Устойчивость и стабилизация положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Александров А. Ю., Косов А. А. УДК 531.36: 517.977

устойчивость и стабилизация

положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем

1. Введение. Движения широкого класса механических систем описываются уравнениями Лагранжа

& дд дд Е и'

(1)

где д и д - п -мерные векторы обобщенных координат и обобщенных скоростей соответственно, Т - кинетическая энергия системы, а стоящие в правых частях обобщенные силы представляют собой сумму сил, действующих на систему в ее естественном состоянии (т.е. при отсутствии управления), и управляющих сил. Будем считать, что система имеет положение равновесия д = ¿1 = 0 . Если управляющие силы QU отсутствуют или закон их формирования зафиксирован, то рассматриваем задачу анализа устойчивости этого положения равновесия, т.е. получения условий устойчивости в терминах свойств входящих в уравнения движения элементов (кинетическая и потенциальная энергия, компоненты силового поля и т.п.). При возможности выбирать управляющие силы будем рассматривать задачу стабилизации [1] за счет присоединения сил из некоторых допустимых множеств.

Наиболее употребляемым способом анализа устойчивости нелинейных нестационарных систем является метод функций Ляпунова, в качестве которых для механических систем часто применяют полную энергию или ее модификации [2-5]. При наличии неконсервативных позиционных сил в системе полная энергия уже не будет обладать свойствами функции Ляпунова, что затрудняет решение проблемы ее построения, хотя в ряде случаев и удается получить на этом пути эффективные условия устойчивости [6, 7]. В случае существенно нелинейных позиционных сил трудности построения функций Ляпунова значительно возрастают.

Одним из способов исследования устойчивости в такого рода случаях может оказаться ме-

тод декомпозиции, заключающийся в разделении сложной системы на несколько более простых подсистем, изучении их по отдельности и обоснованном перенесении полученных результатов на исходную систему. Данный метод широко и эффективно применяется в теории устойчивости и управления [8-11].

В настоящей работе предлагаются теоремы, позволяющие делать выводы об устойчивости положения равновесия в случае существенно нелинейных позиционных сил на основе декомпозиции исходной системы (1) п дифференциальных уравнений второго порядка на две системы первого порядка той же размерности.

При рассмотрении задачи стабилизации следует учитывать, что имеющиеся исполнительные органы не всегда обеспечивают возможность реализации управляющих сил произвольной структуры. Таким образом, возникает необходимость решения задачи стабилизации за счет сил иной структуры по сравнению с действующими на систему в ее естественном состоянии, поставленной для линейных систем И.И. Метелицыным [12].

В данной статье рассматривается такого рода задача для существенно нелинейного случая, когда вопрос об устойчивости не решается на основе уравнений линейного приближения. Выделяется ряд ситуаций, в которых удается построить стабилизирующее управление, и при этом указываются нелинейные силы, играющие определяющую роль.

2. Анализ устойчивости на основе декомпозиции. Пусть уравнения (1) представимы в виде

А д+Ад+Q(д) = о. (2)

Здесь А0 и А1 - постоянные неособые матрицы, а элементы вектора Q(д) - непрерывно

дифференцируемые при д е Еп однородные функции порядка 1. Таким образом, рассмат-

риваемая система имеет положение равновесия q = ( = 0. Исследуем устойчивость этого положения равновесия.

В работах [8, 9] были установлены условия декомпозиции системы (2) в случае линейных позиционных сил / = 1. При этом для обоснования возможности декомпозиции предполагалось наличие в системе большого параметра. Определим условия декомпозиции в случае существенно нелинейных позиционных сил (/ > 1).

Рассмотрим две изолированные подсистемы

Ау = -Q( У)-.

Az = -Axz.

(3)

(4)

Таким образом, вместо системы (2), состоящей из n нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, будем изучать вспомогательные подсистемы (3), (4) первого порядка, причем одна из этих подсистем линейна, а другая представляет собой систему с однородными правыми частями.

Теорема 1. Если нулевые решения изолированных подсистем (3), (4) асимптотически устойчивы, то положение равновесия q = q = 0 уравнений (2) также является асимптотически устойчивым.

Замечание 1. По сравнению с линейным случаем [8, 9] принципиальная особенность теоремы 1 заключается в том, что для обоснования возможности декомпозиции нет необходимости использовать большой параметр. Доминирование сил определенной категории здесь обеспечивается за счет порядков однородности.

Предложенный способ декомпозиции позволяет получить оценки времени переходных процессов в изучаемой системе.

Теорема 2. Существуют положительные постоянные 8 и А такие, что для любого решения q(t) системы (2) с начальными данными,

удовлетворяющими условиям t0 > 0, ||q(t0)|| <8,

|q(t0)|| <8, при всех t > t0 выполнены неравенства

\\q(t)|| <A(t-10 + lf1-^,

||q(t)|| <A(t -10 + lf'^.

Далее наряду с уравнениями (2) рассмотрим возмущенные уравнения

Aq + Aiq + Q(q) = R(t, q, q). (5)

Будем считать, что векторная функция R(t, q, q) непрерывна в области t > 0, ||q|| < H,

||q|| < H (H = const > 0) и удовлетворяет неравенству ||R(t,q,q)|| < c(|\q\\CT+||q||v), где с, a, v - по-

ложительные постоянные. Значит, система (5) также имеет положение равновесия ( = ( = 0. Определим условия, при выполнении которых возмущения не нарушают асимптотической устойчивости этого положения равновесия.

Теорема 3. Если а> у> 1, то положение равновесия ( = ( = 0 уравнений (5) асимптотически устойчиво.

3. Устойчивость при возмущениях с нулевыми средними значениями. Теорема 3 утверждает, что асимптотическая устойчивость положения равновесия сохраняется, если порядок возмущений больше порядка однородности функций, входящих в исходные уравнения. Покажем далее, что для некоторых классов нестационарных возмущений сохранение асимптотической устойчивости имеет место и в случае, когда их порядок не превосходит порядка однородности позиционных сил.

Пусть возмущенные уравнения представимы в виде

А( + А( + Ш + С№(() = о. (6)

Здесь компоненты вектора - непре-

рывно дифференцируемые при всех ( е Еп однородные функции порядка а > 1, а матрица С(¿) непрерывна и ограничена при t > 0. Снова считаем, что нулевые решения изолированных подсистем (3) и (4) асимптотически устойчивы.

Применяя теорему 3, получаем, что если а> /и , то положение равновесия ( = ( = 0 уравнений (6) асимптотически устойчиво. Покажем, что при некоторых дополнительных условиях на элементы матрицы С(^ асимптотическая устойчивость может сохраняться и в случае, когда а < / .

t

Теорема 4. Пусть матрица I(0 = |С(т)с1т

0

ограничена на промежутке [0,+да). Тогда при выполнении неравенства 2а > / +1 положение равновесия ( = ( = 0 уравнений (6) асимптотически устойчиво.

Предположим теперь, что матрица I^) не ограничена при t > 0, но существует число а , 0 < а < 1, такое, что справедливо предельное соотношение t~а1 (() ^ 0 при t ^ +сю .

Теорема 5. Если 2а>/и +1 + а(/-1), то положение равновесия ( = ( = 0 уравнений (6) асимптотически устойчиво.

иркутским государственный университет путей сообщения

Gy = -Q( y).

(8)

Теорема 6. Если нулевое решение подсистемы (8) асимптотически устойчиво, то при выполнении неравенства ß>v + \ положение равновесия q = q = 0 уравнений (7) также асимптотически устойчиво.

Далее наряду с (7) рассмотрим возмущенные уравнения

Aq + {ß(q) + G) q + ß(q) = D(q)q + R(q). (9) Здесь элементы матрицы D(q) и компоненты вектора R(q) являются непрерывно дифференцируемыми при всех q е En однородными функциями порядка о и X соответственно, о > 1, X> 1.

Замечание 2. Теоремы 4 и 5 определяют условия, при выполнении которых асимптотическая устойчивость нестационарной системы (6) следует из асимптотической устойчивости соответствующей усредненной системы. Однако, в отличие от известных результатов, полученных с помощью метода усреднения, в данных теоремах не требуется, чтобы изучаемые уравнения содержали малый параметр.

4. Декомпозиция в случае существенно нелинейных диссипативных сил. Пусть теперь уравнения (1) имеют вид

Aq + (B(q) + G) q + Q(q) = 0 . (7)

Здесь A - постоянная симметричная положительно определенная матрица, G - постоянная кососимметричная матрица, B(q) - симметричная матрица, элементы которой являются непрерывно дифференцируемыми при всех q е En однородными функциями порядка v > 1. По-прежнему считаем, что элементы вектора Q(q) - непрерывно

дифференцируемые при q е En однородные функции порядка j > 1. Будем предполагать, что G - неособая матрица, а для матрицы B(q) при любых q, q е En справедлива оценка

q TB(q) q > a q \v ||q||2, где a = const > 0 .

Таким образом, на исследуемую систему действуют линейные гироскопические силы и существенно нелинейные диссипативные и позиционные силы. Система (7) имеет положение равновесия q = q = 0. Для получения условий асимптотической устойчивости этого положения равновесия снова используем метод декомпозиции. Введем вспомогательную подсистему

Теорема 7. Если нулевое решение подсистемы (8) асимптотически устойчиво, то при выполнении неравенств ¡>у +1, <у>у , Л > л положение равновесия д = д = 0 уравнений (9) асимптотически устойчиво.

5. Стабилизация неустойчивой потенциальной системы. Предположим, что система (1) имеет вид

дП(?, д)

' + ■

дд

= Qu

Здесь нестационарный потенциал П(^, д) -непрерывно дифференцируемая однородная порядка л +1, л > 1, функция обобщенных координат, которая обладает "плохими" в плане обеспечения устойчивости свойствами, например, является отрицательно определенной, и удовлетворяет в некоторой окрестности точки д = 0 и при всех

дП(^, д)

t > 0 оценке

дд

< а

а = const > 0. Тре-

буется выбрать не содержащие потенциальную компоненту управляющие силы ^ таким образом, чтобы положение равновесия д = д = 0 стало асимптотически устойчивым.

Для решения поставленной задачи воспользуемся теоремой 1 , предполагая размерность вектора обобщенных координат четным числом. Пусть QU = -(В + О) д -рР0 д, где матрица Р0 -постоянная кососимметричная и невырожденная, (р(д) - положительно определенная однородная порядка Т] скалярная функция, 0 <]< л — 1, причем векторная функция р(д)Р0д непрерывно дифференцируема, матрицы В и О диссипативных и гироскопических сил подлежат выбору с целью обеспечения асимптотической устойчивости положения равновесия. Получим систему дП(?, д)

■< + (B + G)g+

дд

Положение

+ <pPo д = 0 .

(10)

Теорема 8. Положение равновесия д = д = 0 системы (10) становится асимптотически

устойчивым, если матрица диссипативных сил В выбрана произвольной постоянной и положительно определенной, а О = кР0 с достаточно большим коэффициетом к > 0. При этом в случае Т] = л — 1 предполагается, что функция р(д) такова, что ее минимальное значение на сфере ||д|| = 1 является достаточно большим числом.

6. Стабилизация систем с положительно определенным нестационарным потенциалом.

Рассмотрим теперь задачу стабилизации системы с "хорошими" в плане обеспечения устойчивости потенциальными силами и произвольными неконсервативными позиционными силами за счет гироскопических сил и линейных диссипативных сил. Считаем, что система (1) имеет вид

_d cT_ cT_

dt 8q 8q

dU(t, q) 8q

- P(t, q)q + Qu , (11)

где q) - непрерывно дифференцируемая однородная порядка / +1, /> 1, функция обобщенных координат, удовлетворяющая условиям

||/ + 1 т-ту ч II ||/ + 1

< n(t, q) < с2 8n(t, q)

8q

< с

(12)

С, с

2, с3 = const > 0,

а неконсервативные позиционные силы определяются непрерывной кососимметричной матрицей P(t, q). Для кинетической энергии здесь и далее предполагаются выполненными оценки

ki

< T(t, q, q) < k2

8T (t, q, q)

8T (t, q, q)

8q

< К

8q

< k

кх, к2, къ, к4 - некоторые положительные постоянные.

Теорема 9. Положение равновесия q = q = 0 системы (11) с произвольными неконсервативными силами становится асимптотически устойчивым при выборе управляющих сил в виде суммы QU = -Щ — Gq линейных диссипативных сил с постоянной симметричной положительно определенной матрицей В и гироскопических сил с матрицей G = кР($, q), где

k > max<

2k0

k ^

^„(Б) 2к11т1П(В) ]

Отметим, что если потенциальные силы не удовлетворяют (12), то в управление следует добавить потенциальную компоненту, гарантирующую выполнение этих условий. Неконсервативная же компонента силового поля может быть даже линейной и иметь неограниченно растущий со временем коэффициент. Таким образом, если в исходной системе (1) силовое поле QE = QE (^ q) является аналитической функцией координат, то стабилизация может быть осуществлена без компенсации неконсервативной компоненты и с при-

влечением управляющих потенциальных сил, разложение которых в ряд по обобщенным координатам начинается с того же порядка, что и в потенциальной компоненте силового поля Q (t,q) .

Если в системе (11) неконсервативные силы также являются однородными достаточно высокого порядка или удовлетворяют характерной для однородных функций оценке, то стабилизацию можно осуществить одними диссипативными силами.

Пусть в некоторой окрестности положения равновесия неконсервативные позиционные силы удовлетворяют оценке

||P(t, q)q|| < pi||qf , p > 0, V > 0. (13)

Теорема 10. Положение равновесия q = q = 0 системы (11) с подчиненными оценке (13) неконсервативными позиционными силами становится асимптотически устойчивым при выборе управляющих сил в виде Q = -Bq линейных диссипативных сил с произвольной постоянной симметричной положительно определенной матрицей B , если только для порядков однородности имеют место неравенства ¡л> 1, 2^ > ¡л +1.

Таким образом, для того чтобы сделать асимптотически устойчивым положение равновесия механической системы с однородными выше первого порядка позиционными силами при положительно определенном нестационарном потенциале, достаточно лишь присоединить линейные диссипативные силы с полной диссипацией. Следует отметить, что в случае линейных позиционных сил этого совершенно недостаточно. Даже при отсутствии неконсервативных позиционных сил нельзя гарантировать асимптотическую устойчивость линейной системы с диссипативными силами с постоянной положительно определенной матрицей и потенциальными силами с переменной положительно определенной матрицей. Примером может служить уравнение Матье

X + 2hx + (1 + h2 + cost) x = 0, которое неустойчиво при достаточно малых h > 0 [13, с. 254]. Поэтому для стабилизации систем с переменным потенциалом в линейном случае требуется накладывать дополнительные условия.

Рассмотрим случай, когда эти дополнительные условия заключаются в требовании достаточно высокой интенсивности присоединяемых дис-сипативных сил. Пусть система (1) имеет вид

-8T = Oq -P(t,q)q + Qu . (14)

dt 8q 8q

1

л

2

2

2

иркутским государственный университет путей сообщения

Обозначим

Cmin = lnft>0 ¿min (СШ Cmax = SUP t» ¿max (C(t))■

Теорема 11. Положение равновесия q = q = ö системы (14) с положительно определенным с^п > 0 и ограниченным стх <+œ, нестационарным потенциалом (\/2)qTC(t)q и произвольными неконсервативными силами P(t)q становится экспоненциально устойчивым при выборе управляющих сил в виде суммы Qu = -Bq - Gq линейных диссипативных сил с постоянной симметричной положительно определенной матрицей B такой, что

bmin = ^n(B) > maxl

гироскопических

2k2Cmax

Cmax k3

ф

2c min k2 k2

сил

матрицей

G(t) = 2^2cmn k2 P(t).

Пример. Как установлено [14], применение пружин с нелинейными характеристиками в широком классе случаев позволяет существенно уменьшить амплитуду колебаний и повысить эффективность виброзащитной системы за счет более интенсивного обмена энергией между звеньями. Такую механическую систему можно представить как совокупность твердых тел, связанных упругими и демпфирующими элементами. Рассмотрим п > 1 расположенных на горизонтальной прямой грузов с массами mi, I = 1, п , которые соединены друг с другом пружинами, а крайние грузы с помощью пружин прикреплены к стенам. Таким образом, число пружин на единицу больше числа грузов. Пусть положение равновесия всей системы соответствует недеформированному состоянию пружин, а отклонения грузов от их равновесных положений характеризуются координатами

xi, I = 1, п , отсчитываемыми вдоль прямой в одну сторону. Предполагается, что при движении грузов действуют силы вязкого трения

— Ь1Х1 , bi > 0, I = 1, п . Будем считать жесткости пружин нестационарными, изменяющимися с течением времени (например, вследствие колебаний температуры или вообще изменения условий функционирования в ходе технологического процесса), тогда потенциальная энергия системы имеет вид

xj x 2—xj

ПО1, x) = J F (t ,a)da + J F (t,a)da + ...

0 0 xn —xn—1 xn

... + jFn (t,a)da+jFn+l(t,a)da.

00

Функции F (t,a) являются нечетными функциями деформации а, разлагаются в ряды, содержащие только нечетные степени и начинающиеся со степени j > 1, причем имеют место

°ценки стпа1и+1 ^ F(t,a)a ^ с«каи+1, Cm^ cmax -

положительные числа.

Уравнения движения имеют вид

mx + bx + F (t, x) — F (t, x-i — x) = 0,

m2x2 + b2x2 + F2 & x2 — xi) — F3 & x3 — x2) = 0 mn—ixn—l + bn—ixn—l + Fn—1 (t, xn—l — xn—2 ) —

— Fn (t, xn — xn—j) = 0,

mnxn + bnxn + Fn (t, xn — xn—j) + i^lfc xn ) = 0.

Если пружины существенно нелинейные, т.е. ju> 3, то из теоремы 10 следует, что положение равновесия асимптотически устойчиво независимо от нестационарных изменений жесткости.

Если же пружины линейные, т.е. ju = 1, то гарантировать асимптотическую устойчивость положения равновесия при нестационарных изменениях жесткости уже невозможно. Например, если груз всего один (n = 1) с единичной массой и прикрепляющие его к стенам пружины линейные

F1(t,a) = F2(t,a) = J(l + h2 + cost)a, то при коэффициенте трения b1 = 2h > 0 движение груза описывается уравнением Матье x + 2hx + (1 + h2 + cost )x = 0, которое, как отмечено выше, при малом коэффициенте демпфирования h > 0 неустойчиво.

Таким образом, выявлено принципиальное отличие случая нелинейных нестационарных пружин от линейных при подавлении колебаний силами вязкого трения.

Работа поддержана грантом Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (проект НШ-1676.2008.1), грантом РФФИ и Государственного фонда естественных наук Китая (проект № 08-08-92208ГФЕН_а) и грантом № 061000013-9019 программы ИНТАС-СО РАН.

и

c

с

c

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М., 1966.

2. Зубов В. И. Устойчивость движения. М. : Высш. шк., 1973. 272 с.

3. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М. : Мир, 1980. 300 с.

4. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М. : Наука, 1987. 253 с.

5. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М. : Физматлит, 2001. 384 с.

6. Карапетян А. В. Об устойчивости неконсервативных систем // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1975. № 4. С. 109-113.

7. Агафонов С. А. Устойчивость неконсервативных систем и оценка области притяжения //

Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 2. С. 239-243.

8. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. - Л. : Судостроение, 1970. 320 с.

9. Меркин Д. Р. Гироскопические системы / Д. Р. Меркин. М. : Наука, 1974. 344 с.

10. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении динамическими системами // Докл. Акад. наук. 1988. Т. 300, № 2. С. 300-303.

11. Черноусько Ф. Л., Ананьевский И. М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. М. : Физматлит, 2006. 328 с.

12. Метелицын И. И. К вопросу о гироскопической стабилизации // Докл. Акад. наук. 1952. Т. 86, № 1. С. 31-34.

13. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М. : Наука, 1987. 304 с.

14. Gourdon E., Lamarque C.H. Energy pumping for a larger span of energy // J. of Sound and Vibration. 2005. Vol. 285. P. 711-720.

Батурин В. А., Воробьева В. В., Малов В. Ю., УДК 51-77

Мелентьев Б. В., Столбов А. Б.

сценарный анализ эколого-экономического развития азиатской части россии

Введение. Используемая в данном исследовании методология моделирования и системного анализа регионов предполагает создание комплекса взаимосвязанных моделей разных уровней. Отличительной чертой таких моделей является то, что экономические и экологические факторы рассматриваются и описываются как равноправные взаимодействующие составляющие единой динамической системы. В статье описывается макромодель верхнего уровня, которая представляет собой открытую систему, разделенную условно на две взаимодействующих подсистемы: экономическую и природную. Экономическая подсистема описывается балансовыми уравнениями, дополненными уравнениями на динамику основных фондов. Она включает расходы на основное производство, непроизводственный сектор и виды деятельности, направленные на восстановление или улучшение в определенном смысле состояния

природной среды. Уравнение, описывающее динамику показателей природной среды, отличается от балансовых уравнений экономики. По существу оно описывает природную среду макрорегиона в терминах отклонения от некоторого невозмущенного (естественного) состояния.

Инновации учитываются через видоизменение модели регионального развития путем дополнения ее специальным блоком, описывающим эти процессы. При этом под понятием «инновация» понимается формально целенаправленное изменение параметров модели, которые традиционно рассматривались как константы.

Уравнения математической модели. Рассматривается территория Азиатской части России (АЧР) как единое целое. Внешние воздействия учитываются через экспорт и импорт продукции, а также через потоки загрязняющих веществ в воз-