Пример счетно компактного сепарабельного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск б, 1999

УДК 515.12

ПРИМЕР СЧЕТНО КОМПАКТНОГО СЕПАРАБЕЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА, НЕ ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ БИКОМПАКТОМ

Н. С. Стреколовская

В работе в предположении СН строится пример топологического пространства с первой аксиомой счетности со свойствами, сформулированными в заглавии.

В работе [1] сформулирован следующий вопрос о счетно компактных пространствах: совместимо ли с аксиоматикой ZFC утверждение — всякое сепарабельное счетно компактное пространство с первой аксиомой счетности является бикомпактом?

В настоящей статье доказана следующая теорема.

Теорема. В предположении континуум-гипотезы существует сепарабельное счетно компактное пространство с первой аксиомой счетности, не являющееся бикомпактом.

Доказательство. Как обычно, через W(ooi) обозначаем пространство трансфинитов, меньших первого несчетного ординала в стандартной топологии. Пусть h — некоторое непрерывное отображение упорядоченной суммы отрезка I = [0,1] числовой прямой М и пространства трансфинитов W(üJi) на полуинтервал [—1,1), монотонно возрастающее на отрезке I.

Обозначим через / отображение полуинтервала (0,1] прямой М в

отрезок [—1,1], задаваемое формулой f(x) = sin —, и через X — объ-

х

единение двух множеств 1x1 и {0} х WФундаментальная система окрестностей в X состоит из множеств двух видов. Если точка

© Н. С. Стреколовская, 1999

Пример счетно компактного сепарабельного пространства 99

р Е I х I и имеет координаты (ж,?/), х / 0, то ее базу окрестностей образуют открытые прямоугольники квадрата 1x1 со сторонами, параллельными осям координат, содержащие точку р.

Если точка р Е X, р = (0,ж), то базу окрестностей образуют множества вида

0(ж, V, \У) = ({0} х V) и {Г1 УУ х 1} п С/,

где — окрестность точки Ь(р) в полуинтервале [0,1) числовой прямой М, V — окрестность точки х в подпространстве Х\ — {0} х х(1 и \¥(и)1)), где I и \¥(и)1) — упорядоченная сумма, множество 11 = [0, (Г) х /, где [0, (Г) — полуинтервал.

Очевидно пространство X хаусдорфово. Докажем, что пространство X сепарабельно. Рассмотрим множество точек (3 в множестве 1x1, у которых обе координаты рациональны. Очевидно, [(5] = X, так как любая окрестность точек вида (0, х) пересекается с множеством С} из задания топологии. И, наконец, произвольная окрестность точки вида (у,х),у / 0 очевидно содержит точки из множества С}. Сепарабельность пространства X установлена. Пространство X счетно компактно. В самом деле, если счетная последовательность х& содержит подпоследовательность, все члены которой имеют первую координату, равную нулю, то она имеет предельную точку, поскольку подпространство Хх, Х\ С I, состоящее из точек с первой нулевой координатой, счетно компактно.

Если последовательность точек имеет подпоследовательность, лежащую в множестве I х /, то возможны два случая: либо первые координаты этой подпоследовательности имеют предельную точку, равную нулю, либо отличную от нуля. В первом случае предельная точка с нулевой первой координатой существует, поскольку существует предельная точка вторых координат проекций этой подпоследовательности на график функции / (вдоль прямых, параллельных оси ординат). Во втором случае подпоследовательность может быть заключена в бикомпакт В = [а, 1] х [0,1], где число а > 0, и, следовательно, имеет предельную точку в бикомпакте В.

Итак, пространство X счетно компактно, с первой аксиомой счетности, сепарабельно и не является бикомпактом. Теорема доказана.

100

Н. С. Стреколовская

Resume

Assuming СН we construct a separable first countable countably compact noncompact space.

Литература

[1] Архангельский А. В., Федорчук В. В. Об уплотнениях счетно компактных пространств // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. В. 4. С. 871-879

[2] Пасынков Б. А., Александров П. С. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.

Петрозавозаводский государственный университет, математический факультет,

185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33