Применение метода конечных элементов к решению контактной задачи теории упругости с переменной зоной контакта без трения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VII 197 6

М 6

УДК 539.3 512.831

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ К РЕШЕНИЮ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПЕРЕМЕННОЙ ЗОНОЙ КОНТАКТА БЕЗ ТРЕНИЯ

Ю. А. Шевченко

Рассмотрена контактная задача теории упругости с переменной зоной контакта без трения между контактирующими поверхностями для системы нескольких тел. Предложен алгоритм численного решения задачи с помощью метода конечных элементов.

Исследована зависимость величины зоны контакта и напряженного состояния от приложенной нагрузки для системы тел, состоящей из квадратной пластины с отверстием и круглой шайбы, вставленной в отверстие при различных соотношениях диаметров шайбы и отверстия.

Взаимодействие упругих тел сопровождается, как правило, появлением между телами зон контакта, через которые передаются усилия с одного тела на другое. Распределение усилий по зонам контакта, форма и размеры зон являются в общем случае переменными, зависящими от величины внешних сил, действующих на тела.

Большое число работ, например [1 —4], посвящено решению различных контактных задач с помощью аналитических методов, основанных на решении интегральных уравнений. Однако для тел сложных конфигураций такое решение связано с определенными трудностями.

Известен также ряд работ [5, 6], в которых при исследовании контактных напряжений применяется метод конечных элементов. При этом, как правило, вводятся предположения, существенно упрощающие постановку задачи, например, одно из тел считается абсолютно жестким или вводится условие постоянства зоны контакта.

В настоящей работе предлагается численный метод решения контактной задачи теории упругости с переменной зоной контакта для системы тел в предположении, что между контактирующими поверхностями отсутствуют силы трения.

При построении алгоритма используется метод конечных элементов в перемещениях.

Выберем из системы упругих тел два тела, взаимодействующие друг с другом через поверхность контакта 5К (фиг. 1, в). Назовем одно тело первым, другое— вторым, и все величины, относящиеся к этим телам, будем обозначать индексами 1 и 2 соответственно.

Предположим, что внешние силы, действующие на тела, вызывают только малые перемещения.

Выделим те участки поверхностей тел 5] и 52, которые близки друг к другу и точки которых могут вступать в контакт друг с другом. В каждой точке Т

поверхности 51 предположим существование внешней нормали п1, которая пересекается с поверхностью в точке Т2. Такие пары точек будем называть сопряженными.

В процессе нагружения точки поверхностей ^ и 52 получают перемещения

и и2 (фиг. 1, б), так что абсолютное положение этих точек можно представить в виде

Гу = 4- н,; г2 = г% +- и2.

где г° и /-^—начальные положения точек 7\ и Т2 в пространстве, г1 и г2 кущее положение точек Г( и Гц в пространстве.

Фиг. I

Для точек Т1 и Т2, вошедших в контакт, выполняется условие:

(Г1 гг)' п\ — О I г, £ 5К

или

(и, — иа)-Я! = (/-!! — |г, (О

Для сопряженных пар, не вступивших в контакт, должно выполняться условие взаимного „непроникновения" тел:

(г, — г2)-п, <0(г,?;Л-к. (2)

На поверхности контакта 5К тела взаимодействуют друг с другом, согласно предположению, без трения, что приводит к появлению нормального давления р\.

р1= — Р\п\ I 7- ^5 . )

,ь * (3)

Р\ > 0 1г,С5к- )

Условие (3) будем называть условием взаимного надавливания тел.

Произведем дискретизацию системы упругих тел, разбивая каждое тело на совокупность конечных элементов. При этом узлы сетки, лежащие на поверхности 52, расположим так, чтобы они образовывали с узлами, лежащими на поверхности 5|, сопряженные пары точек (фиг. I, г).

Представляется вполне естественным потребовать выполнение условий (1)—(3) только в узлах конечно-элементной сетки, ожидая, что при сгущении сетки путем увеличения числа элементов будет получаться решение,все более и более близкое к точному.

Таким образом, для сопряженных пар узлов, лежащих на поверхности контакта 5К, должны выполняться:

а) условие совместности нормальных перемещений

(и1 I — и11) п1 I = (г2 I — г11)'п11= °21 / 1—о . (4)

где / —-номер сопряженной пары узлов, лежащих на поверхности 5К; &211 ~~ величина начального зазора между узлами г-й сопряженной пары; и{ / и — перемещения узлов конечно-элементной сетки первого и второго тел соответственно, принадлежащих /-й сопряженной паре узлов;

б) условие взаимного надавливания (3), которое при конечно-элементной идеализации с достаточной степенью точности можно сформулировать как

?1глц<0|-*, (5)

где /4 / — сила, действующая на узел конечно-элементной сетки первого тела, принадлежащий г'-й сопряженной паре.

Для сопряженных пар узлов, не лежащих на поверхности контакта 5К, должно выполняться условие взаимного непроникновения (2), которое для конечно-элементной идеализации запишется в виде

(«11 — и2,) • /г, I < о,, I |-п . (6)

г\ г

Если при заданных внешних нагрузках определить напряженно-деформированное состояние системы тел при условии, что в некоторых парах сопряженных узлов выполняется условие совместности нормальных перемещений (4), то, вообще говоря, два других условия (5) и (6) по всей совокупности сопряженных пар выполняться не будут. Для узлов, в которых не выполняется условие (6), что физически означает взаимное проникновение первого тела во второе, представляется целесообразным потребовать выполнение условия совместности нормальных перемещений (4). Для узлов, в которых не выполняется условие (5), т. е. тела стремятся .оторваться" друг от друга, очевидно, следует отказаться от условия совместности их нормальных перемещений. Таким образом, произошло „уточнение" области контакта поверхностей ^ и 52.

Повторяя этот процесс решения и проверки условий (5) и (6) и уточнения зоны контакта, можно пытаться получить решение задачи.

Заметим, что сам факт существования решения рассматриваемой задачи при ее конечно-элементной идеализации и сходимости предложенного итерационного способа определения зоны контакта остается открытым. Можно лишь утверждать, что если итерационный процесс сошелся, то решение задачи в конечно-элементной идеализации существует.

Остановимся кратко на особенностях реализации предложенного итерационного метода решения контактной задачи на ЭВМ. На фиг. 2 представлена блок-схема алгоритма.

Перед началом решения задачи формируется таблица признаков состояния узлов сопряженных пар, показывающих, находятся ли в контакте узлы сопряженных пар. В процессе решения задачи таблица признаков меняется, что соответствует перестроению зон контакта.

Блок 1 (фиг. 2) вычисляет напряженно-деформированное состояние системы тел для данной конфигурации зон контакта, определяемой таблицей признаков. Поскольку зоны контакта и зазоры между узлами задаются, то для реализации блока 1 может быть приспособлена практически любая программа по расчету конструкций методом конечного элемента. Единственной особенностью программы является возможность формирования и решения системы уравнений, определяющей совместные перемещения узлов системы тел только для нормальных компонентов перемещений в зонах контакта.

11 — Ученые записки N2 6

141

Начало

программы

Фиг. 2

После определения напряженно-деформированного состояния системы тел в цикле по сопряженным парам (блоки 2 и 11) анализируется выполнение условий надавливания (блок 5) или непроннкновения (блок 6) в зависимости от признака состояния узлов сопряженной пары (блок 4). Невыполнение этих условий приводит к изменению таблицы признаков (блоки 7 и 8).

Если после обработки всех сопряженных пар изменений в таблице признаков не произошло, то процесс итераций заканчивается, что регистрируется содержанием признака л (блоки 3, 9 и 12). Конечное состояние таблицы признаков состояния узлов сопряженных пар определяет конфигурацию зон контакта при заданных внешних воздействиях.

Для примера применения предложенного метода рассмотрим решение задачи о взаимодействии квадратной пластины с круговым отверстием (диаметр й = 20 мм) и круглой шайбы (диаметр й + 2е), вставленной в отверстие (фиг. 1, а). Ширина пластины была принята равной 5а?=Ю0мм. Упругие характеристики материалагшайбы и пластины были одинаковыми; £ = 2-104 кг/мм2 (модуль Юнга) и ч = 0,3 (коэффициент Пуассона). Толщины пластины и шайбы полагались единичными. Внутренние точки шайбы, лежащие на радиусе 0,1 й = 2 мм, считались неподвижными. Нагружение пластины осуществлялось по кромке аа' равномерно распределенным погонным усилием в.

Задача решалась только для половины конструкции из условия симметрии с постановкой соответствующих граничных условий.

Конечно-элементная модель конструкции (фиг. 3) представлялась с помощью 140 плоских криволинейных изопараметрических элементов с поликвадратичным законом аппроксимации поля перемещений. Общее число узлов в рассматриваемой задаче ~ 500, число неизвестных ~ 1000. По линии ЬЬ’Ь" проходит граница

Ь

Ь

Фиг. 3

между щайбой и пластиной. Задача решалась как для е > О (шайба вставлена в отверстие с натягом), так и для е<0(шайба вставлена в отверстие с зазором). Для оценки напряженного состояния конструкции удобно ввести безраз-

Р „

мерный параметр нагружения и. = | ^ [I], где Р— суммарная сила, действую-

щая на шайбу.

Зону контакта можно характеризовать углом 20. На фиг. 4 представлена зависимость величины 0 от приложенной нагрузки при различных е. Нижняя ветвь графика показывает, что угол 20 при е<0 с увеличением нагрузки монотонно увеличивается, асимптотически приближаясь к предельному 20 = 180°.

Фиг. 4

Для сравнения на фиг. 4 показана аналогичная зависимость, полученная в [1] при решении подобной задачи* аналитическим методом. При е>0 и малых нагрузках шайба и пластина контактируют по всей окружности, т. е. 20 = 360°. Начиная с некоторого уровня нагружения (-*.= ),25), зона контакта начинает монотонно уменьшаться, асимптотически приближаясь к предельному углу 20 = 180°.

Интересно отметить, что при е = 0, независимо от нагрузки, зона контакта остается неизменной: 26 = 180°. Это значение угла формально можно получить Р

при х = оо (е 0) из обеих ветвей графика.

На фиг. 5 и 6 представлены зависимости радиальных аг и тангенциальных ад компонентов тензора напряжений по кромке отверстия пластины от 0 для г<[0 (шайба вставлена в отверстие с зазором) и е>0 (шайба вставлена в отверстие с натягом) соответственно. Величина касательныпых напряжений по кромке отверстия составляет ^ 10% максимальных величин нормальных напряженй аг и ав и характеризует достаточно высокую точность расчета с помощью метода конечных элементов **.

* Задача, решенная И. Я. Штаерманом, отличалась от рассматриваемой тем, что пластина предполагалась бесконечной.

** Очевидно, что теоретически точное значение тге = 0, поскольку предполагается контактное взаимодействие без возникновения сил трения.

=4 — 4 6 9

СО

Є » 0;

вг £/ Nv.?^

—Л ^го \ V \Д

* II \

0 TP То°~ X yj3S° в

На фиг. 7 и 3 представлено распределение интенсивностей тензора напряжении по пластине для %= 1,4 при е 0 и з<[0 соответственно в виде семейств линни уровня [7]. На концах линий уровня интенсивности напряжений проставлены значения их величин **.

Заметим, что начальные приближения для конфигурации зоны контакта брались в разных расчетах различными, например вся окружность контура отверстия, конфигурация зоны контакта от предыдущего решения при других параметрах нагружения и т. п.

Расчеты на ЭВМ данной задачи показали, что независимо от выбора начального приближении итерационный процесс поиска зоны контакта всегда сходился, причем для опредения зоны контакта требовалось не более шести итераций. . - . .

Рассмотренный алгоритм решения контактной задачи был реализован в рамках комплекса программ „Система“-4, разработанного А. Б. Кудряшовым,

I. о. Снисаренко, В. Д. Чубань и автором в применении к ЭВМ БЭСМ-6 для расчета строительных конструкций методом конечного элемента.

* Интенсивность тензора напряжений определялась как

= У о2г+ а~- а, о0 + Зтл20.

** Прсп Ра<гшиФР°вке линий уровня следует иметь в виду, что, например, 05Д.Ш1С- 5 0 03начает’что инте11сивн0сть напряжений на этой линии составляет

ЛИТЕРАТУРА

1. Штаерман И. Я. Контактные задачи теории упругости. М.—Л., Гостехиздат, 1949.

2. Г а л и н Л. А. Контактные задачи теории упругости. М., Гостехиздат, 1953.

3. Гафнер С. Л., Добычин М. Н. К расчету угла контакта при внутреннем соприкосновении цилиндрических тел, радиусы которых почти равны. „Машиноведение", 1973, № 2.

4. Панасюк В. В., Теплый М. И. Определение контактных напряжений при внутреннем соприкосновении цилиндрических тел. „Прикладная математика и механика", 1971, т. 7, № 4.

5. Э к ю з, М е р в и н. Решение нелинейных задач упруго-пластичности методом дискретных элементов. „Ракетная техника и космонавтика", т. e.’Ns 10, 1968.

6. Satoshi О. Finite element analysis of elastic contact problems. Bull. ISME, vol. 16, N 95, 1973.

7. Кудряшов А. Б., Чу бань В. Д., Ill е в ч е н-к о Ю. А. Об одном алгоритме построения линий уровня функций, заданной на множестве двумерных криволинейных изо-параметрических конечных элементов. „Ученые записки ЦАГИ", т. 6, № 3, 1975.

Рукопись поступила 7\1 1976