Применение изопараметрических конечных элементов для расчета напряженного состояния толстых плит в трехмерной постановке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м VII 1 97 6 №4

УДК .539.4.013 3:624.078 518.61:512.831

ПРИМЕНЕНИЕ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТОЛСТЫХ ПЛИТ В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ

А. Б. Кудряшов, Т. В. Снисаренко, В. Д. Чубань, Ю. А. Шевченко

Трехмерные изопараметрические элементы с 8, 20 и 32 узлами использованы для расчета напряженного состояния, возникающего в бесконечной плите с цилиндрическим отверстием с зенковкой и без зенковки при равномерном растяжении.

Приводится анализ результатов и даются рекомендации по использованию этих элементов в практических расчетах.

В работе [1] предложены принципы построения матриц жесткости трехмерных криволинейных изопараметрических элементов, с помощью которых был решен ряд задач трехмерной математической теории упругости. Семейство этих элементов включает в себя, как правило, модели конечных элементов с 8, 20 и

О-тачечяый элемент 7- тауеуяый злемеят ¿-точечный элемент

Фиг. 1

32 узлами*, различающиеся между собой законами аппроксимация поля перемещений: полилинейным, поликвадратичным и поликубическим соответственно

(фиг. 1).

Формально каждый из этих элементов может быть использован для решения трехмерных задач математической теории упругости, и при достаточно густой сетке элементов может быть достигнута желаемая точность результата. Тем не менее можно поставить задачу о выявлении по некоторым критериям модели элемента, оптимальной по отношению к другим моделям из рассматриваемого семейства.

* Эти элементы далее, в зависимости от числа промежуточных узлов на ребре элемента, будем называть 0-, 1-, 2-точечными соответственно.

Фиг.

С целью исследования влияния модели элемента на сравнительную точность решения и время его получения в центральном процессоре ЭЦВМ рассматривалась задача об определении поля напряжений в бесконечной плите постоянной толщины с цилиндрическим зенкованным отверстием. Предполагалось, что вдали от отверстия задано одноосное напряженное состояние.

Поскольку рассматриваемая задача имеет две плоскости симметрии, в качестве объекта расчета выбиралась 1/4 плиты с шириной и длиной (в долях радиуса отверстия) 16 калибров. Толщина плиты принималась равной двум калибрам; глубина зенковки — одному калибру с углом раствора зенковки 90° (фиг. 2,а).

бУ

¥

г = 0-,у = 0

О 1

в а / г и 5

1 2 3 Ь х

1 г = /5.У^О

Ер

О

i оа

в 1 о к 5|

^-2', у-О

°л

* Я §Д( > 1

1 2 3 //■ ¿с /

□ О-точечные змементы д / - п »

о 2-

2 3 4-Х

Фиг. 3

Объект расчета разбивался на 0-, I- и 2-точечные изопараметрические конечные элементы* (см. фиг. 2, б, в, г), при этом параметры разбиения подбирались для каждого случая так, чтобы общее число переменных было примерно одинаковым и составляло —1000. Во всех узлах, лежащих в плоскостях хг и уг, фиксировались перемещения иу = 0 и их — 0 соответственно. На свободной грани, параллельной плоскости хг, задавалось равномерное поле поверхностных сил, направленных по оси у, с интенсивностью I.

Результаты расчетов показали, что ширина и длина плиты (16 калибров) были выбраны достаточно большими, чтобы имитировать „бесконечность“ плиты: во всех узлах, находящихся на расстояниях 5—6 калибров от отверстия, поле напряжений становилось равномерным.

На фиг. 3 представлены распределения напряжения о** вдоль оси х при г =

= 0, 1, 2 и у = 0 (фиг. 3, а, б, в соответственно).

Следует отметить, что максимальная концентрация напряжений сгу возникает в месте схода зенковки на цилиндрическую поверхность отверстия и составляет 3,85; 4,187; 4,189 при применении 0-, 1- и 2-точечных элементов соответственно.

Были проведены также расчеты плиты при отсутствии зенковки отверстия. Эта задача является трехмерным аналогом известной задачи об определении кон-

* Матрицы жесткости элементов строились численным интегрированием с помощью квадратур Гаусса.

** Все напряжения в узлах элемента получались на основе закона Гука, причем их значения в узле усреднялись по элементам, для которых этот узел является общим.

12—Ученые записки № 4

165

центрации напряжений в бесконечной пластинке с круглым отверстием под действием равномерного растягивающего мембранного напряжения [2].

На фиг._4 представлены распределения напряжения ау вдоль оси х при = 0, 1, 2 и у = 0 (фиг. 4).

$

3

г = 0 и2-,у=0

1

о

і іе 6 б ' ^ О 3

4 N1 II "*1 II

т

О

і О £ # і > о

1 2 3 $ Я 1 2 3 * X

а О- точечные элементы

Д /“ и я

о 2-я п

Фиг. 4

На внешних гранях плиты (г = 0 и г = 2) концентрация напряжений достигает 2,69; 2,97; 2,93 (для 0-, I- и 2-точечных элементов соответственно), что вполне согласуется с теоретическим коэффициентом концентрации напряжений ау в тонкой пластинке*, поскольку напряжения чг при г = 0 и 2 равны нулю.

Сравнительные характеристики Тип элемента

0-точечный 1-точечный 2-точечный

Число элементов в радиаль- 6 4 4

ном направлении

Число элементов по перимет- 10 6 4

ру отверстия

Число элементов по толщине 4 2 2

плиты

Общее число элементов 240 48 32

Общее число узлов 385 349 415

Число неизвестных 1084 972 1126

Время получения решения в 48 46 100

процессоре ЭЦВМ, мин

Время процессора ЭЦВМ на 2,65 2,84 5,33

одно неизвестное, с

В срединной поверхности плиты (г=1) имеют место большие значения коэффициента концентрации напряжений ау: 3,08; 3,37; 3,34 (для 0-, 1- и 2-точечных элементов соответственно).

* Теоретический коэффициент концентрации напряжений ау в тонкой пластинке равен 3.

Анализ приведенных в таблице данных и результатов расчета показывает, что 1-точечные элементы с 20 узлами являются оптимальными с точки зрения качества результатов расчета и времени его получения для рассмотренных задач. Учитывая также тот факт, что с их помощью легко аппроксимировать геометрию криволинейных трехмерных объектов, 1-точечные изопараметрические конечные элементы могут быть рекомендованы для численного решения трехмерных задач математической теории упругости с помощью метода конечного элемента.

Все расчеты и выполнение чертежей на графопостроителе производились с помощью комплекса программ ,Система-4“, составленного авторами статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Z i е л k i е w i с г О. С., Cheung Y. К. The finite element method in structural and continuum mechanics. McGraw-Hill, London, New York. 1967.

2. Ван Цзи-де. Прикладная теории упругости. М., Физмат-гиз, 1959.

Рукопись поступила 8jX 1974 г.