Об одном частном классе плоскостных поверхностей в многомерном проективном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н.Р. Щербаков. Об одном частном классе плоскостных поверхностей..

Он порождает веер Х(Р"), а соответствующие матрицы, задающие функции перехода имеют вид

(л, о (л ]% А,о{*> 0=М * к, *)=-! »

г = 1,,.., и .

Явный вид функций перехода

> У

.4 к

показывает, что Х^^ТР".

Пример 2. Координатные гиперпространства в А" задают набор гиперплоскостей в Р(Л"). Координатные гиперпространства Г( с: А" х' = о, (/ = 0,..., п -1) позволяют определить действие тора на Р(А") и действие тора т"'1 на 0(1, А").

В первом случае мы просто полагаем

Во втором случае достаточно задать действие на точках (М0,..., Мп1) пересечения прямой I с координатными гиперплоскостями Г., (1=0,1,..,, п-1).

Мы полагаем для всякого (/°(i+st°) .... /n4(i+et""!))6 г, (/°(1 + ех°),..., ín4(l+et"4))(M0>..., Mn_x) = (N0, •••• ^.-i) где N0 = (?',,.., ?л-1)м0, Ш1 + eM0N¡ =(z'Q.....z'„_,), 2 = 1,...,«-1,

z^AmMAM^ÍMo))*, z[ =(í1+eíít,)(x:1(Mí)+8(x1(Mí)-x,(M0)|s ...,

zlx = (í" + « V lxn~] (M¡)+ e(x"'1 (M¡ (m0 )|.

Этими условиями точки (N0,.,,, Nn }) определены однозначно.

Теорема 3, Каноническое отображение

A")lZ2 sTp(A") является гомоморфизмом 2>-торических многообразий.

Замечание. Эта теорема показывает, что имеет смысл категория ¿-торических орбифолдов [3]. Фактор-пространство G(l, A")lZN, N>2 приводит к взвешенному проективному пространству (орбифолду) и касательному многообразию над ним [4,5].

Литература

1. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1985. 264 с.

2. Ehlers Fritz. Eine Klasse komplexer Mannigfaltigkeiten und die Autlosung einiger Isolierter Singularitäten // Math. Ann. 218.127-156. (1975).

3. Oda Tadao. Convex Bodies and Algebraic Geometry. Berlin: Springer-Verlag, 1988. 212 p.

4. Lerman E., Tolman S. Hamiltonian torus actions on symplectic orbifolds and toric varieties, Transaction of the A.M.S. 349 № 10 . (1997), 4201-4205.

5. Prato Elisa. Simple Non-Rational Convex Polytopes via Symplectic Geometry, arXiv: math. SG/9904179, 15 p.

Н.Р. Щербаков

ОБ ОДНОМ ЧАСТНОМ КЛАССЕ ПЛОСКОСТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В МНОГОМЕРНОМ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Томский государственный университет

УДК 551.594.21

Плоскостной поверхностью (регулюсом) в многомерном пространстве принято называть а-параметрическое семейство Ь (а) ¿/-мерных плоскостей, для которого с1+а меньше размерности пространства. Как точечное многообразие - это поверхность Х(с1,а) (ХеЬ), (й+а)-мерная касательная плоскость ТХ(й,а) которой в регулярной точке X содержит плоскостную образующую Ь. Если при смещении внутри Ь касательная плоскость не меняется, то поверхность Х(4 а) называется тангенциально вырожденной (аналог торсов 3-мерного пространства). В [1] было введено понятие плоскостной поверхности типа а. Для нее касательные плоскости при смещении внутри Ь пересекаются по одной и той же «ассоциированной» плоскости з I. Простей-

ший пример такой поверхности - 3-параметри-ческое семейство 2-мерных плоскостей в шестимерном проективном пространстве Р6. Касательные 5-плоскости ТХ(2, 3) этой гиперповерхности во всех точках образующей Ь пересекаются по ассоциированной плоскости /*+2 = /*; таким образом, мы имеем плоскостную поверхность типа 2.

Присоединим к семейству ЦЗ) подвижной репер {Л,}, (/, К-0,..., 6) так, чтобы вершины Ах 0= 0,1,2) лежали в плоскости Ь, вершины Ат (г=3,6) - в ассоциированной плоскости 1*4, а вершины Ая (я=4, 5) - в касательном подпространстве ТЩ) семейства [2], совпадающем с Р6. Деривационные формулы репера имеют вид ¿А,

Вестник ТГПУ. 2000. Выпуск 2 (18). Серия: ЕСТЕСТВЕННЫЕ НА УКИ (СПЕЦВЫПУСК)

где формы Пфаффа ш/ удовлетворяют уравнениям структуры проективного пространства

D&i

«of Лй".

Теперь в нашем репере в силу (2-5) матрица В, определяющая касательную плоскость в точке образующей, примет вид

Пусть Год = 01, о^ = в2, (»2 - б3 - базисные формы,

тогда в силу выбора репера <о[ = а£е\ < = ¡40* (р = 3,..., 6; г = 3, 6; 8 = 4, 5; к = 1, 2, 3).

Поместим еще вершины Ау Л^ А6 в касательную плоскость ТА1 (2, 3) = (Ь, Ау А4, Аб). Тогда матрица, определяющая касательную плоскость произвольной точки Х=х'А{ е Ь [2], примет вид

В =

JC° 4-afjX1

a^x1

О a02A'0+JC' +<*22xl О al2x0+al2x2

aW

3 1 l\

a,3x +л-0 0

4*f

Особыми класса с точками плоскости L называются такие точки, для которых понижается на с размерность касательной плоскости ТХ(2, 3), т.е. если ранг матрицы В равен 2, то точка - особая класса 1, а если Rang В = 1, то точка - особая класса 2. Как было показано в [3], многообразие особых класса 1 точек плоскости L представляет из себя конику S2 и изолированную точку М. В нашем репере

X "4" jX

3 I 2

4х<-

= 0;

М:

J«02x° +х' +а22х2

42Х°+42Х2 =о.

0 i 2 X +Х + X

еж0 + Д2*1 +a|tJC2 af2x'

о о

a|3x° + т аде2

(8)

где а, А,, А2 - обозначения из (3), (4), (5).

Цель данной работы - установить связь распадения коники и расположения точки М относительно 52 с наличием в плоскости Ь особых класса 2 то тек.

Теорема 1. Особая класса 1 точка М может стать особой класса 2, только если МеЗ2; при этом либо коника З2 не распадается, тогда М -точка касания З2 и прямой (А1М); либо 5г распадается на две действительные, пересекающиеся в точке Ах, прямые, одна из которых - (АХМ).

Доказательство.

Для особых класса 2 точек ранг матрицы В должен понизиться до 1. Из (8) следует, что для точек прямой (А^А^ (х1 - 0) это возможно, только если х°+х2 = 0, т.е. для точки М(-1:0:1). Для нее матрица В примет вид

Вк

-1 0 0

а21 -а

О 0 о

«21 ~«02

о 0

«-«03

(9)

Завершим фиксацию репера, приведя уравнение коники к каноническому виду:

Таким образом, точка М может быть особой класса 2, только если

(1)

52: а|3(х0)2 + Дх(х')2 -а^х2)2 =0,

3 3 «п аи

где л - , и помещая точку М на поляру

^ 6 „6 «II «13

точки А, относительно кривой Б2, т.е. на прямую

„в „б «02 ~«22'

[«03 = «21 •

(10)

Из (1) следует, что точка М в этом случае принадлежит конике Б2, уравнение которой принимает вид

(А0А2). Тогда координаты точки М = А2-А0- аУ(х0)2 -(х2)2]+Дх(х1)2 =0, - (-1:0:1), и получаются следующие соотношения на коэффициенты а£:

(11)

«02 - «22

«01

'23

= «02 = а,

: «22

= 1,

ап - а«П - «н«оз

«11

3 3 6 :СШП _«13а21

'Д.-'Д2-

Заметим, что точка М eS, только если

а также что в силу (4, 5)

А = (4)2«261-(«п)24-

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

где ап, * 0, так как в противном случае а26, = 0, а из (7) следует, что и А = 0 и все точки плоскости Ь -особые класса 1, что исключается из рассмотрения. Из (11) видно, что 5Р может распадаться только при Д = 0 на прямые х°-х2 = 0, х°+х2~ 0, вторая из которых и есть (АХМ). Если же А кривая 512 не распадается, а прямая (Л,М) касается & в точке М.

Теорема доказана.

Теорема 2. Особыми класса 2 точками плоскости Ь могут быть одна или две точки коники <5? (отличные от М) только в следующих случаях:

A) коника З2 не распадается. Тогда особыми класса 2 точками могут быть точки пересечения Я2 с прямой (АгМ); вместе с точками А^ъ М они образуют гармоническую четверку;

B) коника, распадается на две действительные пересекающиеся в особой класса 2 точке Л, прямые. Если одна из этих прямых (А,М), то М-тоже особая класса 2 точка (см. теорему 1);

C) если коника Б2 распадается на дважды взятую прямую, то на ней лежит единственная в Ь особая класса 2 точка.

Доказательство.

Случай х1 = 0 (точки прямой АдА2) был полностью рассмотрен в теореме 1. Пусть теперь х' ф 0.

а) Начнем с точек прямой (АХМ) (за исключением точки М, которая рассмотрена в теореме 1), т.е. будем считать в (8) х° + х2 = 0, х'фО. Приравнивая в (8) нулю миноры 2-го порядка, окаймляющие элемент х', получаем систему

= 0,

Х°+Х2

+ afjjc1 = О, afjx1 +х2 =0, ax° +a,V' +а-г\х2 =0, ао3х0 + а1б3х1 +оис2 =0,

(12)

откуда видно, что точки и Ы2 принадлежат X2, а так как в нашем репере А) и М полярно сопряжены, то (Ау М, Л/",, Лу образуют гармоническую четверку. При а21 * аьт коника не распадается.

Ь) Этот случай следует из а) при а', = = 0. Особой класса 2 точкой становится ^ = ЛГ, = ДГ2; она же точка пересечения прямых, на которые при этом распадается коника Б2 (см. 14). Если еще и а®з = я2, и Ящ = ап, то и точка М е Б2 - особая класса 2 [см. 10-11].

с) Коника Я2 распадается, как видно из (1), на дважды взятую прямую только в двух случаях: на (А }А2) ((х0)2 = 0) при а2, = Д = 0, я063 * 0 или на пря-мую (АйАх) ((х2)2 = 0) при Ящ = Д = 0, аф 0 ((а„)г +(а2,)2 как отмечалось в теореме 1). В первом случае из (7) получаем а3, = 0, из (5) -а® = Д2 = 0 и из (4): а, принимает вид

-ааъп. Тогда матрица В (8)

В;

о о

ох°

з 1 Щг*

0 1 2 X + X + X

0 2 X 4-Х

alV

,х + х 0 0

ао3х° + а(а^х' + х2 )

которая может иметь решение, только если

Rang

что приводит, с учетом (4) и (5), к требованию 4+4=0. (13)

Тогда из (12) видно, что особыми класса 2 точ-

1 1 0

1 0 a?i

0 1 4

а яб ¿21 afj

я6 d03 а я6 d13

4,(к0)2 + (а?,)2(4 -ajjj )(х' )2 - а', (х2 ) = 0,

Понижение ранга В до 1 возможно только для точек, координаты которых удовлетворяют условию: л:0 + х2*0; что приводит к системе

|х°=0, \a]2,xi +х2

0,

ками будут две точки прямой (Л, А/): (а,3, ±- я',)

и Мг(-4-1:4).

С учетом (13), (4) и (5) уравнение коники 5-примет вид

(14)

определяющей единственную особую класса 2 точку ( 0: -1: а,,), лежащую на прямой (А,Аг) = 52. Во втором случае аналогично получаем особую класса 2 точку (а,3,: -1:0), лежащую на прямой

Теорема доказана.

Следствие.

Из теорем 1 и 2 следует, что если в плоскости £ - образующей плоскостной поверхности типа 2 в Р6,~ существуют особые класса 2 точки, то их не больше двух и они обязательно принадлежат конике (может быть распадающейся)

Литература

1. Гейдельман P.M., Кругляков Л.З. О плоскостных поверхностях //ДАН СССР. 1974. Т. 219. № 1, С. 19-22.

2. Кругляков Л.З, Основы проективно-дифференциальной геометрии семейств многомерных плоскостей. Томск: ТГУ, 1980.112 с.

3. Гейдельман P.M., Кругляков Л.З., Середа A.B. Плоскостные поверхности типа 0 Ц Геометр, сб. 22. Томск: ТГУ, 1982. С. 28-34.