CC BY
34
В.В. Додонов, О.В. Манъко
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ПАРАКСИАЛЬНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ПУЧКОВ
Известно, что в случае гармонических волновых полей, распространяющихся в слабонеоднородных средах, уравнение Гельмгольца для компонент поля в параксиальном приближении Леонтовича-Фока [1] сводится к параболическому уравнению типа нестационарного уравнения Шредингера [2]. Если ось г прямоугольной системы координат [х,, х2, г) выбрать вдоль направления распространения волны, то исходное уравнение параболического приближения записывается в виде:
«й---
п0
_ [Уф
2по э х2 1
Э2 ф Э2 ф
Э х2 э Х2 1 2
Э2 Ф
+ 21-
2пс
Ф =
Э х2 2
Уф ,
Е = 2 ф ехР<* £ По(г)аг) - одна из компонент поля, п0 = п(0, 0, г) -
показатель преломления среды на оси г, к = 2тт/Л = - волновое число в пустоте, ф - медленно изменяющаяся на длине волны амплитуда.
С точностью до замены к-1 - Ь и т. - Ь уравнение (1) есть квантово-механическое уравнение Шредингера для частицы единичной массы, движущейся в потенциальном поле V = (п2 - п2)/2п0.
Операторы канонически сопряженных переменных х. - х. и о- - -
1 1 1 Эх.
удовлетворяют обычным соотношениям коммутации: 1
[*!' = 1*6:Н' (1' 3 = 1#2) .
Указанная формальная аналогия [2] параболического уравнения с уравнением Шредингера позволяет использовать методы, разработанные в квантовой механике, при решении задач распространения волн в неоднородных средах.
В работе [з ] показано, что для некоторых классов гамильтонианов, в частности, для любых неоднородных многомерных квадратичных форм от операторов, коммутаторы между которыми являются с-числами, существуют сохраняющиеся во времени (вдоль оси пучка в данном случае) величины, зависящие от начального состояния системы и вида коммутационных соотношений, но совершенно не зависящие от коэффициентов соответствующих квадратичных или линейных форм. Такие величины были названы универсальными инвариантами, по аналогии с универсальными инвариантами Пуанкаре-Картана в классической механике. Чтобы получить аналогичные инварианты в задаче распространения параксиального пучка в световоде, рассмотрим систему четырех операторов:
а, = х, б2 = у, а3 = (-1* =
В этом состоит специфика задачи, рассматриваемой в данной работе, и отличие ее от работы [3] : вместо рассмотрения систем с любым числом степеней свободы мы ограничиваемся всего двумя измерениями, но зато получаем явный вид инвариантов.
Если диэлектрическая проницаемость среды п2 квадратично или линейно зависит от поперечных координат х, у (и произвольно от координаты вдоль
А
оси пучка г), то в представлении Гейзенберга операторы 0а(г) линейно выражаются через 6а(0):
6а(2> - ЛаВ(2)бЭ(0) + ёа(2)- (2)
Введем центрированный момент второго порядка
СаВ - « ^ ЗД» " <ба><%>' П)
где символ <...> означает усреднение, то есть переход от операторов к
числам.
Вторые моменты подчиняются соотношениям, вытекающим из (2): °ае(2) = Лаи(2)0их,(0)Л^(2)-
Поскольку преобразование [2] сохраняет коммутационные соотношения, то имеет место тождество
Л(г) £Л(г) = Е,
Е =
Л =
аР
О О -1
О
О О О -1
(5)
Отсюда следует, что с1е<:Л(2) = 1. Переписав (4) в матричном виде
= Л(г)О(0)Л(г)
0(г) =
и сравнив это равенство с (5), получаем, что для любого параметра справедливо тождество (предполагаем, что матрица Е не вырождена):
(Я) 2т
Б (у) = с^
- иЕ
(К)
N = £ т=0
°2т и
(6) и
(7)
Величины Б«"' являются универсальными инвариантами, так как сохра-¿т
няются по мере распространения пучка вдоль оси г и не зависят от конкретного вида коэффициентов в квадратичной зависимости диэлектрической проницаемости от координат х и у. В разложении (7) присутствуют только четные степени параметра и^ поскольку матрица 0 симметрична, а £ антисимметрична. N - число поперечных координат, от которых зависит амплитуда (оно может быть равно 1 или 2).
Коэффициенты 02т в двумерном случае при любой квадратичной зависи-
мости диэлектрической проницаемости от координат имеют вид [4] :
О2 = - (ур^)2 - 6ф")2 + (р2 ) (у7) + (р2) (Р) +
(8)
+ 2(ху)(рхру),
00 = (хрх)2(уру)2 + (хру)2(УРХ)2 " 2(ху)(рхру)(хрх)(уру) -
-2(хрх) (уру) (хру) (урх) + 2(ху) (р2 ) (хРу)(уРу) - (у ) (Р2) (Хру) 2+
(9)
+ 2(хрх) (хРу) (рхру) (у2) + 2(хрх) (р2) (ху) (урх) - (у2) (р^) (хрх)2-" 2 (х? ) (р^р- ) ) (ур^ ) + 2(х*Нур^)(ур-)(р^р-) - (ЗГг1(р^)(УР^):
- (* )(Рр(УРх)2 + (х2) (у2) (р2) (р£) - (^)2(х2)(у2) -
" (ху) (рх)(ру) + (ху)2(рхру)2.
Представляет интерес важный частный случай аксиально-симметричной среды, когда п2 зависит только от х2+у2 (волоконный световод) . Тогда, если матрица <2 (г) в плоскости г=0 была инвариантна относительно преоб-
разования одновременного поворота на угол Ф в плоскости (х,у) и в плоскости (рх,ру) , то она остается инвариантной относительно этого преобразования по мере распространения пучка вдоль оси г. В этом случае ин-(Л)
варианты 02т будут иметь вид (с точностью до постоянного множителя): °а2) = (^Рр2 " + (**)(!>][)» (Ю)
Оо(2) = [(хрх)2 + (хру)2 - (х2) (р2)]2. (И)
В одномерном случае (N=1) (планарный световод) универсальный инвариант имеет вид:
°о1> = ("р|5 " (^РХ)2- (12)
В параксиальном приближении не только уравнение Гельмгольца, но и полное волновое уравнение можно представить в виде, аналогичном уравнению Шредингера:
Э ф _ х2 [1 Э*ф э2ф Э2ф
1* л---о
Э г 2п0
с2 ЭТ2^ Э х2 Э у2
+ Др-ф. (13)
Следовательно, при любой (достаточно плавной) зависимости показателя преломления п от продольной координаты г существуют универсальные инварианты, включающие в себя временные моменты типа
(I:2) = / ф* (х,у,Ю1;2ф(х,у,Шхс1усИ:, (р£) =
Э2 л Э
= -К2 / ф* у-^т-Ф (х,у,<:)ахауа^ (р1 = 1* )/
то есть описывающие пучки, ограниченные не только в пространстве, но и во времени:
= (^НР?) + (?ИР£> " ~ (^Рх)2 " +
— __(14)
+ 2(хрь)(1рх),
Од1' = (?) (?) (¡ф + (Ш2^)2 + +
+ (^)2(^х)2 - (^ифйо2 - (?)(?) (р^.)2 - (?) (р][>
- (?) (Р][) (^)2 - 7^) (?) 6Фх)2 - (?) (р?) (*рх>2 +
+ 2 (р2) (хр^) (хЬ) +2(?) (Зф^) (р^.) (ХР^> +
+ 2 (¡л) (хр^) (1рх) + 2(?) (1рх) (tpt) ~ ~ 2(5^х) (Ер^ (1рх) (Зф^ - 2 (хрх) (5Л) "
- 2 (Л) (р^.) (^рх) (хръ) ,
(15)
+ (X2)(pj) + (ya)(p¿ ) + (t2)(p2) - (xpx)2 -
(16)
" 2(yt)(p pt) - 2(xpy)(ypx) + 2(xpt)(tpx) + 2{ypt)(tpy).
Введем гауссову» матрицу плотности аксиально-симметричного оптического пучка, распространяющегося в аксиально-симметричной среде
р = N ехр (-а(х2 + у2) -а*(х^+у|) + 2b (х.,х2 + у.,уа) - fx,ya - f«"ХаУ,).
Вычислив дисперсии и подставив их в универсальные инварианты, мы
получаем следующие соотношения:
(а + а*)2 - f2 „ . 4b2 + f2_
-- = const, -1—,--- = const.
(a + a*)2 - 4b2 (a + a*)2 - 4b2
4ba + f2 . b
- = const, - = const,
(a + a*)2 - f2 a + a*
= const.
2_ K2
D(2) - D(2>1 f
О 2
(a + a* - 2b)
Физический смысл этих равенств состоит в том, что сохраняется отношение радиуса корреляции к ширине пучка, а также "момент импульса" <хру " УРХ>-
В заключение обсудим вопрос о сохранении введенных выше инвариантов в случае неквадратичной среды на примере одномерной задачи с эффективным потенциалом V(x) (см. уравнение (1)) вида
V(x) = х2 + 2 А хп/п.
2 . п
п>3
При Ап = 0 имеем инвариант (12) . Если же коэффициенты Ап отличны от нуля, то легко получить уравнение
= 2 An[<xnXpx + хр> - <х2Хрхп~1 + хп"1 р>] (17)
dz п>3
Из него ясно, что, вообще говоря, величина D зависит от z, если Ап * 0. Однако если ангармонические члены малы, то есть Ап - 0, то для нахождения зависимости D(z) в правую часть уравнения (17) можно подставить значения входящих в нее высших моментов, вычисленных в нулевом приближении (то есть в предположении Ап = 0). В таком случае функция D(z) будет колебаться около начального значения, причем размах колебаний будет иметь порядок Ап при Ап •» 0. Самым замечательным является,
однако, то, что для некоторых классов начальных состояний размах колебаний может быть величиной высшего порядка малости по сравнению с Ап. Например, если отличны от нуля лишь коэффициенты А3 и Ai», то такая ситуация имеет место для гауссовых начальных состояний (когда функция взаимной когерентности является экспонентой от квадратичной формы), поскольку в нулевом приближении гауссово состояние остается гауссовым с нулевыми средними первого порядка, если оно было таковым в начальный момент времени. При этом коэффициент при А3 обращается в нуль, так как для гауссова состояния моменты всех нечетных порядков равны нулю, если они нулевые в первом порядке, а коэффициент при А« равен нулю в силу известных соотношений для гауссовых распределений: <х*> = 3(<х2>)2, <рх3 + х3р> = 3<х2 ><хр + рх>. Интересным является также то, что и для негауссовых состояний в случае, когда лишь Аз * 0 (в нулевом приближении), функция D(z) также будет колебаться около начального значения D(0):
D = D(0) + AD = АВ - С2 - ЗА3 i
Sin Зу z СМ CL_ + AN__AP
3 4 2 4y2 4
BP , ^ . ,3CM CL AN BP 3AP .
- 27T ) + Sin y z (-5— - - + 272 ~ — > +
1 - eos 3yz /CP CN AL BL_ BM . + 3 Uy TF 2Y 4Y3 4 Y
m o \ , 3CP 3CN AL 3BL BM .
+ (1 - eos YZ) (- + 4^-3 ~2y Tp 4y
где A = (5P) |z=Q, В = (P5) l2=0' C = <*PHZ=0. m = i*3"» lz=0' P = (pT2) | z=0, L = (¿F2) | z=0, N = (P3)!^.
В случае, когда отличен от нуля лишь коэффициент А«, будет наблюдаться рост D(z), а именно:
D(z) = АВ - С2 + А„
"sin 4yz ,аСY Cb , Bk _ ЗВп
—4— " W* W* W
AnY 3Ak x eos 4yz ,Ck Cn _ aB ЗВш
+ w ]--4- (4p- " "T ТГ W1
. Ab 3Am , eos 2yz ,Cn aB _ 3Bm _ Ab
Щ2 >--2- [~T 2Y2 4Y2 4Y
, ЗАш. ^ 3 .aCY Cb + Bk+Bn_AnY_A]i) + -4-) + J YZ (-j- - 477 + 47т 4Y ^ 4Y
, sin 2yz ,aCY Cb Bk AnY,
+ -5- + ~ IT* ~ 2 '
где n = (^)|z=0, k = {p*Z)\zmQ. a = Ь = ^
z=0
m = L_n.
Помимо вышеприведенных инвариантов, связанных с моментами второго порядка, можно построить универсальные инварианты более сложного вида, выраженные через моменты четвертого порядка [4].
Литература
1. Леонтович М.А., Фок В.А. - ЖЭТФ, 1946, т. 16, с. 557.
2. Маркузе Д. Оптические волноводы. - М.: Мир, 1974, с. 135.
3. Додонов В.В., Манько В.И. Универсальные инварианты квантовых систем и обобщенные соотношения неопределенностей. - В кн.: Теоретико-групповые методы в физике. - М.: Наука, 1983, т. 2, с. 11-33.
4. Додонов В.В., Манько О.В. Универсальные инварианты параксиальных оптических пучков. - В кн.: Теоретико-групповые методы в физике. - М.: Наука, 1986, т. 2, с. 434-435, 437-440.
