Новый метод построения решений уравнений с частными производными в параметрической форме Текст научной статьи по специальности «Математика»

К. А. Волосов

НОВЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Обнаружено новое свойство дифференциальных уравнений с частными производными. Это свойство позволяет строить широкие классы новых точных решений в параметрической форме. Роль параметров выполняет функциональный произвол. Построены новые решения классических полулинейных уравнений, таких как Фитц—Хью—Нагумо—Семенова, Зельдовича, уравнения, близкого к уравнению Колмогорова—Петровского—Пискунова— Фишера.

Известна старая идея (см., например, работу [1]) построения решений одного уравнения на основе решений другого уравнения. В данной работе эта идея распространяется на более широкий, чем ранее, класс уравнений. Алгоритм построения решений формулируется в условной форме и имеет ту гладкость, которая требуется для того, чтобы алгоритм мог быть применен. Ответ получается в неявной форме, в параметрической форме, аналогичной в некотором смысле квадратурной формуле для Оду первого порядка. Перечень ссылок на работы по тематике, связанной с квазилинейными уравнениями, см., например, в литературе [2-4].

Изложим предлагаемый метод на примере квазилинейного параболического уравнения [3]:

7;- (К (I )!х)х + ^ (7 ) = 0.

(1)

Сделаем замену переменных

7 (х,;) х

1х=х(4,5),;=; (4,5)

и (4,5).

(2)

Обоснование алгоритма

Предположим, что якобиан замены переменных БеИ не равен нулю, где

4 4

\ х5 4)

Предположим, что существует обратное преобразование, хотя бы локально, 4 = 4( х,;), 5 = 5( х,;), то есть

& = Веи®, » =-Ое;3™, ^ = -о3±, Ь. = Ве;/± (3)

34 д; 34 дх д3 д; д3 дх

БеМ = ;з - хз^ = Щх3; - 4;3хУ

Введем обозначения:

д7

д7

К(7(х,;)) дх х=х(4,5),;=;(4,5) = У(4,5), К(7(х,;) х=х(4,5), ;=;(4,5) =Т(4,5). (4)

д;

Будем считать, что функции У(4,5), Т(4,5) — неизвестные и определяются ниже.

Используя формулы (2), (3) получим выражения

ди д; ди д;

К (и (4,5))(д-д- -д-д-) = У (4,5)Беи; (5)

д4 до до д4

ди дх ди дх

К (и (4,5))(-д4д5- + д5д7) = Т (4,5) Бе3.

д4 од од д4

Уравнение (1) принимает вид

дУ д; дУ д;

Т(4,5) - К (и)(д- д- -д- д-)/ Бе3 + К (и)^ (и) = 0. (6)

д4 д5 д5 д4

Дополним выписанное соотношение равенством смешанных производных

7 = 7

^ х; ^;.х•

Это соотношение, с учетом (2), (3), (4), можно переписать в виде

-—[—^- ] — +—[—^-] — -— [-Т-] — + — [—^- ]— = 0. (7)

д4 К(и) д5 д5 К(и) д4 д4 К(и) д5 д5 К(и) д4

Анализ системы (5)-(7) проводится в два этапа. На первом этапе рассмотрим ее как нелинейную алгебраическую систему относительно производных

функций замены переменных х^,х5,;',;5 . Предположим, что функции и(4 3), К (и), ^ (и), Т (4,5), У (4,5) — дважды дифференцируемые и временно, на этом шаге, известны.

Теорема 1

Нелинейная алгебраическая система (5)-(7) имеет единственное решение:

дх = К (и) [^(22т и] + 01 р КТ и ]2 + ат 2и]2 + ^Т и 5 - 02 Р К ти5 и ] -

- 02Ти и; - QXT\ и\ У2 + ^ и\ У2]/(У Р(5, 4)), (8)

дх

— = К (и )[-012ти, + 00Т и5 + 01р К Т и5 и, + 01 Т2 ^ и, - 02 Р К Т и5 -

- 02Ти - а Т У2и5 + 02 т.5 У2и5]/(УР(5, 4 )), (9)

-°7 = [02 К (и )[01 и^ - 0 2 и5 ]]/Р(5, 4), (10)

од 2

= 01К(и)[01 и'4 - 02и5]/Р(5,4), (11)

Здесь обозначено:

Р(5, 4 ) = 01Р (и) к (и) т и + ат2 и\ - йр (и) к (и) тиг - е2 т и - аТ У2 + й2т8 у 2, а = Р (и) к (и и + ти5 - УУ5,

02 = Р (и) К (и )и, + ти, -уу.

На втором этапе рассмотрим условие разрешимости системы (8)-(11) относительно функций х = х(4, 5), ; =;(4, 5).

Центральным моментом работы является утверждение:

Теорема 2

Необходимое условие разрешимости переопределенной системы (8)—(11) имеет вид двух равенств смешанных производных х 55 = х54 , ;5 = 5 . Эти

два равенства совпадают друг с другом и имеют вид одного соотношения на функции и(4 ,5) , Т(4 ,5), У(4 ,5).

д Я2К(иЩи; - ] д 01К(и)[&и; - 02и5 ]

— (----------------------)-----[----------------------] = 0. (12)

д5 Р(5,4 ) д4 Р(5,4 )

Таким образом, если удается каким-то способом подобрать функции и(4,5), Т(4,5), У(4,5), удовлетворяющие (12), то линейная система (8)—(11) разрешается в квадратурах. При условии, что якобиан Бе3 Ф 0, решение исходного уравнения восстанавливается по формуле (2). Описанное в теоремах 1, 2 новое свойство дифференциальных уравнений с частными производными позволяет конструировать новые решения уравнений в «параметрической форме». Параметром служит функциональный произвол выбора решения соотношения (12).

Пример 1

Проверим формулы на известном решении. Рассмотрим квазилинейное параболическое уравнение

7; - (К(7) 1х )х = 0, К{1) = к1к-1, Р(7) = 0, к > 1. (13)

Хорошо известно его решение [2]

2 — 1 - к

1 = (Сх2/;)к-1, С = . (14)

2к(к +1)

Одна из констант в этом решении положена равной нулю.

Построим его решение предложенным выше способом. Вычислим коэффициенты уравнения (12). Функции Т(4 ,5), У(4 ,5) зададим, а коэффициенты

— вычислим.

ди ди

У{5, 4 ) = —, Т (5, 4) = —, 01 = и52 - и'- и;,

02 = и5 - и"4 , (15)

Р(5, 4) = Я{Т2 - 02Т2 и5 - 0{Т\ и^ + 02т5 и\\

Решение уравнения (12) имеет вид

и4,5) = Кхр(с2 - (С-2к + 1>|~/)2).

2(к +1)5

Вычислим правые части системы (8)—(11).

2кР[(к +1)5 + (к -1) т2] кЕ1(2(к +1)5 + (к - 1)т2) „ ч „

х4 =----------------------—- -— --, х5 =—^--------- ---- ---- —-, т = с1(к +1) - 4 ,

4 (к-1) т2 ’ 5 (к-1) 5 т л ; ь,

; =- 2к5 Е1[2(к +1)5 + (к -1) т2] ; =-кЕ1(4(к +1)5 + (к - 1)т2) (16)

; 4 = 3 , ; 5 = 2 , (16)

(к -1) т (к -1) т

Е.=•■«•2» -»-|к - Г +5, - я‘ -

После интегрирования имеем

еч 2Е1к(к +1)5 2 к 52Е1(к +1)

х = х(4,5) = х0 + 1)(1 \ 4 , ; =;(45) = ц - (к 1)( „ 1) \.2 • (17)

(к - 1)(с1(к +1) - 4) (к - 1)(С1 (к +1) - 4)2

„ _ ^ г 2 Е12 к 2(к +1)5

Якобиан имеет вид Вей =

(к - 1)(С1 (к +1) -4)2'

Решение уравнения (1) в параметрическом виде с двумя параметрами имеет вид

Z(X,0| ,.„s.n,.„s.S) =«(f,5) = Exp(c2 - >■ <18>

В данном случае параметры исключаются. Выразим f и 5 через x и t из (17) и, подставив в выражение (18), получим (14) .

Обсудим некоторые возможные способы разрешения соотношения (12).

Способ А.

Пусть G(f,U) — функция двух переменных, w(U) и v(U) — функции одной переменной. Функции Y(f, 5), T(f,5) ищем в виде Y(f,5) = G(f,U), T(f,5) = w(U) + v(U) G(f, U) , где U = U(f,5). Тогда выражение (12) принимает вид

[K(U) v"(U) - K (U) v'(U)] Gf, U)3 + [2K(U) v(U) v'(U) - K (U) w' (U) + K(U) w" (U)] G2 + + [3Fv (U)K2 + 2wv' + vwK (U)]G-K2wF (U) + w2 K (U) + FK2 w'(U) = 0. (19)

Это равенство, в частности, можно удовлетворить, приравняв к нулю коэффициенты при степенях G(f,U). Получим систему из четырех уравнений на две функции. Оказывается, что в ряде интересных случаев всем уравнениям можно удовлетворить. При этом функции G(f,U) и U (f, 5) (!) остаются произвольными. Этот произвол и является свободным «параметром».

Рассмотрим два варианта, когда выражение (19) удовлетворяется. Положим K (Z) = 1 в уравнении (1), рассмотрим полулинейное параболическое уравнение [3] и построим для них два новых семейства решений.

Пример 2

Например, если

2^2 z3

K (Z) = 1, F(U) = —— ± (a, - Z)(a0 - Z),

9 (20)

v(U) = ±— + 2U, w(U) = - ,

22 2

где 2— константа. Здесь G(f,U) и U (f,5) (!) — произвольные, дважды дифференцируемые функции. Уравнение (1) в этом случае отличается от уравнения

22 Z з

Колмогорова—Петровского—Пискунова—Фишера на одно слагаемое —9—,

которое может быть малым, если выбрать 2 малой.

Пример 3 Например, если

K (Z) = 1, F(Z) = Z (a - Z)(ao - Z),

= 3R-(a°+al, w(U) =-3Ш, (21)

V2 SÍ2 2

Здесь G(4,U) и U(4,3) (!) — произвольные дважды дифференцируемые функции. Уравнение (1) в этом случае становится уравнением Фитц—Хью— Нагумо—Семенова или уравнением Зельдовича, если ao = 0 .

В обоих примерах (2, 3) вычислим правые части системы (8)—(11).

x 4 = [(w + VG)G4 + [Fv- vw + v2 G + G2 v (U) + Gw (U) - (w + vG)GU]U'4]/P2, xS = [[Fv + v2 G + G2 v(U) + Gw (U) - wGv + vw - vGGv]US]/P2,

t4 = [-G Q + [F + v G + w-GGu]Ui]/P2, (22)

tS = [[F + w + G(v-Gu)]U'S]/P2 P2 = Fw + w2 + vwG-G2 (Gv (U) + w (U)).

G p Us

Якобиан имеет вид DetJ =----------Ф 0. Функция U(4,S) не должна быть

P2

«простой волной», т. е. Q1 Ф 0, Q2 Ф 0 в (12) и уравнение Us + cU^ Ф 0,

c = const.

Способ В

Пусть M (S,U) — функция двух переменных, w(U) и v(U) — функции одной переменной. Функции Y (4 ,S), T (4 ,S) ищем в виде

Y(4, s) = M(S, U), T(4, S) = w(U) + v(U) M(S, U), где U = U(4, S).

Тогда (12) принимает вид (19), в котором функцию G(4 ,U) следует заменить на M (S, U) .

Это равенство, в частности, можно удовлетворить, приравняв к нулю коэффициенты при степенях M(S, U) . Получим систему из четырех уравнений на две функции. Оказывается, что в ряде интересных случаев всем уравнениям можно удовлетворить. При этом функции M (S,U) и U (4 ,S) (!) остаются произвольными. Этот произвол и является свободным «параметром».

Рассмотрим два варианта, когда уравнение, аналогичное (19), удовлетворяется. Положим K (Z) = 1 в уравнении (1), рассмотрим полулинейное параболическое уравнение [3] и построим для них еще два новых семейства решений.

Пример 4

Например, если выполнены условия (20), то G(4 ,U) и U (4 ,S) (!) — произвольные, дважды дифференцируемые функции. Правые части производных , xS, t', tS вычислены ниже.

Пример 5

Если выполнены условия (21), то G(4 ,U) и U (4 , S) (!) — произвольные, дважды дифференцируемые функции. Правые части производных x^, xS, t', tS

вычислены ниже.

В обоих примерах 4, 5 вычислим правые части системы (8)—(11).

х'е = [[¥у + V2М + УЫ + М2 у'(Ц) + Мм\П) - (м + уМ)М'и]и\]/Р3, х3 = [[Му + м]М3 -[¥у + у2 М + ум + М2 у (и) + Мм (и) - (Му + м)Ми ]и3]/Р3,

Отметим, что при К = 1, ¥ = 0 в (1) и (22), (23) получим решение линейного параболического уравнения в параметрической форме, где следует положить у(и) = С1, м(и) = С2 + Сзи.

Данный способ обобщается на квазилинейное гиперболическое уравнение /и> 0 или эллиптическое уравнение и < 0 :

где и— параметр.

В системе (5)-(7) уравнение (6) заменяется на следующее уравнение:

Способы А, В имеют место для уравнения аналога (12), которое возникает после аналогичных преобразований.

Свойство, аналогичное свойству, сформулированному в теоремах 1, 2, верно и для важных в приложениях квазилинейных эллиптических уравнений

и аналогичные теоремы доказаны, но здесь не приводятся в связи с отсутствием места.

Этот пример является ответом на вопрос В. В. Жикова о возможности построения решений эллиптических уравнений данным методом. Аналогично (4) вводим соотношение на потоки - функции У1 (4,5), У2 (4,5). Положим

^ = -[¥ + УМ + м-ММцЦ]/Р3, г3 = [-ММ3 -[¥ + Му + м-ММи]ио]/Р3,

Р3 = + м2 + умМ -М3 у\и) - М2 м>\и).

(23)

Якобиан имеет вид ВвМ = — 0.

Р3

м 3 и\

иГп - 2\ - (К (и) 1'х)х + ¥ (и) = 0,

(24)

дУ дг дУ дг Т(4 ,5) - К (и)(д- д3 -д- д-)/ БвгЗ + К (и)¥ (и) = 0 дд до до д4

(25)

(К(и) ^Х)Х + (К(2)2'у)у -¥(7) = 0,

(26)

Пример 6

КЛ2) = К,(2) = -+-2, ¥(2) = €,45 + С.Лгег^2), - = 0(4,и),

5 + 2 -\] в

У2 (4,5) = -м(и), м(и) = С2 +С Лгщ(и), Л = и2 +в.

Л/5 Л/5

При таких функциях уравнение, аналогичное (12), удовлетворяется.

Вычислим правые части системы, аналогичной (8)-(11).

х^ =-[Gw U| -w[G^ + Gv U|]]/P4, xs = (-Gw + wGu)UslP4, t\ = -[[F - ^ww ] U\ - A G[G'4 + G'U U\ ]]/(AP4),

ts = [-F + A[ww' + GGu]U3]/(AP4), P4 = Fw - A(w2 + G 2)w(U).

Gp Us

Якобиан имеет вид DetJ =-------5---Ф 0.

AP4

K(Z) = 1, F(Z) = Z(ai - Z)(a0 - Z), v(U) = 32 - ^ w(U) = -. (27)

Здесь G(4,U) и U(£,S) (!) — произвольные дважды дифференцируемые функции.

Данный способ переносится на уравнения с переменными коэффициентами и на трехмерный случай.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Matveev V. B., Salle M. A. Darboux Transformation and Solutions, Springer Series in Nonlinear Dynamics, Springer—Varlag, New-York, 1991.

2. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопроводности зависящей от температуры // К 70-летию А. Ф. Иоффе. М., 1950.

3. Danilov V. G., Maslov V. P., Volosov K. A. Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes. Kluver Academic publishers. Dordrecht; Boston; London, 1995.

4. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. И. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М., 1987.

5. Волосов К. А. Новый способ построения решений квазилинейных параболических уравнений. 17-19 апреля // Герценовские чтения. СПб., 2006. С. 35-40.

6. Волосов К. А. Тихонов и современная математика: Международная конференция 19-23 июня 2006. М., 2006. С. 133-134.

7. Волосов К. А. International Conference of Differential Equations and Dynamical Systems. 10-15.07.2006. Vladimir. Р. 56-60.

8. Volosov K. A. New Method of Construction of Solutions of the Quasilinear Parabolic Equations in the Parametrical Form. IUTAM Symposium.25-30.08.2006, Steclov Math. Inst., Lomonosov MSU. P. 56-60.

K. Volosov

A NEW METHOD FOR SOLUTIONS OF PDE IN THE PARAMETRIC FORM

A new property of PDE is found. It allows to construct new exact solutions in a parametric form. The solutions of the classical equations, such as equation Fitz-Hugh-Nagumo-Semenov, Zeldovich, Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov-Fisher are constructed.