CC BY
8Труды МАИ. 2021. № 121 Trudy MAI, 2021, no. 121
Научная статья УДК 519.63
DOI: 10.34759/trd-2021-121-24
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПОМОЩЬЮ СПЛАЙН-ВЕЙВЛЕТОВ
Галина Юрьевна Денискина
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ,
Москва, Россия [email protected]
Аннотация. В предлагаемой методике сплайн-вейвлеты, построенные на основе неравномерной схемы подразделения и схемы подъема, применяются к задачам теории упругости. Выбор таких базисных функций обоснован тем, что, вейвлеты по сравнению с другими базисными функциями обладают рядом преимуществ. Во-первых, использование схемы подъема позволяет строить вейвлеты с заданными свойствами: гладкость, компактный носитель, симметрия, нужное число нулевых моментов, обращение в нуль на границе области функций, соответствующих не граничным вершинам сетки. Во-вторых, высокая скорость убывания вейвлет-коэффициентов. Это позволяет, ограничиваясь небольшим количеством слагаемых в разложении, получать достаточно точные приближения функции. В-третьих, наличие
быстрых каскадных алгоритмов нахождения коэффициентов разложения функции по вейвлетам.
Ключевые слова: вейвлет-анализ, сплайн-вейвлеты, теория упругости, схема подъема, фильтр, масштабирующая функция
Для цитирования: Денискина Г.Ю. Приближенное решение уравнений теории упругости с помощью сплайн-вейвлетов // Труды МАИ. 2021. № 121. DOI: 10.34759/trd-2021-121-24
METHOD FOR FINDING APPROXIMATE SOLUTIONS OF ELASTICITY EQUATIONS USING SPLINE WAVELETS
Galina Yu. Deniskina
Moscow Aviation Institute (National Research University),
Moscow, Russia
Abstract. In the technique being proposed the spline wavelets, built on the basis of an uneven subdivision scheme and a lifting scheme, are being employed for solving problems of the elasticity theory. The choice of such basic functions is justified by the fact that wavelets have a number of advantages compared to other basic functions. For example, the lifting scheme application allows composing wavelets with the given properties, such as smoothness, compactness of the carrier, symmetry, the required number of zero moments, vanishing at the boundary of the domain of functions corresponding to non-boundary mesh
vertices. Lately, the wavelet analysis is attracting a lot of attention from the researchers, scientists and specialists in various disciplines. There are several reasons why wavelets are being successfully applied in signal processing, information compression, methods for finding approximate solutions of differential and integral equations [1, 2], computer geometry [3-5]. Such reasons include the following. Firstly, the high rate of wavelet coefficients decay. This allows obtaining rather accurate function approximations employing only a small number of summands in the expansion. Secondly, availability of fast cascade algorithms for finding coefficients of the function wavelet expansion. Thirdly, many commonly used wavelets (such as spline wavelets and Daubechies wavelets) have a compact carrier. In the proposed technique, a wavelet-system, consisted of smooth functions with the compact carrier, was built using the lifting scheme and a mask. Such wavelet systems may be employed for finding approximate solutions of partial differential equations and, as a consequence, they may be applied to solving problems of the elasticity theory. This application presupposes the use of the least squares method for finding approximate solutions of boundary value problems of mathematical physics [7]. Keywords: wavelet analysis, spline wavelets, elasticity, lifting scheme, filter, scaling function.
For citation: Deniskina G.Yu. Method for finding approximate solutions of elasticity equations using spline wavelets. Trudy MAI, 2021, no. 121. DOI: 10.34759/trd-2021-121-24
Введение
В последнее время вейвлет-анализ привлекает большое внимание
исследователей, ученых и специалистов в различных дисциплинах. Есть несколько причин, по которым вейвлеты успешно применяются в обработке сигналов, сжатии информации, приближенных методах решения дифференциальных и интегральных уравнений [1, 2], компьютерной геометрии [3 - 5]. К таким причинам можно отнести следующие [6]:
1. Большая скорость убывания вейвлет-коэффициентов. Это позволяет, ограничиваясь небольшим количеством слагаемых в разложении, получать достаточно точные приближения функции.
2. Наличие быстрых каскадных алгоритмов нахождения коэффициентов разложения функции по вейвлетам.
3. Многие часто применяемые вейвлеты, например, сплайн-вейвлеты и вейвлеты Добеши, имеют компактный носитель.
В предлагаемой методике с использованием схемы подъема и маски, приводящей к сплайн-вейвлетам, построена вейвлет-система, состоящая из гладких функций с компактным носителем. Такие вейвлет-системы могут быть использованы в приближенном решении уравнений в частных производных и, как следствие, их можно применить к решению задач теории упругости. Такое применение предполагает использование метода наименьших квадратов приближенного решения краевых задач математической физики [7].
Сплайн-вейвлеты
Пусть (Т, X) - триангулируемое пространство с конечным множеством
iV
симплексов [8]. T = \J
- объединение замкнутых ^-мерных кубов вида
1=1
Iп = ;ьи +1], где ^ 1 е Z9 /0п - ^-мерный куб, ^: Т ^ X с К" - гомеоморфизм,
/=1
g\Int{J)^Int{X) - диффеоморфизм класса С2 (Рис. 1). Множество Х = \^
1
получается из гомеоморфных образов замкнутых ^-мерных кубов IП посредством склейки их краев. При этом, если дХ- это граница множества X, то дХ = g(д | Т |).
Рис. 1 - Триангулируемое пространство
Пусть K; = 2~J Zn n T, ЭК; = {k e K; :k e ЭТ} и Int K; = K; \ dK;. Обозначим ^ (Zn)
линейное нормированное пространство ограниченных последовательностей X = {X} zn, в котором норма определяется равенством [9]
II XL= sup|X I.
(XEZn
Для каждого / = 1,2,... выберем последовательности, называемые масками, als .= {aSJaGZ, s e Z, которые в схеме [9]
= 7=0,1,... , E/e(Z) (1)
ßeZ
n
приводят к гладким функциям нужного класса гладкости. Как известно, значение такой функции определяется приближенным равенством [9]
/,(2-а5) ^ е Ъ, Ле N .
Пусть /г^ =(<.«>••• _ . ,, где к = 2-'-\к1... и 8 = 2-^...^). Тогда,
если К, = 5п,^, Г, г1 е Ъ и
у = (у1 ®
где г = 2 Л (X... е z, то схема подразделения
= 2>лЛ*= X К,.®- ... л,» (2)
приводит к функции/(X,... , равной тензорному произведению функций /Дх), к которым приводят схемы [9]:
К+1,к = Е , , к.е Ъ.
Итак, выбрав фильтр , построены масштабирующие функции , которые определяются схемой (2). Легко проверить, что функции удовлетворяют равенству [10]
^ к =Е К1, 5 .
Пусть е е Ъ" - ненулевые векторы, координаты которых равны 0 или 1, и
Г 2к + е ]
Ы] = <! 1, к е Ъ5 ^, 3 = {0} ^ N. Вейвлеты определим равенствами [10]
У - Е SJл^x, т е му.
Последовательность ^ кт выберем из условия |^Тт(и)ёи = 0. При этом можно считать
что я.кт отлично от нуля только для соседних с т вершин к
Рис. 2 - Графики функций а - некоторые функции на отрезке [0;5]; Ь - масштабирующая функция 9Н2-х2-х);
с - масштабирующая функция (рх{2-хъ^2-х) на множестве [0;3]2 \[1;2]2
Рассмотрим пример конкретного фильтра к 8 к. Маска а =
1 4 6 4 1
, как
V 8 8 8 8 8 у
известно, приводит к кубическим В-сплайнам [11]. Предположим, что строится вейвлет-система на отрезке [р;р2], где р,р е Z. Применение в схеме (1) на у-й итерации неравномерной маски а
ах вирр ао* = {0},
а = < а,* 14 6 4 1 ^
18 8 8 8 8 У
, вирр ак. = {-2, -1,0,1,2}, если а ф а * 27+1 и а ф Ь * 27+1
приводит к функциям ф.к равным тождественно нулю на дТ, если к £ дКп (Рис. 2). Определим функции:
7(х)
зЛ
Т
Тогда, если /: X ^ К, то будет иметь место равенство [10]
/=Е ^„Х-и + Е Е ^хи^хи =Е сс
j>j0 пеМ]
пеК,
1=1
в том смысле, что
Нш Г
3 J
( 3 Л
f -Е^„Х,п + ЕЕ^Хп
]=]„ пеМ
V пеКЮ
и = О
В равенстве (3) для краткости выполнены переобозначение и перенумерация всех
базисных функций. Функции обозначены^, а коэффициенты - с ■
2
Т
Применение вейвлетов к приближенному решению уравнений теории упругости
Рассмотрим дифференциальное уравнение и краевые условия
Ьп = /,Ьгм = £,-н&ах,1 = \,2,... (4)
в гильбертовом пространстве Ь2(X), где Ь - линейный дифференциальный оператор.
М ( 3 )
Приближенные решения ^ уравнения (4) будем искать в виде ^ = Е С*^ , где Ы(Х)
к=1
- количество элементов во множестве КП. Коэффициенты с* находим по методу наименьших квадратов из решения вариационной задачи; с учетом того, что при построении вейвлетов часть базисных функций на границе области (это функции, соответствующие не граничным вершинам подразделения) равна нулю, часть коэффициентов с*, к едКП можно найти из граничных условий. В этом случае ^ = Е С<°к+Е с*^, а остальные коэффициенты будем находить из задачи
кеШКЦ зедКЗ
минимизации
г _ . ч Т , ___
V ) J
кеШХ
Вторым, используемым нами приближенным способом решения задачи (4) является метод коллокаций, в котором требуется, чтобы уравнение и граничные условия удовлетворялись в узлах коллокации.
Пример 1. Рассмотрим пластину X = {(х, х2): а2 ^ Х1+ х2 ^ Ь2} в условиях растяжения/сжатия. Пусть Е = 2,1 МПа; д = 0,3; а = 20 м, Ь = 60 м. Интенсивность нормальной к границе пластины нагрузке имеет вид
п , ^ = 2
^ = 2
Г 1 Л Г 1 л
1+4
а У
1
Ь У
п
Используя биортогональные вейвлеты, найдем приближенное решение данной задачи и сравним его с точным
2 2 2 а1= 2 + — 008(20), а2= 2 —- со8(20), т12=— 8т(20). г г г
Решение. В данной задаче Г и Х представлены на рис. 3а и 3Ь. Подразделения Х
показаны на рисунках 3 с и Погрешности для метода коллокаций
тах| ах(хг)(хг)|, тах| а2(хг)(хг)| и шах|г12(хг)-т{2(хг)| не превышает,
Хг х1 х1 ' '
соответственно, 0,0009, 0,000955 и 0,00025 МПа. На рисунках 3е и 3/представлены графики точного решения ах и его приближения охз.
т
60 -40 -20 0 20 40 60
Рисунок 3.
а, Ь - триангулируемое пространство (Т, X); с, й - подразделения триангулируемого пространства; е, /- графики точного решения и его
приближения
Заключение
В статье представлена методика применения сплайн-вейвлетов, построенных на основе схем подразделения и подъема, к приближенному решению задач теории упругости. Преимущество вейвлетов перед другими базисными функциями состоит в том, что вейвлет-коэффициенты убывают достаточно быстро, поэтому небольшого количества слагаемых в разложениях может оказаться достаточным для получения нужного приближения. Дополнительное преимущество вейвлетов, построенных на основе схем подъема и подразделения состоит в том, что можно управлять формой
базисных функций. Например, в данной работе эти функции обнулялись на границе области, что уменьшает количество слагаемых, которые нужно учесть в разложении искомой функции.
Список источников
1. Lepik U., Hein H. Haar wavelets with applications, Springer, 2014, 207 p.
2. Битюков Ю.И., Платонов Е.Н. Применение вейвлетов для расчета линейных систем управления с сосредоточенными параметрами // Информатика и ее применения. 2017. Т. 11. № 4. С. 94-103.
3. Bityukov Yu.I., Akmaeva V.N. The use of wavelets in the mathematical and computer modelling of manufacture of the complex-shaped shells made of composite materials // Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2016, vol. 9, no. 3, pp. 5-16. DQL10.14529/mmp160301
4. Finkelstein A. Multiresolution curves // Proceedings ACM SIGGRAPH, 1994, pp. 261 -268. DOI:10.1145/192161.192223
5. Lounsbery M., DeRose T.D., Warren J. Multiresolution Surfaces of Arbitrary Topological Type // ACM Transactions on Graphics, 1997, vol. 16, no. 1, pp. 34-73.
6. Frazier M.W. An introduction to wavelets through linear algebra, Springer. 1999, 503 p.
7. Марчук Г.И., Акилов Г.П. Методы вычислительной математики: учебное пособие. - М.: Наука, 1989. - 744 с.
8. Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии: пер. с англ. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1958. - 403 с.
9. Cavaretta A.S., Dahmen W., Micchelli C.W. Stationary Subdivision Schemes, Memoirs of the American Mathematical Society, 1993, 186 p.
10. Schroder P., Sweldens W. Spherical wavelets: efficiently representing functions on the sphere // Proceedings of the 22nd Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques, 1995, pp. 161-172.
11. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 272 p.
12. Чигринец Е.Г., Родригес С.Б., Заболотний Д.И., Чотчаева С.К. Численное моделирование температурных полей в полимерном композите // Труды МАИ. 2020. № 116. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=121111. DOI: 10.34759/trd-2021-116-
И
13. Локтева Н.А., Иванов С.И. Шумопоглощающие свойства однородной пластины с произвольными граничными условиями под воздействием плоской гармонической волны в акустической среде // Труды МАИ. 2021. № 117. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=122234. DOI: 10.34759/trd-2021-117-05
14. Маскайкин В.А. Численный метод исследования температурных режимов неоднородного, структурированного тела // Труды МАИ. 2020. № 115. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=119976. DOI: 10.34759/trd-2020-115-19
15. Григорьева А.Л., Хромов А.И., Григорьев Я.Ю. Растяжение плоского образца в условиях плоского напряженного состояния при различных полях скоростей перемещений // Труды МАИ. 2020. № 111. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=115109. DOI: 10.34759/trd-2020-111-1
16. Кривень Г.И., Маковский С.В. О демпфирующих свойствах вискеризованного слоя в модифицированных волокнистых композитах // Труды МАИ. 2020. № 114. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=118729. DOI: 10.34759/trd-2020-114-03
17. Битюков Ю.И., Денискин Ю.И. Применение вейвлетов Хаара при разработке схемы армирования конструкций из композитов // Компетентность. 2016. № 9-10 (140-141). C. 73 - 79.
18. Битюков Ю.И., Калинин В.А. Применение вейвлетов в системах автоматизированного проектирования // Труды МАИ. 2015. № 84. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=63148
19. Битюков Ю.И., Денискин Ю.И., Денискина Г.Ю. Применение сплайн-вейвлетов для анализа выходных процессов многомерных нестационарных линейных систем управления // Динамика систем, механизмов и машин. 2017. Т. 5, № 4. С. 117-127. DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-4-117-127
20. Yamanaka Y., Todoroki A., Ueda M., Hirano Y., Matsuzaki R. Fiber line optimization in single ply for 3D printed composites // Open Journal of Composite Materials, 2016, vol. 6, no. 4, pp. 121-131. DOI: 10.4236/ojcm.2016.64012
References
1. Lepik U., Hein H. Haar wavelets with applications, Springer, 2014, 207 p.
2. Bityukov Yu.I., Platonov E.N. Informatika i eeprimeneniya, 2017, vol. 11, no. 4, pp. 94103.
3. Bityukov Yu.I., Akmaeva V.N. The use of wavelets in the mathematical and computer
modelling of manufacture of the complex-shaped shells made of composite materials, Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2016, vol. 9, no. 3, pp. 5-16. DQL10.14529/mmp160301
4. Finkelstein A. Multiresolution curves, Proceedings ACM SIGGRAPH, 1994, pp. 261268. DOI:10.1145/192161.192223
5. Lounsbery M., DeRose T.D., Warren J. Multiresolution Surfaces of Arbitrary Topological Type, ACM Transactions on Graphics, 1997, vol. 16, no. 1, pp. 34-73.
6. Frazier M.W. An introduction to wavelets through linear algebra, Springer. 1999, 503 p.
7. Marchuk G.I., Akilov G.P. Metody vychislitel'noi matematiki, (Methods of Computational Mathematics), Moscow, Nauka, 1989, 744 p.
8. Stinrod N., Eilenberg S. Osnovaniya algebraicheskoi topologii topologii (Algebraic Topology Foundations), Moscow, FIZMATLIT, 1958, 403 p.
9. Cavaretta A.S., Dahmen W., Micchelli C.W. Stationary Subdivision Schemes, Memoirs of the American Mathematical Society, 1993, 186 p.
10. Schroder P., Sweldens W. Spherical wavelets: efficiently representing functions on the sphere, Proceedings of the 22nd Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques, 1995, pp. 161-172.
11. Stolnits E., DeRouz T., Salezin D. Veivlety v komp'yuternoi grafike (Wavelets in Computer Graphics), Izhevsk, NITs «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika», 2002, 272 p.
12. Chigrinets E.G., Rodriges S.B., Zabolotnii D.I., Chotchaeva S.K. Trudy MAI, 2020, no. 116. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=121111. DOI: 10.34759/trd-2021-
116-17
13. Lokteva N.A., Ivanov S.I. Trudy MAI, 2021, no. 117. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=122234. DOI: 10.34759/trd-2021-117-05
14. Maskaikin V.A. Trudy MAI, 2020, no. 115. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=119976. DOI: 10.34759/trd-2020-115-19
15. Grigor'eva A.L., Khromov A.I., Grigor'ev Ya.Yu. Trudy MAI, 2020, no. 111. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=115109. DOI: 10.34759/trd-2020-111-1
16. Kriven' G.I., Makovskii S.V. Trudy MAI, 2020, no. 114. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=118729. DOI: 10.34759/trd-2020-114-03
17. Bityukov Yu.I., Deniskin Yu.I. Kompetentnost, 2016, no. 9-10 (140-141), C. 73 - 79.
18. Bityukov Yu.I., Kalinin V.A. Trudy MAI, 2015, no. 84. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=63148
19. Bityukov Yu.I., Deniskin Yu.I., Deniskina G.Yu. Dinamika sistem, mekhanizmov i mashin, 2017, vol. 5, no. 4, pp. 117-127. DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-4-117-127
20. Yamanaka Y., Todoroki A., Ueda M., Hirano Y., Matsuzaki R. Fiber line optimization in single ply for 3D printed composites, Open Journal of Composite Materials, 2016, vol. 6, no. 4, pp. 121-131. DOI: 10.4236/ojcm.2016.64012
Статья поступила в редакцию 06.11.2021; одобрена после рецензирования 18.11.2021; принята к публикации 21.12.2021.
The article was submitted on 06.11.2021; approved after reviewing on 18.11.2021; accepted for publication on 21.12.2021.
