Принцип перенесения Котельникова-Штуди и торическая геометрия над алгеброй дуальных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.М. Горбатенко. Принцип перенесения Котельникова-Штуди и торическая геометрия..

Е.М. Горбатенко

ПРИНЦИП ПЕРЕНЕСЕНИЯ КОТЕЛЬНИКОВА-ШТУДИ И ТОРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАД АЛГЕБРОЙ ДУАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Томский государственный университет

УДК 551.594.21

Введение

Геометрия над алгебрами возникла как обобщение евклидовой геометрии (в ней с каждой декартовой системой координат связывается правило, согласно которому каждой точке ставится в соответствие упорядоченный набор из трёх действительных чисел) в связи с попытками интерпретировать линейчатую геометрию (геометрию прямых в евклидовом пространстве) как точечную геометрию нового пространства, в котором точкам сопоставляются упорядоченные наборы элементов из некоторой двумерной алгебры - алгебры дуальных чисел. Такой подход был предложен независимо А.П. Котельниковым в 1895 г. и Э. Штуди в 1900-м и нашел применение в механике [1]. Он был назван «принципом перенесения» в том смысле, что евклидова геометрия точечного пространства «переносится» в линейчатое пространство.

При переходе к более общей и-мерной цент-роаффинной геометрии мы задаём набор из п координатных гиперплоскостей, проходящих через центр О центроаффинного пространства А", и трактуем пространство прямых G(l,A")bA" как D-торическое многообразие, см. прим. 2.

Линейчатая геометрия

Рассмотрим центроаффинное вещественное пространство А" с центром в точке О и через G(l, А") обозначим многообразие всех прямых в А". Подмногообразие Р(/4") всех прямых, проходящих через центр изоморфно проективному пространству Р"1. Пусть I - некоторая прямая и N+ -произвольная точка на этой прямой. Обозначим через - I прямую с отмеченной точкой N~, лежащую в плоскости ON+ и параллельную /, причём

ON = -ON*. Прямая -1 определена однозначно и не зависит от выбора точки N+. Пусть Z2= (о, i}.

Мы полагаем 0x1 = 1, \ х! = -1.

Ясно, что на <7(1, А") корректно определено действие группы Ъг, причём касательное многообразие ТР(А") является множеством неподвижных точек этого действия.

Покажем, что многообразие G(l, А") изоморфно касательному многообразию ТР(л").

Зададим в А" аффинную систему координат (х°,.... Xя"1) с центром в точке О. Пространство отложенных от точки векторов обозначим через Р. Рассмотрим гиперповерхность S: (х0)2 +...+(х"~]У=1.

Тогда на прямой /0, проходящей через точку О, будут выделены ещё две точки =

Полагаем е„ = ОМ; . Тогда -е0=ОЩ ■ Для того чтобы задать касательный вектор в точке /0 проективного пространства Р(Л"), достаточно поставить в соответствие какому-либо направляющему вектору на прямой /0 параллельную прямую 1с. А". Таким образом, паре векторов ±е0е /0 сопоставляется пара параллельных прямых 1±сА". При этом прямые расположены в одной плоскости и для всякой точки М е /_ имеется

точка М* € и*, причём ом ='-ОМ\ Из изоморфизма векторных пространств Т^ЩА") и Нот{1о, Р/4) и определения фактор-простран-ства Р/4 следует, что набор (±ео,/о) определяет один единственный касательный вектор в точке /0 многообразия Р(А"). Так как /_=-/+, отсюда следует наше утверждение. Более того, проективное пространство ЩА") является секущим подмногообразием, соответствующим нулевому сечению касательного расслоения р:ТР(Л")->Р(у4").

Торы над алгеброй дуальных чисел

Как известно [1], £> алгебра дуальных чисел является двумерным векторным пространством над полем И действительных чисел с базисом {1, г} и правилом умножения (л, +«,) (*2 ад +*2'|).

Подмножество Т± = {г(1+е9)/*, 8ей, г * 0} из £> является группой обратимых элементов алгебры

2?. Его подгруппа Г± = {/-(1+еб)г, 6 еИ, г > 0} в дальнейшем будет называться одномерным дуальным тором.

Полагаем для всякого элемента геО, г=х+е/€11, г2 = гг. Если ге Т, пола-

гаем х = Кег, ~ Ясно, что 2,г2 = г, ,г2,

агег,22 =аг§г,+аг§г2,2|Л2 еГ. Пусть 7п~Тк...хТ (п раз).

Операция умножения в торе 7* производится покоординатно. Группу 7" назовём и-мерным дуальным тором.

Для дальнейшего будет полезен формализм, заимствованный из алгебры С комплексных чисел. Полагаем = 1 + ев, в е К. Тогда для всякого г б Т± его дуальная степень определяется следующими условиями:

г' =|г|г(1+е?аг§2), / ей, Яег>0

Вестник ТГПУ. 2000. Выпуск 2 (18). Серия: ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ (СПЕЦВЫПУСК)

г" = (11ег)"(1 + саа^г), аеЪ,

=г'(1 + е-сагеК, Яег>0;

г"+ет =2"(1 + ет1пг), дег, Лег^О-

Эта операция обладает всеми обычными свойствами степени.

Легко видеть, что для л*т-матрицы дуальных

чисел

Л = (а,/+еГу-) г = 1,...,л; (1)

где ач - целые числа, отображение ФА7"

является гомоморфизмом абелевых групп Ли. Верно и обратное утверждение:

Теорема 1. Всякий алгебраический гомоморфизм Ф дуальных торов Ф:Т"^>Т* имеет вид ФА для некоторой матрицы вида (1).

Доказательство. Обозначим через Ф:Т->Т следующий гомоморфизм групп

Ф/Д^)=/?ГДФ(1, 1, 1,..., 1))

Справедлива следующая

Г¥у! *М U/> йлпгит! n.QlJQ nUTIHrPrVMM ГП»*П»/ГЛП„ J*bJnjYii*. Ju«V/lАrlЛ X/ ' UllUill.Ii Iii 1VV1\UII> 4

физм групп Ф^-^Гимеет вид

где а, b, t - любые вещественные числа. Если же ф продолжается на множество всех обратимых элементов алгебры D, тогда а является целым. Из этой леммы легко следует теорема.

Конусы и веер

Определение. Назовём D - выпуклым множеством в ГУ всякое множество MED", удовлетворяющее условию:

Для любых х,у&М, z-ix+ztf е М, где jz.j+jz2| = 1. Множество будем называть строго выпуклым, если в предыдущем условии дополнительно предполагается, что |z,| = Rez,, \z2\ = Rez2. Отметим, что arg(z,x,) = argz, + argx,, arg(z2x,) = argz2 + argx, ; это приводит k ослабленному условию выпуклости в s-направлении. В самом деле,

( • ^ + r2 (l + ei2) ( ° 1

X/ + £ X/ yi+zyi

V У ч /

1 +.Е

Г2У1

nxi

\\

1+ .....t2+——f,

+r2y, nxi + r^i

Множество будем называть 1)-коничееким, если для любого геД для которого

|г| = Кег выполняется гхеМ.

Пусть Еи..., Ек~ набор В-линейно независимых векторов из ГУ. Множество (Еь..., Ек)+ = = +.. .+ХкЕкШк{ >0,..., Яелд, >о} будем называть конусом с образующими. Конус будем называть

целочисленным, если Ке£,, ..., ЯеЕк е Ъп с И" с £>". Конус назовём симплициальным, если его образующие линейно независимы и могут быть дополнены до базиса вД".В этом случае число к называется его размерностью. Вещественной частью конуса будем называть множество ЯеС = {леф е с}. Конус называется вещественным, если

ЯеГ, =Е1,...,КсЕк =Е

Как и в торической геометрии над С [2, 3] набор симплициальных целочисленных конусов 1={ст.} назовём веером, если

ч..

1) .....Ек€!=>•'£,,.....Е,

2) ст,-, а! е I => с, п сту- е I,

3) и, Кест,- =Н\

Веер, все конусы которого вещественные, будем называть вещественным веером. Веер Яе(£):= ={Яосг/, а, еЕ} будем называть вещественной частью веера 2.

Замечание. Если условие 2 ослабить до 2бис ст,-, ст, е I => Ке(ст,- па,-)= Ясст* для некоторого

ак е I, тогда говорим о неголономном веере.

Из веера следующим стандартным

способом [2] строится дифференцируемое многообразие: для любых I = {ст,} размерности п (существование таких а следует из конечности I и условия 3) определяем матрицу перехода от базиса

Еи...,Е„, где ст = Ех,...,Ек +,кбазису Ёи...,Ёп,

где

Полагаем х^ - (J о;' - = i 1де отношение эквива-

dim с-п

лентности ха «ух имеет вид

хст = у^ := (>А< X... X X... X у^ )

и рассматриваются только те пары, для которых Re yTj * 0, как только Re а„, (i, j) < 0. Из построения следует, что множество Xv снабженное фактор-топологией является хаусдорфовым топологическим пространством и наделяется структурой дифференцируемого многообразия и, как показывает более тщательный анализ, -аналитическим многообразием [1].

Теорема 2. Если веер 2 вещественный, тогда многообразие Х1 является касательным расслоением над гладким вещественным торическим многообразием Х^^.

Пример 1. Пусть (е,,...,ея) - базис R" и е0 = =-(«,+... н-е^*. Рассмотрим следующий набор п-мерных конусов.

СТ0

ст,- = е0

■■>еп/+, ■ • > ei-I ! >

■■{е0, е2,.....

'п-if.

Н.Р. Щербаков. Об одном частном классе плоскостных поверхностей..

Он порождает веер Х(Р"), а соответствующие матрицы, задающие функции перехода имеют вид

(А,о]% 0=1 »' * 4,о(г'. ,

г = 1, ..., и •

Явный вид функций перехода

> У

,г0к

показывает, что Х^зЯ*".

Пример 2. Координатные гиперпространства в А" задают набор гиперплоскостей в Р(Л"). Координатные гиперпространства Г( с: А" = о, («= 0,..., л -1) позволяют определить действие тора на Р(А") и действие тора т"'1 на 0(1, А").

В первом случае мы просто полагаем

Во втором случае достаточно задать действие на точках (М0,..., Мп1) пересечения прямой I с координатными гиперплоскостями Г, (1=0,1,..,, п-1).

Мы полагаем для всякого (/°(i+st°) ..., /n4(i+et""!))6 г, (/°(l + ex°),..., ín4(l+et"4))(M0>..., Mn_x) = (N0, •••• ^.-i) где jV0 = (г1,..., ¡"'])м0,

Ш1 + eM0N¡ =(z'Q.....z'„_,), ¿ = 1, ...,и-1,

z^AmMAM^ÍMo))*, z[ =(í1+eíít,)(x:1(Mí)+8(x1(Mí)-x,(M0)|s ...,

zlx = (í" + « V lxn~] (M¡)+ e(x"'1 (M¡ (m0 )|.

Этими условиями точки (N0,.,,, Nn }) определены однозначно.

Теорема 3. Каноническое отображение

A")lZ2 sTp(A") является гомоморфизмом 2>-торических многообразий.

Замечание. Эта теорема показывает, что имеет смысл категория ¿-торических орбифолдов [3]. Фактор-пространство G(l, A")lZN, N>2 приводит к взвешенному проективному пространству (орбифолду) и касательному многообразию над ним [4,5].

Литература

1. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1985. 264 с.

2. Ehlers Fritz. Eine Klasse komplexer Mannigfaltigkeiten und die Autlosung einiger Isolierter Singularitäten // Math. Ann. 218.127-156. (1975).

3. Oda Tadao. Convex Bodies and Algebraic Geometry. Berlin: Springer-Verlag, 1988. 212 p.

4. Lerman E., Tolman S. Hamiltonian torus actions on symplectic orbifolds and toric varieties, Transaction of the A.M.S. 349 № 10 . (1997), 4201-4205.

5. Prato Elisa. Simple Non-Rational Convex Polytopes via Symplectic Geometry, arXiv: math. SG/9904179, 15 p.

Н.Р. Щербаков

ОБ ОДНОМ ЧАСТНОМ КЛАССЕ ПЛОСКОСТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В МНОГОМЕРНОМ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Томский государственный университет

УДК 551.594.21

Плоскостной поверхностью (регулюсом) в многомерном пространстве принято называть а-параметрическое семейство Ь (а) ¿/-мерных плоскостей, для которого с1+а меньше размерности пространства. Как точечное многообразие - это поверхность Х(с1,а) (ХеЬ), (й+а)-мерная касательная плоскость ТХ(й,а) которой в регулярной точке X содержит плоскостную образующую Ь. Если при смещении внутри Ь касательная плоскость не меняется, то поверхность Х(4 а) называется тангенциально вырожденной (аналог торсов 3-мерного пространства). В [1] было введено понятие плоскостной поверхности типа а. Для нее касательные плоскости при смещении внутри Ь пересекаются по одной и той же «ассоциированной» плоскости з I. Простей-

ший пример такой поверхности - 3-параметри-ческое семейство 2-мерных плоскостей в шестимерном проективном пространстве Р6. Касательные 5-плоскости ТХ(2, 3) этой гиперповерхности во всех точках образующей Ь пересекаются по ассоциированной плоскости /*+2 = /*; таким образом, мы имеем плоскостную поверхность типа 2.

Присоединим к семейству ЦЗ) подвижной репер {Л,}, (/, К-0,..., 6) так, чтобы вершины Ах 0= 0,1,2) лежали в плоскости Ь, вершины Ат (г=3,6) - в ассоциированной плоскости 1*4, а вершины Ая (я=4, 5) - в касательном подпространстве ТЩ) семейства [2], совпадающем с Р6. Деривационные формулы репера имеют вид ¿А,