Моделирование динамических рядов как основной подход к прогнозированию производственных показателей Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ КАК ОСНОВНОЙ ПОДХОД К ПРОГНОЗИРОВАНИЮ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

М.К. РЫБНИКОВ, аспирант МГУ им. М.В. Ломоносова, директор по экономике и финансам ОАО «Аммофос», г. Череповец

Пусть У(0 = У(10). У (и),..., У(Іп); і=--0,п -некоторый динамический ряд. Один из классов моделей динамического ряда, наиболее известный в настоящее время (см. напр. [1]), основан на аддитивном представ-лении таблично заданной функции У (і)__

г їо и ... 1п

Щ У((о) т Урп)

в виде У(() = и(с) + У(0 + Е(0, где - временной тренд заданного динамического ряда; ¥(с) - периодическая (сезонная) составляющая, а Е(1) - случайная компонента.

Значения функций Щ) и 1/(0 + У(0 могут быть использованы как приближенные прогнозируемые значения для функции У (г). Подобный подход применялся автором при анализе производственных показателей некоторых предприятий, производящих минеральные удобрения.

1. Построение временного тренда по методу наименьших квадратов

Данные выпуска продукции предприятием ОАО «Аммофос» за период с 1990 г. по 1999 г. могут быть представлены в виде следующей табличной функции

г 1990 199) 1992 1993 1994 | 1995 1996 ”1997 1998 1999

т Б тыс. тонн 666,9 543,6 509,8 520,7 1 576,8 | 606,4 571,9 649,5 707,3 711,9

800

750

450

400

1 23456789 10

1990 г. 1991г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г. 1998 г. 1999 г.

По методу наименьших квадратов построены трендовые функции Щ{)\ и, (/) = 14,5103/ + 526,633;

иг (/) = 661,908 - 53,127/ + 6Д49Г;

и, (/) - 782,526 -160,109/ + 29,345/2 -1,406/

(У4 (/) = 895,488- 304,932/ + 82,337Г -8,647^ ■+

+ 0,329/4,

где и^) - трендовые функции и0) - многочлены степени г, /' = 1,2,3,4.

Для построенных трендов проведен анализ ряда остатков. Показано, что ряд остатков распределен приблизительно по нормальному закону. Доказано, что математическое ожидание остаточной компоненты равно нулю.

Трендовые модели проанализированы на их адекватность рассматриваемому динамическому ряду. В соответствии с этим анализом коэффициент сходимости равен

0,087923, а коэффициент детерминации равен 0,912077. Средняя относительная ошибка составила 2,5 %, что свидетельствует о хорошем уровне точности модели.

Рассматриваемый подход позволяет сделать достаточно хороший прогноз па момент /„+/. Так, значение 1/2(0 Для 2000 г. равно 744,027 тыс. тонн, что дало отклонение менее 3 % от реального показателя.

Подобная методика построения -.фондовых моделей применялась для прогнозирования потребления электроэнергии и тен-лоэнергии в условиях растущего объема производства минеральных удобрений, выпускаемых предприятием ОАО «Воскресенские минеральные удобрения» [2].

Однако, несмотря на подавляющее число случаев удачного применения подобных моделей, автором были обнаружены отдельные примеры, когда трендовая модель не может считаться в достаточной степени адекватной динамическому ряду У([), где значения У({) представляют помесячные затраты электроэнергии предприятием. (Математическое ожидание остаточной компоненты не равно нулю, средняя относительная ошибка близка к 5 %).

В одном из случаев объяснение этого факта было найдено в нарушении стандарг-

ного режима технологии в производстве [4], в других случаях недостатки трендовой модели, очевидно, заключаются в отсутствии учета сезонной составляющей УО).

1. Построение временного тренда с учетом периодической (сезонной) составляющей

В этом случае трендовая модель имеет вид

У (і) » І/(і) + У(().

Такая модель была рассмотрена в работе [3], і де решалась задача прогнозирования затрат на ремонт и модернизацию технического оборудования для ежемесячных данных с 1998 г. по 2000 г. для предприятия ОАО «Воскресенские минеральные удобрения».

Трендовая функция 1/(1) была выбрана линейной, а сезонная составляющая У(і) была построена как частичная сумма порядка 12 ряда Фурье.

Построенная модель оказалась весьма точной. Средняя относительная ошибка составила 0,33 %.

По тем же данным рассмотрена модификация трендовой модели

У(г) - и(() + У(ї) + Е(і),

в которой функция и(() была представлена полиномом 2-й степени.

Показано, что снижение порядка частичной суммы ряда Фурье по сравнению с использованным в работе [3] приводит к резкому снижению точности модели. Полученные результаты оказались в рамках выбора того же порядка весьма близкими к результатам [3].

Заметим, что остаточная компонента, соответствующая значениям аргумента временного ряда не превосходит для рассмот-ренной модификации модели 10' .

Литература

1. Кобелев Н.Б. Практика применения экономикоматематических методов и моделей: Учебнопрактическое пособие. М.: ФИНСТАТИН-ФОРМ, 2000. - 248.

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

2. Рыбников М.К. Математические модели планирования потребления электроэнергии в условиях наращивания объема продукции предприятия У/ Лесной вестник. - 2001 - № 2. (16) - С. 215-217.

3. Рыбников М.К., Рыбников К.К., Погодина Е.В. Математические методы прогнозирования затрат на модернизацию технического оборудования // Лесной вестник. - 2001 - № 2. (16) - С. 213-215.

4. Рыбников М.К., Рыбников К.К. Методы выявления изменений в стандартном режиме производства на химических предприятиях, производящих минеральные удобрения, как информация для экологического контроля // Труды международной конференции «Математические и физические методы в экологии и мониторинге природной среды». 23-25 октября 2001 года. - М.: МГУЛ. - С. 234-237.

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К АНАЛИЗУ И РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ. МЕТОД РАЗДЕЛЯЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

К.К. РЫБНИКОВ, докторант МГУЛа, к. ф.-м. н.,

Н.В. НИКОНОВ, ИКСИ, г. Москва

Можно указать значительное количество прикладных задач различной природы, сводящихся к решению систем линейных неравенств:

а,х, + ... + Д, х >Ь

111 1 >1 л I 3 С1)

а х +... + а х >Ъ .

«11 тп и т

Для ряда задач система неравенств (1) возникает естественно, являясь составной частью ее постановки, в иных случаях - система (1) может быть специально построена. Возможность задания с помощью системы неравенств широкого класса задач связана прежде всего с большими логическими возможностями базиса пороговых соотношений. Кроме того, оценка значения взвешенной суммы лежит в основе многих задач по

распознаванию образов, анализу обстановки и принятию решений и, как следствие, различных экономических задач.

Несмотря на природу возникновения системы (1), общая проблема ее анализа и решения разбивается на следующие три близкие, но не тождественные постановки:

1. Проверка совместности системы (1).

2. Нахождение в случае совместности хотя бы одного решения системы (1).

3. Нахождение всех решений системы (1).

Если для хорошо изученной системы линейных уравнений задачи 1, 2, 3 имеют практически одинаковую сложность, эквивалентную сложности обращения матрицы, то

для систем линейных неравенств эти задачи отличаются одна от другой принципиально.

Обнаружение несовместности системы (1) может носить локальный характер и сводиться к выделению несовместной подсистемы. В действительной области задача нахождения хотя бы одного решения системы (1) имеет полиномиальную сложность, но при этом известные полиномиальные алгоритмы чрезвычайно трудоемки. Что же касается нахождения всех решений системы (1), то именно эта задача сводится к полному описанию строения многогранника решений в действительной области.

В случае дискретных или булевых неизвестных х\, алгоритмические проблемы, связанные с анализом и решением системы (1), усложняются.

В частности, для этого случая не существует универсального полиномиального алгоритма распознавания совместности, аналогичного алгоритму Л. Г. Хачияна для действительной области.

Приведем примеры различных прикладных задач, сводящихся к анализу и решению систем (1).

1. Настройка порогового элемента на решение задачи распознавания

Под пороговым элементом (ПЭ) понимается устройство, реализующее пороговую функцию (рис. 1) с логикой