Прикладные задачи, сводящиеся к анализу и решению систем линейных неравенств. Метод разделяющих плоскостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

2. Рыбников М.К. Математические модели планирования потребления электроэнергии в условиях наращивания объема продукции предприятия У/ Лесной вестник. - 2001 - № 2. (16) - С. 215-217.

3. Рыбников М.К., Рыбников К.К., Погодина Е.В. Математические методы прогнозирования затрат на модернизацию технического оборудования // Лесной вестник. - 2001 - № 2. (16) - С. 213-215.

4. Рыбников М.К., Рыбников К.К. Методы выявления изменений в стандартном режиме производства на химических предприятиях, производящих минеральные удобрения, как информация для экологического контроля // Труды международной конференции «Математические и физические методы в экологии и мониторинге природной среды». 23-25 октября 2001 года. - М.: МГУЛ. - С. 234-237.

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К АНАЛИЗУ И РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ. МЕТОД РАЗДЕЛЯЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

К.К. РЫБНИКОВ, докторант МГУЛа, к. ф.-м. н.,

Н.В. НИКОНОВ, ИКСИ, г. Москва

Можно указать значительное количество прикладных задач различной природы, сводящихся к решению систем линейных неравенств:

а,х, + ... + Й, х >Ь

111 1 >1 л I 3 С1)

а х + ... + а х >Ъ .

«11 тп и т

Для ряда задач система неравенств (1) возникает естественно, являясь составной частью ее постановки, в иных случаях - система (1) может быть специально построена. Возможность задания с помощью системы неравенств широкого класса задач связана прежде всего с большими логическими возможностями базиса пороговых соотношений. Кроме того, оценка значения взвешенной суммы лежит в основе многих задач по

распознаванию образов, анализу обстановки и принятию решений и, как следствие, различных экономических задач.

Несмотря на природу возникновения системы (1), общая проблема ее анализа и решения разбивается на следующие три близкие, но не тождественные постановки:

1. Проверка совместности системы (1).

2. Нахождение в случае совместности хотя бы одного решения системы (1).

3. Нахождение всех решений системы (1).

Если для хорошо изученной системы линейных уравнений задачи 1, 2, 3 имеют практически одинаковую сложность, эквивалентную сложности обращения матрицы, то

для систем линейных неравенств эти задачи отличаются одна от другой принципиально.

Обнаружение несовместности системы (1) может носить локальный характер и сводиться к выделению несовместной подсистемы. В действительной области задача нахождения хотя бы одного решения системы (1) имеет полиномиальную сложность, но при этом известные полиномиальные алгоритмы чрезвычайно трудоемки. Что же касается нахождения всех решений системы (1), то именно эта задача сводится к полному описанию строения многогранника решений в действительной области.

В случае дискретных или булевых неизвестных х\, алгоритмические проблемы, связанные с анализом и решением системы (1), усложняются.

В частности, для этого случая не существует универсального полиномиального алгоритма распознавания совместности, аналогичного алгоритму Л. Г. Хачияна для действительной области.

Приведем примеры различных прикладных задач, сводящихся к анализу и решению систем (1).

1. Настройка порогового элемента на решение задачи распознавания

Под пороговым элементом (ПЭ) понимается устройство, реализующее пороговую функцию (рис. 1) с логикой

г=1ой|)С|+.,.+ йА>6, (2)

где действительные;

Х{— дискретные (в частном случае -двоичные).

Рис. 1

Как показали исследования, начатые в 40-е годы Мак Калл оком и Питтсом, ПЭ является простой и достаточно точной моделью нейрона живого организма, очень хорошо решающего задачи распознавания путем настройки.

Рассмотрим бионическую модель процесса настройки модели нейрона, - ПЭ, -для случая х\ е{0,1}. Предполагаем, что во всем множестве У„ входных сигналов, - п-мерных векторов, выделено два непересе-кающихся подмножества:

* = *И)Ь У = Vй)!

/ = 1, /„ 7 = 1, ¿2,

ХсУ;УсУ; ХпУ = 0.

и' и *

Будем говорить, что ПЭ различает эти два множества, если при подстановке всех векторов одного из них неравенство (2) выполнено, а при подстановке всех векторов из другого - не выполнено, то есть

а,х(1> + ,.. + « дс(,) > Ъ;

I I И II “

а,л,(,,> +... + а хм > Ь;

II п п 7 / 'З \

йу(1,+... + а/)<й;

а у{‘1) +... + а ум < Ь.

V. Х* 1 п •' п

Получившаяся система (3) есть система линейных неравенств, где в качестве неизвестных выступают коэффициенты ПЭ а вектора из множеств X и ¥ - известны.

Если система (3) имеет решение относительно то существует ПЭ, раз-

личающий множества X и У Коэффициенты аап - действительные, поэтому задача распознавания совместности системы (3) и нахождение хотя бы одного решения имеет полиномиальную сложность.

Задача распознавания является важной прикладной задачей, входит неотъемлемой составной частью в различные критерии, используемые в специальных алгоритмах.

2. Решение нелинейных систем булевых уравнений методом разделяющих плоскостей

Широкий класс прикладных специальных задач сводится к анализу и решению нелинейных систем булевых (и А>значных) уравнений

= = (4)

Один из приемов решения системы (4) основан на сведении (4) к равносильной системе линейных неравенств или разделяющих плоскостей. В основе этого метода, получившего название метода разделяющих плоскостей, лежит замена каждого булевого уравнения системы (4) вида

/{*1,-л) = Т (5)

на равносильную относительно 0-1 решений систему неравенств

! а.,х, + ... + а. х > Ь..

V *1 I к» п к

Такая замена всегда возможна. В частности, всегда можно отсечь от и-мерного единичного куба Уп любую вершину. Действительно, вершину (0,...,0) отсекает плоскость

х, +... + хп >1, (7)

т. е. неравенство (?) выполнено во всех вершинах Уп за исключением вершины (0,...,0). К любой другой вершине из вершины (0,...,0) монсно перейги путем инвертирова-

ния некоторых х\. В аналитическом плане инвертированию х, отвечает замена х, в неравенстве (7) на 1 - х, что позволяет, исходя из неравенства (7), легко получить неравенство, отсекающее любую другую вершину п-мерного единичного куба У„. Следовательно, обращаясь к равенству (5) и выделяя все вершины У„, в которых это уравнение не выполнено, можно построить систему неравенств, их отсекающую; эта система неравенств будет, очевидно, равносильна равенству (5) относительно 0-1 решений.

Принципиальное существование системы (6) для любого уравнения (5) тем самым доказано, хотя получившаяся в связи с вышеизложенным алгоритмом система не является оптимальной по числу неравенств. Система неравенств вида (6) с наименьшим «к» получила название минимальной системы разделяющих плоскостей (МСРП), для ее поиска разрабатываются специальные методы [2]. С точки зрения пороговой логики построению МСРП соответствует синтез простейшей однокаскадной сети ПЭ, реализующей функцию Дхь.-¿Сп).

Доказанная таким образом возможность замены каждого нелинейного уравнения системы (4) на равносильную систему линейных неравенств позволяет построить итоговую систему линейных неравенств, равносильную (4):

(а„х, +... + а, х > 6,;

I „ , . .» (8)

Кл + •■■ + «*л ^ К ■

Главной особенностью системы (8) с алгоритмической точки зрения является то, что для нее нужно искать обязательно 0-1 решения, а не произвольные действительные, как в предыдущем примере, для чего разрабатываются специальные алгоритмы.

3. Поиск однозначно разрешимых подсистем путем анализа систем линейных неравенств

Важный класс систем (4) порождается узлом усложнения, построенном на базе сдвигового регистра (рис.2).

Особенностью таких систем является единая для всех уравнений функция Дхь...,х„), поэтому для построения системы (8) достаточно проанализировать уравнения двух видов:

Дхи...^сп) =0 иДх,,...,хл) =1.

Другой важнейшей отличительной чертой является структурность уравнении системы (4) в связи со сдвиговым характером поступления переменных. Для структурных систем появляется возможность выделения аналитически простых подсистем, однозначно разрешимых относительно некоторых неизвестных. Такие подсистемы получили название полузапретов. возможность их применения называют также эффектом локального восстановления.

Нахождение полузапретов в определенных случаях также может быть сведено к построению и анализу системы линейных неравенств. Проиллюстрируем это на примере.

Пусть в схеме на рис. 2 функция Дхь ..,хл) существенно зависит от 3-х переменных, снимаемых с ячеек накопителя Ц2, Из, и имеет вид

Л*и, .*ц2 >*ц, )= 1 <=> + *ц2 + *ц3 ^ 2 (9)

(то есть функция - порог овая).

Для такой функции переход от системы (4) к системе (8) не представляет никакого труда и сводится к замене в соответствии с правой частью условия (9).

Предположим, что в системе (4) обнаружена подсистема уравнений с номерами

$, 5 + 51 + /( + /2,

где = р2 - ц1, /2 = ц3 - р2 вида 3'/(хж+щ,х,^2,х1+^0;

8 + 1\ •/(Х5 + /,+Ц| ’Л:1 + /,+Ц2 >^5 + ;|+Цз )= 1 > ^0)

5 + Ц + ¡2 •У(Л5 + /| +/, +ц1 ,Х1+>1 +/2 +ц2 5-*:Л'+/1 +12 +Ц3 )“ *

или, учитывая что

»^ + /] + = & + \121 5 + /( + /2 + (а, = 5 + /, + ц2;

5 + /, +12 + р, = 5 + р3 и обозначая

ХЯ+(,+Ц| ~ Х5+Цг =а’> Л5+1,+»2 + Й2 =ХХ+г,+м3 =^>

“^5'+/1+/2+М1 ^ *

я =/(*,+,*, >«>с)=о;

5 + /1:/(А,хж+Л+111,г»)=1; (10')

£ + /, +/2 .' /(с,6,А'1+; +(2 + (Лз )= 1 .

Подсистеме (10') эквивалентна система неравенств

х + а + с < 1;

Л+Щ ’

<а + х^г+Ь>2; (11)

с + Ь + х^112^з > 2,

из анализа которой вытекает, что Ь ~ 1, Действительно, полагая противное, то есть 6 = 0, получаем, что а = ^+,+^ = 1, с = х1<+1з+^ = 1 и в первом неравенстве - противоречие: х^1+Ш<1.

Таким образом установлено, что подсистема (10) однозначно разрешима относительно одного из своих неизвестных, то есть образует полузапрет. Обнаружение полуза-прета стало прямым следствием анализа системы линейных неравенств.

4. Нахождение параметров узла усложнения с помощью запретов

Включение в сдвиговый регистр коммутатора К приводит к усложнению схемы (рис.З). Коммутатор осуществляет выборку точек съема на регистре и их перестановку.

Рис. 3

Если коммутатор К неизвестен, то формирование системы (4) и равносильной ей системы неравенств (8) не представляется возможным: их можно выписывать лишь опробуя коммутатор К. Для ложного К система (4) и соответственно (8) окажутся несовместными. Поэтому задача выявления истинного коммутатора К эквивалентна задаче проверки совместности системы (8).

/, и

Отрезок знаков выходной последовательности, которым отвечает несовместная подсистема, называется запретом узла, или запретом функции. Для поиска запрета также может использоваться аппарат систем линейных неравенств. Проиллюстрируем это на примере, продолжающем пример, рассмотренный в предыдущем пункте.

Рассмотрение динамики работы узла, построенного на базе сдвигового регистра с функцией усложнения (9) будем проводить с помощью диаграммы (рис. 4). На этой диаграмме вправо будут откладываться номера ячеек накопителя, вниз номера тактов работы.

Горизонтальному уровню соответствует уравнение, в нашем случае - неравенство, справа - значение функции.

Выделим 7 уравнений так, как это показано на рис. 4, им будет соответствовать подсистема из 7 неравенств

с + а + у^ < 1; b + уг + а > 2; у, + b + с > 2; е + у4 + b < 1; h + е + у, > 2; d + у6 + е > 2; y., + d + h < 1,

(12)

где yj - текущие переменные, снимаемые с

12 1} l2 I] t2 11

накопителя и имеющие соответствующий индекс.

Пользуясь результатом предыдущего пункта устанавливаем, чго из первых 3-х неравенств системы (12) однозначно определяется Ь -1. Рассуждая аналогичным образом можно установить однозначную разрешимость последних 3-х неравенств относительно е = I. Противоречие обнаруживается в 4-м уравнении, так как по условию е + у4+Ь< 1, в то же время е + у4 + Ь = 2 + у4> 1.

Таким образом, используя анализ подсистемы неравенств, установили что комбинация из 7 знаков выходной последовательности образует запрет:

Вид запретной комбинации зависит от /! и /2 и её обнаружение в выходной последовательности приводит к отбраковке данных /,, /2. При достаточном материале отбраковка всех ложных вариантов /,, /2 приведет к выделению истинного.

ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ МИКРОКОНТРОЛЛЕРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИМИ ДАТЧИКАМИ

М. А. КЛИМОВ, аспирант кафедры информационно-измерительных систем МГУЛа

Научный руководитель д.т.н., профессор A.B. Чуркин

В большинстве выпускаемых в настоящее время первичных оптических преобразователей механических параметров с микро-контроллерным управлением все элементы структурной схемы выполняются на базе ИМС и дискретных электронных компонентов, размещаемых на многослойных печатных платах, и только отдельные изделия,

предназначенные для массового использования, изготовляются полностью в интегральном исполнении. Это связано с одной стороны с относительно высокой стоимостью заказных и полузаказных ИМС при малых партиях, а с другой стороны- со значительными трудностями при реализации в пределах одного кристалла всех элементов ИД, в