CC BY
8
Жежук Андрей Андреевич, канд. техн. наук, начальник, Россия, Москва, НТКГРАУ МО РФ,
Суздальцев Павел Сергеевич, адъюнкт, [email protected], Россия, Пенза, Филиал Военной академии материально-технического обеспечения (г. Пенза),
Воротилин Михаил Сергеевич, д-р техн. наук, профессор, проректор ТулГУ, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Чайковский Виктор Михайлович, доцент, [email protected], Россия, Пензенский государственный университет
ASSESSMENT OF THE EFFECT OF AIR DENSITY ON THE AERODYNAMIC CHARACTERISTICS OF A BARRAGE
MUNITION AT DIFFERENT ANGLES OF ATTACK
A.A. Zhezhuk, P.S. Suzdaltsev, M.S. Vorotilin, V.M. Tchaikovsky
The purpose of this article is to determine how the instability and density of air over time affects the aerodynamic characteristics of a barrage munition. To determine the aerodynamic characteristics of the munition in conditions of unsteady airflow, the lifting force, drag coefficient and efficiency of the wing design were used as deterministic parameters of the study. Compressibility modeling was carried out for sound flows with a Mach number of 0.84. The wing geometry was designed using SOLIDWORKS, and CFD modeling was performed using ANSYS Fluent software. The user-defined Function (UDF) was developed using the MATLAB program. This was aimed at introducing a time-dependent change in the density of air in the Fluid medium.
Key words: barrage ammunition, verification, validation.
Zhuk Andrey Andreevich, candidate of technical sciences, head, Russia, Moscow, NTC GRAU of the Ministry of Defense of the Russian Federation,
Suzdaltsev Pavel Sergeevich, adjunct, [email protected], Russia, Penza, Branch of the Military Academy of Logistics (Penza),
Vorotilin Mikhail Sergeyevich, doctor of technical sciences, professor, vice-rector of Tula State University, Russia, Tula, Tula State University,
Tchaikovsky ViktorMikhailovich, docent, [email protected], Russia, Penza, Penza State University
УДК 004.925:004.932
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-12-436-437
ПРИМЕНЕНИЕ СХЕМ ПОДРАЗДЕЛЕНИЙ И ВЕЙВЛЕТОВ В ЗАДАЧАХ ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Ю.И. Битюков, Ю.И. Денискин, П.Ю. Битюков
Для повышения качества проектирования сложной техники требуется переход от традиционных средств обработки геометрической и графической информации к безбумажным технологиям. Это открывает новые возможности по использованию систем автоматизации проектирования, технологической подготовки производства, инженерных расчётов (CAD/CAM/CAE-систем), порождает новые технологии, связанные с использованием электронной геометрической модели объекта проектирования. В таких системах уделяется повышенное внимание совершенствованию технологии трёхмерного моделирования, в том числе задачам обработки изображений. Однако главной проблемой здесь является не столько сам процесс моделирования, сколько способы модификации и оптимизации созданных геометрических моделей. В статье описаны методы и алгоритмы применения техники вейвлетов для решения задач SD-моделирования и обработки изображений. С помощью схемы подъёма сплайн-вейвлетов и результатов применения теории схем подразделений получено параметрическое семейство биортого-нальных вейвлетов. Исследованы гладкость и порядок полученных вейвлетов, а также выполнена оценка погрешности аппроксимации функции разложениями по построенным вейвлетам.
Ключевые слова: CAD, схема подразделений, вейвлет, геометрическое моделирование, обработка изображений.
В настоящее время в связи с повсеместным применением в промышленности CAD/CAM/CAE-систем, которые, как известно, имеют ограничения по решению целого ряда прикладных задач, связанных с адаптацией создаваемых 3D-моделей для конкретных приложений, актуальными направлениями исследований являются совершенствование традиционных методов и алгоритмов геометрического моделирования, разработка новых алгоритмов восстановления и обработки растровых изображений и др.
В статье рассматривается вопрос получения биортогональных вейвлетов по схеме подъёма сплайн-вейвлетов, исследуются класс гладкости и порядок этих вейвлетов, а также их применение в задачах геометрического моделирования. Выбор схемы подъёма обусловлен её возможностью создавать вейвлеты высокого порядка и требуемого класса гладкости. Это, в свою очередь, напрямую связано с количеством коэффициентов, которые необходимо хранить в памяти компьютера для получения нужного приближения вектор-функции трёхмерного объекта (кривой, поверхности, тела).
Известна тесная связь между вейвлетами и схемами подразделений. Как материнский вейвлет, так и масштабирующая функция, возникающие в рамках ортогонального или неортогонального кратномасштабных анализов, могут быть получены через стационарные схемы подразделений, в которых в качестве маски используется масштабная последовательность [1]. Как известно, вейвлеты традиционно применяются в задачах обработки изображений, а схемы подразделений - в задачах геометрического моделирования.
В качестве наглядного примера применения построенных параметрических семейств вейвлетов рассматривается задача подрисовки изображения, возникающая, когда часть пиксельных данных на изображении отсутствует или перезаписана другими средствами [2]. С этим также приходится иметь дело, когда часть изображения отсутствует или повреждена из-за старения или царапин. Задача подрисовки изображения состоит в том, чтобы восстановить отсутствующую область из наблюдаемых неполных данных [3, 4]. Такая задача также относится к задачам аппроксимации. В настоящей работе подрисовка изображения происходит посредством подбора вейвлет-коэффициентов изображения. При этом и подбор, и выбор наиболее подходящей вейвлет-системы производятся в процессе решения оптимизационной задачи.
2. Схемы подразделений. В данном разделе приводятся основные результаты, связанные со стационарными схемами подразделений, которые будут использованы в дальнейшем. Схема подразделения определяется заданной последовательностью а = {а } £ N [5]. Предполагаем, что supp а = {а ' аа Ф 0} - конечное
множество. Обозначим 1Ю (г5) линейное нормированное пространство ограниченных последовательностей
У = {у } , в котором норма определяется равенством рУр = ср |У | Введём в рассмотрение опера-
а аеЪ5 рургс> |Уа
тоР ^ ' 1
(г5) ^ I
ю(г ^ который определим формулой ^ау)а = х аа_2рУр, у е (г5). Последо-
РеЪ 5
вательность {а } будем называть маской схемы подразделений, а Sa - оператором подразделений.
1 ааеЪ5
Определение 1 [5]. Будем считать, что схема подразделений
У- =ЗаУда_1=(*а Г У, т = 1,2,...,У°=У сходится в 1Ю (г5), если существует непрерывная функция (З^У) ' R5 ^ R такая, что
lim
(S»(- / 2т) -V
= 0.
да
Если функция ($Юу) удовлетворяет дополнительному свойству (З^у) (к) = Ук, к е X5 , то она называется интерполяционной.
Теорема 1. (Необходимое условие сходимости схемы подразделений [5]). Пусть 5 = 1. Предположим, что схема подразделений сходится для некоторого у е 1Ю (г) и ^^у) ф 0. Тогда маска удовлетворяет условию
X а2р = 1; X а2р+1 =1.
реЪ реЪ
Введём в рассмотрение многочлен Лорана А(2) = X а 2п. Тогда из необходимого условия сходимо-
пеЪ
сти схемы подразделений получаем: А(_1) = 0; А(1) = 2. Из первого равенства следует, что, если маска имеет конечный носитель, т.е. А(2) = 2_кК(2), где г) многочлен, то этот многочлен делится нацело на (г + 1).
Поэтому А(2) = (1 + 2)0(2), 6(1) = 1. Пусть 0(2) = X Чп2П и Я = {Яп }пег.
пеЪ
Теорема 2 [6]. Пусть 5 = 1. Схема $а сходится при любом выборе начальной последовательности У°, если существует Ь е N такое, что Р($д )Ь РЮ < 1.
2Ь 1) = Хд[Ь] 7] , то имеет место равенство
Ql (Z) = Q( z )Q( z* )...Q( z* ) = YRvpz
P(Sq)L Рда = max X
0Mi <2L j
q[il2 l
i - j-2
[6].
Теорема 3 [6]. Пусть s =1 и A(z) = ^1 + z j Q(z) ■ Если Sq сходится при любом выборе начальной последовательности, то (S^v) е Cn (R) для любой начальной последовательности v и
Ип _1 1
d (S»(t) = (S£ (Anv))(t), где ^ = Л(дП M и (ЛМк = vk _vk_ls к G Z.
dtn
Теорема 4 [5]. Предположим, что схема подразделений сходится для всех v G lœ (Zs ) и для некоторого
V G lœ (Zs ) функция (S^v) # 0 . Тогда маска {a } определяет единственную непрерывную функцию с
a aGZs
компактным носителем р, удовлетворяющую условиям:
((t) = X aap(2t _а), t g Rs, ^p(t _a) = 1, Vt g Rs.
aGZ aGZ
Более того, (S-V)(t)= x Va({t _a), t g Rs. aGZ s
Пусть a G lœ (Z) имеет конечный носитель, тогда ра (t ) = (S ^ S)(t ), где S к = 0 , если к G Z, к Ф 0 и So = 1, функция с компактным носителем, определяемая маской а [5]. Если A(z) = (1 "2 z) B(z), где многочлен Лорана B(z) определяется последовательностью b G lœ (Z), и схема Sь сходится при любом выборе начальной последовательности, то по теоремам 3 и 4 получаем
(ра)'(t) = pb (t) _pb (t _ 1). 0)
Следовательно, если v - произвольная последовательность с конечным носителем, то
(S>)'(t)= X (vk _vk_i)pb(t_k).
kGZ
3. Биортогональные вейвлеты и схема подъёма. Пусть р, р - две масштабирующие функции с масштабными последовательностями u , u , которые имеют конечные носители [1, 7]:
P(t) = v2 x ukp(2t _ к), p(t) = v2 x ukp(2t _ к) .
kGZ kGZ
Рассмотрим последовательности с действительными членами Uk, ~к G R. Обозначим
Pj к ( x) = 2j /2р(2 jx _ к ). Тогда, если у, у - соответствующие вейвлеты, то
у = x vkP1,k, у = X ~к~1,к.
kGZ kGZ
Многочлены Лорана, соответствующие данным последовательностям, обозначим U(z), U(z), V(z) ,
V (z) . Для биортогональных систем имеет место равенство [8]:
U (z U~(z ) + U (_ z )t/(_ z ) =2 (2)
для любых z = на единичной окружности и
V z ) = zU (_ z _1), V ( z) = zU(_ z _1). (3)
Определение 2 [9, 10]. Множество {u, U, V, V} называется множеством конечных биортогональных фильтров, если
соотвегствующая система функций {(, у, у} биортогональна, т.е. ((, (^,) = Sk,k,, (уj », j ) = S»,», (j, () = 0; ((,k, уm) = 0 для всех j, » k, km'G Z.
Теорема 5 (Схема подъёма [9, 10]). Выберем начальное множество конечных биортогональных фильтров {u, ~0, V0, . Тогда новое множество конечных биортогональных фильтров {u, V, ~} может быть найдено следующим образом
U(z) = U0 (z) + V(z) • P(z_2 ), V(z) = V0 (z) _ U(z) • P(z2 ),
где P( z) - произвольный многочлен Лорана.
Кроме схемы подъёма известен также и двойственный подъём {u0, u, V, V0} ^ {u, u, V, V} , который осуществляется по следующим формулам [9, 10]:
U ( z) = U 0 ( z) _ V ( z ) • P( z _2 ), V z) = V0 ( z) + U( z ) • P( z 2).
После применения подъёма и двойственного подъёма сохраняются равенства (2) и (3) [9]. С помощью подъёма или двойственного подъёма путём надлежащим образом выбора многочленов P(z)и P(z) могут быть улучшены свойства масштабирующих функций и вейвлетов.
Как известно, в случае биортогональных вейвлет-систем для f g L2 (R) имеет место равенство [8]:
/ = X С1,пР1,п +ХХ „У*;, (4)
' ¿-I ¿—I 5,пт 5,п?
пеЪ 5>'пеЪ
где С' к = (f, Р' к ), т = (/, У ' т ) . Кроме того, имеет место теорема
Те°рема 6 [7]. Если f е С (К) и | х1у(х)йх = °
Д т
Л (К) и Г х1~(х)Их = °, I = 0,1,...N_1, то ( 1 >
(f, ' ) = о
' N+0.5)
~ V 2 7
Про вейвлет у , удовлетворяющий условию теоремы 6, говорят, что он порядка N или имеет N нулевых моментов [7].
Получим функции р е Ск (К), к = 0,1,.., а вейвлеты , по возможности, будем делать большего порядка, тем самым управляя скоростью убывания коэффициентов. Пусть функция f представлена в виде
f = Хпег (f, Р0,п )Фэ,п. По формуле (4) получаем
= x (1р0,п)Ф0,п = x С_' ,пР_',п + X X ¿5,тУ5,т-nеZ nеZ <s<°mеZ
Заметим, что р',п = x ~к_2пР'+1,к , ' (х)= x ~к_2пР'+1,к (х). Умножая скалярно полученные
kеZ kеZ
равенства на f, получим
п = x ик_2пС''+1,к> = x ~к _2пС'+1,к .
kеZ kеZ
Полученное преобразование можно представить в виде свёртки, если обозначить (^ у)к = V2к . Тогда
■ • * "_■) , • +1, • * (5)
где = и_к .
Формулы (5) представляют собой алгоритм вейвлет-разложения. Имеет место и алгоритм вейвлет-восстановления [8]'
С'+1; ■ = (Г С', ■)* и + (Т ■)* V, (6)
где введено обозначение (^ 2)п = 2к , если п = 2к; и (^ 2)п = 0, если п = 2к +1.
В заключение данного раздела рассмотрим способ нахождения приближённых значений масштабирующей функций через схему подразделений. Отметим следующий результат'
Теорема 7 [1]. Пусть функция f е Ь2 (Я) удовлетворяет условию Липшица порядка е при некотором ее (0;1], т.е. существует константа С1 такая, что ^(х) _ f (у)| < Сц |х _ у|8 для всех х, у е Я . Пусть действительная
+ Ю +Ю
функция ре Ь(Я)пЬ2(Я) удовлетворяет условию | |х|е\р(х)\йх = С2 < +ю и \ р(х)йх = 1. Тогда
(f Ршк ) _ 2_ т/2 f (2_тк)
< С1С22_т(8+1/2).
Пусть С' к = (р, Р' к) и ик = Vк, | к |> т . Тогда suppр С [_т;т] и формулы (6) перепишутся в виде [1, 7]
+1,т = x ит_2кС',к, С°,к = $°,к• (7)
кеЪ
Так как в дальнейшем и(_1) = 0 , и(1) = а/2 , то в схеме (7) не выполняются необходимые условия сходимости.
Пусть С' к = 2' /2 С'кк. Тогда
С'+1,т = XJ2um_2kС'к, С°,к = ¿°,к. (8)
кеЪ
Предположим, что эта схема сходится, и рр - предельная функция. Тогда, по теореме 7 получим
рр(2_' к) _ р(2_' к)
<
рр(2_' ■) _ с
+ С1С22_'8, Vk е Ъ.
^2 Ю
Отсюда Р(((2_') _р(2_' )Р =°. Таким образом, приближённые значения р(2 'к) могут быть найдены
по формуле' р(2_' к) « С 'к.
—со
—со
4. Параметрические семейства биортогональных вейвлет-систем на основе подъёма сплайн-вейвлетов. Рассмотрим следующие многочлены Лорана:
U(z)=' +-L +* ; U (z) = 1 + ^ + 3 + z z2
24lz 242' 4yÎ2z2 2^2z 2^2 2^2 472 '
z3 z2 3z 1 1 ~ , . z2 z 1
V(z) =--J=----T--î—; V(z) =--T= + -r_-
2sÎ2 2sÎ2 2^2 W2z' ° 2^2 42 242'
Этим многочленам соответствуют биортогональные сплайн-вейвлеты с масштабирующей функцией р(x), представляющей собой В-сплайн 1-го порядка [11]. Построим на их основе параметрические семейства
биортогональных вейвлетов с гладкими масштабирующими функциями и вейвлетами. Нас будут интересовать классы C1 и C2.
~ —1 2 Теорема 8. Пусть P(z) = p—2z + p—\z + p° + p\z + P2z ,
где p° = — pj — p2 — p—1 — p—2, p—1 = a, p—2 = °,°°78125 — °,25a, pj = a — °,°625, p2 =°,°39°625 — °,25a,
а последовательность ua = {2—1/2 uвыбрана следующим образом:
ua5=°,°°97656 — °,°625a; ua4=°,°1953 — °,125a; ua3=°,625a — °,°7422;
ua2 = °,375a — °,°1172; u" = °,6°74 — 1,9375a; u° = °,9766 — °,25a; uf = 2,75a + °,46°94; ua = °,°°78 — °,25a, ua =°,°°586 — 1,9375a, u4 = °,375a + °,°°391; u5 = °,625a — °,°1172; u6 = °,°°391 — °,125a; u7 = °,°°1953125 — °.°625a и ua =° для остальных k .
Тогда, если ae (°,°2285565°8439°93;°,°851223636111°71), то функция р, определяемая схемой подразделений S г- a принадлежит C 2(R), а если ae (—°,°229259478227186;°,147754128372195), то V2u
ре C1(R) . Вейвлет y , определяемый последовательностью vf = {vf}kez, где vf = (— 1)k—1u1—j имеет порядок 4.
Доказательство. Применим двойственную схему подъёма
U ( z ) = U ° ( z) — V ( z) P( z—2 ), ~ z) = ( z) + U( z) P~ 2 )
и наложим на коэффициенты p—2, p—\, p°, p}, p2 следующие ограничения: V~(k)(1) = °, k = °,1,2,3. в результате вейвлет y будет иметь порядок 4. Обозначив p—1 = a , получим:
p° = — p — p2 — p—1 — p—2; p—2 =°,°°78125 — °,25a; p1 = a — °,°625; p2 = °,°39°625 — °,25a.
Следовательно, U ( z) можно представить в виде
V2U ( z) = [ ^ J ( z +1) D( z ),
где
D(z) = 4a + z4 • (°,°°78125 — °,25a) + z3 • (°,25a — °,°°78125) + + z2 • (2,5a — °,°46875) + z(°,171875 — 6,5a) — °,34375 + z—1(4a + °,59375) + + z—2 (°,921875 — 6,5a) + z—3 (2,5a — °,296875) + + z—4(°,25a — °,°39°625) + z—5(°,°39°625 — °,25a).
2 J
Поэтому функция ре C , если r(Sd) П< 1 для некоторого L .
Для L = 3 это условие будет выполнено, если a е (°, °2285565°8439°93;°, 0851223636111071).
Пусть e(z) = l+LD(z). Тогда ^u(z) = (z +1)E(z). Поэтому, если Гфе)LEK1, то
ре C1(R). Для L = 2 это условие будет выполнено при
a е (—°,°229259478227186;°,147754128372195).
На рис. 1 представлены графики функций
ре C2, y, р, y для a = °, °229.
х —2-0 —1,5 -1.0 —0.Б 0.0 0.Б 1.0 1.5 г.О *
Рис. 1. Графики функций 5. Поверхностное и твердотельное моделирование. Пусть задано множество точек
Рь...,/п = (..,1И, Уг1,.,гп, 2Н.,1п }, 1к =°,1,. Щ, к = 1,2,., п, п е {1,2,3}.
Вектор-функцию, аппроксимирующую заданное множество точек, найдём, используя схемы подразделений. Продолжим данные последовательности на все Ъп . Тогда, если х = {х;- | } | еъ, У = {У1 1 } 1 еЪ,
2 = {2. . }. г,, то искомая вектор-функция имеет вид
^ 1}_,..,1п>1\,...1пеъ
) = 0?
I
+ (5
гчЮ
и'1 ®...®иап
Ю
х)(4Ь...,4п)1 + (5 а-1 „ „ аУШ-Лп)' +
иа1 ®...®ип
и
а1 ®...®иап
2)(#1,.,#п )к,
т- -г г - "
где 1,', к - орты декартовой системы координат, а (# # ) е ^ [0 N1 ]
1=1
Введём для удобства следующее обозначение. Пусть г ■ е . Обозначим
11,.,1п
ш„,й = x г11. ,,1п р' (# _ 11) ■. ■ Рап (#п _ 1п). По теореме 4 вектор-функцию г ..., #) можно
11,.,1п
записать в виде WNn 3 , если в качестве векторов г выбрать ( х у 2 ) . Разложим WNn й
п,3 11,...,1п у 11,.--,1п'1 -У11,...,1п'' 11,--,1п) п,а
_1
по тензорным произведениям функций (ра1, }к Ъ и {У' } Ъ, 1 =1'2,.,п, которые удобно пронуме-
Ь 5=
ровать одним индексом и обозначить о'. Используя формулы (5), легко получить разложения функций ^ (х) . При этом в формулах необходимо принять с° 5 = 55 к, 5 е Ъ. Пусть ра = С0а где коэффициенты
' ' °,к к,5 5
5
¿к 5 найдены по формулам (5). Тогда
( \
/
Эп
К Ч
п
Следовательно, ^ « = у г, ^ ..
•Пп , '1 п 11,«1 гп,эп
Итак, кривые, поверхности и тела могут быть заданы с помощью функции 3, которая наглядно
представлена на рис. 2.
Вход
Сверточный блок
Ф
О,О,-А 1,0,...,0^ 0,0.....0,1,0,....О
,г
0,0.....0,1,0,...,0
Ц.....,}
■ТФ *
II х <2га-II
Г/
1 г * кег —> щ
т
V '
I ^
К"
Рис 2. Функция п Л
В такой интерпретации функцию можно рассматривать как вейвлет-нейронную сеть. В этой сети функции активации могут быть сформированы в процессе обучения сети. Выход свёрточного блока формируется по формулам (5) и (8). Свёртки в таком случае формируют и базисные функции, и весовые коэффициенты. Отметим, что основное преимущество данной методики аппроксимации заключается в том, что при выписывании вектор-функции не требуется решать системы уравнений для определения коэффициентов и задаваться какими-либо граничными условиями. Недостатком методики является необходимость продолжения последовательностей на несколько дополнительных узлов в сетке Zn, для корректной реализации свёртки. Выбор оптимальных параметров а1, . ., ап может быть сделан, например, из следующей задачи минимизации
(* * \ аь...,апГ
а^ тт
у
и
еА
„, и\аа1 ®... ®аап М1,-,Мп I /ИХ Цп
L
М п )
где А - это множество коэффициентов, которые не будут рассматриваться. Задавать множество А можно различными способами. Например, если Е > 0 - заданный порог, при котором соответствующий коэффициент выводится
из рассмотрения, то А = <и
и
М1,-
<в \. Можно также задать процент удаляемых коэффициентов, то-
гда множество А будет состоять из наименьших по модулю коэффициентов, количество которых будет соответствовать этому проценту. На рис. 3 представлен пример такого выбора при моделировании кривой. Отброшено 71% коэффициентов в разложении.
■V"
а б
Рис 3. Моделирование кривой: а - заданное множество точек и кривая с параметрическим представлением 2 (Ь) с учётом 100% коэффициентов (50 базисных функций); б - кривая, с параметрическим представлением ^N1 2(Ь) с учётом отброса 71% коэффициентов (17 базисных функций)
На рис. 4 представлен пример моделирования поверхности вентиляторной лопатки двигателя, заданной 16 сечениями по 60 точек в каждом. Параметрическое представление поверхности задаётся функцией
^2,з(<?1,&) = (*(<?Ь&), г(<?ь6)Г .
ф _ |о,о.,..,о,1.о„.,.о 1.ПМ1 | и.о.. ..0.1.0,....о
(х, у, г)- ""',',
(' и (: -п ■!.':;
Г| Vй"
Цх« у, ж) * ксг —
Вяа'1
Рис 4. Моделирование поверхности вентиляторной лопатки
При этом в выходе х^,^) используется 47% коэффициентов, в выходе у (^1,^2) - 49% коэффициентов, в выходе 2(£\,- 37% коэффициентов. Погрешность 5 в сравнении со 100% использованием коэффициентов составила 1,0235. График зависимости погрешности 5(«1,«2) от значений параметров представлен на рис. 5.
-0,20
-0.10
-0.05
0.00
Рис 5. Погрешность 5 (а, «2 )
6. Оценка погрешности
Пусть / . п[к-0' к- 1] ^ R , к^ j е Z. В дальнейшем удобно считать, что /(х) = 0 для всех I=1
х е п[к-,0; к-,1]. - =1
1 + 2 1 + 2
ТеоРема 9. Пусть Аа(2) = -у-Ба (2> Ба(2) = Са(¿)' а = 1,2,...,5, последовательность
аа ={аа к }kEZ имеет конечный носитель supp аа С [-Ш; т], Ш е Z, и схемы S¿ , Sc сходятся при
любом выборе начальной последовательности. Если / е С
( ~
п[к-,0; ки]
V -=1
Л
где г =0,1,2, к1 I е Z,
А,...,-, = /(2-Ч--,2-"15)' -а = 2ика,0,---,2ика,1 = а=l,2,.,5,
2 к11 2 к, 1
/„ (x1,., х, )= x
п X 4...,^ Ч2ИХ1 -¡¿...р5 (Г х, -I,) -1=2 к1,0 =2 к,,0
и тахтах | (раа (х)|= Ма, тахтах |(Ьа(х) |= Мь, тахтах |(Са(х) |= Мс, то для любого а хеЯ а хеЯ а хеЯ
5
/ \/
х :
-=1
X,)) е пк 0;к1] справеДливы оценки
1. /(х) - ~п (х) < Ма (2т)5 т
( ^ ^ ' 2п
г = 0;. 443
уХц (х) (/п )хд (х)
< МЬМа 1(2т),т
/X
(т +1)45
г = 1;
/ха,хр(х) (/п )ха, х/х)
< М62Ма-2(2т)5т
■> ха, хр
(т + 2)45
г = 2.
Доказательство.
ПУсть /ае{2пка_0,2пка_0 + 1,.,2пка,1 - 1}, а = 1,2,..., 5
х е п [2-п/а;2-п(1а +1)]. Так как supp аа е [-т;т], то supp р а (2 • -5) е [2 "(5 - т);2 "(5 + т)]
а=1
Поэтому в выражении для /п отличными от нуля могут быть только слагаемые с индексами 1к = /к -т + 1,.,/к + т , к = 1,2,.,5 . Для сокращения записи введём обозначение:
i = (11,., ), ( ® ...®(а5 (х) = (а1(х1)...(а5 (х5). Тогда,
7п(х)= x/i (а1 ®... ^ (2пх -1).
С учётом равенства X раа (х - к) = 1 V" е R получаем
kеZ
|/(х) - ~п (х) = е(/(х) - / (2-п 1))ра ®... <( (2п х - 0 < Ма (2т)
т
т
Пусть / е С1(X) . Получим оценку для /'х . С учётом формулы (1) (ра1)'(V) = рР1 (V) - (р?1 (V - 1)
находим
(/п )'х1(х) = 2п X (- А -1,...Л )(1 ®... ®Р5 (2п х - i)
По теореме Лагранжа
--/11-1,.,15) = /х1 (й,2-п/2,...,2-п/5), где #1 е (2-п(11 - 1)'2-п/1).
Далее
аналогично получаем вторую оценку в теореме. Для получения последней оценки рассмотрим, например, чистую производную. Смешанная получается аналогично. Имеем
(/п)'х1,х1 (х) = 22п • X /1 (р1 (^ х -11) - 2(1 (2й х -11 -1) +
+ рС (2пх1 -11 -2)(а2 (2пх2 --2).ра5 (2пх5 --5) =
„С1 (2п х - Л ) - 2(С1 (2п х - и - 1
= 22п • "X (/11..,15 - 2/К -1,...Л + Д-^..! )(С ®... (2п х -1) Применяя дважды теорему Лагранжа, получим [12]
/,..л -2/-1,...л + /-2,..А = /К-%,-,2-Ч)2-2п,
где (1 лежит между 2-п (11 - 2) и 2-п 11. Снова аналогично первой оценке, получим неравенство, представленное в теореме.
7. Подрисовка изображений. В данном разделе, для простоты обозначений, под изображением будем
понимать вектор / е И5. Целью будет нахождение неизвестного изображения и е R5 по наблюдаемому изобра-
2
жению / = Аи + Г, где г - белый гауссовский шум с дисперсией а и А - линейный оператор. В нашем случае решение этой задачи также основано на использовании вейвлетов. Но выбор вейвлета будет производиться из параметрического семейства в процессе решения оптимизационной задачи. Для произвольного вектора х е И5 обозна-
х = II 11р
( 5 V Р
xi х>\р
и=1
1 < р < Кроме того, для произвольной матрицы А обозначим ЦА^ = у/тах Л
Т
где Л - максимальное собственное значение матрицы А А .
Пусть О = {1,2,., 5} и Лей . Наблюдаемое изображение имеет вид
( Щ +Г 1еЛ; [произвольно, 1 е О \ Л.
Задача восстановления неизвестного изображения и относится к задаче аппроксимации. Как известно, существует множество схем аппроксимации (например, сплайнами), большинство из которых применяются только для гладких функций. Так как кривые линии на изображения не являются гладкими, то основная проблема при вос-
/I =
ч
п
2
п
2
и
п
2
чим
становлении изображений заключается в сохранении их особенностей. Например, краёв изображений, которые не могут быть хорошо сохранены многими доступными алгоритмами аппроксимации.
Обозначим РЛ диагональную матрицу, у которой (Рд)/ / = 1, V/ еЛ и (Рд)/ / = 0, V/ еО \ Л .
Введём также следующие обозначения: Ца : / ^ Ца1 - параметрическое дискретное вейвлет-преобразование,
ставящее в соответствие данному изображению I е Я.Э его вейвлет-коэффициенты Ц^а/ е Я.Л и - обратное преобразование. Изображение и будем находить из следующей задачи минимизации:
-1 * и = Ц \р ;
* * 1 а ,0 = aгgmin тт —
а 0еЯй2
РдЦаХ0- Рд I
■||diag(Я)р^
(9) (10)
ПУсть Ц = Ц,-А), ГА(Р1,.,Рп) = (Ц 00),...,Ц р)),
где Ц (р)= 1^(0 )(1Р1"Ц), 1Р1> Ц,
Ц (Р/) [0, |0|<Ц.
Как показано в статье [4] при каждом значении а решение задачи минимизации
2
*1
Р (а) = тт —
0еЯй 2
рдцаР- Рд I
+
2
||diag(Ц)р|1
(11)
можно найти по следующему алгоритму:
1. Выбор произвольного вектора Р0 е ЯЛ.
2. Вычисление рк+1 (а) = Гц (ЦЛI + Рк(а) - ЦРдКМ(а)), к = 0,1,.
На рис. 6 представлены примеры восстановления повреждённых изображений.
0.00 0.05 0.10 0.15
Рис. 6. Примеры подрисовки изображения: а - исходное изображение; б - повреждённое изображение; в - график функции 0" (а); г - восстановленное изображение
445
а
2
2
б
а
в
г
В статье [4] доказано, что существует р* (а) = цт р^ (а) . Значение этого предела и является реше-
k
нием задачи (11). Таким образом, решение задачи (9), (10) можно найти, как w ~}fl*(a*)> где
а
* *
а = arg min р (а).
а
Заключение. В статье представлено построение параметрического семейства вейвлет-систем на основе схемы подъёма сплайн-вейвлетов и улучшения их свойств. Исследованы гладкость полученных вейвлетов и их порядок. Рассмотрено применение таких параметрических семейств в задачах поверхностного и твердотельного моделирования. Приведена оценка погрешности аппроксимации функции разложениями по вейвлетам параметрического семейства. В качестве наглядного примера применения техники вейвлетов для обработки изображений рассмотрена задача подрисовки изображений. При решении такой задачи выбор оптимального параметра, задающего вейвлет, осуществлялся в процессе решения оптимизационной задачи.
Список литературы
1. Frazier Michael W. An Introduction to Wavelets Through Linear Algebra. Springer, 1999. 503 p.
2. Bertalmio M., Bertozzi A. and Sapiro G. Navier Stokes, Fluid-Dynamics and Image and Video Inpainting // Proceedings of the 2001 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. 2001 (1). P. 355362.
3. Chan T. F., Shen J. and Zhou H. M. Total Variation Wavelet Inpainting // J. Math. Imaging Vision, 2006 (25).
P. 107-125.
4. Cai J. F., Chan R. H. and Shen Z. A Framelet-Based Image Inpainting Algorithm // Applied and Computational Harmonic Analysis, 2008 (24). No. 2. P. 131-149.
5. Cavaretta A. S., Dahmen W. and Micchelli C. A. Stationary Subdivision Schemes // Mem. Amer. Math. Soc. 93. P. 1-186.
6. Nira Dyn. Analysis of Convergence and Smoothness by the Formalism of Laurent Polynomials // Tutorials on Multiresolution in Geometric Modelling, 2002. P. 51-68.
7. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. Москва, 2006. 280 с.
8. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. Москва: Физматлит, 2005. 612 c.
9. The Lifting Scheme: A Custom-Design Construction of Biorthogonal Wavelets // Applied and Computational Harmonic Analysis, 1996. V. 3 (2). P. 186-200.
10. The Lifting Scheme: A New Philosophy in Biorthogonal Wavelets Construction // In Wavelets Application in Signal and Image Processing III, V. 2569 of Processing of the SPIE, 1995. SPIE, Bellingham, WA. P. 68-79.
11. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов: Пер. с. англ. Москва: Мир, 2005. 671 с., ил.
12. Зорич В. А. Математический анализ: в 2 ч. Изд. 3-е, испр. и доп. Москва: МЦМНМО, 2001. 794 с.
Битюков Юрий Иванович, д-р техн. наук, профессор, [email protected]. Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
Денискин Юрий Иванович, д-р техн. наук, профессор, yurideniskin@gmail. com, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
Битюков Павел Юрьевич, студент-бакалавр, [email protected], Россия, Москва, Московский энергетический институт (национальный исследовательский университет)
APPLICATION OF DIVISION SCHEMES AND WAVELETS IN IMAGE PROCESSING AND GEOMETRIC MODELING
Y.I. Bityukov, Y.I. Deniskin, P.Y. Bityukov
To improve the quality of design of elaborate engineering objects, a transition from traditional methods of processing geometric and graphic information to paperless technologies is required. This opens new opportunities for the use of computer-aided design, computer-aided manufacturing, computer-aided engineering (CAD/CAM/CAE systems) and gives rise to new technologies associated with the use of an electronic geometric model of the design object. In such systems, increased attention is paid to improving the technology of 3D modeling and image processing. However, the main problem is not so much the modeling process itself, but rather the methods for modifying and optimizing the created geometric models. The article describes methods and algorithms for using wavelet technology to solve problems of 3D modeling and image processing. Using the spline wavelet lifting scheme and the results of applying the theory of subdivision schemes, a parametric family of biorthogonal wavelets is obtained. The smoothness and order of the wavelets were studied, and the approximation error of the function by expansions over the constructed wavelets was assessed.
Key words: CAD, subdivision schemes, wavelet, geometric modeling, image processing.
Bityukov Yury Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Deniskin Yury Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected]. Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Bityukov Pavel Yur 'evich, bachelor student, [email protected], Russia, Moscow, National Research University «Moscow Power Engineering Institute»
