CC BY
59
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м VI 1 97 5 М3
УДК 629.7.015.4
ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ УРОВНЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НА МНОЖЕСТВЕ ДВУМЕРНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
А. Б. Кудряшов, В. Д. Чу бань, Ю. А. Шевченко
Предлагается алгоритм построения линии уровня функции, заданной на множестве двумерных криволинейных изопараметрических конечных элементов. Приводится пример построения семейства линий уровня эффективных (по Мизесу) напряжений, возникающих при растяжении бесконечной пластинки с круглым отверстием, полученных в результате расчета с помощью метода конечного элемента. Дано сопоставление результатов с известным аналитическим решением.
Одной из основных проблем, возникающих при расчете конструкций на прочность с помощью метода конечного элемента, является анализ вводимой и выводимой информации, объем которой может достигать десятков тысяч величин. В связи с этим возникает задача обработки этой информации на ЭВМ с последующей ее визуализацией с помощью графопостроителей или дисплеев.
Поскольку основную долю информации составляют массивы величин, отнесенных к узлам конструкции — перемещения, напряжения, температуры и т. д., удобным способом их визуализации является построение семейств линий уровня соответствующих величин.
Ниже приводится алгоритм построения лирий уровня функции,значения которой заданы в узлах конструкции, состоящей из двумерных изопараметрических конечных элементов. Такие функции будем называть сеточными.
При рассмотрении двумерных изопараметрических элементов обычно ограничиваются элементами с 4, 8 и 12 узлами [1], расположенными на ребрах элемента (фиг. 1, а).
'В соответствии с общепринятым подходом в теории изопараметрических конечных элементов геометрия элемента задается с помощью введения криволинейных координат £, т]. Радиус-вектор точки элемента с координатами ?, у определяется с помощью выражения
п
(1)
<=1
где и — число узлов элемента; Я; — радиус-вектор г-го узла элемента, /' = = 1, 2, . . . , я; N1 (£, к]) — интерполяционный полином ¿-го узла, 1 = 1, 2, . . . , я.
Полиномы NI (|, т]) определены на области й: — 1-<£<1, —1<>]<1 (фиг. 1, б) и обладают свойствами: Л^- (£у, ^у) = 8 у, /=1, 2, ... и, /=1, 2..п, где ту—
координаты /-го узла элемента; Ьу = ( ’ — я-мерный символ Кронекера.
111 ^ == 3
Интерполяционные полиномы Л^(£, у|) обладают также тем важным свойством [1], что функция, значение которой в точке I, ч) элемента определяются с помощью выражения
П
/(5. ч) Ч)- (2)
¿=1 ■
где /г — соответствующее значение сеточной функции в г-м узле элемента, является непрерывной на ансамбле элементов, составляющих конструкцию.
Фиг. 1
Таким образом, с помощью выражения (2) можно осуществить переход от сеточной функции, т. е. функции, значения которой определены на конечном множестве узлов конструкции, к непрерывной функции, значения которой определены в каждой точке конструкции.
Очевидно, задача о построении линии уровня функции, заданной на конструкции, сводится к построению ее линии уровня на каждом элементе в отдельности. . 1 г
Для этого разобьем область Q криволинейных координат в элементе на 2/и?1 равных треугольников (фиг. 1, в), где т — число отрезков, на которые равнр-, мерно делится каждая из сторон квадрата Q. ' ' !
Рассмотрим один из таких треугольников, найример abc (фиг. 1, в).
С помощью выражения (2) можно вычислить значения функции fa, fb, fc в' его вершинах. Функцию /(£, т)) внутри треугольной области abc можно с возрастающей при т-^со точностью аппроксимировать линейным законом.
Решая задачу о пересечении плоскости /„ fb fc с плоскостью уровня, определяем координаты £, т) концов отрезка уровня внутри треугольной области abc. Затем, используя выражение (1), определяем его пространственное положение в виде радиус-векторов концов отрезка уровня.
Этой информации достаточно для визуального воспроизведения полученного отрезка линии уровня на графопостроителе или дисплее.
В качестве примера рассмотрим задачу о распределении эффективных (пр Мизесу) напряжений [2] вокруг кругового отверстия в бесконечной пластинке, подверженной равномерному одноосному растяжению с интенсивностью напряг. жений S вдали от отверстия.
Известно точное решение этой задачи [3], согласно которому поле напряжений в пластине в полярных координатах можно представить в виде:
S I, а2\ S ! За* 4а2 \
= т(1~^г) + ^-(1+"^““^)С0526’
5 7 , а2 \ S /, За* \ . .
a9 = T'(i/+7î'J-_2'(I+^jcos26’
5 / За*, 2а- \
т,9 = --г(1--тг+ T^jsln20>
где г—радиус точки, отсчитываемый от центра отверстия; 0 — полярный угол отсчитываемый от оси нагружения; а — радиус отверстия.
На фиг, 2 показано семейство линий уровня эффективных напряжений.
Решение задачи методом конечного элемента проводилось для квадратной пластинки (отношение стороны квадрата к диаметру отверстия равно 8), причем из условия симметрии, рассматривалась только одна четверть пластины с постановкой соответствующих граничных условий. Нагружение пластины осуществлялось кинематически. Величина смещения определялась из предположения, что возмущения поля перемещенйй от отверстия затухают на смещаемой кромке пластины.
Фиг. 2. Семейство линий уровня эффективных напряжений, возникающих в бесконечной пластине с круглым отверстием при одноосном равномерном растяжении. Аналитическое решение
Конструкция разбивалась на два агрегата, которые представляют собой криволинейные четырехугольники. Каждый агрегат, в свою очередь, автоматически разбивался на 49 изопараметрических элементов с четырьмя узлами (фиг. 3).
На фиг. 4 показано семейство линий уровня, полученное в результате решения задачи.
Разрывы линий уровня на границе между агрегатами объясняются тем, что построение сеточной функции эффективных напряжений проводится независимо для каждого агрегата путем усреднения напряжений в каждом узле агрегата по всем его элементам, для которых данный узел является общим. Поскольку решение задачи проводится в перемещениях, эти разрывы всегда имеют место, а их величина характеризует качество решения задачи.
На фиг. 5 аналогичное семейство линий уровня получено при разбиении каждого агрегата на 225 элементов. Видно, что разрывы линий уровня на границе между агрегатами заметно уменьшились, и, как следствие, улучшилось качественное совпадение полученных линий уровня с теоретическими (см фиг. 2).
Количественное расхождение наблюдается на границах области, где сильны эффекты граничных условий нагружения (мало отношение стороны квадрата к
Фиг. 3 Разбиение конструкции на конечные элементы. Чертеж выполнен с помощью графопостроителя
Фиг. 5. Семейство линий уровня эффективных напряжений в пластинке ,с отверстием (450 элементов, 992 переменнных).
Чертеж выполнен с помощью графопостроителя
диаметру отверстия) и вблизи точки г = а, 0=30°, где все компоненты тензора напряжений обращаются в нуль (большой градиент поля тензора напряжений).
В остальных областях совпадение можно считать удовлетворительным. Коэффициент концентрации напряжений хорошо совпадает с теоретическим,
Все расчеты и выполнение чертежей на графопостроителе выполнялись с помощью комплекса программ по расчету конструкции на прочность „СИСТЕМА-4‘, разработанного Кудряшовым А. Б., Снисаренко Т. В., Чубань В. Д., Шевченко Ю. А.
ЛИТЕРАТУРА
1. AhmadS., Irons В. М. andZienkiewick О. С. Analysis of thick and thin shell structure by curved finite elements. International. J. for Numerical Methods in Engineering, vol. 2, N 3, 1970.
' 2. Г ольденб’лат И. И., К о п н о в В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М., «Машиностроение*, 1968.
3. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М., Госиздат,
1959.
Рукопись поступила 26jIII 1974 г.
