ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ознакомления с соответствующей корреспонденцией, предваряющей рассматриваемые сделки.

Итак, очевидным является тот факт, что с течением времени, несмотря на техно-специфику современности, вновь возникшие проблемы, связанные с образовательной деятельностью в области бухгалтерского учета, остаются идентичными прошлому и, к сожалению, не так легко решаемыми. Думается, что происходит это по причине неискушенности коллег в истории развития нашего предмета, теоретической некомпетентности и нежелании отказаться от конформизма.

Но та же история дает нам надежду на скорое и положительное решение наших проблем...

Нуртдинов Р.Р. студент 4 курса, очное отделение факультет «Математики и естественных наук»

Елабужский институт Казанский федеральный университет Россия, г. Елабуга ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В данной статье кратко дана теория о поверхностных интегралах первого и второго рода. Статья может заинтересовать студентов, так как такие разделы высшей математики как поверхностные интегралы, особенно их применение, вызывают затруднения при изучении.

Ключевые слова: интеграл поверхностный, интегральная сумма, момент инерции, параметрическое уравнение, статический момент, центр тяжести.

Nurtdinov R.R., Student

Elabuga Institute of Kazan Federal Institute Russia, Elabuga 4 course, full-time office faculty of Mathematics and natural Sciences SURFACE INTEGRALS

This article briefly given the theory of surface integrals of first and second kind. The article may be of interest to students, as such parts of higher mathematics as surface integrals, especially their application cause difficulties when studying.

Key words: surface integral, integral sum, moment of inertia, parametric equation, static moment, center of gravity.

Поверхностные интегралы первого и второго рода

Пусть f(x, y, z) - функция, заданная в точках некоторой гладкой поверхности S. Рассмотрим разбиение поверхности S на части Sl...,Snc

площадями - и диаметрами d1,.,dn соответственно. Произвольно выбрав на каждой из частей Si точку Mi(xi, yi, zi), составим сумму

Которая называется интегральной суммой первого рода для

функции /(х, у, 2).

<1 = так

Если при ^ 0 (где * !) существует предел интегральных сумм,

который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек Mi, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода и обозначается

Если функция /(х, у, 2) непрерывна, то интеграл

существует.

Определение поверхностного интеграла первого рода аналогично определению криволинейного интеграла первого рода. Свойства поверхностного интеграла первого рода (линейность, аддитивность и т.д.) также аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода.

Если поверхность S задана на области D плоскости Оху функцией z=z(x,y), причем z(x,y) непрерывна, вместе со своими частыми производными z'x= z'x(x,y) и z'у = z'у(x,y), то поверхностный интеграл сводится к двойному с помощью формулы:

Если поверхность Б задана параметрически в виде х = = уУи,о \2 = г\и, о1 ^ где х, у, непрерывно дифференцируемые

функции в некоторой области G плоскости то

|| /(х,у,г)с1сг = || /[х(и,о),у(и,о),г(и,о)иЕН - р сЫи,

где

Н =

.до/

+

до)

+

\до/

дх дх ду ду дг ск

ди до ди до ди до Приложения поверхностного интеграла первого рода

Пусть Б - гладкая материальная поверхность с плотностью Р = Р х> У'

Пусть с помощью поверхностных интегралов первого рода можно вычислить: 1) статические моменты этой поверхности относительно координатных плоскостей

Мху = 11 ¿.жег. Муг = 11 хрЛсг, Мхг = 11 у ДО СП,

2) координаты центра тяжести поверхности

3) моменты инерции относительно координатных осей и начала координат

, 2 . 2 |

2 .

Л=П +*№<>■ Л= II1* ^

Определение и вычисление поверхностного интеграла второго

рода

Площадь поверхности S можно найти по формуле:

\\da--

3 пл. 8.

Если Р1-х>У>г1 - поверхностная плотность материальной поверхности Б, то ее масса т находится так:

т= II р(х,у,г)с1сГ

Пусть S - гладкая ориентированная поверхность, на которой задана непрерывная функция Я[х>У'г \ и пусть в каждой точке М поверхности

определено положительное направление нормали , _ непрерывная

вектор-функция).

Выберем ту сторону S+ поверхности S, для которой угол между единичной нормалью п и осью Oz острый. Теперь разобьем поверхность S на части 81,...,8пс диаметрами с11,...,с1п. Обозначим через площади

соответствующих проекций частей $1,...,$п на плоскость Оху , а через d -максимум из чисел й1,...,ёл.. Выбрав в каждой части Si произвольную точку Mi(xi, у^ zi), составим сумму

которая называется интегральной суммой второго рода для функции Предел интегральных сумм (он существует в силу

непрерывности &(х>У'г)) при ^ °, который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек М^ называется поверхностным интегралом второго рода от функции по поверхности S и

обозначается

Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода

| J R (х, у, z) dydz II R(x, у, z)dxdz.

от непрерывных функций и . Сумма трех указанных

поверхностных интегралов второго рода называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается

11 Pdydz + Qdxdz + Rdxdy.

Использованные источники:

1. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс - 7-е изд., - М.: Айрис-пресс, 2008.

2. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс - 5-е изд., - М.: Айрис-пресс, 2007.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс -7-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2008.

Осина Е.Ю. магистрант Стерлитамакский филиал Башкирский государственный университет Республика Башкортостан, г. Стерлитамак УПРОЩЕННАЯ ФОРМА ВЕДЕНИЯ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА ДЛЯ ПРЕДПРИЯТИЙ МАЛОГО БИЗНЕСА: ОБЗОР ИЗМЕНЕНИЙ ТЕКУЩЕГО ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА

Для малых предприятий, которые совершают ежемесячно небольшое количество операций, а именно, не оказывают услуг и не производят продукции с использованием большого количества ресурсов, что обычно является источником большого количества производимых операций, вправе применять простую форму бухгалтерского учета, подразумевающего использование малого количества регистров.

Для малых предприятий, которые оказывают услуги или производят продукцию, необходимо более подробное оформление бухгалтерского учета. Для каждого из используемых бухгалтерских счетов нужно составлять отдельную ведомость. По окончании месяца, на основании данных, указанных в составляемых ведомостях, составляется оборотная ведомость, которая будет являться основанием для составления баланса по итогам деятельности за год.

Для субъектов малого бизнеса предусмотрена возможность кассового метода учета доходов и расходов, что может быть выгодным, если организация является плательщиком налога на прибыль.

Приказом Минфина России от 16.05.2016 № 64н внесены изменения в четыре стандарта бухгалтерского учета [3].

Право на применение упрощенных способов ведения бухгалтерского