CC BY
24
УДК 514.185:519
К. Л. Панчук, В. Я. Волков
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТОГО ПРОСТРАНСТВА ДУАЛЬНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТЬЮ
Сделано обобщение известного принципа перенесения геометрии связки прямых и плоскостей на линейчатое пространство. Обоснована возможность построения проективной геометрии линейчатого пространства на основе конструктивного и метрического соответствия его эллиптических плоскостных моделей.
В геометрии известен принцип перенесения Котель-никова-Штуди, устанавливающий соответствие между геометрией связки прямых и плоскостей в расширенном до проективного пространстве Л3 и геометрией пространства Л над полем дуальнык чисел [1; 2; 3]. Согласно
этому принципу многообразию прямых пространства Л3 соответствует единичная дуальная сфера пространства Л3(Ю) [3]. Принцип перенесения и основанное на нем винтовое исчисление успешно применяются в дифференциально-геометрических исследованиях линейчатого пространства [1; 4] и пространственной механике [2]. Вместе с тем представляет интерес теоретическое развитие геометрической составляющей принципа перенесения, основным элементом которой является конструктивно-метрическое соответствие линейчатого пространства его возможным геометрическим моделям.
Авторами исследована возможность моделирования линейчатого пространства дуальной эллиптической плоскостью.
Пусть прямая расширенного пространства Л3 проходит через точку Х(хр х2, х3) и ее направление задано единичным вектором у {уру2,у3}. Определим плюк-керовы координаты прямой двумя точками с однородными проективными координатами: Х(хр х2, х3,1) и (ур у2, у3,0). На основании известной формулы плюккеровых координат [5]:р = ху.- ху.; I,у = 1, ...,4; I Ф- у запишем
Рц = х1Уг- х2У1; Р23 = х2У3- х3У2;
Р31 = V1 - ^ Р41 = У 1; Р42 = У2; Р43 = Уг (1)
Очевидно, три первых плюккеровых координаты соответствуют вектору ОХ ■ у . Прямой линии пространства Л3, имеющей координаты (1), можно поставить в соответствие дуальный вектор Р пространства Л с координатами
Р1 = -Р41 + ЮР23; Р2=Р42+ ®Р31; Р3 = -Р43 + ^ Ю = 0. (2)
Дуальный вектор Р является единичным. Действительно, для него можно записать:
( Р , Р ) = р + Р22 + р2 + ®2(Р41Р23 + Р42-Р31 + -Р43-Р12);
Ю2 = 0. (3)
Поскольку из (у,у ) = (-у,-у ) = 1 следует ^ у,2 = ^ р2, = 1, а выражение в скобках в уравнении (3)
/=1 ,=1
равно нулю, так как представляет собой скалярное произведение двух ортогональных векторов, то имеет место (Р , Р ) = 1. Очевидно, прямой пространства Л3 соответствует пара противоположно направленных единичных дуальных вектора и, следовательно, пара диаметрально противоположных точек единичной дуальной сферы (Р , Р ) = (-Р , —р ) = 1. Таким образом, имеет
место модель Э. Штуди линейчатого пространства в виде единичной дуальной сферы S [3]. Из непрерывности функций (1) следует непрерывность отображения линейчатого пространства R3(l) с основным элементом - прямой линией - I, на сферу S , т. е. соответствие R3(l) О S2(m) является гомеоморфным. Рассматривая единичную сферу S2(m) с отождествленными диаметрально противоположными точками как модель дуальной эллиптической плоскости, можно перейти к касательной к ней плоскости Л2(ю), которую также можно рассматривать как модель дуальной эллиптической плоскости единичного радиуса кривизны, полученную отображением сферы S2(m) проецированием из ее центра на касательную плоскость. При этом пара диаметрально противоположных точек сферы изобразится на Р2(ш) одной точкой. В силу непрерывности сферического отображения между пространством R3(l) и плоскостью устанавливается го-
меоморфное соответствие. Изотропному конусу X2 + Y2 + Z2 = 0 связки прямых и плоскостей расширенного пространства R3 соответствует дуальный изотропный конус X2 + Y2 + Z2 = 0 в пространстве R3(rf), который в пересечении с плоскостью я2(ш> образует абсолют ~к(ш) этой плоскости, имеющий уравнение X2 + Y2 + R2 = 0. В дуальных однородных проективных координатах абсолют плоскости Р2(ш) единичного радиуса кривизны имеет вид
3
^X2 = 0. Абсолюту -к(2ш) плоскости Я^Ш) изоморфно i=1
соответствует абсолют пространства R3(1), представляющий собой квадратичный комплекс -KM изотропных прямых, конус которого есть указанный изотропный конус. Соответствие абсолютов - KM и -к2ш) индуцирует соответствие метрик пространства R3(1) и плоскости R^. Комплексному углу (ф0,ф1) между двумя скрещивающимися прямыми пространства R3(1), где ф0 и ф1 - угол и минимальное расстояние между ними, соответствует дуальный угол Ф = ф0 + юф1, ю2 = 0 между соответствующими этим прямым единичными дуальными векторами X и Y:
cosФ = (X, Y ) = cos ф0 - юф^тф0, ю2 = 0.
Угол Ф есть расстояние между двумя точками x(X1, X2, X3) и y(Y1, Y2, Y3) плоскости R^ , соответствующими
_ _ _ _ 3
дульным векторам X и Y: cosФ = (X, Y ) = ^XYi.
i=l
Дуальная плоскость R2 (ю) может быть интерпретирована как метризованная проективная плоскость . Дей-
ствительно, расстояние А между двумя точками y(Y) и z(Z) плоскости R2 (ш) дульного радиуса кривизны R определится следующим образом:
А Ьа cos — = к=1 2 ■
R R
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
Определим точки пересечения прямой линии (у, z) и абсолюта -к2щ) решением уравнения
Х(П + ^)2 = 0 ,
к=1
где Ц = Ц0 + юц - параметр прямой; ю2 = 0. Пусть ц' и ц” различные корни этого дуального квадратного уравнения. Тогда получаем две точки пересечения: Ї](У + Ц^к) и і2(Ук + Ц’^), что позволяет записать сложное отношение четырех точек прямой
^ *1 і2) = М ^ м
На основании теоремы Виета для полученного дульного квадратного уравнения можно записать
2
(м' + м")2 _ 2
lYkZk
(л +1)2
(5)
R2
откуда, на основании выражения (4), следует
— = агссо8 :Л+1. (6)
Я 2л/л
В области дуальных чисел и дуальных аналитических функций имеют место формулы Эйлера [4]:
, — —
— е Я + е Я
со^— =----------;
Я2
.А e R - e
sin— =--
R2
А
(7)
Обозначим eR = T; cos R=M. Тогда из первого равенства (7) следует T12=M±yjMА -1. Поскольку T1T2 = 1, т. е. T 1 ф 0; T2 ф 0, то уравнение e'~R = T имеет решения относительно А. Следовательно, iА lne = lnT. Принимая T = T,
R R
А
= arccosM=7 ln(M + VM2 -1). R і
ет на основании выражения (6) записать
получим
что позволя-
(л +1)2
2л
-1) =7 і
Д л +1 1 л +1
— = arccos—= = -ln(—= +
R і 2^
21Д
В итоге получаем л = e R , откуда следует, что
Д 1 , 1
R = 2іІПЛ = й^ * і2) ’
(8)
аксиом связи, порядка, конгруэнтности и непрерывности [5; 6]. На основании существования гомеоморфного соответствия = Р/ О Б2 о £2 могут быть расшире-
ны границы применимости принципа перенесения Ко-тельникова-Штуди, устанавливающего соответствие геометрий пространств £2 О Л3(1) О 5 . В результате по-
лучаем следующее соответствие геометрий рассматриваемых пространств:
Я = Р2 О 52 О £2 О Л3(1) О 52(ю) О Й2(щ) = Р2(щ) .
Опираясь на систему аксиом геометрии плоскости Я£ = Р/ , можно построить проективную геометрию линейчатого пространства. Это утверждение основано на следующих положениях: во-первых, каждая из моделей эллиптической плоскости и модель Я2(Щ) линейчатого пространства Л3(1) может быть интерпретирована как соответствующая метризованная проективная плоскость; во-вторых, абсолюты названных моделей представляют собой мнимые квадратичные образы в проективных интерпретациях и соответствуют друг другу конструктивно либо по принципу перенесения.
Гомеоморфное соответствие Я3(1) О Я£(Щ) = Р2£Щ) позволяет выполнить построение проективной геометрии пространства Л3(1) с интерпретацией этой геометрии на плоскости Я2Щ) = Р2£щ) . Определим вначале основные линейные образы плоскости Я(Ю) = Р2(Щ) и укажем соответствующие им линейчатые прообразы в пространстве
*3©.
Из ортогональности двух точек плоскости Я2(Ю) = Р2(щ в полярном соответствии относительно абсолюта _&2Щ) : фиксированной а(Л.) и переменной х(Х), на основании соотношения (4) следует уравнение
(9)
описывающее прямую линию в этой плоскости. Прямая линия является полярой точки б относительно _&2Щ) . Уравнению (9) соответствуют в пространстве Л3(1) два линейчатых образа:
1) алгебраический коноид (АК), если имеет место со-
3
отношение X А,Х, (ф0) = 0, то соответствующий образ в
і=1
з-s
где 1пЯ = 1пЯ0 + ю . Таким образом, абсолют к,щ) плос-
л0
кости ^2(ю) определяет на ней эллиптическую метрику (4), которая имеет проективную интерпретацию (8). То есть абсолют -к(щ) плоскости Я2(щ есть в то же время дуальная мнимая коника проективной плоскости Я(Ю). На этом основании плоскость Я(Ю) может быть рассмотрена как метризованная дуальная проективная плоскость Я2(ю).
Известно, что связка ^ прямых и плоскостей; сфера Б2 с центром в центре связки и отождествленными диаметрально противоположными точками; плоскость Я, касательная к сфере Б2 и интерпретируемая как метризованная проективная плоскость Я - это модели эллиптической плоскости в расширенном пространстве Я3, геометрия которой основана на соответствующей системе
плоскости Я2 (Ю) называется прямой нитью;
3
2) щетка, если X ЛХ (ф) = 0 , где Ф = ф0+Юф1, Ю2 = 0.
. =1
3
Уравнение X А (д)Х1 = 0 , где — - вещественный па. =1
раметр, X. - координаты фиксированной точки х, может описывать два различных по размерности образа в плоскости Я(ю) :
1. Если Л. (5) - текущие линейные однородные координаты прямой нити, то получаем ниточный пучок прямых нитей с центром х(Х), линейчатым аналогом которого в пространстве *3(1) является «коноид коноидов» - однопараметрическое множество АК, оси которых образуют АК с осью х.
2. Если Л. (5) - текущие линейные однородные координаты прямой линии, то получаем ниточный пучок прямых линий, линейчатым аналогом которых в пространстве *3(1) является «коноид щеток» - однопараметричес-
А
і =1
кое множество щеток, оси которых образуют коноид с осью х(Х).
3
Уравнение X А (—)X, = 0 , где — = 50 + ю51; Ю2 = 0;
,=1
X. - координаты фиксированной точки х, также может описывать два различных по размерности образа в плос-
т")5
кости Я2(Щ) :
1. Если Л.(Д) - текущие линейные однородные координаты прямой нити, то получаем уравнение линейного пучка прямых нитей с центром х(Х), которому в пространстве Л3(/) соответствует двухпараметрическое множество конгруэнтных и конгруэнтно расположенных АК, оси которых образуют «щетку коноидов».
2. Если Л.(—) - текущие линейные однородные координаты прямой линии, то получаем уравнение линейного пучка прямых линий с центром х(Х), которому в пространстве Л3(/) соответствует двухпараметрическое множество щеток, оси которых образуют щетку второго порядка, т. е. «щетку щеток».
В плоскости проективному соответствию двух рядов точек на одной или разных эллиптических прямых; двух эллиптических пучков прямых первого порядка на одном или разных носителях, отвечает проективное соответствие двух линейчатых рядов одной или разных щеток первого порядка; одной или разных щеток второго порядка с интерпретацией этих соответствий в плоскости Р2(Щ). При этом проективному образованию прообраза в плоскости Р/ отвечает проективное образование квадратичного линейчатого образа в пространстве Л3(1) с интерпретацией этого образования в плоскости Р2(Щ). Например, теореме Штейнера в плоскости Р2Х соответствует теорема в линейчатом пространстве Л3(1): геометрическое место прямых пересечения соответственных щеток первого порядка двух проективных щеток второго порядка есть конгруэнция второго порядка; если щетка первого порядка, принадлежащая обеим проективным щеткам второго порядка, сама себе соответствует, то конгруэнция распадается на две щетки первого порядка, одна из которых есть эта щетка.
Приведенная теорема примет конструктивно-образную интерпретацию в плоскости Р2(Щ) , если в ней произвести замену слов и словосочетаний: «прямая линия» -«точка», «щетка первого порядка» - «прямая линия», «щетка второго порядка» - «линейный (может быть ниточный) пучок первого порядка прямых линий», «конг-
руэнция второго порядка» - «кривая линия второго порядка».
Моделирование проективного образования конгруэнции второго порядка в плоскости Р2£Щ) обнаруживает ее конструктивные и метрические свойства, аналогичные соответствующим свойствам коники в плоскости Р^ (например, произвольная щетка первого порядка не может иметь с конгруэнцией более двух общих прямых линий); через каждую прямую линию в конгруэнции проходит единственная щетка первого порядка, касательная к конгруэнции и др.
В завершение отметим, что трехпараметрической связной группе движений - метрических коллинеаций плоскости Я2£ = Р/ - соответствует по принципу перенесения Котельникова-Штуди шестипараметрическая связная группа винтовых движений - метрических коллинеаций пространства Л3(1). Последней группе изоморфно соответствует связная группа движений - метрических колли-неаций плоскости Р2(щ) = Р2(щ) .
Приведенные взаимосвязанные эллиптические вещественные и эллиптические дуальные плоскостные модели линейчатого пространства, полученные на основе расширения границ применимости принципа перенесения Котельникова-Штуди, определяют новое направление в изучении геометрии этого пространства. Эти модели позволяют разрабатывать эффективные алгоритмы конструктивно-метрического образования объектов линейчатого пространства, а также исследовать позиционные и метрические свойства этих объектов.
Библиографический список
1. Вишневский, В.В. Пространства над алгебрами / В. В. Вишневский, А. П. Широков, В. В. Шурыгин. Казань : Изд-во Казан. ун-та, 1985. 264 с.
2. Диментберг, Ф. М. Теория винтов и ее приложения / Ф. М. Диментберг. М. : Наука, 1978. 328 с.
3. Клейн, Ф. Высшая геометрия : пер. с нем. / Ф. Клейн. М. ; Л. : ОНТИ, 1939. 400 с.
4. Зейлигер, Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия / Д. Н. Зейлигер. М. ; Л. : Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. 196 с.
5. Розенфельд, Б. А. Неевклидовы геометрии / Б. А. Ро-зенфельд. М. : Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1955. 744 с.
6. Ефимов, Н. В. Высшая геометрия / Н. В. Ефимов. М. : Наука, 1971. 576 с.
K. L. Panchuk, V J. Volkov MODELLING LINE SPACE A DUAL ELLIPTIC PLANE
Generalization of a known principle of transferring of geometry of a sheaf of straight lines and planes on line space is considered. The opportunity of construction ofprojective geometry line spaces on the basis of constructive and metric conformity of his elliptic plane models is proved.
