CC BY
9в О, тогда ИМ/М — п-холлова подгруппа в О/М. По лемме 7 имеем (ИМ/М)(г) = И(г) М/М, поэтому И(г)М/М ■ КМ/М = И(г)КМ/М = КИ(г)М/М = КМ/М ■ И(г)М/М. Таким образом, индукция к факторгруппе О/М применима.
Теперь по лемме 2 имеем Ож>(О) = 1, Ф(О) = 1, в группе О существует единственная минимальная нормальная подгруппа — подгруппа Фиттинга Е(О) = Е, являющаяся нормальной элементарной абелевой р-подгруппой группы О, р € п, совпадающая со своим централизатором в группе О и дополняемая в О, т.е. О = [Е]М. Ясно, что п-холлова подгруппа группы О равна Оп = [Е]МП, где Мп — п-холлова подгруппа в М и Е < И = Оп.
Согласно лемме 6, п-холлова подгруппа Оп группы О является группой типа (1) или (2). Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности. Если коммутант п-холловой подгруппы Оп нильпотентен, то по теореме 2 из [12] получаем требуемую оценку ¡П(О) < г + 1, и теорема в этом случае доказана.
Пусть теперь В — коммутант п-холловой подгруппы Оп — ненильпотентен. Тогда Оп = [Е]([^]Л) по лемме 6, где Р — силовская р-подгруппа группы Оп шмидтовского типа; Q и Я — циклические силовские подгруппы. В этом случае 1Р(О) = ¡д(О) = 1Г(О) = 1 и п(Оп) = 3. По теореме 1 ¡П(О) = п(Оп) = 3. Теорема доказана полностью.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Walter de Gruyter, 19бТ.
2. Hall P., Higman G. On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc. 195б. 3. 1-42.
3. Черников Н.С., Петравчук А.П. Характеризация периодических локально разрешимых групп с разрешимыми и с конечно-экспонентными силовскими п-подгруппами // Укр. матем. журн. 19ST. 39, № б. Тб1—ТбТ.
4. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 200б.
5. Черников Н.С., Петравчук А.П. О п-длине конечных п-разрешимых групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр. Ин-та математики АН Украины. Киев, 1993. 393-405.
6. Kazarin L.S. Soluble product of groups. Infinite groups 94. Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter, 1995. 111-123.
T. Монахов В.С., Шпырко О.А. О нильпотентной п-длине конечных п-разрешимых групп // Дискретная математика. 2001. 13, вып. 3. 145-152.
S. Шпырко О.А. Холловы подгруппы и нильпотентная п-длина п-разрешимой группы // Весщ НАН Беларусь Cep. фiз.-мат. навук. 2001. № 2. 48-50.
9. Семенчук В.Н. Об одном классе конечных разрешимых групп // Докл. АН БССР. 19Тб. 104-105.
10. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М.: Наука, 1980.
11. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 19TS.
12. Шпырко О.А. Нильпотентная п-длина конечной п-разрешимой группы и коммутант ее п-холловой подгруппы // Таврич. вестн. матем. и информ. 2004. № 1. 10б-112.
Поступила в редакцию 20.i0.2006
УДК 512.36
ПРИМЕР МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР С ДРОБНЫМ ПОЛИНОМИАЛЬНЫМ РОСТОМ
М. В. Зайцев, С. П. Мищенко
В работе изучается асимптотическое поведение коразмерностей тождеств неассоциативных алгебр. Основной результат статьи — построение примера многообразия с дробным полиномиальным ростом коразмерностей тождеств над полем нулевой характеристики.
Пусть V — многообразие линейных алгебр. Обозначим через Е = Е(X, V) относительно свободную алгебру многообразия V со счетным множеством свободных образующих X = {Х\,Х2,... }. Пусть Рп = Рп^) — совокупность всех полилинейных элементов от Х1,...,ХП в алгебре Е. Действие и(х1) = симметрической группы Бп естественным образом продолжается до автоморфизма алгебры Е = Е(X, V). Пространство Рп становится при этом 5П-модулем.
Исследование структуры Рп как 5п-модуля играет важную роль при изучении многообразия V. Модуль Рп является вполне приводимым, рассмотрим разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров:
Хп(У) = х(Рп(У)) = ^ шххх. (1)
ЛЬп
Асимптотическим поведением размерности сп = с^У) пространства Рп (V) определяется рост многообразия.
Важными числовыми характеристиками многообразия являются также кратности т,\ в сумме (1).
Обозначим через размерность соответствующего Л неприводимого модуля: = deg хл. Отметим, что для введенных числовых характеристик выполняется соотношение
Cn(V) = dim Pn(V) = mxdx- (2)
Xhn
Напомним, что рост многообразия называется полиномиальным, если существуют такие числа C, к, что для любого n выполняется неравенство cn(V) < Cnk.
В работе [1] в случае ассоциативных алгебр, алгебр Ли или йордановых алгебр показано, что для многообразий полиномиального роста cn(V) = anq +O(nq-1), где q — некоторое натуральное число. Таким образом, во всех исследованных до сих пор случаях полиномиального роста коразмерности ведут себя как полиномиальные функции с целочисленным показателем степени. В данной работе для общего случая линейных алгебр приведен пример многообразия с нарушением данного условия. Основным результатом статьи является построение многообразия V, для которого cn(V) ~ n3'5.
Заметим, что идея используемых конструкций построения алгебр аналогична идее из статей авторов [2-4] и связана с ассоциативными словами в конечном алфавите.
Обозначим через N. многообразие линейных алгебр, в которых выполняется следующее тождество: (■■■ ((х\х2)хз) ...ж.5+1) = 0. Другими словами, многообразие N. состоит из правонильпотентных алгебр индекса нильпотентности не выше s. Аналогично обозначим через .N многообразие левонильпотент-ных линейных алгебр индекса нильпотентности не выше s. Это многообразие определяется тождеством (х.+ 1 ...(хз(Х2Х1)) ■■■) = 0.
Напомним, что элементы вида (((xi1 ,Xi2)xi3 ...Xin) = xi1 ...Xin называются левонормированными. В этом случае договоримся опускать скобки.
Пусть w = W1W2 ■■■wm — ассоциативное слово в алфавите {0,1}. Обозначим через A(w) алгебру с базисом a,b,z1 ,z2, ...,zm+1 и таблицей умножения zia = (1 — wi)zi+1, zib = wizi+1, i = 1,2,...,m; остальные произведения равны нулю.
Пусть, как принято, [х] является целой частью числа х. Обозначим для натуральных m и s, 1 < s < уш + 1, через w(m, s) слово длины m, в котором s-я и т-я буквы — единицы, а остальные — нули. Пусть А{т) = A(w(m, 1)) © A(w(m, 2)) ©• • • © a(w(m, [л/т + 1])) и Vm = var A(m) — многообразие, порожденное этой алгеброй.
Мы используем одинаковые обозначения для элементов из различных алгебр. Это сделано осознанно, чтобы не усложнять обозначения. Надеемся, что это не вызовет недоразумений.
Из определения многообразий легко следует свойство, доказательство которого мы оставляем читателям.
Лемма 1. Для любого m выполняется включение Vm С 2N П Nm+1.
В частности, из этой леммы следует, что ненулевыми могут быть лишь левонормированные элементы.
Основным объектом исследования является объединение построенных многообразий Vm = Um>1 Vm = var A, A = A(2) ф A(3) ф ....
Теорема 1. При n > 25 для многообразия V выполняется условие
(Ш _2)та(та~1)(та~5) < cra(V) < п3л/п + та2(2та + Зл/п) + та2.
6
Для доказательства этого результата нам потребуется несколько вспомогательных утверждений, связанных с оценками кратностей в сумме (1). Заметим, что тл =0 в этой сумме, если для разбиения Л = (Л1, Л2,...) выполняется одно из условий: Л4 = 0, Л3 > 1 или Л2 + Л3 > 3. То есть ненулевыми будут только кратности для следующих разбиений: (та), (п — 1,1), (п — 2, 2), (п — 2,1,1), (п — 3, 3), (п — 3, 2,1).
Так как скобки могут быть расставлены только одним левонормированным способом, то модуль Рп(V) является образом регулярного £п-модуля, поэтому кратность не превосходит размерности соответствующего неприводимого модуля, т.е. т,\ < Таким образом, т(п) < 1, т(п-1,1) < п — 1, что достаточно для наших целей.
Для проверки выполнимости тех или иных тождеств многообразия V мы подставляем элементы порождающих V алгебр вместо свободных образующих.
Пусть ф — некоторая подстановка базисных элементов а, Ь, Х1,Х2,... алгебры А(,ш(т, в)) вместо Х1,..., Хп. Мы будем говорить, что ф относится к классу ф1, если ф(Х1) = Ь ровно для одного г €{1, 2,..., п}, и ф относится к классу ф2, если в точности две переменные заменяются на Ь. Не все подстановки принадлежат ф1 и ф2, однако именно они играют ключевую роль в оценке кратностей. Заметим, что любая подстановка ф € ф1 иф2 зависит от числа переменных п и алгебры А^(т, в)), но мы не будем усложнять обозначения, поскольку всегда будет ясно, о какой алгебре и какой степени п будет идти речь.
Лемма 2. Пусть / = /(Х1,..., Хт+1) — полилинейный многочлен степени т + 1. Если ф(/) = 0 для любой подстановки ф € ф2 в любой алгебре А^т, в)), то и ф(/) =0 в любой алгебре А^(п,г)) для любой подстановки ф € ф2 ■
Доказательство. Выберем произвольные п, г (1 < г < л/п) и подстановку алгебре А(ъи(п, г)).
Если п < т, то ф(/) =0 в силу нильпотентности А^(п,г)). Поэтому можно считать, что п > т. Пусть ф(Хк) = ф(Х[) = Ь. Если не менее двух переменных заменяется на один из элементов Х1 ,Х2,... ,хп+1, то ф(/) = 0. Аналогично если ф(Х1) = а для всех г = к,1, то ф(/) = 0.
Пусть теперь ф(Х1) = х^ для некоторых г,]. Тогда ф(/) = 0, если п + 1 = т + Поэтому можно считать, что п + 1 = т + Запишем / в виде
У^ ааХа(1) . . . Ха(т+1) = /1 + /2,
где /1 — сумма тех одночленов, для которых а(1) = г, а /2 — тех, для которых а(1) = г. Тогда ф(/2) = 0 по определению умножения в алгебре А^(п,г)). При подстановке а,Ь и х^ в слагаемые /1 мы получим ненулевые значения только для произведений вида х^ а^^аЪа... аЬ, где г' = г — ], причем все они равны
г'
Хп+1. Поэтому
ф(/) = ф(/1)= вХп+1, (3)
где
в = Е . (4)
аеЯт+1,а(1)=г {а(т+2-]),а(т+1)}={к,1}
Рассмотрим теперь алгебру А^(т,г')), где г' = г + 1 — Заметим, что такая алгебра существует, поскольку для к = ] — 1 > 0 выполняются неравенства
0 < к2 — к + 2кл/п - к,
г2 ^п-к + 2 кл/п - к + к2 = (л/п - к + к)2, г' = г — к < л/п — к,
а п — к = п + 1 — ] = т, так как п + 1 = т + Для этой алгебры возьмем подстановку ф € ф2, для которой ф(Хк) = ф(Х1) = Ь и ф(Х^ = х1, фХ) = а при всех £ = к,1, г. Тогда для тех а € Бт+1, для которых
а(1) = i, {а(г + 2— ]),а(т + 1)} = {к, l}, имеем ф(Хф) . . . Ха(т+1)) = Хт+1 и ф(Ха(1) . . . Ха(т+1)) = 0 для
всех остальных а. Поэтому
ф(/) = вХт+1 (5)
с тем же коэффициентом в, что и в (4). Поскольку ф(/) =0 в алгебре А(,ш(т,г'У) по условию леммы, то в = 0 в (5), а значит, и в (3), т.е. в А^(п,г)). Лемма доказана.
Для ограничения кратностей разбиений (п — 2, 2) и (п — 2,1,1) нам понадобится аналогичный результат.
Лемма 3. Пусть / = /(х1, ..., Хт+1) — полилинейный многочлен степени т + 1. Если ф(/) = 0 для любой подстановки ф € ф1 в любой алгебре А(-ю(т2, в)), в < т, то и ф(/) =0 в любой алгебре А(,ш(п, г)) для любой подстановки ф € ф1 .
Доказательство. Выберем алгебру А^(п,г)) и произвольную подстановку ф £ ф1 базисных элементов этой алгебры вместо переменных Ж1,Ж2,..., хт+1. Как и в предыдущей лемме, можно считать, что ф(х^) = , ф(%к) = Ь и ф(х^) = а для всех Ь = г,к, иначе ф(/) = 0. Можно также считать, что п > т и г < т. В алгебре А(ъи(п, г)) ненулевые произведения имеют вид а^^аЪа... а = , причем г' = г — ].
г'
Поэтому
ф(/) = , в = ^ . (6)
о(1)=1,о(г+2-])=к
Поскольку г < т, то и г' < т, следовательно, существует алгебра А^(т2,г')). Для нее мы рассмотрим подстановку ф £ ф1, такую, что ф(х^) = г1, ф(хк) = Ь и ф(х^) = а для Ь = г, к. Тогда ф(/) = вгт+1 в этой алгебре с тем же коэффициентом в, что ив (6). Так как ф(/) =0 в А(-ю(т2, г')), то в = 0 в (6), а значит, ф(/) =0 в А^(п,г)), что завершает доказательство леммы. Дадим теперь верхние оценки для кратностей.
Лемма 4. В сумме (1) для многообразия V выполняются неравенства
ГП(т-3,3) < 3\/п - 1, т(п-3,2,1) < у/п ~ 1-
Доказательство. Получим сначала верхнюю оценку для разбиения Л = (п — 3,3). Пусть М = т(т-з,з) и /1,...,/м — элементы, порождающие различные неприводимые Л-подмодули в разложении 5п-модуля Рп в прямую сумму. Можно считать, что все /3, в = 1,... ,М, кососимметричны по одинаковым трем двухэлементным наборам переменных, соответствующим трем столбцам высоты 2 диаграммы Юнга, например по {х1 ,Х2}, {хз,Х4} и [х^,х§}. В силу кососимметричности и правил умножения в алгебрах А^(к,Ь)) ненулевые значения /1,..., /м можно получать только при подстановке одного базисного элемента и (п — 3) элементов а, т.е. при подстановках типа ф2.
Предположим теперь, что М > 3\/п — 1, и покажем, что существует нетривиальная линейная комбинация
/ = а1/1 + ... + ам /м, (7)
тождественно равная нулю в А(-ш(к,Ь)).
Так как проверять равенство нулю / достаточно только для подстановок из класса ф2, то в силу леммы 2 достаточно доказать, что / является тождеством всех алгебр А(ю(п — 1,г)).
Выделим три типа подстановок в классе ф2. К первому типу отнесем подстановки ф, для которых
ф({х1 ,х2}) = [г1, а}, ф({хз,х4}) = [а, Ь}, ф({х5,х6}) = [а, Ь}.
Ко второму (соответственно к третьему) отнесем подстановки, для которых ф({хз,х4}) = {г1,а} (соответственно ф([х$,х§}) = {г1,а}), а две другие кососимметричные пары заменяются на {а,Ь}. Для всех остальных подстановок ф £ ф2 значение ф(/.), в = 1,..., М, а следовательно, и ф(/) равно нулю для любого / вида (7).
Пусть теперь ф £ ф2 — подстановка г-го типа, 1 < г < 3. Тогда значение ф(/) в алгебре А(ю(п — 1, г)) пропорционально гп. Обозначим ф(/) = гп и составим из коэффициентов 7^ матрицу из
3 [\/п — 1] строк и М столбцов. Тогда ее столбец состоит из коэффициентов -у^ ^ при гп, возникающих при всех трех типах подстановок ф £ ф2 в полином /.,• во всех алгебрах А(и}(п — 1, г)), 1 < г < [л/п — 1]. Так как число столбцов М больше числа строк, то столбцы линейно зависимы. Обозначим коэффициенты равной нулю нетривиальной линейной комбинации через Л1,..., Лм. Тогда ф(Л1 /1 + ... + Лм/м) =0 в любой из алгебр А(ю(п — 1, г)) для любой подстановки ф £ ф2. Следовательно, Л1/1 + ... + Лм/м = 0 — тождество V, т.е. /1,..., /м — линейно зависимые элементы относительно свободной алгебры многообразия V. Это противоречит тому, что они порождают различные неприводимые ¿»„-подмодули в Рп, следовательно, кратность Ш(га_з з) не может быть больше 3\/п — 1.
Теперь перейдем к оценке для т(п-з,2,1). Как и прежде, пусть М = т(п-з,2,1), а /1,..., /м — порождающие различных неприводимых 5п-модулей с характером Л = (п — 3, 2,1) в Рп, причем все / косо-симметричны по наборам переменных {х1,х2,хз} и {х4,х5}. Ненулевые значения /^ в алгебрах А^^^)) можно получать лишь при подстановках {гг,а,Ь} вместо {х1 ,х2,хз} и {а,Ь} вместо {х4,х5}, а остальные хб,...,хп должны заменяться элементом а.
Предположим, что М > у/п — 1, и построим в V нетривиальное тождество вида
/ = а/ + ... + ам /м. (8)
Пусть ф : X — А^(к,Ь)) — некоторая подстановка базисных элементов алгебры А^(к,Ь)) вместо Х1,..., Хп.
Как отмечено выше, ф(/) = 0 при любых коэффициентах а1, ... ,ам, если ф не относится к
классу ф2.
Пусть теперь ф € ф2. По лемме 2 достаточно проверить, что ф(/) =0 во всех алгебрах А(ю(п — 1, г)), 1 < г < \/п — 1. Тогда либо
ф({Х1 ,Х2,Хз}) = {Х1, а, Ь}, ф({Х4 ,х5 }) = {а,Ь}, ф(х{) = а, 6 < г < п, (9)
либо ф(/) = 0 при любых а1,...,ам. Если ф удовлетворяет условию (9), то ф(/^) = 7г^Хп в алгебре А(ю(п — 1 ,г)) для некоторого скаляра 7г^. Снова составим матрицу из коэффициентов 7г^, у которой [л/п — 1] строк и М столбцов. Поскольку М > л/п — 1, то ее столбцы линейно зависимы. Если Л1,..., Хм — соответствующие коэффициенты линейной зависимости, то ф(Х1/1 + ... + Хм/м) = 0 в любой из алгебр А(ю(п — 1 ,г)) и при любой подстановке ф € ф2, т.е. Х1 /1 + ... + Хм/м — тождество в V. Полученное противоречие завершает доказательство.
Лемма 5. Кратности т(п-2, 2) и т(п-2,1 ,1) в разложении (1) удовлетворяют неравенствам
Щп-2,2) < 2(п - 1) + Ъл/п - 1, Ш(п_2,1,1) < п - 1 + л/п ~ 1.
Доказательство. Сначала рассмотрим разбиение Х = (п — 2,2). Как и прежде, положим М = т(п-2, 2) и выберем порождающие /1,..., /м неприводимых подмодулей Рп с характером (п — 2, 2). Как и в предыдущей лемме, мы можем считать, что все / кососимметричны по {Х1,Х2} и {хз,х4}. Мы также можем дополнительно предполагать, что все они симметричны по переменным {Х5,... ,хп}.
Покажем, что в предположении М > 2(п — 2) + Ъ^/п — 1 существует нетривиальная линейная комбинация /1,..., /м, тождественно равная нулю в V. Рассмотрим произвольную подстановку ф базисных элементов какой-либо алгебры А^(т,г)) вместо х1,...,хп. Если ф € ф1 и ф2, то ф(/г) = 0 для всех г = 1,...,М.
Пусть теперь (р £ (р\ и (р2- Как п прежде, идея получения противоречия состоит в построении матрицы О размера (2(п — 1) + Ъ[^/п — 1]) х М, линейная зависимость столбцов которой будет гарантировать существование линейной комбинации /1,..., /м, равной нулю при всех подстановках ф € ф1 и ф2. Первые 2(п — 1) строк матрицы О будут соответствовать алгебрам А(-ю((п — 1)2, в)), в = 1,...,п — 1, а последние — 1] строк — алгебрам — 1),?")), 1 < г < [л/п — 1].
Напомним, что все /1,...,/м кососимметричны по {х1 ,Х2}, {хз,Х4} и симметричны по хь,...,хп. Если ф € ф1, то по лемме 3 достаточно проверять тождества только в алгебрах А^((п — 1)2,в)). Более того, при доказательстве леммы 3 было показано, что достаточно проверять тождество, подставляя в него лишь базисный элемент Х1, а не Х2,..., Х(п-1)2+1. В этом случае ф(/) может принимать в А^((п — 1)2,в)) только кратные элементу Хп значения. Снова выделим два типа подстановок ф € ф1. Подстановки 1-го типа заменяют {Х1,Х2} на {а,Ь}, а {хз,Х4} на {Х1,а}, переводя остальные х^ в а. Подстановки 2-го типа заменяют {Х1,Х2} на {Х1 ,а}, {хз,Х4} на {а,Ь}, а все остальные переменные — на а. Если же ф € ф1 не относится ни к 1-му, ни ко 2-му типу, то ф(/1) = ... = ф(/м) = 0.
Пусть теперь ф(/j) = Хп в алгебре А(-ю((п — 1)2,в)), где = 1, 2 — тип подстановки ф. То-
гда коэффициенты ,... ,12(п-1)^ составляют первую часть столбца Оj матрицы О. Чтобы построить оставшуюся часть столбца Оj, рассмотрим подстановки из класса ф2. Среди них выделим подстановки 5 типов. Первые два типа заменяют одну из пар {х1 ,Х2}, {хз,Х4} на {а,Ь}, а другую на {х1,Ь}. Следующие два типа заменяют одну из указанных пар на {а,Ь}, а другую на {Х1 ,а}. Наконец, при пятом типе подстановок обе кососимметричные пары заменяются на {а,Ь}, а один из Хj, ] > 5, — на Х1. По лемме 2 проверять тождество достаточно лишь в алгебрах А(ю(п — 1,г)). Все значения ф(/j) в этих алгебрах кратны Хп. Положим ф(/j) = 72(п-1)+5(г-1)+г^Хп для подстановки ф типа г в алгебре А(ю(п — 1, г)). Тогда коэффициенты 72(п-1)+1,^') • • • > 72(п-1)+5[^га+Т] ] и составляют оставшуюся часть столбца С^.
При сделанных нами предположениях столбцы О1 ,...,Ом линейно зависимы. Если Х1О1 + ... + Хм Ом — нетривиальная линейная комбинация, равная нулю, то / = Х1/1 + ... + Хм /м — тождество многообразия V, поскольку ф(/) =0 в любой из алгебр А(,ш((п — 1)2,в)) для всех ф € ф1 и ф(/) = 0 в любой А(ю(п — 1,г)), если ф € ф2. Полученное противоречие завершает доказательство леммы для разбиения (п — 2, 2).
Для разбиения (п — 2,1,1) все полиномы /1,..., /м кососимметричны по {х1,х2,хз} и симметричны по {х4,...,хп}. Поэтому для подстановок из класса ф1 достаточно рассмотреть лишь один тип, когда тройка {х1 ,х2, хз} заменяется на а, Ь,г1, а х4, ...,хп — на а. Для ф £ ф2 тоже возможен только один тип подстановок, когда {х1,х2,хз} заменяется на а,Ь,Х1, один из элементов х4, ...,хп заменяется на Ь, а все остальные — на а. Поэтому аналогичные рассуждения дают верхнюю оценку Ш(га_2,1,1) < та — 1 + [\/п — 1]. Лемма полностью доказана.
Необходимую нижнюю оценку получим только для одного разбиения с числом клеток вне первой строки, равным трем.
Лемма 6. При п > 25 для кратности т(п-з,з) в разложении (1) кохарактера многообразия V выполняются неравенства ^ ~ 4-
Доказательство. Зафиксируем число п и его разбиение Л = (п — 3, 3). Обозначим через Т3, в = 5,..., [л/п], следующую стандартную таблицу Юнга:
Т =
1 3 4 та — 1
2 8 та
т.е. в клетках второй строки расположены числа 2,в,п, а остальные числа расположены по возрастанию в клетках первой строки. Элемент свободной алгебры, соответствующий этой таблице, обозначим через /3. Если произвести хорошо известную склейку по строкам, то получим элемент д3 вида
д3(х1,х2) = х1х2 х1х1х{-5х2^п1-3-1х2.
Здесь одинаковые символы над переменными с разными индексами означают, что по ним проведено альтернирование. Например, выражение Х1Х2 равно х1х2 — х2хь Заметим, что тождества /3 = 0 и д3(х\,х2) = 0 эквивалентны. Докажем линейную независимость элементов д3(х\,х2) для 8 = 5,..., [л/п\, что и будет означать выполнение неравенства т(п-з,з) ^ ~ 4 (лемма 2 статьи [4]).
Предполагая противное, рассмотрим нетривиальное линейное соотношение
Ш
а%д%(х1,х2) = 0,
г=5
в котором, например, а3 = 0. Сделаем следующую подстановку вместо переменных элементов алгебры А(,ш(п — 1,в — 1)): х1 = г1 + а, х2 = Ь. Так как д^(г1 + а,Ь) =0 при г = в, а д3(г1 + а, Ь) = гп = 0, получаем противоречие.
Лемма полностью доказана.
Используя формулу крюков (см., например, предложение 1.2.1 статьи [1]), можно выписать формулы размерностей неприводимых модулей, участвующих в сумме (1):
п(п — 1)(п — 5) п(п — 2)(п — 4) Х(га-3,3)(1) = -^-, Х(га-3,2,1)(1) = -^-,
та (та - 3) (та - 1)(та-2) Х(га—2,2) VУ = -2-' Х(п-2,1,1)(-и = -^->
Х(п-1,1)(1) = п — 1, Х(п) (1) = 1.
Теперь доказательство теоремы является непосредственным следствием доказанных лемм, формулы (2) и того факта, что вклад в коразмерность сп(V) неприводимых характеров (п) и (п—1,1) не превосходит 1 + (п — 1)2 < п2.
Таким образом, последовательность коразмерностей многообразия V ведет себя асимптотически, как последовательность Оп7/2, п = 1, 2,..., для некоторой константы С, что невозможно реализовать в случае ассоциативных, лиевых или йордановых алгебр [1].
Понятно, что аналогичные конструкции алгебр позволяют доказать следующую теорему.
Теорема 2. В случае нулевой характеристики основного поля для любого вещественного 3 < а < 4 существует такое многообразие линейных алгебр Va, что при достаточно больших п выполняется условие Сп < сп^) < С2па, где С1,С2 — некоторые положительные константы.
Работа частично поддержана грантами РФФИ № 04-01-00739, 06-01-00485а и грантом НШ-5666.2006.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Drensky V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals: Proc. Int. Conf. on Algebra Honoring A. Malcev // Contemp. Math. Part 2. 1992. 131. 285-300.
2. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Codimensions of algebras and growth functions // Dipt. Mat. Appl. Universita di Palermo. Preprint N 264. 2004.
3. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Algebras with intermediate growth of the codimensions // Adv. Appl. Math. 2006. 37, N 3. 360-377.
4. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Матем. заметки. 2006. 79, вып. 4. 553-559.
Поступила в редакцию 08.11.2006
УДК 519.716
О КЛАССАХ ФУНКЦИЙ к-ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, МОНОТОННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО
МНОЖЕСТВ ШИРИНЫ ДВА
О. С. Дудакова
Рис. 1
Одной из важных задач, связанных с семействами замкнутых классов функций многозначной логики, является задача о конечной порожденности, т.е. о выразимости всех функций из замкнутого класса формулами над некоторым конечным множеством функций, принадлежащих этому же классу. Из результатов Э. Поста [1,2] следует, что каждый замкнутый класс булевых функций имеет конечный базис. В многозначных логиках этот результат не имеет места: для любого к > 3 в Рк существуют замкнутые классы как со счетным базисом, так и не имеющие базиса [3]. К настоящему времени отсутствует полное описание всех конечно-порожденных классов функций многозначной логики даже для семейства предполных классов (описание всех предполных классов см. в [4, 5]). Известно [6], что любой предполный класс в Рк из семейств Я, С, и, С и В является конечно-порожденным. Для семейства М предполных классов всех функций, монотонных относительно частично упорядоченных множеств с наименьшим и наибольшим элементами, этот результат верен, вообще говоря, лишь при к < 7. В ряде работ (см., например, [6-9]) приводятся достаточные условия конечной порожденности классов из семейства М. В то же время начиная с к = 8 существуют такие частично упорядоченные множества (рис. 1), что соответствующие предполные классы монотонных функций не имеют конечного базиса [10]. В данной работе получен критерий конечной порожденности для семейства предполных классов функций, монотонных относительно частично упорядоченных множеств ширины два.
Пусть V — некоторое частично упорядоченное множество с отношением порядка Если для элементов а, Ь множества V выполнено одно из соотношений а < Ь или Ь < а, то эти элементы называются сравнимыми, в противном случае — несравнимыми; если выполняются неравенства а < Ь и а = Ь, будем говорить, что а меньше Ь (обозначение а < Ь). Пусть 0,1,0,2 € V, элементы а1 и а2 несравнимы. Элемент Ь €Р называется верхней гранью элементов а1 ,а2, если выполняются неравенства Ь > а1 и Ь > а2; верхняя грань Ь элементов а1 ,а2 называется минимальной верхней гранью этих элементов, если ни для какой другой верхней грани х этих элементов не выполняется неравенство Ь > х; Ь называется точной верхней гранью а1 ,а2 (обозначение 8ир(а1,а2)), если для любой верхней грани х этих элементов выполняется неравенство Ь < х. Будем говорить, что элементы а1 и а2 1-несравнимы, если они несравнимы и не имеют точной верхней грани; будем говорить, что элементы а1 и а2 2-несравнимы, если они 1-несравнимы и найдутся две их минимальные верхние грани, которые являются 1-несравнимыми. Пусть элементы а1 и а2 1-несравнимы, Ь1 и Ь2 — их минимальные верхние грани и существует с = 8ир(Ь1,Ь2). Тогда будем говорить, что с — точная верхняя грань второго порядка элементов а1 и а2 (обозначение 8ир2(а1 ,а2)).
Пусть АСР, Ь €А. Элемент Ь называется максимальным элементом множества А, если не существует таких элементов х €А, что имеет место неравенство х > Ь; если в множестве А содержится ровно
