Почти нильпотентные многообразия дробной экспоненты существуют Текст научной статьи по специальности «Математика»

a*(s) =

A1

Ai + Л2 - A27T(Ai)

I + A2

7r(s) ~ 7r(Al)

Ai — s

ai(s)

матема-

находятся с помощью формул (1), (2) и подстановки в последние формулы (5); а\ и а тические ожидания, соответствующие 0:1 (з) и 0^(5).

Р

Если р ^ 1, то —> оо при п —> оо.

Следствие. Условие стабильности для системы ¿>1 имеет следующий вид:

(А1&1 + А2&2)(1 + ^) < 1.

Если у времени обслуживания и ремонта есть вторые моменты, то предельное распределение имеет математическое ожидание и его можно получить при помощи формулы (6).

Автор выражает глубокую благодарность профессору Л. Г. Афанасьевой за постоянное внимание и ценные замечания, существенным образом способствовавшие написанию работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 13-01-00653 А.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. White Н., Christie L.S. Queuing with preemptive priorities or with breakdown // Oper. Res. 1958. 6, N 1. 79-95.

2. Gaver D.P. A waiting line with interrupted service including priority //J. Roy. Statist. Soc. B. 1962. 24. 73-90.

3. Keilson J. Queues subject to service interruptions // Ann. Math. Statist. 1962. 33, N 4. 1314-1322.

4. Miller Jr. R.G. Priority queues // Ann. Math. Statist. 1960. 31, N 1. 86-103.

5. Afanasyeva L.G., Bashtova E.E. Coupling method for asymptotic analysis of queues with regenerative input and unreliable server // Queueing Systems. 2014. 76, N 2. 125-147.

6. Krishnamoorthy A., Pramod P.K., Chakravarthy S.R. Queues with interruptions: a survey // Top. 2014. 22, N 1. 290-320.

7. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. М.: РУДН, 1995.

8. Kendall D.G. Some problems in the theory of queues //J. Roy. Statist. Soc. B. 1951. 13, N 2. 151-185.

Поступила в редакцию 06.03.2015

УДК 512.5

ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРОБНОЙ ЭКСПОНЕНТЫ СУЩЕСТВУЮТ

С. П. Мищенко 1

Доказано существование не нильпотентного многообразия экспоненциального роста с не целой экспонентой, у которого все собственные подмногообразия являются нильпо-тентными. До настоящего времени были известны примеры почти нильпотентных многообразий линейных алгебр с целыми экспонентами.

Ключевые слова: многообразие линейных алгебр, тождество, рост коразмерностей.

In this paper we prove the existence of almost nilpotent variety of linear algebras such that an exponent of it is not integer. Examples of almost nilpotent varieties with integer exponents were known previously.

Key words: variety of linear algebras, identity, growth of the codimensions.

Под термином линейная алгебра будем понимать векторное пространство над полем нулевой характеристики К, на котором задана одна бинарная билинейная операция. Совокупность алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств, называется многообразием. Все используемые, но не объясняемые понятия можно найти в книге [1]. Многообразие называется почти ниль-потентным, если оно само не является нилыютентным, но каждое его собственное подмногообразие

1 Мищенко Сергей Петрович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной математики ф-та математики, информационных и авиационных технологий Ульянов, гос. ун-та, e-mail: mishchenkospQmail.ru.

нильпотентно. Примерами таких многообразий служат: в классе ассоциативных алгебр многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр; в классе алгебр Ли многообразие всех метабелевых алгебр. Эти многообразия являются единственными почти нилыютентными многообразиями в упомянутых классах алгебр. Недавно было получено полное описание почти нильпотентных многообразий в классе алгебр Лейбница. В работе [2] доказано, что таких многообразий ровно два. Отметим, что все упомянутые многообразия имеют рост не выше линейного. Первый пример почти нильпо-тентного многообразия со значительным ростом приведен в [3]. Полное описание структуры этого многообразия и его числовых характеристик получено в [4]. Обобщением идеи этих работ явилось доказательство существования дискретных серий почти нильпотентных многообразий различных натуральных экспонент в классе левонильпотентных ступени не выше двух алгебр [5], а также в классе коммутативных метабелевых алгебр [6]. Более подробно с результатами, связанными с почти нилыютентными многообразиями, можно ознакомиться в обзоре [7].

Цель настоящей работы — доказательство существования почти нильпотентного многообразия, экспоненты которого существуют и являются дробными числами.

Так как ассоциативность в рассматриваемых алгебрах не предполагается, то необходимо следить за расстановкой скобок в произведениях. Чтобы упростить запись, договоримся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, т.е. xyz = (xy)z. Следуя статье [3], обозначим через Rc оператор умножения справа на элемент с и будем писать dRc = dc. Тогда левонормированное произведение dc.. .с степени к +1 можно представить как dRk. Заметим, что, например, dc2 = d{cc) и dcc = (dc)c — разные произведения.

Построим неассоциативную алгебру А с множеством образующих z,a,b и следующим множеством определяющих соотношений:

аа = bb = ab = ba = az = bz = 0, (zu(Ra,Rb))(zv(Ra,Rb)) = 0, z{R2aRb)kb = 0, z{R2aRb)kaab = -z{R2aRb)kaba, z{R2aRh)kabb = 0, к = 0,1,2,...,

для любых, возможно пустых, ассоциативных слов u,v от операторов Ra, Rb.

Отметим некоторые простые свойства алгебры А. Единственным ненулевым произведением двух образующих является za. Ненулевые левонормированные мономы от второй до седьмой степени включительно имеют вид

zaa, zab, zaab = —zaba, zaaba = —zabaa, zaabaa = —zabaaa, zaabab = —zabaab,

zaabaab = —zabaaab = —zaababa = zabaaba.

Это бесконечномерная алгебра, базис которой составляют, например, элементы

z, a, b, za, zaa, zab, z(R2aRb)k, z(R2Rb)ka, z(R2aRb)kaa, z(R2aRb)kab, к = 1,2____

Более сложным является следующее утверждение.

Предложение 1. Алгебра А удовлетворяет тождествам

Xi(X2X3)=0, (1)

x0xi .. .х2 ■ ■ - х3 = 0, (2)

XqXXXX = 0. (3)

Доказательство. Пусть А2 — квадрат алгебры, I — идеал, порожденный элементом z, а annr(A) — ее правый аннулятор. Тогда из определения алгебры получаем А2 С I С аппг(А). Таким образом, в алгебре А выполняется тождество (1).

Тождество (2) кососимметрично по трем образующим, расположенным вне первой слева позиции, поэтому оно будет выполняться в алгебре А, так как коразмерность идеала I, который содержится в правом аннуляторе, равна двум.

Докажем тождество (3). Пусть ip : F{X} —>■ А — подстановка вместо свободных образующих некоторых элементов алгебры А. Так как произведение XqXXXX линейно относительно Xq, то вместо Xq достаточно подставить базисные элементы алгебры А. Если вместо Xq подставить а или Ь, то получим нулевое значение. Поэтому можно считать, что <р(хо) = z(R2Rb)k, или <р(хо) = z(R2Rb)ka, или ip(xо) = z(R2Rb)kaa, или ip(xо) = z(R2Rb)kab, где к — некоторое неотрицательное целое число.

Пусть ip(x) = aa+ßb+c, где а, ß € К и с принадлежит идеалу I, порожденному образующей z. Тогда, так как I С annr(A), считаем, что ip(x) = аа + ßb. Непосредственными вычислениями убеждаемся, что значение во всех случаях будет равно нулю. Например, если ip(xо) = z(R2Rb)kaa, то

ip(x охххх) = z(R2Rb)k аа{аа + ßb)(aa + ßb)(aa + ßb)(aa + ßb) =

= aßz(R2aRb)kaaba(aa + ßb)(aa + ßb) = a2ß2 [z{R2aRb)k+laab + z(R2aRb)k+1abr?j = 0.

Предложение 1 доказано.

Пусть V — многообразие линейных алгебр. Рассмотрим его относительно свободную алгебру счетного ранга F(V). Свободные образующие будем обозначать латинскими буквами х, у или z с индексами или без. Обозначим через Pn(V) подпространство относительно свободной алгебры, которое состоит из полилинейных элементов от х\,... ,хп. Пусть cra(V) = dimPra(V) — так называемая п-я коразмерность многообразия. Если последовательность \/cn(V) ограничена, например в случае, когда рост многообразия не выше экспоненциального, то существуют нижний и верхний пределы этой последовательности. Их называют нижней и верхней экспонентами многообразия V и обозначают exp(V), exp(V) соответственно. Если эти числа совпадают, то получаем экспоненту многообразия.

Пусть Qn(V) = span{a;oa;CT(i) ... ха(п) |а € — пространство полилинейных левонормирован-ных одночленов относительно свободной алгебры многообразия от образующих хо,... ,хп с Xq на первом месте. Симметрическая группа Sn действует на Qn(V) перестановкой образующих х\,..., хп.

Обозначим через x??(V) характер соответствующего модуля и разложим его на неприводимые Sn-характеры:

X^(V) = ^m^(V)XA, (4)

Ah п

где Шд (V) — кратность в Xn(V).

Обозначим через varA многообразие, порожденное алгеброй А. Из тождества (2) с помощью стандартных рассуждений получаем, что если диаграмма Юнга имеет более двух строк, то соответствующий ¿»„-характер %л появляется с нулевой кратностью в Xn(varA). Если же разбиение двучленно, то из тождества (3) следует, что вторая строка не может быть очень короткой. А именно если п)5и разбиение Л = (Ai, Аг) Ь п таково, что 5Аг < п — 4, то m^ (var А) = 0. В то же время вторая строка не может быть и очень длинной.

Предложение 2. Если разбиение А = (Ai, Аг) Ь п таково, что ЗАг > п + 2, то т®(var А) = 0.

Доказательство. Пусть А = (Ai, Л2) ^ и - разбиение числа п. Построим некоторую стандартную таблицу Юнга Т. Пусть, как обычно, Rt, Ст подгруппы симметрической группы Sп. оставляющие инвариантными множества чисел каждой строки или каждого столбца таблицы Юнга. Определим Rt = Ст = где I)9 равно ±1 в зависимости от четности перестановки q. Тогда ет = RtCt — квазиидемпотент групповой алгебры ФБп, который порождает неприводимый подмодуль, обозначим его М. Так как C'i'C'i' — RtCtRtCt — ^уст для некоторого ненулевого рационального числа 7, то элемент CtRtCt ф 0 принадлежит модулю М ив силу его неприводимости также порождает М. Рассмотрим элемент f(xо,Х\,..., хп) = CtRtCt{xqX\ ... хп). Предположим, что f(xo, Х\,..., хп) отличен от нуля. Так как этот элемент полилинейный, то существует подстановка базисных элементов алгебры А вместо образующих Х0,Х\,... ,хп, такая, что значение не равно нулю. Из определения алгебры следует, что вместо Xq подставлен некоторый базисный элемент и из идеала /, порожденного элементом z. Вместо любой другой образующей в / подставлен базисный элемент а или Ь. Заметим, что элемент f(xo, Х\,..., хп) кососимметричен по А2 парам образующих (их номера расположены в одинаковых столбцах стандартной таблицы Юнга Т). Вместо одной образующей каждой кососимметричной пары подставлен базисный элемент а, а вместо другой образующей каждой кососимметричной пары — базисный элемент Ь. Таким образом, результат подстановки имеет вид uw(Ra, Rb), причем степень ассоциативного слова w от операторов правого умножения Ra, Rb равна п, а его степень по Rb не менее чем А2.

Рассмотрим возможные фрагменты ненулевых элементов алгебры А с максимально большим вхождением оператора Rb. Они имеют вид (R2Rb)m. Перед указанным фрагментом, возможно, присутствуют Raj Rbj RbRa или RaRbl а после него, может быть, Raj Ra Ra RaRb■ Таким образом, если выполняется неравенство ЗА2 > п + 2, то элемент f(xо,Х\,... ,хп) не может принимать ненулевое

значение в алгебре А. Поэтому соответствующая кратность т® (var А) будет равна нулю. Предложение 2 доказано.

Нам нужна полиномиальная по п оценка кратностей. Для этого воспользуемся идеей, изложенной в лемме 2 работы [8]. Пусть Л = (Ai, А2) Ьп — разбиение, тогда кратность m^ (var А) оценивается сверху числом линейно независимых элементов относительно свободной алгебры вида Xqf(Rx,Ry), в которых степень / по Rx равна Ai, а по Ry равна Дополнительно следует еще предполагать, что в многочлене / содержится А 2 альтернированных пар Rx, Ry. Однако в нашем случае последнее ограничение можно не учитывать.

Пусть v\,v2, ■ ■ ■ ,vn — линейно независимые элементы указанного вида. Заметим, что для любого т алгебра, порожденная элементами z(R2Rb)m ,а,Ъ, изоморфна алгебре А. Аналогично при различных т все алгебры, порожденные элементами z(R2Rb)mRa, о, Ь, изоморфны между собой. То же самое в случае, когда первый порождающий элемент имеет вид z(R2Rb)mRa или z(R2Rb)mRaRb-Поэтому можно считать, что вместо Xq подставлен один из четырех элементов. Пусть tp\ íp2, <Р4 — такие подстановки, что <fi(xo) = z, (р2(хо) = za, <^з(жо) = zaa, <£>4(^0) = zab. Вместо х и у подставлены произвольные элементы алгебры А, т.е. ipi(x) = a¿a + /3¿í> + c¿, ipi(y) = 7¿a + á¿b + d¿, где i = 1,2, 3, 4, ai, Pí, 7Í, Si € K, a, di € I.

Из определения алгебры получаем, что результат подстановки не будет зависеть от элементов Ci,di, 1 ^ i ^ 4. Результаты подстановок имеют следующие степени по образующим z,a,b: deg <pi(f) = п+1, deg cp2(f) = n+2, deg <£>з(/) = deg tf^f) = n+3. Число базисных элементов фиксированной степени равно единице или двойке. Выпишем коэффициенты при этих базисных элементах в одну строчку, сначала для случая подстановки tp\, затем для íp2, и (р^. Каждый коэффициент будет представлять собой ассоциативно-коммутативный многочлен степени п от четырех параметров oti, ¡3i, 7¿, Si. Хорошо известно, что размерность пространства ассоциативно-коммутативных многочленов степени п от четырех параметров равна ). Длина выписанной строки будет не более восьми (на самом деле даже не более шести). Если выполняется неравенство N > 8(га^4), то существуют не все равные нулю элементы поля e¿ € К, 1 ^ г ^ N, такие, что линейная комбинация выписанных строк с этими коэффициентами будет тождественно вне зависимости от параметров olí,¡3í,^í,5í нулевой. Поэтому тождество ^¿Hi6»^ = 0 выполняется в алгебре А, так как значение при любой подстановке элементов из алгебры А будет равно нулю.

Таким образом, мы получили следующее утверждение.

Предложение 3. Кратности в сумме (4) ограничены сверху полиномиальной по степени п функцией.

Для формулировки основной теоремы нам потребуется функция

Ф(а) = —1 . —, 0 < а <1/2, v ' аа( 1 - а)1"" '

из работы [9]. В лемме 3.3 работы [9] доказано, что в случае двучленного разбиения А = (Ai, А2) п размерность неприводимого модуля deg%A удовлетворяет неравенствам

~^=Ф(а)п < degxA < Ф(а)п, (5)

где а = ^.

Теорема. Для экспонент любого не нильпотентного подмногообразия U С var А выполняются следующие неравенства: Ф(1/6) ^ exp(U) ^ exp(U) ^ Ф(1/3).

Доказательство. Отметим сначала, что для коразмерностей выполняются такие неравенства:

dim Qn-i(U) ^ cra(U) ^ n • dimQra_i(U).

Из предложения 3 следует, что с точностью до рациональной от п функции размерность dimQn-i(U) определяется размерностью неприводимых модулей, входящих с ненулевыми крат-ностями в разложение характера (4) для многообразия U. Осталось использовать информацию о ненулевых кратностях, полученную в предложении 2, а также неравенство (5). Теорема доказана.

Следствие. Существует почти нильпотентное многообразие, экспоненты которого не являются целым числом.

Доказательство. Заметим, что выполняются строгие неравенства 1 < F( 1/6) < F(l/3) < 2. Поэтому доказательство следует из теоремы и результата работы [3] о существовании почти нильпотентного подмногообразия в любом ненильпотентном многообразии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Giambruno A., Zaicev М. Polynomial identities and asymptotic methods // Math. Surveys and Monogr. Vol. 122. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2005.

2. Фролова Ю.Ю., Шулежко О.В. Почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница // Прикл. дискрет, матем. 2015. № 2(28). 30-36.

3. Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Isr. J. Math. 2014. 199. 241-258.

4. Шулежко О.В. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два // Изв. Саратов, ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. 14, вып. 3. 316-320.

5. Мищенко С.П., Шулежко О.В. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 2. 53-57.

6. Мищенко С.П., Шулежко О.В. О почти нильпотентных многообразиях в классе коммутативных метабе-левых алгебр // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественно-научная серия. 2015. № 3(125). 21-28.

7. Шулежко О. В. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр // Чебы-шёвский сборник. Т. 16. Вып. 1. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та, 2015. 67-88.

8. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Матем. заметки. 2006. 79, № 4. 553-559.

9. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev М. Codimensions of algebras and growth functions // Adv. Math. 2008. 217. 1027-1052.

Поступила в редакцию 25.11.2015

УДК 517.938.5

ТОПОЛОГИЯ АНАЛОГА СЛУЧАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ КОВАЛЕВСКОЙ НА АЛГЕБРЕ ЛИ so(4) ПРИ НУЛЕВОЙ ПОСТОЯННОЙ ПЛОЩАДЕЙ

В. А. Кибкало1

Изучена топология пространства замыканий решений интегрируемой системы на алгебре Ли so(4), являющейся аналогом случая Ковалевской. Для этого вычислены инварианты Фоменко-Цишанга в случае нулевой постоянной площадей, классифицирующие изоэнергетические 3-поверхности и возникающие на них слоения Лиувилля.

Ключевые слова: интегрируемые гамильтоновы системы, инварианты Фоменко-Цишанга, изоэнергетическая поверхность.

We study the topology of the space of the solutions closure for the integrable system on the Lie algebra so(4) that is an analogue of the Kovalevskaya case. For this purpose Fomenko-Zieschang invariants are calculated in the case of zero area integral, which classify isoenergetic 3-surfaces and corresponding Liouville foliation on them.

Key words: integrable Hamiltonian system, Fomenko-Zieschang invariants, isoenergetic surface.

Цель работы — изучение топологии слоения Лиувилля, т.е. пространства замыканий решений системы для интегрируемого аналога случая Ковалевской на алгебре Ли so(4). Это исследование, позволяющее обнаружить эквивалентные и неэквивалентные интегрируемые системы, проводится в рамках теории А.Т. Фоменко классификации интегрируемых систем с помощью инварианта Фоменко-Цишанга. Основы этой теории были заложены в работах [1-4], подробное последовательное изложение ее ключевых результатов содержится в книге [5], ас важнейшими современными продвижениями в ее развитии можно ознакомиться, например, в работах [6-10].

Классический случай Ковалевской — один из самых известных интегрируемых случаев в динамике твердого тела, который изучался многими авторами с различных точек зрения. В частности,

1 Кибкало Владислав Александрович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: slava.kibkaloQgmail.com.