Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты Текст научной статьи по специальности «Математика»

Отсюда получим ¡¡ь(ха) = ¡ь(ха) = 1. Аналогично для решения хь(£) € 5*(А), удовлетворяющего равенствам ж1(0) = х2(0) = 0 будем иметь ¡¡ь(хь) = ¡¡ь(хь) = ш.

Итак, оценки в лемме 5 обобщаются на случай произвольного ненулевого решения, при этом они становятся еще и достижимыми. При определении спектра каждой из функций ¡¡£ и ¡¡£ множество решений х € 5* (А) можно ограничить лишь теми решениями, начальные значения которых лежат на единичной сфере Б, поскольку ¡¡ь(х) = ¡¡ь(х/|х(0)|) и ¡ь(х) = ¡ь(х/|х(0)|). Полученные сужения этих функций, согласно лемме 2, непрерывны, а значит, принимают все промежуточные (между указанными двумя экстремальными) значения, откуда и следует требуемое утверждение. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сергеев И.Н. Определение характеристик блуждаемости решений линейной системы // Дифф. уравнения. 2010. 46, № 6. 902.

2. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. 76, № 1. 149-172.

Поступила в редакцию 24.01.2014

УДК 512.5

ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ЛЮБОЙ ЦЕЛОЙ ЭКСПОНЕНТЫ

С. П. Мищенко,1 О. В. Шулежко2

В работе рассматриваются многообразия линейных алгебр, квадрат которых принадлежит правому аннулятору. В случае нулевой характеристики основного поля доказано, что для любого натурального числа m существует почти нильпотентное многообразие, экспонента которого равна m.

Ключевые слова: многообразие линейных алгебр, тождество, рост коразмерностей.

Varieties of linear algebras with the square lying in the right annihilator are considered. In

m

m

Key words: variety of linear algebras, identity, growth of the codimensions.

На протяжении всей работы основное поле Ф имеет нулевую характеристику. Все необъясняемые понятия можно найти в книге [1]. Будем называть многообразие почти нилыютентным, если оно само не является нилыютентным, но каждое его собственное подмногообразие нильпотентно. Примерами таких многообразий служат многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр, многообразие всех мета-бел евых алгебр Ли. Отметим, что в статье [2] дано описание всех почти нильпотентных многообразий алгебр Лейбница.

Договоримся в случае левонормированной расстановки опускать скобки, т.е. abc = (ab)c. Обозначим через Ra оператор умножения справа на элемент a и будем писать bRa = ba. Тогда левонормированное произведение ba... a степени k + 1 можно записать как bRa.

Пусть V — многообразие алгебр, а F(V) — его относительно свободная алгебра счетного ранга, порожденная свободными образующими Xi,X2,.. ..Обозначим через Pn(V) подпространство полилинейных элементов от х\,... ,хп в F(V), а через сп(V) = dimPra(V) его размерность. Предел Нтга^оо \/сп(V) в случае его существования называют экспонентой многообразия V и обозначают EXP(V).

Целью настоящей работы является доказательство существования почти нильпотентных многообразий произвольной целой экспоненты. Идейной основой послужила статья [3], в которой построено почти нильпотентное многообразие экспоненты два.

1 Мищенко Сергей Петрович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. алгебро-геометрических вычислений ф-та математики и информационных технологий Ульянов, гос. ун-та, e-mail: mishchenkospQmail.ru.

2Шулежко Олеся Владимировна — ассист. каф. информатики Ульянов, гос. пед. ун-та им. И.Н. Ульянова, e-mail: ol.shulezhkoQgmail.com.

Для любого натурального т ^ 2 определим неассоциативную алгебру Ат. Многообразие, порожденное ею, обозначим ит. Алгебра Ат является линейной алгеброй над основным полем, которая порождается образующими (г, а1, ..., ат} и удовлетворяет следующим определяющим соотношениям:

aiOj = a^z = 0, 1 ^ ^ m;

(zw(Rai ,...,Ram ))(zw' (Rax ,..., R„m)) = 0 для всех, возможно пустых, слов w, w' от операторов Rai;

z(Rai ... Ram)ka¿! ... a¿sa¿s+1 ... a¿t + z(Rai ... )ka¿x ... a¿s+1 a¿s ... a¿t —0

для всех k ^ 0 и 1 ^ s < t ^ m, 1 ^ ¿i,...,it ^ m.

Отметим некоторые простые свойства алгебры Am. Из последних соотношений следует, что

z(Rai . . . R«m )kw(Rai í . . . í Ram ) — °

где w — любой ассоциативный моном, степень которого удовлетворяет неравенствам 2 ^ deg w ^ m, а степень хотя бы по одному больше 1. Кроме того, базис алгебры Am состоит из элементов

a1, a2 í . . . í ami z(R«i R«2 . . . R«m ) i z(Ra.i R«2 . . . R«m ) a»i a»2 . . . a»t

для всех k ^ 0, 1 ^ t < m и 1 ^ i1 < i2 < ... < it ^ m.

Предложение 1. Алгебра Am удовлетворяет тождествам ж^ж2ж3) = 0 W XiQXiXiXi 0, тождеству XoXXZ1... zsyy, в котором остаток при делении s на m отличен от m — 2.

Доказательство. Обратим внимание, что если I — идеал алгебры Am, порожденный элементом z, то dimA/I — m. Пусть annr(Am) — {c € Am|Amc — 0} является правым аннулятором алгебры Am. Так как выполняется включение I С annr(Am) и, согласно определению алгебры Am, Ajm С I, то получаем 0—A mI 5 AmAm) таким образом, в алгебре Am выполняется тождество ^1(^2X3) = 0.

Докажем второе тождество. Пусть ^ : F{X} — Am — подстановка вместо свободных образующих некоторых элементов алгебры Am. Так как произведение жожжж линейно относительно жо, то вместо жо достаточно подставить базисные элементы алгебры Am. Если <^(жо) — а», 1 ^ i ^ m, то <^(/) — 0. Таким образом, предполагаем, что ^>(ж0) — zw(Rai,..., ) для некоторого, возможно пустого, ассоциативного слова w. Пусть ^>(ж) — m=1 а» а» + c для некоторых а» € Ф, i — 1,..., m, и некоторого элемента c идеала I, порожденного образующим z. Тогда, так как I С annr(A), считаем, что ^>(ж) — ¿=1 а» а». Если остаток при делении deg w на m отличен от m — 1, то уже значение после подстановки в жожж будет равно нулю. Действительно,

(m \ ¡ m \

У^ а»а» I ^ Ojaj I — ^ (а»Oj — а»Oj) zwa»aj — 0. »=1 / \j=1 /

Если же остаток равен m — 1, то результатом подстановки будет такая цепочка равенств:

(m \ 3 / m \

У^ — ^ (а»а^ — )zw ^ а8а8 I a¿aj — 0.

»=1 / \s=1 /

Третье тождество доказывается аналогичным образом. Предложение 1 доказано. Выпишем некоторые конкретные следствия полученных тождеств. Кроме указанных в начале статьи обозначений введем еще одно, которое уже неоднократно появлялось в последних работах по сходной тематике. Будем использовать запись X» — RXi для обозначения правого умножения на образующую ж». Применив частичную линеаризацию к тождествам из предложения 1, получим

ж0ж1жж1 = —ж0ж1ж1ж — ж0жж1ж1, (1)

ж0ж1жwyy1 = — жожж^да — ж0ж1жwy1y — жожж^^у, (2)

где w — Z1 ... и ^^^^^^к при делении s на m отличен от m — 2. Кроме того, следствиями из полученных тождеств являются также тождества

ж0Х2wyy1 = —ж0Х2wy1y, ж0ж1жwY2 = —ж0жж1wY2. (3)

Предложение 2. Пусть w = w(Xi,..., Xm) — ассоциативный одночлен, для которого выполняется следующее условие:

deg w — min{degXl w,..., degXm w} ■ m ^ 4m. (4)

Тогда, xow(X^..., Xm) = 0 является т,ождест,вом алгебры Am.

Доказательство. Докажем сначала утверждение в случае, когда слово w зависит не от всех X, пусть для определенности degxm w = 0. В этом случае достаточно, чтобы выполнялось неравенство deg w ^ 2m,

mw

Используя в случае необходимости один или несколько раз тождество (2), получим элемент, в котором одинаковые буквы либо расположены рядом, либо разделены только одной другой буквой. В последнем случае применяем тождество (1) и получаем элементы, в которых существуют две подряд стоящие одинаковые буквы. Без ограничения общности будем считать, что в элементе рядом расположены две буквы xm-i. Так как deg w ^ 2m, то либо до этой пары, либо после нее расположено не менее m — 1 букв, которые в силу тождеств (3) можно переставлять кососимметричным образом. Если среди этих букв нет буквы xm-i, то число различных букв меньше или равно m — 2, поэтому найдутся две одинаковые и рассматриваемый элемент тождественно равен нулю. Если же все буквы разные, то одна из них совпадает с буквой xm-i. Перемещая ее к выделенной паре по тождествам (3), получим три подряд стоящие одинаковые буквы. В этом случае осталось использовать второе тождество из предложения 1, чтобы показать, что рассматриваемый элемент тождественно равен нулю.

w.

m

использованы в первой части доказательства, получаем, что на некотором месте можно расположить две одинаковые буквы. Используя тождества (3), перепишем рассматриваемый элемент следующим образом:

Xow'(XiX2 . . . Xm)r1 (Xi . . . Xs ... XmXs2Xi . . . XS ... Xm)(Xi^2 . . . Xmf2w'',

причем слова w', w'' не содержат всех m букв, символом ^ отмечены отсутствующие сомножители. Из условия (4) получаем, что либо deg w' ^ 2m, либо deg w'' ^ 2m, и для завершения доказательства предложения 2 достаточно воспользоваться рассмотренным частным случаем.

Пусть Qn(Um) = ^an{x0xCT(i) . ..xCT(n)|a € Sn} — пространство полилинейных левонормированных одночленов относительно свободной алгебры многообразия Um. Симметрическая группа Sn действует на Qn(Um) перестановкой образующих xi,..., xn, задавая структуру Sn-модуля. Соответствующий характер

Sn

xQ ((Um )) = £ mQxA, (5)

Ahn

где mQ — кратность неприводимого характера xa в XQ((Um)), а сумма берется по разбиениям А числа п. Определим также последовательность cQ(Um), п = 1,2,..., размерностей пространств Qn(Um).

Предложение 3. Если в (5) mA = 0, то выполняется неравенство n — m ■ Ат < 4m. Существует не зависящая от, п константа С, такая, что для кратностей в сумме (5) выполняется неравенство mA < С.

Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть f € Qn(Um), и предположим, что f имеет ненулевое значение в алгебре Am. Так как f — полилинейный элемент, то анализ, является ли он тождеством, достаточно проводить, подставляя только базисные элементы алгебры Am. Для ненулевого значения необходимо вместо xo подставить zw, где w зависит от операторов Rai, i = 1, 2,... , m. Кроме того, любая другая переменная f должна быть заменена на а^, i = 1, 2,..., m. Иначе будем иметь нулевое значение. Как следствие получаем, что любой полилинейный многочлен из Qn, кососимметричный на более чем m переменных, является тождеством алгебры Am. С помощью стандартных рассуждений приходим к заключению, что если диаграмма, соответствующая разбиению А = (Ai,A2,...) Ь п, имеет более m т.е. Am+i = 0^о mA = 0 и характер неприводимого представления xa не входит в сум-

му (5). Пусть А = (Ai, А2,..., Ат). Так как характеристика основного поля равна нулю, то тождество XofA = 0 построенное по этому разбиению, будет эквивалентно полиоднородному тождеству xowa = 0, в котором degxi w = Ai, i = 1, 2,...,m. Завершает доказательство первого утверждения использование предложения 2.

Перейдем к доказательству второго утверждения. В лемме 2 статьи [4] установлено, что кратность совпадает с размерностью пространства полилинейных элементов специального вида. Учитывая в силу

нулевой характеристики основного поля эквивалентность полилинейных и соответствующих полиоднородных тождеств, для наших целей достаточно оценить в относительно свободной алгебре размерность пространства некоторых полиоднородных элементов. Зафиксируем разбиение Л = (Ai, ..., Am) числa n и рассмотрим пространство QAb...,Am полиоднородных элементов вида xow(X^..., Xm), где w — ассоциативный полином от операторов X1,..., Xm полистепени (A1,..., Am), т.е. deg^ w = Ai, i = 1,2,..., m. Так как мы рассматриваем ненулевые элементы, то в силу предложения 2 выполнено неравенство n — m ■ Am < 4m. Пусть x0w(X1,..., Xm) — некоторый моном, а именно моном из пространства QAb...,Am • При доказатель-

w

то элемент xow тождественно равен элементу

Xow'(X1X2 . . . Xm)r1 (X1 . . . X ... XmXs2X1 . . . X ... X?)^^ . . . Xmp w'',

причем так как это ненулевой элемент, то слова w', w'' не содержат одинаковых букв и их длины строго m.

возможность, во-первых, собрать пару одинаковых букв на границе первых двух скобок и переписать элемент следующим образом:

xow = Xow'(X1 . . . Xm)(XmX1 . . . Xm-^X^ . . . Хт)Г1+Г2w'',

а во-вторых, упорядочить буквы слов w', w''. Назовем такие элементы элементами первого типа. Их не более чем 4m, так как выбор слова w' или w'' ограничен числ ом ^m—1 С?) = 2? — 1 < 2m. Из доказательства предложения 2 следует, что мы не умеем сводить такие слова к элементам первого типа в случае, когда в мономе любые m подряд идущих букв разные. Поэтому буквы на местах i и i + m должны совпадать, т.е. слово w определяется своими первыми m буквами. Таким образом, слов этого типа не более чем ml. Для завершения доказательства предложения 3 достаточно взять C = 4m + ml.

В следующем предложении определим отношения между последовательностью коразмерностей cn(Um), n = 1, 2,..., многообразия U m И ПОСЛеДОВатеЛЬНОСТЬЮ cQ(Um)-

Предложение 4. Для всех n ^ 1 имеем cn+1(Um) = (n + 1) ■ cQ(Um).

Доказательство. Для всех i € {0,..., n} имеем, что Qn _ векторное пространство, натянутое на левонормированные одночлены от xo, x1,..., xn начиная с xj. Таким образом, в данных обозначениях запишем Qn = Q^ Пусть также Pn+1(Um) — пространство полилинейных левонормированных элементов от xo, x1,..., xn (а не x1, x2,..., xn+1, как раньше). Из очевидного равенства

Pn+1(Um) = Qn(Um) + ... + Qn(Um)

следует, что c„+1(Um) ^ (n + 1) ■ cQ(Um). Утверждаем, что сумма является прямой. Действительно, если элементы xo/1(xb ... ,x„), ..., xo/fc(xb ... ,x„) € Qn линейно независимы по модулю тождеств алгебры Am, то (n + 1) ■ k левонормированных элементов

x0/г(x0, X1, . . . , xn), . . . , xn/j(xo, X1, . . . , xn), i — 1, . . . , k,

линейно независимы в пространстве Pn+1, где символ^ означает, что соответствующая образующая опускается. Доказательство предложения 4 завершено.

Теорема. Пусть V — ненильпотентное подмногообразие многообразия Um. Тогда, Exp(V) = m. Доказательство. Из предложения 3 следует, что в разложении характера XQ((Um)) с ненулевыми кратностями присутствуют только неприводимые характеры XA, соответствующие диаграммам Юнга, v которых вне прямоугольника размером m х Am расположено менее 4m клеток. Так как модуль Pn+1(Um) ИНДуЦИрОВаН С Sn-МОДУЛ Я Qn (Um), в котором образующую xo заменим на xn+1, то из теории представлений симметрической группы следует, что все его неприводимые подмодули соответствуют диаграммам

m х Am 4m

V.

несложно доказать, используя формулу крюков и формулу Стирлинга, что размерности dA таких неприводимых модулей удовлетворяют неравенствам

—!— • тп ^ d\ ^ bin) ■ тп, a(n)

где a(t) и b(t) — фиксированные многочлены. Напомним, что кратности ограничены константой, не зави-n.

фиксированного прямоугольника у соответствующих диаграмм Юнга расположено не более 4m клеток. Поэтому, используя элементарные соображения математического анализа, получаем, что EXP(V) = m. Теорема доказана.

Следствие. Для любого целого m, m ^ 2, существует почти нильпотентное многообразие экспо-m.

Доказательство. Доказательство следует из теоремы, а также из результата работы [3] о существовании почти нильпотентного подмногообразия в любом ненильпотентном многообразии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods // Math. Surveys and Monogr. Vol. 122. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005.

2. Фролова Ю.Ю., Шулежко O.B. О почти нильпотентных многообразиях алгебр Лейбница // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докл. XI Междунар. конф. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2013. 84-85.

3. Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Isr. J. Math. 2014. 199. 241-258.

4. Зайцев M.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Матем. заметки. 2006. 79, № 4. 553-559.

Поступила в редакцию 10.02.2014

УДК 511

О НЕОБРАЩЕНИИ В НУЛЬ L-ФУНКЦИИ ДИРИХЛЕ ПРИ s = 1

В. Н. Чубариков1

Дано новое доказательство теоремы Дирихле о том, что в случае простого модуля q = 3 (mod 4) L-ряд Дирихле с вещественным характером не обращается в нуль.

Ключевые слова: ряд Дирихле, сумма Гаусса, "зубчатая" функция. A new proof of Dirichlet's theorem that a Dirichlet L-series for a prime modulo q = 3 (mod 4)

Key words: Dirichlet's series, Gaussian sum, "saw-tooth" function.

В настоящей работе дано новое доказательство теоремы Дирихле о том, что в случае простого числа q = 3 (mod 4) L-ряд Дирихле

те

' n

n=1 ^

n-s

не обращается в нуль в точке 8 = 1, где х(п) = — символ Лежандра (см., например, [1, с. 9; 2, с. 16]). Весьма полезными для решения этой задачи оказались суммы Гаусса вида

к-1 1 , -лг

£ = у е2тпУМ =

^ 1 + г-1

n=0

В частности, при N = 3 (mod 4) имеем S = гл/N.

Лемма 1. Пусть q — простое число, q = 3 (mod 4). Тогда,

q-i / 2 \ 1 9-1 / ' n2 \ 1 / m

n=l 4 7 m=l

где p(x) = \ — {x}. Кроме того, число qH будет нечетным.

1 Чубариков Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. математических и компьютерных методов

анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chubariklQmech.math.msu.su.