2 - AC \h = 0

Уравнение (12) можно записать в виде одного уравнения Ady 2 - 2Bdxdy + Cdx2 = 0.

Пусть

P1 (x, y) = const, (P2 (x, y) = const (14)

интегралы уравнений (13). Тогда их левые части будут решениями уравнений (8) и (9), а значит, и уравнения (7). Кривые (14) называются характеристическими кривыми или просто характеристиками уравнения (1), а уравнение (7) - уравнением характеристик.

Для уравнения параболического типа интегралы (14) совпадают, и получаем

семейство вещественных характеристик р1(x,y) = const Возьмем

Z = Px (x y\

где P ^y) решение уравнения решение уравнения (10), а за р2(x,y) -

любую функцию так, чтобы якобиан

dP

D(Pi,P2 ) D(x y)

* 0.

* 0,

следовательно,

Так как A * 0 и,

A = 0,

dy

то можно принять p2 x. Тогда в уравнение (5)

d 2u

что следует из (1. 9), а коэффициент при

d%d^

B = (AP1x + BP1y p32x +(BP1x + CP1y К .

принимает следующий вид:

| 9 | СОВРЕМЕННЫЕ ИННОВАЦИИ № 3(5) 2016

Согласно (10) и (11) B — 0 в рассматриваемой области. Коэффициент C в уравнении (5) преобразуется к виду

C = (Мх + В?2у )1

D{(Pi,V2) .

откуда С ^ 0, так как в противном случае в силу (10) якобиан d(x’ y)

= 0.

Разделив на С ^ 0 уравнение (5) приведем его к виду

д 2u

дц2

= F &,

Ц, и, и , uv

)

(15)

Это канонический вид уравнения параболического типа.

Если уравнение (1) линейно, то и уравнение (15) также будет линейным:

+ ai fe ЦЦи? + bi (s ЦЦиц + Ci (^,ц)и = fi & ц).

ичп+ a

(16)

Литература

1. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения математической физики, Физматлит, Москва, 1962. - 710 с.

Систематизация параметров оптического потенциала процесса

16 12

О+ C для широкого диапазона энергий Мейрамбайкызы А.

Мейрамбайкызы Айгул /Mejrambajkyzy Ajgul - магистрант, кафедра физики, факультет естествознания,

Международный Казахско-Турецкий университет им. Х. А. Яссави, г Туркестан, Республика Казахстан

Аннотация: в статье рассматривается вопрос о систематизации параметров оптического потенциала процесса 16О+12С для широкого диапазона энергий. Используя экспериментальные данные из различных литературных источников, проведен анализ упругого рассеяния ионов кислорода на ядрах углерода в рамках стандартной оптической модели в широком диапазоне энергий налетающих частиц, и определены глобальные параметры оптических потенциалов взаимодействия для исследуемой ядерной системы.

Abstract: the article deals with the question of systematization of the parameters of the optical potential 16O + 12C process for a wide range of energies. Using experimental data from various published sources, the analysis of the elastic scattering of oxygen ions in the carbon nuclei in the standard optical model in a wide energy range of incident particles and defined global parameters of optical interaction potentials for the study of the nuclear system.

Ключевые слова: оптический потенциал, оптимальные параметры упругого

рассеяния тяжелых ионов, угловые распределения, широкий диапазон энергий. Keywords: optical potential, optimal parameters of heavy ion elastic scattering, the angular distribution of a wide range of energies.

СОВРЕМЕННЫЕ ИННОВАЦИИ № 3(5) 2016 | 10 |