CC BY
8
2. Лебедев К.А. Реализация культурно-образовательной деятельности в туризме / К.А. Лебедев, О.Е. Лебедева, Н.А. Луканова // Сервис в России и за рубежом. - 2016. - Т. 10. - № 4 (65). - С. 71-82.
3. Лебедева О.Е. Зарубежный опыт в системе туристского образования // Сборник материалов 6-й международной научно-практической конференции «Экономическая наука в 21 веке: вопросы теории и практики». - Махачкала,
2014. - С. 37-38.
4. Силка Д.Н. Экономико-информационная система мониторинга
производственных ресурсов нового поколения / Д.Н. Силка // Вестник МГСУ.
- 2016. - № 5. - С. 93-106.
Гильманова Г.Р. студент 3 курса, очное отделение факультет «Математики и естественных наук»
Елабужский институт Казанский федеральный университет
Россия, г. Елабуга ПРИЛОЖЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Статья посвящена приложению тройных интегралов. В статье рассматриваются их геометрические и физические приложения. Представлены формулы для решения тройных интегралов с разными способами, а также решены некоторые задачи.
Ключевые слова: Тройные интегралы, Геометрические приложения, Физические приложения, Объем тела, Инерция.
Gilmanova G.R., Student Elabuga Institute of Kazan Federal Institute
Russia, Elabuga 3 course, full-time office faculty of Mathematics and natural Sciences APPLICATION OF TRIPLE INTEGRALS The article is devoted to application of triple integrals. The article discusses their geometric and physical applications. Presents formulas for solving triple integrals in various ways and solved some tasks.
Keywords: Triple integrals, Geometrical applications, Physical applications, the Volume of the body Inertia.
Геометрические приложения тройных интегралов Геометрическое приложение - вычисление объема любого пространственного тела.
Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой
В цилиндрических координатах объем тела равен
В сферических координатах, соответственно, используется формула
V = ЦУ $ъ\ьд<1р<1ф<1Э.
Пример
Найти объем шара х2 + у2 + 72 < Я2.
Решение.
Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (х > 0, у
> 0, 7 > 0), и затем умножим результат на 8. Получаем
"/а ^ 'А
V = 8¡¡¡¿хфеЬ = 31119йрЗ,д>Л9 = 81 Л(р§р2с1р§ зт 9Л9 =
о о
^ * Г VI 1 (я
= 8 (-соз^)|о/2 ¿ф$р2<1р' -соз — + соз0
о о
'А к 'А
-3 1 =8
К Я'
3 0
'А
8 ¡¿<р.\
В? 8 Я3^
¡¿<р
Ш
8 Е? тг АлВ?
В результате получена известная формула для объема шара радиусом К Физические приложения тройных интегралов Масса и статические моменты тела Пусть тело занимает объем и и его объемная плотность в точке М(х,у,7) задана функцией р(х,у,7). Тогда масса тела т вычисляется с помощью тройного интеграла:
т = УДО р (х, у, г) (¿хс1ус1г.
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Оху, Ох7, Оу7 выражаются формулами
м^ = ¡¡¡гр (X, У, г) ахауаг, Муг = ||| хр (х, у, г) ахауйг, = ^ ур ( х,у,г) ахфаг.
и и и
Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:
Если тело является однородным с плотностью р(х,у,7) = 1 для точек М(х,у,7) в области и, то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом.
Моменты инерции тела
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Оху, Охг, Оуг определяются выражениями
а моменты инерции тела относительно координатных осей Ох, Оу, Oz вычисляются по формулам
4 = ¡¡¡{/ + г2)р(х,у,г) ¿ЫусЬ, 1у = ///+ г3) р{к,у,х)й7Ау<Ь, 1Х = ДО(V + У)р(I,у,г) ¿ЫусЬ. и и и
Как видно, справедливы соотношения
Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл
Момент инерции относительно начала координат можно выразить через моменты инерции относительно координатных плоскостей:
Тензор инерции
Используя рассмотренные выше 6 чисел 1х, 1у, 17, 1ху, 1x7, 1у7, можно составить так называемую матрицу инерции или тензор инерции тела:
Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ох', Оу', 07'. Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции, а указанные направления - собственными векторами или главными осями инерции.
Если тело вращается вокруг оси, не совпадающей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.
Гравитационный потенциал и сила тяготения Ньютоновым потенциалом тела в точке Р(х,у,7) называется интеграл
где р(^,п,С) - плотность тела, и
Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы т и заданного распределенного тела с плотностью по формуле
где О - гравитационная постоянная. Пример
Найти массу шара радиуса Я, плотность у которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.
Решение.
По условию, плотность у задана соотношением у = аг2, где а - некоторая постоянная, г - расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:
Использованные источники:
1. Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (II том) - Москва, 2013.
2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления» (I том) -Москва, 2015.
3. Эрмит Ш. «Курс анализа» - Москва, 2014
Иванчик Э.Н. студент 4 курса факультет психологии Белгородский государственный национальный исследовательский университет Россия, г. Белгород МОТИВАЦИОННО - ПОТРЕБНОСТНАЯ СФЕРА СТУДЕНТОВ ПСИХОЛОГОВ ОБУЧАЮЩИХСЯ НА НАЧАЛЬНЫХ И СТАРШИХ
КУРСАХ
Данная статья посвящена изучению мотивационно - потребностной сфере студентов начальных и старших курсов. В статье рассматриваются основные различия, выявленные в процессе исследования, а также детальное рассмотрение мотивационно - потребностной сферы как начальных, так и старших курсов.
