CC BY
7
боцитов, благоприятствующей мета-стазнроваиию опухолей. Повышение связывания ТХЕЬ подтверждает факт активизации синтеза данного ПГ опухолевыми клетками и одновременно роста титра аутоантител данного вида. Это свидетельствует о том, что система естественного иммунитета способствует сохранению гомеостатического равновесия между еАТ и их мишенями, Его нарушение ведет к инициации иммунного ответа, направленного на восстановление равновесия. С точки зрения представления о томеостатиче-ской функции еАТ к биологически ак-
тивным регуляторным молекулам организма появляется возможность изменять активную концентрацию ПГ в организме, а следовательно, и соответствующие процессы.
Таким образом, выполненные ис* следования позволили установить, что важным патогенетическим фактором, способствующим стимуляции диссеми-нацни опухолевых клеток для карциномы легких Льюис, является продукция простагландинов ТХВг; в организме опухоленосителей в ответ на повышенный уровень простагландинов происходит активизация синтеза еАТ.
БИБЛИОГРАФЙЧЕСКИИ СПИСОК
1. Alttlach A., Lee 1. B., Ambrus I. L. Prostaglandin E2 production by human tumor. Defense mechanism agains the host // Res comm. sliem. pathol. Pliarm. 1984. 43, № 2. P. 195 — 201.
2. Fulton A.t Rlos A., Loveless G. Prostaglandins in tumor — assosiatad cell // Prostaglandin and cancer. First International Conference, N. Y.; AlanJi. J-iss,, 198JL P. 701— 703,
3. Todo S.f Hasida T. Sell rinetic stadies of !>G2 cytotoxicity on the in vitro growth of human neyroblastoma. Prostagland // L. euk. MM. 1986. 23. P: 55 — 65.
4,,Yond M. R.t Dl&er M. Enhansement off immune function and tumor drowth inhibition by antibodies against prostaglandin E2 //
Immunological communication. 1983. № 12. 4—23.-
Математика
ОООООООООООООО ОООО ОООООООООООООООООООООО 00 ОООООРОООРОООООООООООООРОРОО
приведение управляемых механических
систем к Нормальному виду
/ %
И. П. НИКИТИН, аспирант
Развитие управляемых систем, вызванное запросами практики и современной техники, определило круг задач, которые составили предмет математической теории управляемых процессов. В общих чертах задача состоит в следующем. Рассматривается объект (механическая система), подверженный управляющим воздействиям. Заданы элементы желаемого движения, например исходное и конечное состояние объекта. Требуется найти закон, который определяет усилия, осуществляющие нужное движение.
Пусть имеется управляемая система, состояние которой в каждый мо-
мент времени полностью определяется вектором фазовых переменных х. Такими переменными могут быть, например, обобщенные координаты и обобщенные скорости. Под движением системы при данном управлении u е Kq будем понимать решение х - х (t:to, х<), и) системы уравнений, описывающих ее поведение йо — начальное состояние системы). В случае, когда в качестве фазовых переменных выбраны обобщенные координаты и обобщенные скорости q, q, движение системы будет характеризоваться парой (q, q), где q « (t:t0, qo> Qo>
— соответствующее начальному состоянию (qo, qo) решение системы уравне-
ний Лагранжа второго рода, замкнутое выбранным управлением.
Воспользуемся постановкой задачи об управляемости, предложенной в работе [1]. Пусть точка х<> переводится за* бесконечное время в точку х^ управлением и € К0, х(1:0, х0, и) — соответствующее программное движение. Тоща Шпх(Мо, *о> и) = Отсюда еле-
дует, что для У£>0 существует число Т -Т(е, и)Х) такое, что 11x0:0, х0, и)-— XI11<еэ как только Иными словами, движущаяся точка начиная с некоторого момента времени Т попадает в е — окрестность точки Х{ и не выходит оттуда при всех I Т.
Для нас представляет интерес случай, когда движение механической системы может быть описано дифференциальными уравнениями, приводимыми к нормальному виду:
и),
* V
для которых имеется хорошо развитая теория (1 — 8 и дрД.
В настоящей работе рассматривается проблема приведения к нормальному виду уравнений движения управляемых механических систем, описываемых уравнениями Лагранжа второго рода.
Рассмотрим голономную механическую систему с п степенями свободы, описываемую обобщенными координатами я е и обобщенными скоростями я € которая находится под действием потенциальных, гироскопических и некоторых дополнительных сил* Этой системе будет соответствовать кинетическая энергия вида
ТеС®(1г, +оо[х£2хНп,1*), где £2 некоторая область (открытое связное множество) из Функция Т — полином второй степени относительно ¿1, часто записывается в. виде Т « Т(2) + +.Т +Т или
л 1 «*
та, Я, 0) - + Ь<1,фт я +
(1)
где А — (пхп)-матрица; Ь — (пх1)-
матрица; й — скаляр. Все они определены на 1т, +оо [хкроме того, будут
представляться функциями класса С* .
«
Потенциальная собой функцию
ергия представляет = o(l)(]r, +oo[xQ,R)
и будет записываться в виде
U(t,q) = l/2qTC(t)q + R(q), (2)
где C(t) — (пхп)-симметрическая мат-
dR/dq л л
рица, а ГГГП О ПРИ Ч 0.
Ilqll
ÔU
Кроме того, U (t, 0) - 0 и сть гироскопические силы Q,
0.
будут
Q,
Qr<t,q )
G(t)q,
где матрица G(t) такова, что gy(t) -- -gii(t).
Управление системой осуществляется через дополнительные силы следующего вида:
0д<»
Л
Di(t)u + D2(t, q, u),
где u » u(t, q).
Уравнения движения запишем в виде уравнений Лагранжа:
d ЗТ ЗТ
Г j
dt dq dq
au
ôq
+ Qr + Од-
(3)
Возникает вопрос, можно ли разрешить уравнение (3) относительно $ и .привести его к нормальной форме. Это можно сделать в окрестности некоторой точки ql я), если де1А(1, q) * 0. Для этого матрица А(1, я) должна быть положительно-определенной.
Из (1) и (2) для уравнения Лагранжа найдем: •
ЭТ
aq
ат aq
A(t, q)q + b(t, q);
I / 2 q
aA(t, q) .. , ab(t, q)T .
r»q
q +
aq
q +
+
m, g).
aq '
q J ' q + A(t, q)q +
dt dq
aq
aA(t, q) > ab(t.q) ab(t, q)T . + at q+ at aq q'
Il
* V« *
Таким образом, уравнение (3) мож-
но представить в виде
* 4 + А(.. + ^ 4 +
дХ
+
ЭЬр, д)
дХ
+
х
ЭАр, д) • ЭЬр, д) -т да 4 дд 4
эар, д)
ад
-Ср)д
Ж(д) дц
+ Ср)д + Э^Ои +
+ Б2р, д, и)
(4)
или
АО, д)д
дА(Х, д).
дХ
д
ДЬО, д) , д) _ С( )
дх дч к ;ч ад
+ 0(х)ц + О10)и 02(и д, и).
(5)
-1
_ Так как А 1 (X, д) существует, то А""1 (I, д) можно представить в виде
АГ1(ид) = А'ЧП 0) + [А"1^, д)
-1
-1
А"1^, 0)1,
-1
где А~А0, 0) — положительно-определенная матрица. Тогда, учитывая (6), уравнение (3) примет вид:
ш •
д
+
ЗАр.д) . ЗЬр.д) Э<1р, д)
4 дх Эд
+
+ Ср)д + Ъ2(Х, д, и)] +
ад
+ А_1р, 0)Ср)д + А-1 (г, 0)0,р)и +
-1
+ [А_1(1, д) - А-1р, 0) ]Юр)д +
+ Э^и].
-1
(7)
Произведя замену переменных по
правилу
% хп+1
41, 1
введем следующие обозначения:
А (О
А"1 а 0)СШ;
в а)
А"1«, 0) О!(О;
т, х, и)
^ ¿Ар, д) . дЬр.д) ас!(1, д) ( + дХ q дх 6д
+ С(1)д + + 02(Х, д, и) ] +
+ [А_10, д) - А_10, 0)][С(1)д + Э^и].
В результате произведенных изменений система (7) примет следующий вид:
(1х|
1Г
(8)
П*4*1
П
П
йх
Ха„0)хп+] + +
3=1
х, и), I = тгн, или, что то же самое,
х = Ар)х + Вр)и + х, и),
(9)
(6) где Ар)
О _Е 0А(1)
»в0)
ВО)
Тем самым получили уравнение (3) в нормальном виде.
Пример. Точка на расширяющейся цилиндрической поверхности находится под действием потенциальных, гироскопических и дополнительных (управляющих) сил. Требуется привести уравнения движения к нормальному виду.
Точка массы т движется в поле тяжести по расширяющейся гладкой цилиндрической поверхности с вертикальной осью. Напряженность поля тяжести равна g, а радиус цилиндра увеличивается с постоянной скоростью ро. Совместим ось 0г с осью цилиндра, а ось Ох направим произвольно. На точку действуют гироскопические силы и дополнительные силы (2Д:
<2
«0) о
Рд = ВО)и + <р, г, и), ИЛИ
Од
dn(t)0\ /иЛ /fi(t, z, и)
0d22(t) и2 + f2(t,*>,Z,u))'
Запишем уравнения ix переменных в об)
Лагранжа в
d ¿Т ОТ dt dip д<р
эи
MMHMi д<р
+ g(t)z + dn(t)ui +
+ fi(t. <P, z, u),
d dT dT
dt dz dz
dU dz
g(t)p + d22(t>U2 +
+ f2(t, <P> z, u).
(10)
Используя выражение для скорости в цилиндрических координатах и уравнение связи р = pot + pq, найдем кинетическую энергию как функции обобщенных координат:
Т = у (Ро + (Ро* + Po)V + г%
Если представить кинетическую энер гию в виде (1), то
2.12 . 12
A(t, 0)
m(p0t + р0)г 0
0
d(t, 0)
*2 РО
2
Потенциальная энергия U
mgz
dT д<р ~
d dT dt dj>
m(Pot + Po)2iPi
2mp0(p0t + Ро)у» +
+, m'(pot + Ро)2у>;
ат
dz
mz;
dT
dz
0;
dT
д<р
0;
d_ эт
dt dz
• •
z;
эи
dz
mg.
w
Система (10) запишется в виде
2mp0(P0t + Ро)<Р + m(p0t + ро) ф
g(t)z + dn(t)uj + f,(t, z, u),
mz
g - g(t)iP + d22(t)u2 +
+ f2(t,1>, z, u)
или
<P
g(t)
+
" Pot + Po) 9 rn(p0t Po)2
dn(t) ^ fi(t,y>, z, u)
-~Uj +-r '
m(p0t + po)Г m(p0t + Po)
• •
g(t) . . ¿220) . —^ <p + m U2 +
f2(t, <p, z, u)
"J"
< г
Произведя замену Xj - <p, x2 - z, x3 - у, x4 нормальную систему 4-го
переменных ■ z, получим порядка:
(о о
(ч) 00
*2 • 00
*3
н 00
1 О
2ро
0
1
10)
\
(Pot + Po) m(p0t + Po)2
X
g(t)
X
/XI4 x2
*3
x4. /
О
о
+
о
о \ о
/
dn(t)
(Pot + Po)
2
О
О
d22(t)
j /
+
/
+
О О
\
fl(t, ХЬ Х2, и)
m(pot + Ро) хь х2,и)
2
g
V
\
или в матричной форме:
х - A(t)x + B(t)u + f(t,.x9 u)«
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Воскресенский Е. Вм Павлов А. Ю. Управляемость, построение и стабилизация программных движений // Вестн. Морд, ук-та. 1993.
№ 3. С. 55 — 61.
2. Емельянов И. С., Фуфаев Н. А, Урав движения голономных систем и методы их i рирооания / Горьк. ун-т. Горький, 1970. 87 с.
3. Зубов В. И* Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 495 с.
4. Красовский Н. Н. Теория управления движением: Линейные системы. М.: Наука, 1968. 476 с.
5. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука* 1987. 256 с.
6. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.
7. Смирнов Е. Я„ Юрков А. В. Управление движением механических систем. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1988. 80 с. '
8. Четаев Н. Г, Устойчивость движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1946. 204 с.
об устойчивости равновесия механических систем
С. А. ФИРСОВА, аспирант
Пусть дана консервативная механическая система с п степенями свободы, описываемая обобщенными координатами ц Е И" и обобщенными скоростями
ц Е Определим кинетическую энергию как функцию
1
Т = Т(1, я, я) = А(1, сО ч +
где А
+ Ь(г, Ч)т я + ч),
(пхп)-матрица, Ь
(1)
(пх1)-
матрица, <1 — скаляр, и потенциальную энергию как
П = П(1, <0, ЩХ9 0) « 0.
При эти* обозначениях уравнения жения Лагранжа имеют вид
(2)
дви-
дс\ я
О,
(3)
т-п.
где Ь «
Основная теорема об устойчивости
сформулированная Лаг-
что
равновесия
ранжем, утверждает, что равновесие консервативной механической системы устойчиво, если потенциальная энергия имеет в этой точке строгий минимум. При доказательстве данной теоремы обычно предполагается, что кинетическая энергия Т является положительно-определенной функцией скоростей (|э > что, как правило, и бывает в действительности. Однако могут представиться случаи, когда при определенном выборе обобщенных координат ц функция Т не
будет положительно-определенной от-
носительно всех скоростей. С другой стороны, может оказаться, что в положении равновесия минимум функции П не является изолированным.
Допустим, что для некоторого положения равновесия потенциальная функция не имеет строгого минимума. Вытекает ли отсюда, что положение равновесия системы неустойчиво? Некоторые авторы [5, 8] считали, что при отсутствии строгого минимума всегда имеется неустойчивость. Это, однако, как было показано, неверно [1 }•
Как впервые заметил Пенлеве [9], теорема Лагранжа — Дирихле не лучшая из возможных, ее условия можно ослабить. Это показано в следующей теореме.
Теорема 1. Предположим, что для любого г]>0 с В^ С Й существует
открытое множество ФсИ" такое, что
0 Е Ч> С В^ и для всех ц
условие П(д)>0;
ЙЧР выпол-
у
няется условие иир>и; тогда начало ч « с\ » 0 устойчиво.
Можно доказать, что для ме ской системы с одной степенью свободы (п = 1) достаточное условие устойчивости, задаваемое теоремой 1, является также и необходимым.
Итак, за исключением одномерного случая не найдено условие, которое было бы необходимым и достаточный для устойчивости-. Ниже проблема устойчивости механических систем с по-тенциальной энергией, не имеющей строгого минимума, решается различными способами.
